函数单调性的判断或证明方法.
（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设且
；②作差，求
，
；③变形（合并同类项、通分、分解因式、
的正负
配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断
符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
例1.判断函数
解：设－1
在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1
∴x1－x20，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)0， 即f(x1)>f(x2)， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
例2.证明函数在区间
上为减函数。（增两端，减中间）
和上是增函数；在
证明：设因为
，则，所以
,
所以，
所以
所以 设
则因为
，
，
所以所以所以
，
同理，可得
（2）运算性质法.
①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）
②若
.
③当函数④函
数反的单调性。
. 二者有相
⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例3.求函数解：
的单调区间。
在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
减区间为
.
（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数
的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合的一个单调区间，则内层函数
便是原复合函数
是内层函数
不是
的一个单调区间，如例4；若划分成内层函数
的一个单调区间，则需把的若干个单调子
区间，这些单调子区间便分别是原复合函数
的单调区间，如例5.） 都是单调函数，则
在
设
，，
上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
例4. 求函数
的单调区间
解 原函数是由外层函数
易知
是外层函数
和内层函数
的单调增区间；
复合而成的；
令，解得的取值范围为；
由于
数的一个单调区间；
是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。
例5 求函数的单调区间.
解 原函数是由外层函数
和内层函数复合而成的；
易知令
和都是外层函数的单调减区间；
；
的一个单调区间，但
，解得的取值范围为
不是内层函数
结合二次函数的图象可知
可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单
调减区间，是其单调增区间；
于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，
是原函数的单调增区间，
是原函数的单调减区间。 同理，令
原函数的单调减区间。
，可求得
是原函数的单调增区间，
是
综上可知，原函数的单调增区间是和，单调减区间是和.
（5）含参数函数的单调性问题.
例.设
离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）
解：由题意得原函数的定义域为
（先分
，
当上为减函数；
当上为增函数。
（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的
函数问题）
常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进行证明。 例１ 已知函数＞０，试判断 解析：设 ∴
＝ ＝
∴
＜－
对任意实数，均有的单调性，并说明理由. ，且＝＋＞０． ． 故
在（－
，＋
）上为增函数．
，且对于任意实数x、y
，有
－
，则
－－
＞０，故
＞０．
．且当＞０时，
例2. 设f(x)定义于实数集上，当
，求证：
证明： 在
若 所以
，令，即有
中取
，则
时，
在R上为增函数。
，得
，与
矛盾
当当
时，时，
当
时，
，恒有
；
而
所以
所以对任意 设所以所以
，则
在R上为增函数。
函数单调性的判断或证明方法.
（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设且
；②作差，求
，
；③变形（合并同类项、通分、分解因式、
的正负
配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断
符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
例1.判断函数
解：设－1
在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1
∴x1－x20，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)0， 即f(x1)>f(x2)， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
例2.证明函数在区间
上为减函数。（增两端，减中间）
和上是增函数；在
证明：设因为
，则，所以
,
所以，
所以
所以 设
则因为
，
，
所以所以所以
，
同理，可得
（2）运算性质法.
①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）
②若
.
③当函数④函
数反的单调性。
. 二者有相
⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例3.求函数解：
的单调区间。
在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
减区间为
.
（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数
的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合的一个单调区间，则内层函数
便是原复合函数
是内层函数
不是
的一个单调区间，如例4；若划分成内层函数
的一个单调区间，则需把的若干个单调子
区间，这些单调子区间便分别是原复合函数
的单调区间，如例5.） 都是单调函数，则
在
设
，，
上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
例4. 求函数
的单调区间
解 原函数是由外层函数
易知
是外层函数
和内层函数
的单调增区间；
复合而成的；
令，解得的取值范围为；
由于
数的一个单调区间；
是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。
例5 求函数的单调区间.
解 原函数是由外层函数
和内层函数复合而成的；
易知令
和都是外层函数的单调减区间；
；
的一个单调区间，但
，解得的取值范围为
不是内层函数
结合二次函数的图象可知
可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单
调减区间，是其单调增区间；
于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，
是原函数的单调增区间，
是原函数的单调减区间。 同理，令
原函数的单调减区间。
，可求得
是原函数的单调增区间，
是
综上可知，原函数的单调增区间是和，单调减区间是和.
（5）含参数函数的单调性问题.
例.设
离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）
解：由题意得原函数的定义域为
（先分
，
当上为减函数；
当上为增函数。
（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的
函数问题）
常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进行证明。 例１ 已知函数＞０，试判断 解析：设 ∴
＝ ＝
∴
＜－
对任意实数，均有的单调性，并说明理由. ，且＝＋＞０． ． 故
在（－
，＋
）上为增函数．
，且对于任意实数x、y
，有
－
，则
－－
＞０，故
＞０．
．且当＞０时，
例2. 设f(x)定义于实数集上，当
，求证：
证明： 在
若 所以
，令，即有
中取
，则
时，
在R上为增函数。
，得
，与
矛盾
当当
时，时，
当
时，
，恒有
；
而
所以
所以对任意 设所以所以
，则
在R上为增函数。