函项逻辑（FunctionLogic）与关系逻辑（the Logic of Relations）在分析传统中都相当重要，它们分别构成了弗雷格主义与罗素主义的基础部分。相比较而言，函项逻辑更为流行，并且在某种意义上可以涵盖关系逻辑，因此，专门讨论函项逻辑，这是必要的。学者们通常认为，函项逻辑取代词项逻辑，这是逻辑学的发展中最为重要的一个环节，同时，如果没有这个环节，当代形态的分析哲学将是无法想象的（出处？）。因此，这种讨论以对照词项逻辑（Term Logic）的方式进行，就既容易与前一讲衔接，又便于表现函项逻辑的强大之处。
1. 什么是逻辑分析
“命题（proposition）”这个词在通常的情况下是指句子，但在弗雷格和罗素那里则有专门的涵义。弗雷格与罗素都用“命题”这个词来指句子所表达的能够称其为知识的内容。在逻辑中通常要求句子所表达的知识性的内容，在结构上与句子对应，因此，在只关心结构的情况下，“命题”这个词是指句子还是指内容，不会造成影响。我们也可以通过句子结构来谈论内容是如何构成的，因此，当我们谈到命题的结构时，即可以指句子结构，也可以指构成句子内容的成分。
人们研究逻辑的最初目的，是想获得严格可靠的推理。在逻辑中实现这种可靠性的方法是，用一种数学结构来表示命题，从而用数学结构间的关系，来表示推理，使得推理是否有效，可以通过数学结构来加以判断。
按照这个目的，就必须以恰当的数学结构来表示命题，这种结构能够解释关于这个命题的推理为何是有效的或者无效的。与此同时，这种数学结构也要能够说明新的命题是如何构成的，并且，要能够判断由此构成的命题是不是完整的命题。对特定的句子或者其他具有意义的符号串来说，揭示这种数学结构的过程，就是逻辑分析。
在词项逻辑中，用来构成命题的数学结构是一种集合论结构，而在函项逻辑中，则是代数结构。
在很多时候，人们使用“形式（formal）逻辑”这个词，来说明逻辑中采纳数学结构这一事实。人们认为，使用数学结构的结果是，不必考虑命题的内容就可以判断推理是否有效。但是，这一点不足以使得逻辑成为形式的。逻辑中采用数学结构，目的是要借助数学的严格性来达到推理的严格性；如果这种数学结构本身就具有内容，那么逻辑仍然具有内容。
逻辑是否是形式的，这取决于关于什么是内容的特定解释。我们在康德那里看到了一种解释，按照这种解释，康德心目中的逻辑，即词项逻辑，就是形式的。
2. 词项逻辑
三段论逻辑就属于词项逻辑。“词项逻辑”这个术语是就命题的基本结构而言的，而“三段论逻辑”则是就有效推理的一般形式而言的。三段论逻辑是词项逻辑的一种，后者是一个外延更广的概念。
词项逻辑对于命题结构的分析方式，可以利用康德的概念学说来加以解释。在康德的概念学说中，概念与内容之间的关系是通过集合[1]来确定的。一个概念对应于一个作为外延的集合，因此，对于表达这个概念的词来说，我们可以把这个集合当作是这个词的语义。命题中所有具有语义的成分都是以集合作为语义的，这是词项逻辑的基本特征。这在康德那里是自然的，他按照理性论的方式来解释观念的普遍性，这使得所有概念都要通过性质、进而通过类来确定对象，因而不会有只指称一个对象的概念。
这样，命题中所有具有语义的部分都同样以集合为语义，这些部分统一称为“词项（term）”。命题就是由词项连接而成的。按照建立逻辑的一般原则，这样的连接应当能够解释推理的有效性。因此，词项逻辑中对于命题的解释一般是这样的：命题就是词项按照概念外延间的包含关系结合而成的整体。按照这个思路，推理就可以按照集合之间的包含关系来解释。比如这样一个推理：
1）所有人都是有死的；
2）苏格拉底是人；
3）因此，苏格拉底是有死的。
其中第一个前提（即大前提）说的是，“人”这个概念的外延包含在“有死的”这个概念的外延中，即前者是后者的子集；第二个前提则是说“苏格拉底”这个概念的外延（这是一个由苏格拉底的这个作为唯一成员的集合），包含在“人”这个概念的外延中，从而是后者的子集。按照集合的包含关系的可传递性（即如果A包含在B中，B包含在C中，那么A就包含在C中），我们就可以知道“苏格拉底”这个概念的外延也包含在“有死的”这个概念的外延中，由此得到结论。这样一来，我们就利用包含关系这种集合论结构的数学特性，解释了这个推理为何是有效的。
由此可以看出词项逻辑的一些特征。所有词项都是用集合来解释语义，它们除了对应于不同集合以外，并没有什么其他区别。当然，我们需要一些其他词项，比如系词以及“所有”、“有些”之类的修饰词。系词的作用只有一个，即表示概念的外延之间的包含关系。修饰词则用来对包含关系进行一些限制，例如“所有”表示全部包含，而“有些”则表示部分包含。这些限制都可以通过包含关系的数学特性来得到表现，我们可以利用文氏图来确定，经过各种限制以后，何种推理是有效的。事实上，利用这种直观的方式，我们还可以在词项逻辑的框架中解释否定命题。
由于利用的是包含关系，词项逻辑所理解的命题都是由两个词项构成。由于利用包含关系的可传递性来解释推理，词项逻辑所理解的推理也常常采用三段论的形式。其他形式的命题和推理都要利用两个词项构成的命题，以及三个命题构成的推理来加以解释。这种解释有时候是很笨拙的，有时候干脆是不可能的。比如，我们用另外一种形式来描述前面给出的那个推理：
1）“人”这个概念的外延包含在“有死的”这个概念的外延中；
2）“苏格拉底”这个概念的外延包含在“人”这个概念的外延中；
3）因此，“苏格拉底”这个概念的外延包含在“有死的”这个概念的外延中。
这个推理的每个命题都不仅谈到了一个概念的外延，而且谈到了包含关系，因此实际上包含了三个词项。如果我们分别用“A”、“B”、“C”这三个词项来分别表示“‘苏格拉底’这个概念的外延”这个概念、“‘人’这个概念的外延”这个概念，以及“‘有死的’这个概念的外延”这个概念，那么三个命题就依次是由B与C，A与B，以及A与C这三对词项，再加上“包含在…中”这个词项构成的。我们不能把各命题中的三个词项算作两个，比如把1）看成是由B与C算作一个词项，再加上“包含在…中”这个词项构成的，并且类似地把2）中的A与B算作一个词项，3）中的A与C算作一个词项。因为这样一来三个命题就只有“包含在…中”这个词项是共同的，我们无法利用包含关系来解释这样的推理是如何有效的。经过考察可以发现，其他的组合方式也无法解决这个问题。这是一个很奇怪的现象，因为这个推理中的三个命题，其实都是利用词项逻辑的方式，对前面那个推理中相应命题进行解释得到的形式。
词项逻辑不能解决这样的问题，这应当算是一个技术上的弱点。如果命题和推理确实可以用数学结构来表示，并且这种表示能够解释推理的有效性，那么词项逻辑的问题就在于采用了不恰当的数学结构，来充当对命题进行逻辑分析的基础结构。一般说来，设计这样的基础结构，有些像用规格单一的积木，来拼成各种各样的图案。这样的基础结构应当有足够的弹性，以适用于多种多样的命题形式，其次，这样的基础结构应当足够抽象，从而含有足够少的特征，这样才能够利用一种统一的方式，来分析复杂多样的命题。包含关系显然不满足这些要求。
3. 函项逻辑
弗雷格在制订函项逻辑的基本思路时利用了数学中的函数形式，这似乎只是一种类比。但是，这里我们会严肃地对待这种形式。弗雷格用于逻辑的那种形式，并不是一种类似于数学函数的结构，而就是那种结构。
3.1 对象与概念
词项逻辑的语义学（semantics）以观念理论为基础，并且是以经过康德解释了的理性论为基础；函项逻辑则不在这个基础上。弗雷格有意以一种防御性的姿态建立函项逻辑。他希望自己建立的逻辑没有观念理论插足的余地。为此，他要对“概念（concept）”这个概念作出不同的界定。
按照康德的理解，概念只是观念的形式，而只有与直观结合在一起、从而具有完整内容的观念才对应于特定的对象，因此一个概念对应于对象的类或集合，并以这个类或集合为语义。在这种意义上，逻辑仅仅关系到命题的形式部分，内容则是由观念的其他部分确定的。与此相对照，弗雷格要建立的逻辑不仅要把形式的部分包含在内，而且也要包含内容，这样就不会为直观留下任何余地了。我们可以这么说，在康德那里，逻辑从属于观念理论，它只处理形式的那部分，因此是先有观念理论后有逻辑；而在弗雷格这里，从一开始就没有观念逻辑，而只有逻辑，因此形式与内容的区分是在逻辑之内作出的。
在弗雷格所理解的命题中，不仅仅包含对应于类的概念，而且包含对应于单个对象的成分。比如，在“苏格拉底是人”这个句子中，“苏格拉底”这个词的意义可以不是理解为指一个类或集合，这个类或集合中只包括苏格拉底这个人；而是理解成直接就是指苏格拉底这个人。弗雷格的要求是，在任何句子中，都必须有词项被用来指一个对象。
这样做并不是禁止把“苏格拉底”理解成概念。我们确实可以这么理解，不过如果真要这么理解，“苏格拉底”就要理解成我们就某个对象所把握到的概念。比如在“这就是苏格拉底”这个句子中，我们在说这个句子时辅以手势，就指出了站在面前的一个对象，这个对象就是“苏格拉底”这个概念的实例。这样，对于“苏格拉底是人”这个句子，如果把“苏格拉底”理解成概念，弗雷格建议的解释就是“对于任何一个东西，如果它是苏格拉底，那么它就是人”。其中就利用“它”来指出一个对象。
由此我们可以明白弗雷格这么做的目的。在康德的观念理论中，对象最终是通过直观来确定的，因此只有通过直观，命题才能到达对象；而在弗雷格这里，命题本身就可以到达对象，这样就没有直观插手的余地了。在康德那里，概念与实例之间是由直观建立联系的；而在弗雷格这里，利用命题“这是……”就可以做到。
这样，在弗雷格的逻辑中就会有两种不同的词项，一种指对象，另外一种指概念，命题要由这两种词项构成。
3.2 命题的函项结构
“函项”这个词实际上就是数学中的“函数（function）”。函数既可以解释为一种数学结构，又可以解释为一种变换操作。比如y=x2+3x+2，当作为数学结构时，它以抛物线的形式出现；而当作为一种变换操作，则表示在变元x取一个值时，如何得到y的与之相对应的确定的值。
作为一种数学结构，方程式y=x2+3x+2的结构就是重要的。它影响了抛物线的位置或者形状。而作为一种变换操作，这个方程就表示当自变元在定义域内取特定值时，总是有唯一的函数值与之对应。这时，人们把一个函数解释成从自变元到函数值的映射（单射），并且可以忽略函数式的内部结构。
一般而言，前一种解释可以在后一种解释的基础上得到，但反过来则不行。原因是，作为数学结构，变元的取值顺序是不重要的；但这种取值顺序却是变换操作不可缺少的特征。比如，y=x2+3x+2作为数学结构是一条二次曲线，无论是先为x取值，还是先为y取值，都不会影响这个曲线；但是作为数学变换，则只能先为x取值，再确定y值，而先为y取值，却不能确定x的值。这是因为当y取一些值时，x可以取两个值，而不是唯一一个值。数学结构缺少数学变换的那种方向性，因此，人们首先是把函数理解成数学变换，而不是数学结构。当然，由于可以从数学变换得到相应的数学结构，在一种派生的意义上，我们也可以把函数理解成数学结构。
这样一来，方程y=x2+3x+2中等号后面的那部分就表示一个数，即y所取的值——它不表示一个包含了x的算式，而是表示这个算式经过计算得到的值。因此，这个算式必须是能够计算的，而不能像“x2=+3x”这样的不能计算的式子。
函项逻辑的灵感是，把得到命题的数学结构解释为与函数对应的数学结构，也就是说，理解成本质上是表示函数这样一种数学变换的结构。其核心想法是把命题结构区分成两部分，一部分类似于方程y=x2+3x+2中等号后面的那部分，称其为“函项”，另一部分则作为变元的值，称为“主目（argument）”，即数学中所说的“自变元”。例如，“苏格拉底是人”这个句子，就分析为函项“x是人”与主目“苏格拉底”，如果把主目作为变元x的值代入函项，就得到命题“苏格拉底是人”。
作为一种函数结构，命题应当有取值，就像方程y=x2+3x+2中的y那样。弗雷格把真值（包括真和假）作为命题的值。关于这一点的解释我们留到下一讲，这里暂且按下。函项本质上是一种数学转换，因此命题结构所表示的就应当是真值，而命题表明了真值是如何得到的。这样说来，正如在y= x2+3x+2中“x2+3x+2”表示数一样，命题的语义就是真值。这意味着，只有能够具有真值的，才算是完整的命题。
这里要注意的是，就像在方程式中那样，命题中的函项一定要带上变元，以表明在哪里和怎样取值。比如，“x杀死y”这个带有两个变元的函项，要在前后两个位置上都取值，才能得到完整的命题结构；而这个函项与“x杀死x”这个函项显然是不同的，后者要求在前后两个位置上取相同的值。
按照对象与概念的区分，函项的语义是概念，而主目的语义则是对象。例如，在“苏格拉底是人”中，“苏格拉底”表示对象，即苏格拉底这个人，而“x是人”则表示函项。需要注意，对象与概念的区分，是建立在命题结构的主目-函项之分的基础上的，而不是说，有些东西本身就是概念或者对象。比如苏格拉底这个人是一个对象，这是因为我们用“苏格拉底”这个充当主目的词来指称它。如果我们把“苏格拉底是人”这个命题理解成是由“苏格拉底是x”与“人”构成的，那么前者虽然带有“苏格拉底”这个词，它所指的仍然是概念。
对命题结构的这种解释，一个直接的好处是具有词项逻辑所不具备的灵活性。由于在一个命题中可以有多个主目，它就允许有更为复杂的结构。比如“A包含B”这个句子，就可以分析成“x包含y”这个函项，以及“A”与“B”两个主目。
函项解释的另外一个好处是，可以非常方便地实现迭代。常常可以看到用一个句子或者一个句子的变化形式，来充当另外一个句子的成分的情况。比如，“如果奥巴马赢得了弗吉尼亚州，他就赢得了总统大选”这个句子，就是由“奥巴马赢得了弗吉尼亚州”与“奥巴马赢得了总统大选”这两个句子组合而成的，并且，这个组合而成的句子还可以充当其他句子的成分，从而构成更长的句子，如此等等。这种情况就是迭代。利用函项容易解释迭代的情况。数学中的函数本身就是可迭代的，也就是说，一个函数的函数值可以充当自变元，来构成复合函数。事实上，句子的迭代就是通过函数的迭代来解释的。这样就可以解释，为何在语言中总是可以组成无限复杂的句子。
3.3 对句子的函项分析
即使像前面所说的那样了解了什么是函项结构，我们仍然不知道，对任意给出的句子，我们应该如何分析它的命题结构。比如像“苏格拉底是人”这个句子，它究竟是由函项“x是人”与主目“苏格拉底”构成，还是由“苏格拉底是x”与“人”构成，还是由“x是y”以及“苏格拉底”、“人”构成的。事实上，弗雷格从数学上为函项结构给出了非常有效的界定，使得在任何一个足够大的语言背景下，都总是可以以足够确切的方式分析句子的命题结构，并且从这种分析所提供的句子成分出发，构成完整的命题。
为了掌握这套界定，需要一些准备性的定义与说明。
先定义“表达式（expression）”这个词。表达式就是句子中的这样一些符号串，它们能够作为单独表达意义的部分分离出来，构成其他有意义的句子。比如“苏格拉底”、“人”以及“苏格拉底是人”这样的符号串都是表达式，但“格拉底是人”却不是表达式。像“乞力马扎罗”这样的名称是表达式，符号串“马扎罗”在充当名称时（比如某个人名）也是表达式，但是，“马扎罗”作为从“乞力马扎罗”中分离出来的符号串，却不是表达式。因此，“乞力马扎罗”不是由其他表达式构成的表达式。
作为一种极限情况，一个句子也可以算作一个表达式。人们也可以依据自己的喜好把句子与表达式分开。
在一个句子中，充当函项结构的主目的表达式，被弗雷格称为“名称”，而充当函项的表达式则称“概念词”。弗雷格意义上的名称包括像“世界上最高的人”这样的摹状词（description），这是一种比较宽泛的用法。
概念词中变元所在的位置可以称为空位。具有空位的表达式被弗雷格称为是“不饱和的”或者“不完整的”。我们可以把空位形象地理解成一个待填充的位置，这样理解显然适用于表达式的物理形态。“x是人”这个概念，我们也可以写作“（）是人”，从而表明这个空位究竟在哪里。不过，我们不能赋予这个说法以过多的涵义。我们甚至可以不解释它，而就像化学中的“化合价”那样，理解为表达式之间相互结合的能力。关于这种能力我们很快就会提到。
特定概念词的空位的数量和位置都是固定的，空位之间的关系（即哪些空位要取相同的值）也是固定的。
名称就是不含空位的表达式。当名称充当某个变元的值时，就说这个名称填充了概念词中的空位。
有了上述说明以后，就可以来看如何对句子进行函项分析。分析句子的函项结构，其约束性的原则有这样三个：
a）所有表达式要么有空位，要么没有空位；
b）只有当一个无空位的表达式填充不饱和的表达式的空位，两个表达式才能连接起来；
c）只有当不饱和表达式的所有空位都得到填充，才能得到完整的命题。
这三个原则中的第一个关系到表达式的分类，这意味着名称与概念词是相互排斥的类别，并且它们穷尽了所有表达式。第二个原则解释了表达式之间是如何连接的。这种连接无需借助粘合剂或者中间环节之类的任何其他东西。第三个原则说明了什么样的表达式才表达完整的命题。关于这一点，弗雷格的想法是有变化的。在早些时候，特别是写作《概念文字》的时候，弗雷格认为句子与名称是不同的，因此要表达命题，就必须有不饱和表达式，并且其所有空位都要得到填充。而到了晚些时候，弗雷格把句子也算作名称，这样，表达式只要不含空位，就是完整的。在后面的内容中，我们仍然把句子与名称区分开，以避免一些不自然的说法。
这三个原则一起，就可以对同一个语言之内的句子进行确定的分析，也就是说，把句子中包含的表达式，按照唯一一种方式都分离出来，并且，按照这些原则，还可以把这些表达式拼合成数量无限的完整句子。
例如，前面我们遇到的“苏格拉底是人”这个句子，似乎既可以分析成“苏格拉底”与“x是人”，也可以分析成“苏格拉底x”与“是人”。但是，只要我们注意到，在我们的语言中可以有“格劳孔转向苏格拉底”这样的句子，就可以发现苏格拉底必须是没有空位的。因为，如果它有空位，空位就不能在前面，在“苏格拉底是人”这个句子中，“苏格拉底”前面没有接任何表达式；同理，从“格劳孔转向苏格拉底”这个句子可以看出，空位也不在“苏格拉底”后面。这样，我们就可以否认能把“苏格拉底是人”分析成“苏格拉底x”与“是人”。
当然，我们也可以把“苏格拉底是人”这个句子分析成“苏格拉底”、“x是y”以及“人”这三个部分构成，因此这个句子仍然有不止一种分析方式。对这个问题我们可以有两种不同的理解。一种方式是同意可以这么分析，但认为这种方式并不与前面那种方式构成排斥关系。我们可以认为，这个句子可以先分析成“苏格拉底”与“x是人”，而后再把“x是人”分析成“x是y”与“人”的一种组合结构。这样一来，原来那个句子仍然是只有一种分析方式，只不过这种方式是分多个步骤进行，我们不能认为在进行到不同步骤时得到的产物，构成了对句子的不同的分析。
另外一种理解方式是，否认可以把“x是人”分析成“x是y”与“人”的一种组合结构，理由是，这样分析是参照像“人是有死的”这样的句子进行的，但这样的句子中虽然“人”前面没有出现空位，但在这样的句子实际上表达的命题结构中，却有这样的空位。前面我们已经看到，这个句子表达的命题结构可以是“对任何东西来说，如果它是人，那么它是有死的”，“人”仍然是作为概念词出现的。它只是在表面上是名称，但表示的并不是对象。这种理解的要点是，必须分清句子结构与命题结构。句子结构是表面上看起来的结构，而命题结构则是句子所表达的内容的结构。所有命题结构都可以用相应的句子结构来表达，因此我们可以借助句子结构来分析命题结构，但这种分析并不总是与句子结构相吻合。
这两种回应方式就“人”这个表达式的理解而言是相互排斥的，但就函项结构分析而言并不排斥。它们表明了这种函项分析的两个不同侧面的特性。前者说明了对句子进行的函项分析在何种意义上是确定的，后者则说明了这种函项分析的结果并不总是与句子的表面结构吻合。
3.4 逻辑普遍性
弗雷格与康德就逻辑观念而言的一个区别是，康德在观念理论的框架内解释知识的普遍性，而弗雷格则在函项逻辑的框架中解释。弗雷格的这种解释导致了逻辑普遍性的概念。
对康德来说，知识的普遍性就在于，观念中的形式要素，即概念，可以运用于不同的直观内容，因此，普遍性进而体现为，概念对应于外延，而外延则是由概念的实例（即对象）构成的集合。概念与相应外延间的关系，则是由某种观念机制保证的。
弗雷格没有这种类型的机制可用。在函项逻辑中，对象与概念之间的关系是通过形如“这是……”的句子为真来保证的。在这样的句子中，对象与概念均是通过语言的手段引入的，这就是名称与概念词。普遍性的原初涵义是指，对于不同的对象（或者在不同时刻给予我们的对象），我们有相同的把握。在函项逻辑中，弗雷格需要一种方式来体现这一点。他的大体思路是这样的。
“人是有死的”这个句子就表达了普遍的知识。人们通常这样解释这种普遍性，“它说的是，不管是什么东西，只要它是人，它就是有死的”。这种解释恰好就体现在我们前面对这个句子作出的函项分析中，我们把这个句子分析成，“对任何一个东西，如果它是人，那么它就是有死的”。不过这个句子的函项结构并不明显。在抛开一些语气的成分（例如“就”），容易把“如果ξ，那么ζ”，以及“它是人”和“它是有死的”分离出来，进而把后面两句话分别分析成“它”与“x是人”以及“它”与“y是有死的”。难点在于“对任何一个东西”这个表达式该如何处理。
看起来，这个表达式应该理解成变元（variable），因为它表示一个不特定的对象。但是，在概念词中我们就是用变元来表示空位的，句子中的那个表达式应当有不同的意义，它同时也确定了后面出现的两个“它”表示什么。因此，我们可以在这样一种意义上把它看作是一个常项（constant），虽然我们可以任意取一个值，但在“x是人”与“y是有死的”这两个概念词中，相应的变元必须取这同一个值。因此，这个句子的函项结构就是这样的：
如果α是人，那么α是有死的。
在这个结构中，“α”就是现在我们称为“约束变元（bound variable）”的东西。其确切涵义是，在这个结构的范围内，它总是取同一个值，因而可以看作是一个常项，但是，超出这个结构之外，它的值是任意的。这里的关键是，在这个范围内取同一个值，这并不是“x是人”与“y是有死的”这两个概念词的要求，而是出于我们要把这两个概念词连接起来这一目的，而提出的要求。这样一来，在“x是人”与“y是有死的”这两个概念词分别看来，我们都用了确定的名称来填充相应的空位，从而得到完整的句子。
在现在使用的符号系统中，通常用全称量词（universal quantifier）来表现这种结构。我们写成
"x（如果x是人，那么x是有死的）。
要求取同一个值的概念词就用括号括到一起，并用“"”以及后面接的变元记号“x”，来表明哪些变元被约束了，也就是说，哪些变元必须取同一个值。这个范围通常称为全称量词的辖域（domain）。
这种特殊的变元在数学中，特别是在几何证明中，是很常见的。比如，在证明三角形内角和是180度时，要证明的是一个普遍命题，但证明这个命题的方式却是画出一个特定的三角形，并以之为基础展开证明。在证明的过程中，这个三角形总是保持不变的，因而在证明的程序之内出现的命题，所提到的总是特定的那个三角形，我们可以说“三角形”这个表达式是常项。得到证明的那个命题之所以是普遍的，是因为证明过程所借助的那个三角形是任意的，在证明过程的范围之外，“三角形”这个表达式是变元。
按照这种方式分析出的函项结构，还是会有两种解释，这两种解释针对的是全称量词。按照一种解释，全称量词要解释成“所有”，比如，“"x（x是人）”就解释成“对所有东西，它都是人”。按照这样的解释，我们必须按某种方式来列举所有东西，然后逐个确定这些东西是不是人，如果都是，“"x（x是人）”才是真的。另外一种解释则是把全称量词解释成“任意”，也就是把“"x（x是人）”解释成“对任意东西，它都是人”。按照这样的解释，在列举所有东西并确认这些东西都是人后，我们会认为那个全称句是真的；区别在于，即使不能列举所有东西，我们仍然可以确定全称句是不是真的，方法是，任意选取一个东西，看它是不是人。这里的关键是，“任意”解释允许单独确定全称句是否真，而不必确定世界中有哪些东西。
有理由认为，弗雷格所理解的普遍性就是“任意”解释的全称结构。这可以解释他单独制定逻辑公理，而不去考虑实在中有什么东西的做法。按照“任意”解释，普遍命题是否为真，取决于这个命题中所包含的概念词，或者说，概念之间的关系、或者概念性的结构，保证了普遍命题为真。比如“人是有死的”这个句子，它之是否为真，取决于“人”和“有死的”这两个概念之间的联系，而不取决于“人”或“有死的”这些概念是否具有实例。能够把握这种使得普遍命题为真的概念联系，也就能够单独地确定普遍命题是否为真。这样，弗雷格就在函项逻辑的基础上，把普遍性与命题的概念结构重新联系起来，而不必像康德那样借助于直观或者观念。
在函项逻辑中，除了全称量词，还可以引入存在量词。像“有些东西是人”就使用了存在量词。现在，人们通常把存在量词表示为形如“$x（x是人）”这样的形式。存在量词可以用全称量词来定义，例如“$x（x是人）”的意思就可以表述成“并不是所有的东西都不是人”，即“并非"x（x不是人）”。与全称量词一样，存在量词也表达了普遍性。
句子“"x（x是人）”以及“"x（x是有死的）”中，共同的部分是“"x（x……）”，它表示普遍性。这时“是人”以及“是有死的”虽然是概念词，但当填充到“"x（x……）”的空位中，仍然得到完整句子。因此可以把“"x（x……）”当作一种新的概念词，用来填充这种概念词空位的是像“x是人”以及“x是有死的”这样的概念词，这两种概念词是通过对变元进行约束结合起来的。因此，弗雷格把“x是人”与“x是有死的”这样的概念词称为“一阶函项（first order function）”，它们表示一阶概念（first order concept）；而把“"x（x……）”这样的函项称为“二阶函项（second order function）”，它们表示二阶概念（second order concept）。
3.5 概念分析
在康德的概念学说中，可以利用概念的内涵或者外延来确定一个概念，进而，可以利用内涵或者外延之间的关系，来确定概念之间的关系。这种关系的一般模式就是一个概念包含在另外一个概念中，这样一来，就有一种康德式的概念分析，即找出一个概念的内涵中包含有哪些别的概念。在最好的情况下，我们能够列举一个概念的内涵中包含的所有概念，于是就可以用这些概念来定义这个概念。比如，如果“理性”和“动物”就是包含于“人”这个概念的内涵中的所有概念，那么“人是理性动物”就是对“人”这个概念的定义。
概念间在内涵上的包含关系，恰好与外延间的包含关系相反。如果概念A在内涵上包含了概念B，那么B的外延中就包含了A的外延。概念外延间的包含关系就是概念实例所构成的集合之间的子集关系，因此，如果B的外延中包含了A的外延，那么A的外延就是B的外延的子集。由于子集关系是可传递的，一个概念就外延而言所包含的所有概念，都包含在就外延而言所有包含它的概念中；对内涵来说，这种包含关系也是成立的。
我们可以用概念按照内涵的包含关系建立一种层级结构。如果概念A在内涵上包含了B，那么B就位于A的下方；用来定义的概念位于被定义的概念下方。这样，我们可以从一个概念出发，对这个概念的分析，就是沿着层级向下，寻找用来定义它的那些概念，然后又从这些用来定义的概念出发，一直向下延伸。越往下，概念的内涵也就越简单，当到达最底层的时候，就得到了不可分析的概念，这就是最基本的概念。
在康德式的概念分析模式中，只要确定了最基本的概念，所有其他概念也就可以确定下来了。因为，要确定其他这些概念，需要的仅仅是在最基本的概念中作出选择，并把选出的概念组合成要确定的那个概念。由于把概念组合在一起的方式也是由概念所确定的，为了把选出的概念组合到一起，需要做的也不过是另外选出一个用来确定组合方式的概念。因此，最终说来，这些概念是以并列的方式构成新概念的。
如果说，理解一个概念，也就是把握这个概念的内涵，那么康德式的概念分析，就不会提供知识。为了理解这一点，我们不妨注意，任意概念的内涵最终都取决于从该概念出发，沿着上述层级结构向下，能够到达哪些最为基本的概念。如果概念具有确定内涵，与之对应的就有确定的基本概念；把握了这个概念的内涵而没有把握这些基本概念，这是不可能的。由于定义一个概念的那些概念都在同一个层级结构中，并且共享同样的基本概念，把握了被定义的概念而不同时把握那些用来定义的概念，这就是不可能的。在这一前提下，知道一个已经把握了的概念如何定义时，所知道的就并没有超出就这个概念所把握到的东西。
把弗雷格的概念分析模式与康德的模式进行对比，确实很能说明问题。
在弗雷格这里，概念首先不是作为包含其他概念的东西出现的，而是首先作为映射，作为一种操作出现。比如“x是人”这个概念，就是从对象的集合（我们称为函项的定义域[domain]）到真值的映射。我们可以把这个概念理解为从某个对象出发，确定相应真值的方法，而这种方法通过概念的表达式结构表示出来。比如在y=x2+3x+2这个函数中，等号后面的代数结构所表示的，就是对所取的x值做何种运算，就能得到y所表示的函数值。相应地，“x+y=3”这个有两个主目的概念词，也是表示一种复合的运算，即先对两个变元所取的值求和，然后看所得到的和是否与3相等。这个解释不同于康德在观念理论的基础上给出的解释，康德会将其解释为基于先天直观的一种结构性的综合，x与y所取的值同时呈现，并在这种综合中结合起来。求和可以是一种连续进行的过程，比如可以把这种过程看成“+1”这个运算的若干次重复，这样，“x+y”就可以定义为对x连续进行y次“+1”运算；而在康德式的综合中，y是一次性给出的。
如果把概念理解为映射，那么概念间的复合关系就可以解释成映射的迭代。y=x2+3x+2这个函数可以看作是两个函数的迭代构成的复合函数，这两个函数分别是y=z+2和z= x2+3x，把后者代入前者，就得到复合函数y=x2+3x+2。同样，对于某个概念“F(x)”[2]来说，我们可以在这样一种意义上将其视为复合概念：定义一个从x的定义域到另外一个对象集合的映射f，y=f(x)，然后定义一个从该对象集合到真值的映射“G(y)”；如果对于x定义域中的任意对象α，G(f(α))的真值都与F(α)相同，那么概念“F(x)”就是由映射y=f(x)与概念“G(y)”复合而成的。映射y=f(x)可以看作是一个有两个空位的概念（比如，在一夫一妻制的社会中，“y=x的现任妻子”就表示一个映射，这个映射的前域，即x的定义域，是所有已婚男士构成的集合。这个映射也可以表述成“y是x的现任妻子”这样一个表示关系的概念词），这样，概念“F(x)”就是由两个概念复合而成的了。
在这样的概念分析中，如果映射f是一个一一映射，也就是说，不仅对于x取值范围中的任何一个对象，y的取值范围都只有唯一一个对象与之对应，而且对y取值范围中的任何一个对象，在x的取值范围中也都只对应唯一一个对象，在这种情况下，就会有一个从y到x的逆映射，即x=f -1(y)，因而，概念“F(x)”就可以分析成“F(f -1(y))”。这种分析与前面一段所描述的那种分析不同，前面那种分析对于映射操作给予了不同的解释，这里的分析则是对充当主目的对象给予了新的解释。
弗雷格关于算术的逻辑主义计划，就是以这种概念分析为框架进行的。要在逻辑的基础上建立算术知识，实际上就是把专门适用于数（最为基础的部分是自然数）的概念（例如加法、减法、大于等等）分析成一般性概念的复合形式，这些一般性概念并不特意要求适用于特定对象，因而只受制于逻辑。弗雷格的做法是，先利用一般性的概念，来构造出与单个的自然数一一对应的映射，对这种映射可以以一种系统性的方式加以刻画，从而避免了逐个指定映射关系。我们假定这种映射就是从自然数n到一种新的对象e的映射，e=g(n)。这个过程就是对单个自然数进行定义的过程。然后，对于适用于数的概念“G(x)”，寻找一个相应的适用于e的概念“Ф(e)”，使得对于任意自然数n，G(n)与Ф(g(n))都具有相同真值。如果这个过程是成功的，弗雷格就同时对自然数与专门适用于自然数的概念，作出了新的解释，从而把算术知识建立在逻辑的基础上了。
与康德式的概念分析相似，弗雷格式的概念分析也是把一个给定的概念分析成若干概念复合的形式，并且把这种复合形式理解为给定概念的定义。但是，由于对概念的解释不同，弗雷格心目中的概念分析就有一些不同的特征。
首先，在弗雷格这里，对概念的把握并不是以独立于命题的方式获得的。在康德那里，命题所抓住的是概念间的关系，但概念只是观念的形式，而对概念的把握则要求完整的观念，因此命题只能部分地表明什么东西被把握的。而弗雷格对于概念的处理则完全结合命题的形式进行，把握一个概念，就是知道由相应概念词参与构成的句子何时是真的。因此，弗雷格能够在函项逻辑的框架内界定就概念而言能够把握的东西。事实上，在《概念文字》中，弗雷格就把逻辑当作是对句子表达的概念性的内容（conceptual content）的研究。弗雷格不必把概念限制在形式上。
在康德那里，概念只是对直观性的内容进行切分的网格，因此，概念间的包含关系最终受制于“概念上的区别只是对同一套内容进行的不同切分”这一事实，而发现这种包含关系，并不带来新的内容。但是，在弗雷格这里，对概念的把握，却能够是一种新的发现。这种发现表现为，知道一些命题是真的。
弗雷格式的概念分析可以表现为概念在结构上的组合关系，而这种组合关系从表达式结构上就得到了表现。例如，当“G(n)”被分析成“Ф(g(n))”，概念上的复合关系就表现为表达式结构上的组合关系。我们会认为，概念词的意义已经在那里，概念分析只是用更加复杂的表达式来表示它。然而，把“G(n)”分析成“Ф(g(n))”，实际上是分析成概念“Ф(e)”与函数“e=g(n)”，而这是构造新对象e的过程，也就是说，是一个创造性的过程。这种创造性也出现在几何证明的过程中。在证明几何命题时，人们很有可能通过其他途径知道，待证明的那个命题是真的，但仍然不知道该如何证明它。在证明时，人们需要一些聪明才智，需要自己创造条件，比如作出恰当的辅助线，使得证明过程一目了然。在弗雷格式的概念分析中，这种创造性就体现在，即使把握了“G(n)”这个概念，仍然可能不知道它可以分析成概念“Ф(e)”与函数“e=g(n)”的复合；或者，即使有人告诉我们可以这么分析，并且我们也把握了这个概念与那个函数，我们也看不出事实确实如此。
这里，问题的关键是，在弗雷格这里，概念的内容不是概念这个盒子里装的东西，而是从对象到真值的映射关系。我们最好是把概念理解成从一点到另一点的路径，如果能够从前一点走到后一点，我们就把握了这个概念。但是，对一个概念的把握，并不排除有可能用第三点来开辟出新的路径，这条路径也许因为第三点的加入，而通往我们原来不曾去过的地方。
既然对概念的把握并不决定只能如何分析这个概念，对概念分析在原则上就允许有多种方式进行，而这与前面讨论对句子进行函项分析时所指出的内容相冲突，在那里我们看到，句子最终只有一种分析方式。事实上，这种冲突并不存在。概念分析总是要体现在表达式结构上，因此最终表现为句子的函项结构。当对句子进行函项分析时，确实只有一种最终的结构，但这是有前提的，即要在同一种语言中。一个不饱和的表达式如果在一种情况下空位在前，在另外一种情况下空位在后，那么它的意义也就发生了变化，我们会说这是一种语言上的变化；如果没有这种变化，这个表达式的函项结构仍然是确定的。在弗雷格式的概念分析中，原来的基本概念，例如数学中的加法不再是最基本的，更为基本的概念被引进来，原来的函项结构发生了变化，这也是语言发生了变化的情况。语言发生了扩展，变得更加丰富。此时函项结构的确定性仍然成立，因为在新的、把原来的语言作为部分包含在内的语言中，函项分析得到的最终仍然是同一种结构。
[1] 在前一讲我们使用的术语是“类（class）”，而在这里使用“集合（set）”这个术语。严格地讲，这两个术语的意义是不同的，当前的公理集合论中也确实作出了区分。然而从康德直到弗雷格和罗素的时代，这个区分都没有作出来。为了讨论的方便，我们这里也不区分类与集合。这不会影响我们的理解。
[2] 当我们把概念词中的空位统一写在后面，其他部分用符号来表示，就得到这种形式。空位的位置和关系就用括号中的变元记号的顺序来表示，比如，如果用“R(x, y)”来表示“…在…下面”时，“x”就固定地表示“…在…下面”前一个省略号中的名称，而“y”则固定表示后一个省略号中的名称。
函项逻辑（FunctionLogic）与关系逻辑（the Logic of Relations）在分析传统中都相当重要，它们分别构成了弗雷格主义与罗素主义的基础部分。相比较而言，函项逻辑更为流行，并且在某种意义上可以涵盖关系逻辑，因此，专门讨论函项逻辑，这是必要的。学者们通常认为，函项逻辑取代词项逻辑，这是逻辑学的发展中最为重要的一个环节，同时，如果没有这个环节，当代形态的分析哲学将是无法想象的（出处？）。因此，这种讨论以对照词项逻辑（Term Logic）的方式进行，就既容易与前一讲衔接，又便于表现函项逻辑的强大之处。
1. 什么是逻辑分析
“命题（proposition）”这个词在通常的情况下是指句子，但在弗雷格和罗素那里则有专门的涵义。弗雷格与罗素都用“命题”这个词来指句子所表达的能够称其为知识的内容。在逻辑中通常要求句子所表达的知识性的内容，在结构上与句子对应，因此，在只关心结构的情况下，“命题”这个词是指句子还是指内容，不会造成影响。我们也可以通过句子结构来谈论内容是如何构成的，因此，当我们谈到命题的结构时，即可以指句子结构，也可以指构成句子内容的成分。
人们研究逻辑的最初目的，是想获得严格可靠的推理。在逻辑中实现这种可靠性的方法是，用一种数学结构来表示命题，从而用数学结构间的关系，来表示推理，使得推理是否有效，可以通过数学结构来加以判断。
按照这个目的，就必须以恰当的数学结构来表示命题，这种结构能够解释关于这个命题的推理为何是有效的或者无效的。与此同时，这种数学结构也要能够说明新的命题是如何构成的，并且，要能够判断由此构成的命题是不是完整的命题。对特定的句子或者其他具有意义的符号串来说，揭示这种数学结构的过程，就是逻辑分析。
在词项逻辑中，用来构成命题的数学结构是一种集合论结构，而在函项逻辑中，则是代数结构。
在很多时候，人们使用“形式（formal）逻辑”这个词，来说明逻辑中采纳数学结构这一事实。人们认为，使用数学结构的结果是，不必考虑命题的内容就可以判断推理是否有效。但是，这一点不足以使得逻辑成为形式的。逻辑中采用数学结构，目的是要借助数学的严格性来达到推理的严格性；如果这种数学结构本身就具有内容，那么逻辑仍然具有内容。
逻辑是否是形式的，这取决于关于什么是内容的特定解释。我们在康德那里看到了一种解释，按照这种解释，康德心目中的逻辑，即词项逻辑，就是形式的。
2. 词项逻辑
三段论逻辑就属于词项逻辑。“词项逻辑”这个术语是就命题的基本结构而言的，而“三段论逻辑”则是就有效推理的一般形式而言的。三段论逻辑是词项逻辑的一种，后者是一个外延更广的概念。
词项逻辑对于命题结构的分析方式，可以利用康德的概念学说来加以解释。在康德的概念学说中，概念与内容之间的关系是通过集合[1]来确定的。一个概念对应于一个作为外延的集合，因此，对于表达这个概念的词来说，我们可以把这个集合当作是这个词的语义。命题中所有具有语义的成分都是以集合作为语义的，这是词项逻辑的基本特征。这在康德那里是自然的，他按照理性论的方式来解释观念的普遍性，这使得所有概念都要通过性质、进而通过类来确定对象，因而不会有只指称一个对象的概念。
这样，命题中所有具有语义的部分都同样以集合为语义，这些部分统一称为“词项（term）”。命题就是由词项连接而成的。按照建立逻辑的一般原则，这样的连接应当能够解释推理的有效性。因此，词项逻辑中对于命题的解释一般是这样的：命题就是词项按照概念外延间的包含关系结合而成的整体。按照这个思路，推理就可以按照集合之间的包含关系来解释。比如这样一个推理：
1）所有人都是有死的；
2）苏格拉底是人；
3）因此，苏格拉底是有死的。
其中第一个前提（即大前提）说的是，“人”这个概念的外延包含在“有死的”这个概念的外延中，即前者是后者的子集；第二个前提则是说“苏格拉底”这个概念的外延（这是一个由苏格拉底的这个作为唯一成员的集合），包含在“人”这个概念的外延中，从而是后者的子集。按照集合的包含关系的可传递性（即如果A包含在B中，B包含在C中，那么A就包含在C中），我们就可以知道“苏格拉底”这个概念的外延也包含在“有死的”这个概念的外延中，由此得到结论。这样一来，我们就利用包含关系这种集合论结构的数学特性，解释了这个推理为何是有效的。
由此可以看出词项逻辑的一些特征。所有词项都是用集合来解释语义，它们除了对应于不同集合以外，并没有什么其他区别。当然，我们需要一些其他词项，比如系词以及“所有”、“有些”之类的修饰词。系词的作用只有一个，即表示概念的外延之间的包含关系。修饰词则用来对包含关系进行一些限制，例如“所有”表示全部包含，而“有些”则表示部分包含。这些限制都可以通过包含关系的数学特性来得到表现，我们可以利用文氏图来确定，经过各种限制以后，何种推理是有效的。事实上，利用这种直观的方式，我们还可以在词项逻辑的框架中解释否定命题。
由于利用的是包含关系，词项逻辑所理解的命题都是由两个词项构成。由于利用包含关系的可传递性来解释推理，词项逻辑所理解的推理也常常采用三段论的形式。其他形式的命题和推理都要利用两个词项构成的命题，以及三个命题构成的推理来加以解释。这种解释有时候是很笨拙的，有时候干脆是不可能的。比如，我们用另外一种形式来描述前面给出的那个推理：
1）“人”这个概念的外延包含在“有死的”这个概念的外延中；
2）“苏格拉底”这个概念的外延包含在“人”这个概念的外延中；
3）因此，“苏格拉底”这个概念的外延包含在“有死的”这个概念的外延中。
这个推理的每个命题都不仅谈到了一个概念的外延，而且谈到了包含关系，因此实际上包含了三个词项。如果我们分别用“A”、“B”、“C”这三个词项来分别表示“‘苏格拉底’这个概念的外延”这个概念、“‘人’这个概念的外延”这个概念，以及“‘有死的’这个概念的外延”这个概念，那么三个命题就依次是由B与C，A与B，以及A与C这三对词项，再加上“包含在…中”这个词项构成的。我们不能把各命题中的三个词项算作两个，比如把1）看成是由B与C算作一个词项，再加上“包含在…中”这个词项构成的，并且类似地把2）中的A与B算作一个词项，3）中的A与C算作一个词项。因为这样一来三个命题就只有“包含在…中”这个词项是共同的，我们无法利用包含关系来解释这样的推理是如何有效的。经过考察可以发现，其他的组合方式也无法解决这个问题。这是一个很奇怪的现象，因为这个推理中的三个命题，其实都是利用词项逻辑的方式，对前面那个推理中相应命题进行解释得到的形式。
词项逻辑不能解决这样的问题，这应当算是一个技术上的弱点。如果命题和推理确实可以用数学结构来表示，并且这种表示能够解释推理的有效性，那么词项逻辑的问题就在于采用了不恰当的数学结构，来充当对命题进行逻辑分析的基础结构。一般说来，设计这样的基础结构，有些像用规格单一的积木，来拼成各种各样的图案。这样的基础结构应当有足够的弹性，以适用于多种多样的命题形式，其次，这样的基础结构应当足够抽象，从而含有足够少的特征，这样才能够利用一种统一的方式，来分析复杂多样的命题。包含关系显然不满足这些要求。
3. 函项逻辑
弗雷格在制订函项逻辑的基本思路时利用了数学中的函数形式，这似乎只是一种类比。但是，这里我们会严肃地对待这种形式。弗雷格用于逻辑的那种形式，并不是一种类似于数学函数的结构，而就是那种结构。
3.1 对象与概念
词项逻辑的语义学（semantics）以观念理论为基础，并且是以经过康德解释了的理性论为基础；函项逻辑则不在这个基础上。弗雷格有意以一种防御性的姿态建立函项逻辑。他希望自己建立的逻辑没有观念理论插足的余地。为此，他要对“概念（concept）”这个概念作出不同的界定。
按照康德的理解，概念只是观念的形式，而只有与直观结合在一起、从而具有完整内容的观念才对应于特定的对象，因此一个概念对应于对象的类或集合，并以这个类或集合为语义。在这种意义上，逻辑仅仅关系到命题的形式部分，内容则是由观念的其他部分确定的。与此相对照，弗雷格要建立的逻辑不仅要把形式的部分包含在内，而且也要包含内容，这样就不会为直观留下任何余地了。我们可以这么说，在康德那里，逻辑从属于观念理论，它只处理形式的那部分，因此是先有观念理论后有逻辑；而在弗雷格这里，从一开始就没有观念逻辑，而只有逻辑，因此形式与内容的区分是在逻辑之内作出的。
在弗雷格所理解的命题中，不仅仅包含对应于类的概念，而且包含对应于单个对象的成分。比如，在“苏格拉底是人”这个句子中，“苏格拉底”这个词的意义可以不是理解为指一个类或集合，这个类或集合中只包括苏格拉底这个人；而是理解成直接就是指苏格拉底这个人。弗雷格的要求是，在任何句子中，都必须有词项被用来指一个对象。
这样做并不是禁止把“苏格拉底”理解成概念。我们确实可以这么理解，不过如果真要这么理解，“苏格拉底”就要理解成我们就某个对象所把握到的概念。比如在“这就是苏格拉底”这个句子中，我们在说这个句子时辅以手势，就指出了站在面前的一个对象，这个对象就是“苏格拉底”这个概念的实例。这样，对于“苏格拉底是人”这个句子，如果把“苏格拉底”理解成概念，弗雷格建议的解释就是“对于任何一个东西，如果它是苏格拉底，那么它就是人”。其中就利用“它”来指出一个对象。
由此我们可以明白弗雷格这么做的目的。在康德的观念理论中，对象最终是通过直观来确定的，因此只有通过直观，命题才能到达对象；而在弗雷格这里，命题本身就可以到达对象，这样就没有直观插手的余地了。在康德那里，概念与实例之间是由直观建立联系的；而在弗雷格这里，利用命题“这是……”就可以做到。
这样，在弗雷格的逻辑中就会有两种不同的词项，一种指对象，另外一种指概念，命题要由这两种词项构成。
3.2 命题的函项结构
“函项”这个词实际上就是数学中的“函数（function）”。函数既可以解释为一种数学结构，又可以解释为一种变换操作。比如y=x2+3x+2，当作为数学结构时，它以抛物线的形式出现；而当作为一种变换操作，则表示在变元x取一个值时，如何得到y的与之相对应的确定的值。
作为一种数学结构，方程式y=x2+3x+2的结构就是重要的。它影响了抛物线的位置或者形状。而作为一种变换操作，这个方程就表示当自变元在定义域内取特定值时，总是有唯一的函数值与之对应。这时，人们把一个函数解释成从自变元到函数值的映射（单射），并且可以忽略函数式的内部结构。
一般而言，前一种解释可以在后一种解释的基础上得到，但反过来则不行。原因是，作为数学结构，变元的取值顺序是不重要的；但这种取值顺序却是变换操作不可缺少的特征。比如，y=x2+3x+2作为数学结构是一条二次曲线，无论是先为x取值，还是先为y取值，都不会影响这个曲线；但是作为数学变换，则只能先为x取值，再确定y值，而先为y取值，却不能确定x的值。这是因为当y取一些值时，x可以取两个值，而不是唯一一个值。数学结构缺少数学变换的那种方向性，因此，人们首先是把函数理解成数学变换，而不是数学结构。当然，由于可以从数学变换得到相应的数学结构，在一种派生的意义上，我们也可以把函数理解成数学结构。
这样一来，方程y=x2+3x+2中等号后面的那部分就表示一个数，即y所取的值——它不表示一个包含了x的算式，而是表示这个算式经过计算得到的值。因此，这个算式必须是能够计算的，而不能像“x2=+3x”这样的不能计算的式子。
函项逻辑的灵感是，把得到命题的数学结构解释为与函数对应的数学结构，也就是说，理解成本质上是表示函数这样一种数学变换的结构。其核心想法是把命题结构区分成两部分，一部分类似于方程y=x2+3x+2中等号后面的那部分，称其为“函项”，另一部分则作为变元的值，称为“主目（argument）”，即数学中所说的“自变元”。例如，“苏格拉底是人”这个句子，就分析为函项“x是人”与主目“苏格拉底”，如果把主目作为变元x的值代入函项，就得到命题“苏格拉底是人”。
作为一种函数结构，命题应当有取值，就像方程y=x2+3x+2中的y那样。弗雷格把真值（包括真和假）作为命题的值。关于这一点的解释我们留到下一讲，这里暂且按下。函项本质上是一种数学转换，因此命题结构所表示的就应当是真值，而命题表明了真值是如何得到的。这样说来，正如在y= x2+3x+2中“x2+3x+2”表示数一样，命题的语义就是真值。这意味着，只有能够具有真值的，才算是完整的命题。
这里要注意的是，就像在方程式中那样，命题中的函项一定要带上变元，以表明在哪里和怎样取值。比如，“x杀死y”这个带有两个变元的函项，要在前后两个位置上都取值，才能得到完整的命题结构；而这个函项与“x杀死x”这个函项显然是不同的，后者要求在前后两个位置上取相同的值。
按照对象与概念的区分，函项的语义是概念，而主目的语义则是对象。例如，在“苏格拉底是人”中，“苏格拉底”表示对象，即苏格拉底这个人，而“x是人”则表示函项。需要注意，对象与概念的区分，是建立在命题结构的主目-函项之分的基础上的，而不是说，有些东西本身就是概念或者对象。比如苏格拉底这个人是一个对象，这是因为我们用“苏格拉底”这个充当主目的词来指称它。如果我们把“苏格拉底是人”这个命题理解成是由“苏格拉底是x”与“人”构成的，那么前者虽然带有“苏格拉底”这个词，它所指的仍然是概念。
对命题结构的这种解释，一个直接的好处是具有词项逻辑所不具备的灵活性。由于在一个命题中可以有多个主目，它就允许有更为复杂的结构。比如“A包含B”这个句子，就可以分析成“x包含y”这个函项，以及“A”与“B”两个主目。
函项解释的另外一个好处是，可以非常方便地实现迭代。常常可以看到用一个句子或者一个句子的变化形式，来充当另外一个句子的成分的情况。比如，“如果奥巴马赢得了弗吉尼亚州，他就赢得了总统大选”这个句子，就是由“奥巴马赢得了弗吉尼亚州”与“奥巴马赢得了总统大选”这两个句子组合而成的，并且，这个组合而成的句子还可以充当其他句子的成分，从而构成更长的句子，如此等等。这种情况就是迭代。利用函项容易解释迭代的情况。数学中的函数本身就是可迭代的，也就是说，一个函数的函数值可以充当自变元，来构成复合函数。事实上，句子的迭代就是通过函数的迭代来解释的。这样就可以解释，为何在语言中总是可以组成无限复杂的句子。
3.3 对句子的函项分析
即使像前面所说的那样了解了什么是函项结构，我们仍然不知道，对任意给出的句子，我们应该如何分析它的命题结构。比如像“苏格拉底是人”这个句子，它究竟是由函项“x是人”与主目“苏格拉底”构成，还是由“苏格拉底是x”与“人”构成，还是由“x是y”以及“苏格拉底”、“人”构成的。事实上，弗雷格从数学上为函项结构给出了非常有效的界定，使得在任何一个足够大的语言背景下，都总是可以以足够确切的方式分析句子的命题结构，并且从这种分析所提供的句子成分出发，构成完整的命题。
为了掌握这套界定，需要一些准备性的定义与说明。
先定义“表达式（expression）”这个词。表达式就是句子中的这样一些符号串，它们能够作为单独表达意义的部分分离出来，构成其他有意义的句子。比如“苏格拉底”、“人”以及“苏格拉底是人”这样的符号串都是表达式，但“格拉底是人”却不是表达式。像“乞力马扎罗”这样的名称是表达式，符号串“马扎罗”在充当名称时（比如某个人名）也是表达式，但是，“马扎罗”作为从“乞力马扎罗”中分离出来的符号串，却不是表达式。因此，“乞力马扎罗”不是由其他表达式构成的表达式。
作为一种极限情况，一个句子也可以算作一个表达式。人们也可以依据自己的喜好把句子与表达式分开。
在一个句子中，充当函项结构的主目的表达式，被弗雷格称为“名称”，而充当函项的表达式则称“概念词”。弗雷格意义上的名称包括像“世界上最高的人”这样的摹状词（description），这是一种比较宽泛的用法。
概念词中变元所在的位置可以称为空位。具有空位的表达式被弗雷格称为是“不饱和的”或者“不完整的”。我们可以把空位形象地理解成一个待填充的位置，这样理解显然适用于表达式的物理形态。“x是人”这个概念，我们也可以写作“（）是人”，从而表明这个空位究竟在哪里。不过，我们不能赋予这个说法以过多的涵义。我们甚至可以不解释它，而就像化学中的“化合价”那样，理解为表达式之间相互结合的能力。关于这种能力我们很快就会提到。
特定概念词的空位的数量和位置都是固定的，空位之间的关系（即哪些空位要取相同的值）也是固定的。
名称就是不含空位的表达式。当名称充当某个变元的值时，就说这个名称填充了概念词中的空位。
有了上述说明以后，就可以来看如何对句子进行函项分析。分析句子的函项结构，其约束性的原则有这样三个：
a）所有表达式要么有空位，要么没有空位；
b）只有当一个无空位的表达式填充不饱和的表达式的空位，两个表达式才能连接起来；
c）只有当不饱和表达式的所有空位都得到填充，才能得到完整的命题。
这三个原则中的第一个关系到表达式的分类，这意味着名称与概念词是相互排斥的类别，并且它们穷尽了所有表达式。第二个原则解释了表达式之间是如何连接的。这种连接无需借助粘合剂或者中间环节之类的任何其他东西。第三个原则说明了什么样的表达式才表达完整的命题。关于这一点，弗雷格的想法是有变化的。在早些时候，特别是写作《概念文字》的时候，弗雷格认为句子与名称是不同的，因此要表达命题，就必须有不饱和表达式，并且其所有空位都要得到填充。而到了晚些时候，弗雷格把句子也算作名称，这样，表达式只要不含空位，就是完整的。在后面的内容中，我们仍然把句子与名称区分开，以避免一些不自然的说法。
这三个原则一起，就可以对同一个语言之内的句子进行确定的分析，也就是说，把句子中包含的表达式，按照唯一一种方式都分离出来，并且，按照这些原则，还可以把这些表达式拼合成数量无限的完整句子。
例如，前面我们遇到的“苏格拉底是人”这个句子，似乎既可以分析成“苏格拉底”与“x是人”，也可以分析成“苏格拉底x”与“是人”。但是，只要我们注意到，在我们的语言中可以有“格劳孔转向苏格拉底”这样的句子，就可以发现苏格拉底必须是没有空位的。因为，如果它有空位，空位就不能在前面，在“苏格拉底是人”这个句子中，“苏格拉底”前面没有接任何表达式；同理，从“格劳孔转向苏格拉底”这个句子可以看出，空位也不在“苏格拉底”后面。这样，我们就可以否认能把“苏格拉底是人”分析成“苏格拉底x”与“是人”。
当然，我们也可以把“苏格拉底是人”这个句子分析成“苏格拉底”、“x是y”以及“人”这三个部分构成，因此这个句子仍然有不止一种分析方式。对这个问题我们可以有两种不同的理解。一种方式是同意可以这么分析，但认为这种方式并不与前面那种方式构成排斥关系。我们可以认为，这个句子可以先分析成“苏格拉底”与“x是人”，而后再把“x是人”分析成“x是y”与“人”的一种组合结构。这样一来，原来那个句子仍然是只有一种分析方式，只不过这种方式是分多个步骤进行，我们不能认为在进行到不同步骤时得到的产物，构成了对句子的不同的分析。
另外一种理解方式是，否认可以把“x是人”分析成“x是y”与“人”的一种组合结构，理由是，这样分析是参照像“人是有死的”这样的句子进行的，但这样的句子中虽然“人”前面没有出现空位，但在这样的句子实际上表达的命题结构中，却有这样的空位。前面我们已经看到，这个句子表达的命题结构可以是“对任何东西来说，如果它是人，那么它是有死的”，“人”仍然是作为概念词出现的。它只是在表面上是名称，但表示的并不是对象。这种理解的要点是，必须分清句子结构与命题结构。句子结构是表面上看起来的结构，而命题结构则是句子所表达的内容的结构。所有命题结构都可以用相应的句子结构来表达，因此我们可以借助句子结构来分析命题结构，但这种分析并不总是与句子结构相吻合。
这两种回应方式就“人”这个表达式的理解而言是相互排斥的，但就函项结构分析而言并不排斥。它们表明了这种函项分析的两个不同侧面的特性。前者说明了对句子进行的函项分析在何种意义上是确定的，后者则说明了这种函项分析的结果并不总是与句子的表面结构吻合。
3.4 逻辑普遍性
弗雷格与康德就逻辑观念而言的一个区别是，康德在观念理论的框架内解释知识的普遍性，而弗雷格则在函项逻辑的框架中解释。弗雷格的这种解释导致了逻辑普遍性的概念。
对康德来说，知识的普遍性就在于，观念中的形式要素，即概念，可以运用于不同的直观内容，因此，普遍性进而体现为，概念对应于外延，而外延则是由概念的实例（即对象）构成的集合。概念与相应外延间的关系，则是由某种观念机制保证的。
弗雷格没有这种类型的机制可用。在函项逻辑中，对象与概念之间的关系是通过形如“这是……”的句子为真来保证的。在这样的句子中，对象与概念均是通过语言的手段引入的，这就是名称与概念词。普遍性的原初涵义是指，对于不同的对象（或者在不同时刻给予我们的对象），我们有相同的把握。在函项逻辑中，弗雷格需要一种方式来体现这一点。他的大体思路是这样的。
“人是有死的”这个句子就表达了普遍的知识。人们通常这样解释这种普遍性，“它说的是，不管是什么东西，只要它是人，它就是有死的”。这种解释恰好就体现在我们前面对这个句子作出的函项分析中，我们把这个句子分析成，“对任何一个东西，如果它是人，那么它就是有死的”。不过这个句子的函项结构并不明显。在抛开一些语气的成分（例如“就”），容易把“如果ξ，那么ζ”，以及“它是人”和“它是有死的”分离出来，进而把后面两句话分别分析成“它”与“x是人”以及“它”与“y是有死的”。难点在于“对任何一个东西”这个表达式该如何处理。
看起来，这个表达式应该理解成变元（variable），因为它表示一个不特定的对象。但是，在概念词中我们就是用变元来表示空位的，句子中的那个表达式应当有不同的意义，它同时也确定了后面出现的两个“它”表示什么。因此，我们可以在这样一种意义上把它看作是一个常项（constant），虽然我们可以任意取一个值，但在“x是人”与“y是有死的”这两个概念词中，相应的变元必须取这同一个值。因此，这个句子的函项结构就是这样的：
如果α是人，那么α是有死的。
在这个结构中，“α”就是现在我们称为“约束变元（bound variable）”的东西。其确切涵义是，在这个结构的范围内，它总是取同一个值，因而可以看作是一个常项，但是，超出这个结构之外，它的值是任意的。这里的关键是，在这个范围内取同一个值，这并不是“x是人”与“y是有死的”这两个概念词的要求，而是出于我们要把这两个概念词连接起来这一目的，而提出的要求。这样一来，在“x是人”与“y是有死的”这两个概念词分别看来，我们都用了确定的名称来填充相应的空位，从而得到完整的句子。
在现在使用的符号系统中，通常用全称量词（universal quantifier）来表现这种结构。我们写成
"x（如果x是人，那么x是有死的）。
要求取同一个值的概念词就用括号括到一起，并用“"”以及后面接的变元记号“x”，来表明哪些变元被约束了，也就是说，哪些变元必须取同一个值。这个范围通常称为全称量词的辖域（domain）。
这种特殊的变元在数学中，特别是在几何证明中，是很常见的。比如，在证明三角形内角和是180度时，要证明的是一个普遍命题，但证明这个命题的方式却是画出一个特定的三角形，并以之为基础展开证明。在证明的过程中，这个三角形总是保持不变的，因而在证明的程序之内出现的命题，所提到的总是特定的那个三角形，我们可以说“三角形”这个表达式是常项。得到证明的那个命题之所以是普遍的，是因为证明过程所借助的那个三角形是任意的，在证明过程的范围之外，“三角形”这个表达式是变元。
按照这种方式分析出的函项结构，还是会有两种解释，这两种解释针对的是全称量词。按照一种解释，全称量词要解释成“所有”，比如，“"x（x是人）”就解释成“对所有东西，它都是人”。按照这样的解释，我们必须按某种方式来列举所有东西，然后逐个确定这些东西是不是人，如果都是，“"x（x是人）”才是真的。另外一种解释则是把全称量词解释成“任意”，也就是把“"x（x是人）”解释成“对任意东西，它都是人”。按照这样的解释，在列举所有东西并确认这些东西都是人后，我们会认为那个全称句是真的；区别在于，即使不能列举所有东西，我们仍然可以确定全称句是不是真的，方法是，任意选取一个东西，看它是不是人。这里的关键是，“任意”解释允许单独确定全称句是否真，而不必确定世界中有哪些东西。
有理由认为，弗雷格所理解的普遍性就是“任意”解释的全称结构。这可以解释他单独制定逻辑公理，而不去考虑实在中有什么东西的做法。按照“任意”解释，普遍命题是否为真，取决于这个命题中所包含的概念词，或者说，概念之间的关系、或者概念性的结构，保证了普遍命题为真。比如“人是有死的”这个句子，它之是否为真，取决于“人”和“有死的”这两个概念之间的联系，而不取决于“人”或“有死的”这些概念是否具有实例。能够把握这种使得普遍命题为真的概念联系，也就能够单独地确定普遍命题是否为真。这样，弗雷格就在函项逻辑的基础上，把普遍性与命题的概念结构重新联系起来，而不必像康德那样借助于直观或者观念。
在函项逻辑中，除了全称量词，还可以引入存在量词。像“有些东西是人”就使用了存在量词。现在，人们通常把存在量词表示为形如“$x（x是人）”这样的形式。存在量词可以用全称量词来定义，例如“$x（x是人）”的意思就可以表述成“并不是所有的东西都不是人”，即“并非"x（x不是人）”。与全称量词一样，存在量词也表达了普遍性。
句子“"x（x是人）”以及“"x（x是有死的）”中，共同的部分是“"x（x……）”，它表示普遍性。这时“是人”以及“是有死的”虽然是概念词，但当填充到“"x（x……）”的空位中，仍然得到完整句子。因此可以把“"x（x……）”当作一种新的概念词，用来填充这种概念词空位的是像“x是人”以及“x是有死的”这样的概念词，这两种概念词是通过对变元进行约束结合起来的。因此，弗雷格把“x是人”与“x是有死的”这样的概念词称为“一阶函项（first order function）”，它们表示一阶概念（first order concept）；而把“"x（x……）”这样的函项称为“二阶函项（second order function）”，它们表示二阶概念（second order concept）。
3.5 概念分析
在康德的概念学说中，可以利用概念的内涵或者外延来确定一个概念，进而，可以利用内涵或者外延之间的关系，来确定概念之间的关系。这种关系的一般模式就是一个概念包含在另外一个概念中，这样一来，就有一种康德式的概念分析，即找出一个概念的内涵中包含有哪些别的概念。在最好的情况下，我们能够列举一个概念的内涵中包含的所有概念，于是就可以用这些概念来定义这个概念。比如，如果“理性”和“动物”就是包含于“人”这个概念的内涵中的所有概念，那么“人是理性动物”就是对“人”这个概念的定义。
概念间在内涵上的包含关系，恰好与外延间的包含关系相反。如果概念A在内涵上包含了概念B，那么B的外延中就包含了A的外延。概念外延间的包含关系就是概念实例所构成的集合之间的子集关系，因此，如果B的外延中包含了A的外延，那么A的外延就是B的外延的子集。由于子集关系是可传递的，一个概念就外延而言所包含的所有概念，都包含在就外延而言所有包含它的概念中；对内涵来说，这种包含关系也是成立的。
我们可以用概念按照内涵的包含关系建立一种层级结构。如果概念A在内涵上包含了B，那么B就位于A的下方；用来定义的概念位于被定义的概念下方。这样，我们可以从一个概念出发，对这个概念的分析，就是沿着层级向下，寻找用来定义它的那些概念，然后又从这些用来定义的概念出发，一直向下延伸。越往下，概念的内涵也就越简单，当到达最底层的时候，就得到了不可分析的概念，这就是最基本的概念。
在康德式的概念分析模式中，只要确定了最基本的概念，所有其他概念也就可以确定下来了。因为，要确定其他这些概念，需要的仅仅是在最基本的概念中作出选择，并把选出的概念组合成要确定的那个概念。由于把概念组合在一起的方式也是由概念所确定的，为了把选出的概念组合到一起，需要做的也不过是另外选出一个用来确定组合方式的概念。因此，最终说来，这些概念是以并列的方式构成新概念的。
如果说，理解一个概念，也就是把握这个概念的内涵，那么康德式的概念分析，就不会提供知识。为了理解这一点，我们不妨注意，任意概念的内涵最终都取决于从该概念出发，沿着上述层级结构向下，能够到达哪些最为基本的概念。如果概念具有确定内涵，与之对应的就有确定的基本概念；把握了这个概念的内涵而没有把握这些基本概念，这是不可能的。由于定义一个概念的那些概念都在同一个层级结构中，并且共享同样的基本概念，把握了被定义的概念而不同时把握那些用来定义的概念，这就是不可能的。在这一前提下，知道一个已经把握了的概念如何定义时，所知道的就并没有超出就这个概念所把握到的东西。
把弗雷格的概念分析模式与康德的模式进行对比，确实很能说明问题。
在弗雷格这里，概念首先不是作为包含其他概念的东西出现的，而是首先作为映射，作为一种操作出现。比如“x是人”这个概念，就是从对象的集合（我们称为函项的定义域[domain]）到真值的映射。我们可以把这个概念理解为从某个对象出发，确定相应真值的方法，而这种方法通过概念的表达式结构表示出来。比如在y=x2+3x+2这个函数中，等号后面的代数结构所表示的，就是对所取的x值做何种运算，就能得到y所表示的函数值。相应地，“x+y=3”这个有两个主目的概念词，也是表示一种复合的运算，即先对两个变元所取的值求和，然后看所得到的和是否与3相等。这个解释不同于康德在观念理论的基础上给出的解释，康德会将其解释为基于先天直观的一种结构性的综合，x与y所取的值同时呈现，并在这种综合中结合起来。求和可以是一种连续进行的过程，比如可以把这种过程看成“+1”这个运算的若干次重复，这样，“x+y”就可以定义为对x连续进行y次“+1”运算；而在康德式的综合中，y是一次性给出的。
如果把概念理解为映射，那么概念间的复合关系就可以解释成映射的迭代。y=x2+3x+2这个函数可以看作是两个函数的迭代构成的复合函数，这两个函数分别是y=z+2和z= x2+3x，把后者代入前者，就得到复合函数y=x2+3x+2。同样，对于某个概念“F(x)”[2]来说，我们可以在这样一种意义上将其视为复合概念：定义一个从x的定义域到另外一个对象集合的映射f，y=f(x)，然后定义一个从该对象集合到真值的映射“G(y)”；如果对于x定义域中的任意对象α，G(f(α))的真值都与F(α)相同，那么概念“F(x)”就是由映射y=f(x)与概念“G(y)”复合而成的。映射y=f(x)可以看作是一个有两个空位的概念（比如，在一夫一妻制的社会中，“y=x的现任妻子”就表示一个映射，这个映射的前域，即x的定义域，是所有已婚男士构成的集合。这个映射也可以表述成“y是x的现任妻子”这样一个表示关系的概念词），这样，概念“F(x)”就是由两个概念复合而成的了。
在这样的概念分析中，如果映射f是一个一一映射，也就是说，不仅对于x取值范围中的任何一个对象，y的取值范围都只有唯一一个对象与之对应，而且对y取值范围中的任何一个对象，在x的取值范围中也都只对应唯一一个对象，在这种情况下，就会有一个从y到x的逆映射，即x=f -1(y)，因而，概念“F(x)”就可以分析成“F(f -1(y))”。这种分析与前面一段所描述的那种分析不同，前面那种分析对于映射操作给予了不同的解释，这里的分析则是对充当主目的对象给予了新的解释。
弗雷格关于算术的逻辑主义计划，就是以这种概念分析为框架进行的。要在逻辑的基础上建立算术知识，实际上就是把专门适用于数（最为基础的部分是自然数）的概念（例如加法、减法、大于等等）分析成一般性概念的复合形式，这些一般性概念并不特意要求适用于特定对象，因而只受制于逻辑。弗雷格的做法是，先利用一般性的概念，来构造出与单个的自然数一一对应的映射，对这种映射可以以一种系统性的方式加以刻画，从而避免了逐个指定映射关系。我们假定这种映射就是从自然数n到一种新的对象e的映射，e=g(n)。这个过程就是对单个自然数进行定义的过程。然后，对于适用于数的概念“G(x)”，寻找一个相应的适用于e的概念“Ф(e)”，使得对于任意自然数n，G(n)与Ф(g(n))都具有相同真值。如果这个过程是成功的，弗雷格就同时对自然数与专门适用于自然数的概念，作出了新的解释，从而把算术知识建立在逻辑的基础上了。
与康德式的概念分析相似，弗雷格式的概念分析也是把一个给定的概念分析成若干概念复合的形式，并且把这种复合形式理解为给定概念的定义。但是，由于对概念的解释不同，弗雷格心目中的概念分析就有一些不同的特征。
首先，在弗雷格这里，对概念的把握并不是以独立于命题的方式获得的。在康德那里，命题所抓住的是概念间的关系，但概念只是观念的形式，而对概念的把握则要求完整的观念，因此命题只能部分地表明什么东西被把握的。而弗雷格对于概念的处理则完全结合命题的形式进行，把握一个概念，就是知道由相应概念词参与构成的句子何时是真的。因此，弗雷格能够在函项逻辑的框架内界定就概念而言能够把握的东西。事实上，在《概念文字》中，弗雷格就把逻辑当作是对句子表达的概念性的内容（conceptual content）的研究。弗雷格不必把概念限制在形式上。
在康德那里，概念只是对直观性的内容进行切分的网格，因此，概念间的包含关系最终受制于“概念上的区别只是对同一套内容进行的不同切分”这一事实，而发现这种包含关系，并不带来新的内容。但是，在弗雷格这里，对概念的把握，却能够是一种新的发现。这种发现表现为，知道一些命题是真的。
弗雷格式的概念分析可以表现为概念在结构上的组合关系，而这种组合关系从表达式结构上就得到了表现。例如，当“G(n)”被分析成“Ф(g(n))”，概念上的复合关系就表现为表达式结构上的组合关系。我们会认为，概念词的意义已经在那里，概念分析只是用更加复杂的表达式来表示它。然而，把“G(n)”分析成“Ф(g(n))”，实际上是分析成概念“Ф(e)”与函数“e=g(n)”，而这是构造新对象e的过程，也就是说，是一个创造性的过程。这种创造性也出现在几何证明的过程中。在证明几何命题时，人们很有可能通过其他途径知道，待证明的那个命题是真的，但仍然不知道该如何证明它。在证明时，人们需要一些聪明才智，需要自己创造条件，比如作出恰当的辅助线，使得证明过程一目了然。在弗雷格式的概念分析中，这种创造性就体现在，即使把握了“G(n)”这个概念，仍然可能不知道它可以分析成概念“Ф(e)”与函数“e=g(n)”的复合；或者，即使有人告诉我们可以这么分析，并且我们也把握了这个概念与那个函数，我们也看不出事实确实如此。
这里，问题的关键是，在弗雷格这里，概念的内容不是概念这个盒子里装的东西，而是从对象到真值的映射关系。我们最好是把概念理解成从一点到另一点的路径，如果能够从前一点走到后一点，我们就把握了这个概念。但是，对一个概念的把握，并不排除有可能用第三点来开辟出新的路径，这条路径也许因为第三点的加入，而通往我们原来不曾去过的地方。
既然对概念的把握并不决定只能如何分析这个概念，对概念分析在原则上就允许有多种方式进行，而这与前面讨论对句子进行函项分析时所指出的内容相冲突，在那里我们看到，句子最终只有一种分析方式。事实上，这种冲突并不存在。概念分析总是要体现在表达式结构上，因此最终表现为句子的函项结构。当对句子进行函项分析时，确实只有一种最终的结构，但这是有前提的，即要在同一种语言中。一个不饱和的表达式如果在一种情况下空位在前，在另外一种情况下空位在后，那么它的意义也就发生了变化，我们会说这是一种语言上的变化；如果没有这种变化，这个表达式的函项结构仍然是确定的。在弗雷格式的概念分析中，原来的基本概念，例如数学中的加法不再是最基本的，更为基本的概念被引进来，原来的函项结构发生了变化，这也是语言发生了变化的情况。语言发生了扩展，变得更加丰富。此时函项结构的确定性仍然成立，因为在新的、把原来的语言作为部分包含在内的语言中，函项分析得到的最终仍然是同一种结构。
[1] 在前一讲我们使用的术语是“类（class）”，而在这里使用“集合（set）”这个术语。严格地讲，这两个术语的意义是不同的，当前的公理集合论中也确实作出了区分。然而从康德直到弗雷格和罗素的时代，这个区分都没有作出来。为了讨论的方便，我们这里也不区分类与集合。这不会影响我们的理解。
[2] 当我们把概念词中的空位统一写在后面，其他部分用符号来表示，就得到这种形式。空位的位置和关系就用括号中的变元记号的顺序来表示，比如，如果用“R(x, y)”来表示“…在…下面”时，“x”就固定地表示“…在…下面”前一个省略号中的名称，而“y”则固定表示后一个省略号中的名称。