数列知识点总结
一、 数列的定义：（1）按一定次序排成的一列数
(2)数列可以看作是项数n 的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。
二、数列的分类：
1、按项数分类：有穷数列
无穷数列
+
2、按增减性分类：递增数列——对于任何n ∈N ，具有a n +1>a n 递减数列——对于任何n ∈N ，具有a n +1
3、按是否有界分类：有界数列——∃M ∈N ，使a n ≤M
+
+
无界数列——∀∃M ∈N ，总有a n ≥M
+
三、数列的表示法
1、解析法（公式法）通项公式或递推公式 2、列表法：
3、图象法:数列可用一群孤立的点表示 四、通项公式
五、数列的前n 项和 六、递推公式
七、等差数列与等比数列
定义
等差数列
等比数列
a n +1-a n =d a n =a 1+（n-1）d
a n =a n -1+d, a n =a m +(n-m)d
a n -k +a n +k a +b
A= 推广：A=
22∈N ;n>k>0）
+
a n +1a n
=q(q≠0)
通项公式 递推公式 中项
a n =a 1q n -1(q≠0) a n =a n -1q a n =a m q n -m
（n,k
G 2=ab 。推广：G=±a n -k a n +k （n,k ∈N ;n>k>0）。任意两数a 、c 不一定有等
+
比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个
前n 项和
性质
a 1(1-q n )
S n =
1-q a -a n q
S n =1
1-q
（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ； （1）若m +n =p +q
·a n =a p ·a q
（2）数列{a }{, a }{, a }仍为等差数列，a m
2n -1
2n
2n +1
n
S n =（a 1+a n ）
2
n (n -1)
d S n =na 1+
2
，则
公S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ……仍为等差数列，差为n
2
（2）S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ……仍
n
d
；
为等比数列, 公比为q
（3）若三个成等差数列，可设为a -d ，a ，a +d （4）若a n ，b n 是等差数列，且前n 项和分别为
S n ，T n ，则
（5）
a m S 2m -1
=
b m T 2m -1
{a n }为等差数列⇔S n =an 2+bn （a ，b
a m -a n m -n
(m≠n)
为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d=
(7)d>0递增数列d
八、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： 1、数列是不是等差数列有以下三种方法：
①a n -a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数).
2、数列是不是等比数列有以下四种方法：
①a n =a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2②a n =a n +1⋅a n -1(n ≥2，a n a n +1a n -1≠0)
①
③a n =cq n (c , q 为非零常数).
④正数列{a n }成等比的充要条件是数列{log x a n }（x 1）成等比数列.
数列通项公式求法
⎧s 1, n =1
一、公式法a n =⎨
S -S , n ≥2n -1⎩n
例1：已知下列两数列{a n }的前n 项和s n 的公式，求{a n }的通项公式. （1）S n =n 3+n -1. （2）s n =n 2-1 二、累加法a n +1=a n +f (n )
例2 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 三、累乘法a n +1=f (n)·a n
例3 已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。 四、构造特殊数列法 1、a n +1=ca n +d , (c ≠0）
例4：已知数列{a n }的递推关系为a n +1=2a n +1，且a 1=1求通项a n 2、a n =
pa n -1
ra n -1+s
a n
（n ∈N ），，求数列的通项公式. a n +1
例5：已知数列｛a n ｝中a 1=1且a n +1=3、a n +1=pa n +q n
例6：已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯2n ，a 1=2，求数列{a n }的通项公式。 五、待定系数法
例7：设数列{c n }的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n
数列求和
一、错位相减法
方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an · b n }的前n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例8] 求和：S n =1+3x +5x 2+7x 3+⋅⋅⋅+(2n -1) x n -1………………………①(x ≠1)
二、分组求和法
方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 一般分两步：①找通项公式②由通项公式确定如何分组； [例9] 求数列的前n 项和：1+1,
111
+4, 2+7, ⋅⋅⋅, n -1+3n -2 a a a
三、裂项求和
方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）
2
[例10] 等比数列{an }的各项均为正数，且2a 1+3a2=1，a 3=9a2a 6， （Ⅰ）求数列{an }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log3a 1+log3a 2+…+log3a n ，求数列{
}的前n 项和．
答案 例1
答案：（1）a n =3n -3n +2，（2）a n =⎨一. 例2
解：由a n +1=a n +2n +1得a n +1-a n =2n +1则
2
(n =1) ⎧0
点评：先分n=1和n ≥2两种情况，然后验证能否统
⎩2n -1(n ≥2)
a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 3-a 2) +(a 2-a 1) +a 1
=[2(n -1) +1]+[2(n -2) +1]+ +(2⨯2+1) +(2⨯1+1) +1=2[(n -1) +(n -2) + +2+1]+(n -1) +1(n -1) n =2+(n -1) +1
2
=(n -1)(n +1) +1=n 2
例3 解
：
因
为
a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3
，所以
a n ≠0
，则
a n +1
=2n +(a n
n
1，) 故5
a n =
a n a n -1a a
⋅⋅ ⋅3⋅2⋅a 1a n -1a n -2a 2a 1
=[2(n -1+1)5n -1][2(n -2+1)5n -2]⋅ ⋅[2(2+1) ⨯52][2(1+1) ⨯51]⨯3 =2n -1[n (n -1) ⋅ ⋅3⨯2]⨯5(n -1) +(n -2) + +2+1⨯3=3⨯2
例4
答案：a n =2n -1 例5 答案 a n =例6
n -1
n (n -1)
2
⨯5⨯n !
11= b n n
a n +1a n 3a n +1a n 3a n a 12
==1为首项，=+-={，则，故数列是以
2122n +12n 22n +12n 22n
a 331n 3
=1+(n -1) a =(n -)2。以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得n ，所以数列的通项公式为 {a }n n n
22222
解：a n +1=2a n +3⨯2n 两边同除以2
n +1
，得
例7
解析：设c n =a +(n -1) d +bq 例8
解析：由题可知，{(2n -1) x
n -1
n -1
建立方程组，解得.
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x
n -1
}的通项之积：
设xS n =1x +3x 2+5x 3+7x 4+⋅⋅⋅+(2n -1) x n …②
①－②得 (1-x ) S n =1+2x +2x 2+2x 3+2x 4+⋅⋅⋅+2x n -1-(2n -1) x n （错位相减）再利用等比数列的
1-x n -1
-(2n -1) x n . 求和公式得：(1-x ) S n =1+2x ⋅
1-x
(2n -1) x n +1-(2n +1) x n +(1+x )
∴S n =. 2
(1-x )
例9
⎧a -a 1-n (3n -1) n
+，a ≠1⎪⎪a -12答案s n =⎨
⎪3n 2+1n , a =1⎪2⎩2
例10
解：（Ⅰ）设数列{an }的公比为q ，由a 3=9a2a 6有a 3=9a4，∴q =． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a 1+3a2=1有2a 1+3a1q=1，∴a 1=． 故数列{an }的通项式为a n =（Ⅱ）b n =故则
=﹣+
+…+
+
．
=﹣（1+2+…+n）=﹣）
）]=﹣
， ，
2
2
2
2
+…+=﹣2（﹣
=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣
．
∴数列{
}的前n 项和为﹣
数列知识点总结
一、 数列的定义：（1）按一定次序排成的一列数
(2)数列可以看作是项数n 的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。
二、数列的分类：
1、按项数分类：有穷数列
无穷数列
+
2、按增减性分类：递增数列——对于任何n ∈N ，具有a n +1>a n 递减数列——对于任何n ∈N ，具有a n +1
3、按是否有界分类：有界数列——∃M ∈N ，使a n ≤M
+
+
无界数列——∀∃M ∈N ，总有a n ≥M
+
三、数列的表示法
1、解析法（公式法）通项公式或递推公式 2、列表法：
3、图象法:数列可用一群孤立的点表示 四、通项公式
五、数列的前n 项和 六、递推公式
七、等差数列与等比数列
定义
等差数列
等比数列
a n +1-a n =d a n =a 1+（n-1）d
a n =a n -1+d, a n =a m +(n-m)d
a n -k +a n +k a +b
A= 推广：A=
22∈N ;n>k>0）
+
a n +1a n
=q(q≠0)
通项公式 递推公式 中项
a n =a 1q n -1(q≠0) a n =a n -1q a n =a m q n -m
（n,k
G 2=ab 。推广：G=±a n -k a n +k （n,k ∈N ;n>k>0）。任意两数a 、c 不一定有等
+
比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个
前n 项和
性质
a 1(1-q n )
S n =
1-q a -a n q
S n =1
1-q
（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ； （1）若m +n =p +q
·a n =a p ·a q
（2）数列{a }{, a }{, a }仍为等差数列，a m
2n -1
2n
2n +1
n
S n =（a 1+a n ）
2
n (n -1)
d S n =na 1+
2
，则
公S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ……仍为等差数列，差为n
2
（2）S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ……仍
n
d
；
为等比数列, 公比为q
（3）若三个成等差数列，可设为a -d ，a ，a +d （4）若a n ，b n 是等差数列，且前n 项和分别为
S n ，T n ，则
（5）
a m S 2m -1
=
b m T 2m -1
{a n }为等差数列⇔S n =an 2+bn （a ，b
a m -a n m -n
(m≠n)
为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d=
(7)d>0递增数列d
八、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： 1、数列是不是等差数列有以下三种方法：
①a n -a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数).
2、数列是不是等比数列有以下四种方法：
①a n =a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2②a n =a n +1⋅a n -1(n ≥2，a n a n +1a n -1≠0)
①
③a n =cq n (c , q 为非零常数).
④正数列{a n }成等比的充要条件是数列{log x a n }（x 1）成等比数列.
数列通项公式求法
⎧s 1, n =1
一、公式法a n =⎨
S -S , n ≥2n -1⎩n
例1：已知下列两数列{a n }的前n 项和s n 的公式，求{a n }的通项公式. （1）S n =n 3+n -1. （2）s n =n 2-1 二、累加法a n +1=a n +f (n )
例2 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 三、累乘法a n +1=f (n)·a n
例3 已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。 四、构造特殊数列法 1、a n +1=ca n +d , (c ≠0）
例4：已知数列{a n }的递推关系为a n +1=2a n +1，且a 1=1求通项a n 2、a n =
pa n -1
ra n -1+s
a n
（n ∈N ），，求数列的通项公式. a n +1
例5：已知数列｛a n ｝中a 1=1且a n +1=3、a n +1=pa n +q n
例6：已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯2n ，a 1=2，求数列{a n }的通项公式。 五、待定系数法
例7：设数列{c n }的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n
数列求和
一、错位相减法
方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an · b n }的前n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例8] 求和：S n =1+3x +5x 2+7x 3+⋅⋅⋅+(2n -1) x n -1………………………①(x ≠1)
二、分组求和法
方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 一般分两步：①找通项公式②由通项公式确定如何分组； [例9] 求数列的前n 项和：1+1,
111
+4, 2+7, ⋅⋅⋅, n -1+3n -2 a a a
三、裂项求和
方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）
2
[例10] 等比数列{an }的各项均为正数，且2a 1+3a2=1，a 3=9a2a 6， （Ⅰ）求数列{an }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log3a 1+log3a 2+…+log3a n ，求数列{
}的前n 项和．
答案 例1
答案：（1）a n =3n -3n +2，（2）a n =⎨一. 例2
解：由a n +1=a n +2n +1得a n +1-a n =2n +1则
2
(n =1) ⎧0
点评：先分n=1和n ≥2两种情况，然后验证能否统
⎩2n -1(n ≥2)
a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 3-a 2) +(a 2-a 1) +a 1
=[2(n -1) +1]+[2(n -2) +1]+ +(2⨯2+1) +(2⨯1+1) +1=2[(n -1) +(n -2) + +2+1]+(n -1) +1(n -1) n =2+(n -1) +1
2
=(n -1)(n +1) +1=n 2
例3 解
：
因
为
a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3
，所以
a n ≠0
，则
a n +1
=2n +(a n
n
1，) 故5
a n =
a n a n -1a a
⋅⋅ ⋅3⋅2⋅a 1a n -1a n -2a 2a 1
=[2(n -1+1)5n -1][2(n -2+1)5n -2]⋅ ⋅[2(2+1) ⨯52][2(1+1) ⨯51]⨯3 =2n -1[n (n -1) ⋅ ⋅3⨯2]⨯5(n -1) +(n -2) + +2+1⨯3=3⨯2
例4
答案：a n =2n -1 例5 答案 a n =例6
n -1
n (n -1)
2
⨯5⨯n !
11= b n n
a n +1a n 3a n +1a n 3a n a 12
==1为首项，=+-={，则，故数列是以
2122n +12n 22n +12n 22n
a 331n 3
=1+(n -1) a =(n -)2。以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得n ，所以数列的通项公式为 {a }n n n
22222
解：a n +1=2a n +3⨯2n 两边同除以2
n +1
，得
例7
解析：设c n =a +(n -1) d +bq 例8
解析：由题可知，{(2n -1) x
n -1
n -1
建立方程组，解得.
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x
n -1
}的通项之积：
设xS n =1x +3x 2+5x 3+7x 4+⋅⋅⋅+(2n -1) x n …②
①－②得 (1-x ) S n =1+2x +2x 2+2x 3+2x 4+⋅⋅⋅+2x n -1-(2n -1) x n （错位相减）再利用等比数列的
1-x n -1
-(2n -1) x n . 求和公式得：(1-x ) S n =1+2x ⋅
1-x
(2n -1) x n +1-(2n +1) x n +(1+x )
∴S n =. 2
(1-x )
例9
⎧a -a 1-n (3n -1) n
+，a ≠1⎪⎪a -12答案s n =⎨
⎪3n 2+1n , a =1⎪2⎩2
例10
解：（Ⅰ）设数列{an }的公比为q ，由a 3=9a2a 6有a 3=9a4，∴q =． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a 1+3a2=1有2a 1+3a1q=1，∴a 1=． 故数列{an }的通项式为a n =（Ⅱ）b n =故则
=﹣+
+…+
+
．
=﹣（1+2+…+n）=﹣）
）]=﹣
， ，
2
2
2
2
+…+=﹣2（﹣
=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣
．
∴数列{
}的前n 项和为﹣