目 录
1引言 ......................................................................................................................................... 2 2泰勒级数 ................................................................................................................................. 3 2.1泰勒公式 . ......................................................................................................................... 3 2.2泰勒级数 . ......................................................................................................................... 3 2.3泰勒展开式 (幂级数展开式) ........................................................................................ 4 3泰勒级数的应用 ..................................................................................................................... 6 3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式 . ..................................................... 6 3.2近似计算 . ......................................................................................................................... 7 3.3证明不等式 . ................................................................................................................... 10 3.4应用泰勒级数计算积分 . ............................................................................................... 10
参考文献 .................................................................................................................................. 12
泰勒级数及其应用
王一
（西北师范大学数学与统计学院 甘肃兰州 730070）
摘要: 本文主要介绍了泰勒级数及其应用, 泰勒级数是一种常用的数学工具, 在很多时候利用泰勒级数解题是非常方便的. 本文就是对泰勒级数及其应用的一些叙述, 主要是对泰勒级数在初等函数展为幂级数、近似计算、证明不等式、计算积分等方面展开讨论.
关键词: 泰勒公式; 泰勒级数; 泰勒展开式; 近似; 不等式; 积分 中图分类号: O171
Taylor series and its applications
WANG Yi
(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University,
Lanzhou 730070, China）
Abstract: This thesis mainly introduces Taylor series and its applications. Taylor series is a kind of frequently-used mathematical tool, which makes it much more convenient to solve problems. In this thesis, Taylor series and its applications are discussed, which includes some use of Taylor series, referring to the expansion from non-elementary function to power series, approximate calculation, inequality proof, calculation of integral and so on.
Keywords: Taylor formula; Taylor series; Taylor expansion; approximate; inequality; integral
1引言
泰勒级数以在1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒来命名, 在数学分析中, 泰勒级数是利用无限项相加来表示一个函数, 这些相加的项由函数在某一点的导数求得.
泰勒级数的相关知识不仅具有重大的理论意义, 而且具有广泛的实用价值. 它与泰勒公式有着密切的联系, 但也存在着一些实质性的区别, 因此, 在学习这部分内容时, 应该明确地掌握泰勒公式和泰勒级数的相关定义. 就泰勒级数而言, 它对于一些非线性问题来说是一个很好的解题工具. 利用它解题的主要思想是将非线性问题线性化, 即将一些函数展开成它的泰勒级数, 然后利用所展开的泰勒级数联系实际问题最终解决问题.
下面就对泰勒级数及其应用做一个简要的介绍.
2泰勒级数 2.1泰勒公式
若函数f 在[a , b ]上存在直至n 阶的连续导函数, 在(a , b )内存在n +1阶导函数, 则对任意给定的x , x 0∈[a , b ], 至少存在一点ξ∈(x , x 0), 使得
f ''(x 0)(x -x 0) 2f (n ) (x 0)(x -x 0) n
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) ++ ++R n (x ). (1)
2! n !
f (n +1) (ξ)(x -x 0) n +1
则称(1)为f 在x 0的泰勒公式. 其中, R n (x ) =为Lagrange 余
(n +1)! 项.
2.2泰勒级数
若在(1)中抹去余项R n (x ) , 那么在x 0附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 如果函数f 在x =x 0处存在任意阶的导数, 这时称形式为
f ''(x 0)(x -x 0) 2f (n ) (x 0)(x -x 0) n
f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) ++ ++ (2)
2! n !
的级数为函数f 在x 0的泰勒级数.
在实际应用中, 我们更多的是讨论函数在x 0=0处的泰勒级数, 这时(2)式
f '(0)f ''(0)2f (n )(0)n
x +x + +x + , 称为麦克劳林级数. 可以写作f (0)+1! 2！n !
例1 写出下列函数的麦克劳林级数
(1) ln (1+x ),
解 因f (x )=ln (1+x ), f (0)=0, f (n )(x )=(-1)
f (n )(0)=(-1)
n -1
n -1
(n -1)! ,
1+x n
(n -1)! . 所以ln (1+x )的麦克劳林级数为
n
x 2x 3x 4n -1x x -+-+ +(-1)+ .
234n
(2) (1+x )α.
解 因f (x )=(1+x )α, f (0)=1, 当α为正整数时利用二项式定理就可以写出它的麦克劳林级数; 当α不为正整数时, 由于
f (n )(x )=α(α-1) (α-n +1)(1+x )
α-n
,
所以f (n )(0)=α(α-1) (α-n +1). 于是(1+x )α的麦克劳林级数为
1+αx +
α(α-1)
2!
x 2+ +
α(α-1) (α-n +1)
n !
x n + . □
由上述几道例题知, 一个函数f (x )只要在x 0点有任意阶导数, 就有对应的泰勒级数.
2.3泰勒展开式 (幂级数展开式)
定理1[1] 设f 在点x 0具有任意阶导数, 那么f 在区间(x 0-r , x 0+r ) 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是: 对一切满足不等式x -x 0
lim R n (x ) =0.
n →∞
这里R n (x ) 是f 在x 0处的泰勒公式余项.
根据上述的定理我们就会知道, 对于一个具有任意阶导数的函数, 它的泰勒级数是否能够收敛到函数本身, 与函数f 在x 0的泰勒公式余项有着密切的联系.
下面我们给出泰勒展开式(幂级数展开式) 的概念.
若函数f 能在x 0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数, 则称函数f 在x 0的这一邻域内可以展开成泰勒级数, 并称等式
f ''(x 0)(x -x 0) 2f (n ) (x 0)(x -x 0) n
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) ++ ++
2! n !
的右边为f 在x =x 0处的泰勒展开式, 或称为幂级数展开式.
下面我们主要研究函数展开成麦克劳林级数. 因为麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数, 即当x 0=0时的泰勒级数. 它不但研究起来更加的方便, 而且也能够体现出泰勒级数的相关性质.
例2 求下列初等函数的展开式 (1) e x ; (2) sinx.
解 (1) 因f (x )=e x , f (0)=1, ∀n ∈N , f (n )(x )=e x , f (n )(0)=1,(n=1,2,…).
e θx
所以f 的拉个朗日余项为R n (x ) =x n +1(0≤θ≤1). 下面我们对余项进行放
(n +1)! 缩并求出它的极限
e θx e n +1
R n (x )=x n +1≤x ,
(n +1)! (n +1)!
e n +1
而lim x =0, 因而可以知道lim R n (x ) =0. 由定理1知
n →∞n →∞(n +1)!
x 2x n
+ ++ , x ∈(-∞, +∞) . e =1+x +2! n !
x
x
x
(2) 因
n π⎫⎛
f (x )=sin x , f (0)=0, f (n )(x )=sin x +⎪, n =1, 2, .
2⎭⎝
f
(n )
n =2m . ⎧0,
(0)=⎨m -1
n =2m -1. ()-1, ⎩
同上题一样, 经验证正弦函数的拉格朗日余项的极限为0. 于是
x 3x 5x 2n -1n -1
sin x =x -++ +(-1)+ , x ∈(-∞, +∞) . □
2n -1! 3! 5!
3泰勒级数的应用
3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式
一般来说, 只有一些相对简单的初等函数, 其幂级数展开式能直接从定义出发, 并根据定理1可求得. 但对于大多数一般的函数来说, 可以从已知的初等函数的泰勒展开式出发, 恰当的应用变量代换、 逐项求导、 逐项求积以及四则运算等方法, 间接地求得一般函数的幂级数展开式.
熟记一些常用初等函数的泰勒展开式对我们把其它函数展开成幂级数有很大的帮助, 也会提高解决问题的效率.
下面就利用泰勒级数来解决具体的问题.
例3 求非初等函数F (x )=⎰e -t dt 的幂级数展开式.
3
x
解 因为e x 的泰勒级数是
x 2x 3x n
1+x +++ ++ .
2! 3! n !
而当x ∈(-∞, +∞)时, 它的泰勒级数收敛到它本身, 即
x 2x n
e =1+x ++ ++ ,
2! n !
x
以-x 3来代替e x 展开式中的x , 可得
e
-x 3
(x 3x 6x 9-1)x 3n
=1-+-+ ++ , x ∈(-∞, +∞).
1! 2! 3! n !
n
在对上式逐项求积就得到F (x )在(-∞, +∞)上的展开式
(1x 41x 71x 10-1)x 3n +1
F (x )=⎰e dt =x -+-+ ++ . □
01！42! 73! 10n ! 3n +1
x
-t 3
n
例4[2] 将函数f (x )=⎰
x sin t 0t
dt 展为x 的幂级数并求收敛半径.
解 因为sin t 的泰勒级数为
t 3t 5t 2n +1n t -+- +(-1)+ .
2n +1! 3! 5!
而当-∞
t 3t 2n +1n
sin t =t -+ +(-1)+ , -∞
2n +1! 3!
所以
sin t t 2t 4t 2n n
=1-+- +(-1)+ , (t ≠0).
2n +1! t 3! 5!
由逐项积分定理得
x x t 2x t 4t 2n n x
⎰0t dt =⎰0dt -⎰03! dt +⎰05! dt + +(-1)⎰02n +1! dt +
x 3x 5x 2n +1n
=x -++ +(-1)+ .
2n +1⋅2n +1! 3⋅3! 5⋅5!
显然, 收敛半径R =+∞. □
x sin t
3.2近似计算
泰勒级数是解决近似计算问题的一个有力的工具. 首先选择一个合适的函数对利用泰勒级数解决近似计算问题来说是非常重要的, 所以我们应该熟记一些初等函数的泰勒级数, 其次就是利用泰勒公式余项近似的估计出某些问题的近似值.
下面就通过一些具体的例题来研究一下到底应该如何使用泰勒级数进行近似计算.
例5 求π的近似值, 计算到小数点后第三位(误差不超过10-3) . 解 已知函数arctan x 的麦克劳林级数是
2n +1
x 3x 5n x arctan x =x -++ +(-1)+ , -1
令x =
13
∈(-1, 1], 则有
π
6
=arctan x |
x =
13
=∑(-1)
n =1
∞
n -1
x 2n -1
|1 2n -1x =3
n
=则
1-
33
1
3
+
53
1
5
- +(-1)
12n +1
1
2n +1
+ ，
n
⎛⎫(11-1)⎪. 1-+- ++ π=2 n 3⋅35⋅32⎪2n +1⋅3⎝⎭
利用Leibniz 级数的余和估计
r n ≤a n +1=
31
n +1
2
⋅
1
. 2n +1
若要r n
1111
100032n +11000
5项满足题意, 当n =5时
π≈2 1-+
⎛
⎝
19
111⎫-+⎪≈3. 143. □ 45189729⎭
例6[2] 求e 的近似值并估计误差. 解 已知e x 的麦克劳林级数是
x n x x 2x n
e =∑=1+++ ++ , x ∈R .
n ! 1! 2! n ! n =0
x
∞
令x =1有
e =∑
1111
=1+++ ++ ,
1! 2! n ! n =0n !
1
近似代替e , 则误差为 k =0k !
n
∞
这就是e 的级数表示, 用它的部分和S n =∑
∞
11n 1
e -S n =e -∑=∑-∑
k =0k ! k =0k ! k =0k !
n
=
⎫1111⎛11
⎪+++ =1+++ ⎪ n +1! n +2! n +3! n +1! n +2n +2n +3⎝⎭
1⎛1n +1! 1+1+1⎫⎝n +1n +12+ ⎪1
⎪=n +1! =
1⎭
1-1
n ! n
. n +1
取n =10时, 即用S 10近似代替数e , 即
e ≈1+
1111! +2! + +10!
, 其误差不超过
110! 10=136288000
6
. □ 例7[3] 近似计算ln 2并求误差.
解 已知对数函数ln (1+x )的麦克劳林级数是
ln (1+x )=x -x 22+ +(-1)n -1x
n
n
+ , x ∈(-1, 1].
将上式中的x 用-x 代替可得
(1-x )=-x -x 2x n
ln 2- -n
- , x ∈[-1, 1).
将上面两式相减即得
ln (1+x )-ln (1-x )=2⎛ x 3x 5x 7
⎫⎪⎝x +3+5+7+ ⎪⎭
, 或
ln ⎛ 1+x ⎫
⎛x 3x 5⎫⎝1-x ⎪⎭=2 ⎝x +x 73+5+7+ ⎪⎪, x ∈(-1, 1). ⎭
令x =
1
2n +1
∈(-1, 1), n ∈N +, 有 1+
1
1+x 1-x =
=n +11-
1n . 2n +1
将x =
1
2n +1
带入(3)中可得 ln n +1n =2⎛ 111⎫ +⎝2n +132n +13+52n +15+ ⎪⎪, ⎭
或
(3)
ln (1+n )=ln n +2
⎛
⎫11
. (4) ++ ⎪3⎪
⎝2n +132n +1⎭
令n =1, 已知ln 1=0, 由级数(4)得
11⎛1⎫
ln 2=2 +++ ⎪， 35
33⨯35⨯3⎝⎭
只计算上式前4项部分和, 即有
111⎫⎛1
ln 2≈2 +++≈0. 69313. 357⎪33⨯35⨯37⨯3⎭⎝
其误差不超过
11⎛1⎫⎛1⎫5
. □ 2 ++
9⨯3⎝9⨯311⨯3⎭⎝9⨯3⎭
3.3证明不等式
泰勒级数是将函数展开成幂级数的形式, 可以应用于证明不等式. 例8 证明不等式e x +e -x ≤2e , x ∈(-∞, +∞). 证明 因为
x 2
2
e x +e -x
而
x 2n ∞x 2n x , 2e 2=2∑, =2∑! ! n =02n ! n -02n ∞
2
x 2n x 2n
, ≤
2n ! 2n ! !
故
e x +e -x ≤2e . □
x 22
3.4应用泰勒级数计算积分
对于一些复杂的积分直接计算很难求出结果, 有时候利用泰勒级数能给某一类复杂积分的计算带来一些转机, 适当的将被积函数中的某一个或某几个函数展开成它的泰勒级数, 可以使原本复杂的问题简单化.
例9[4] 计算积分⎰
解 通过变形 1ln x . dx 201-x
1ln x 11-x 2+x 11x 2
⎰01-x 2dx =⎰01-x 2ln xdx =⎰0ln xdx +⎰01-x 2ln xdx .
因为
∞x 2
2n ln xdx =-1, ln x =x ln x , ∑2⎰01-x n =11
因此
1∞2n 原式=-1+⎰∑x ln xdx . 0n =1
对于级数∑x 2n ln x 来说, 它在(0, 1)内不一致收敛, 但在[0, 1]上却逐项可积,
n =1∞
证明如下
首先当x =1时级数通项u n (1)=x ln x |x =1=0. 当0
n =1∞
⎧x 2⎪等比级数, 所以和函数S (x )=⎨1-x 2ln x , 0
⎪0, x =1. ⎩
S (1-0)=lim x →1-x 2ln (1-(1-x ))1=≠S (1). 1+x 1-x 2
故该级数非一致收敛.
x 2ln x x 2n +2x 2ln x 2n 其次因为R n (x )=∑x ln x =及ln x =⋅x , 其中lim 222+1-x 1-x 1-x k =n +1x →0∞2k
lim x →1x 2ln x x 2ln x x 2ln x 都存在有限极限, 且在(0, 1)内连续, 所以在(0, 1)内有2221-x 1-x 1-x
x 2ln x ≤G 则 界. ∃G >0, s . t 1-x 2
R n (x ≤G ⋅x 2n ,
1112n G ()()R x ≤R x dx ≤G x dx =→0. ⎰0n ⎰0n ⎰02n +1
当n →∞时即表明
lim n →∞1⎰0R n (x )dx =0.
从而级数可逐项求积分，原式
∞∞∞⎛∞12n 1111⎫1 ⎪+2=-1+∑⎰x ln xdx =-1-∑=-=-+∑∑∑2222⎪ n =10n =12n +1n =02n +1⎝n =02n +1n =12n ⎭2∞1∑2n =1n ∞
11 =-∑2+22n =1n ∞1π2π2π2. □ =-+=-∑26248n =1n ∞
通过上面一系列对泰勒级数及其应用的学习, 我们能够清晰的认识到泰勒公式与泰勒级数之间的一些联系与区别, 并且在初步掌握了泰勒展开式, 以及应用泰勒级数及其相关知识解决了一些实际问题, 从而深刻的体会到了利用泰勒级数来解决某些问题是非常方便的.
参考文献
[1] 华东师范大学数学系. 数学分析下册(第三版) [M].北京: 高等教育出版社, 2001.
[2] 范秋君, 沈锡文, 刘芸, 傅珉. 数学分析下册[M]. 北京: 北京师范学院出版,1991.
[3] 周性伟, 刘立民. 数学分析下册[M]. 天津：南开大学出版社,1987.
[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版社,2006.
目 录
1引言 ......................................................................................................................................... 2 2泰勒级数 ................................................................................................................................. 3 2.1泰勒公式 . ......................................................................................................................... 3 2.2泰勒级数 . ......................................................................................................................... 3 2.3泰勒展开式 (幂级数展开式) ........................................................................................ 4 3泰勒级数的应用 ..................................................................................................................... 6 3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式 . ..................................................... 6 3.2近似计算 . ......................................................................................................................... 7 3.3证明不等式 . ................................................................................................................... 10 3.4应用泰勒级数计算积分 . ............................................................................................... 10
参考文献 .................................................................................................................................. 12
泰勒级数及其应用
王一
（西北师范大学数学与统计学院 甘肃兰州 730070）
摘要: 本文主要介绍了泰勒级数及其应用, 泰勒级数是一种常用的数学工具, 在很多时候利用泰勒级数解题是非常方便的. 本文就是对泰勒级数及其应用的一些叙述, 主要是对泰勒级数在初等函数展为幂级数、近似计算、证明不等式、计算积分等方面展开讨论.
关键词: 泰勒公式; 泰勒级数; 泰勒展开式; 近似; 不等式; 积分 中图分类号: O171
Taylor series and its applications
WANG Yi
(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University,
Lanzhou 730070, China）
Abstract: This thesis mainly introduces Taylor series and its applications. Taylor series is a kind of frequently-used mathematical tool, which makes it much more convenient to solve problems. In this thesis, Taylor series and its applications are discussed, which includes some use of Taylor series, referring to the expansion from non-elementary function to power series, approximate calculation, inequality proof, calculation of integral and so on.
Keywords: Taylor formula; Taylor series; Taylor expansion; approximate; inequality; integral
1引言
泰勒级数以在1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒来命名, 在数学分析中, 泰勒级数是利用无限项相加来表示一个函数, 这些相加的项由函数在某一点的导数求得.
泰勒级数的相关知识不仅具有重大的理论意义, 而且具有广泛的实用价值. 它与泰勒公式有着密切的联系, 但也存在着一些实质性的区别, 因此, 在学习这部分内容时, 应该明确地掌握泰勒公式和泰勒级数的相关定义. 就泰勒级数而言, 它对于一些非线性问题来说是一个很好的解题工具. 利用它解题的主要思想是将非线性问题线性化, 即将一些函数展开成它的泰勒级数, 然后利用所展开的泰勒级数联系实际问题最终解决问题.
下面就对泰勒级数及其应用做一个简要的介绍.
2泰勒级数 2.1泰勒公式
若函数f 在[a , b ]上存在直至n 阶的连续导函数, 在(a , b )内存在n +1阶导函数, 则对任意给定的x , x 0∈[a , b ], 至少存在一点ξ∈(x , x 0), 使得
f ''(x 0)(x -x 0) 2f (n ) (x 0)(x -x 0) n
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) ++ ++R n (x ). (1)
2! n !
f (n +1) (ξ)(x -x 0) n +1
则称(1)为f 在x 0的泰勒公式. 其中, R n (x ) =为Lagrange 余
(n +1)! 项.
2.2泰勒级数
若在(1)中抹去余项R n (x ) , 那么在x 0附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 如果函数f 在x =x 0处存在任意阶的导数, 这时称形式为
f ''(x 0)(x -x 0) 2f (n ) (x 0)(x -x 0) n
f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) ++ ++ (2)
2! n !
的级数为函数f 在x 0的泰勒级数.
在实际应用中, 我们更多的是讨论函数在x 0=0处的泰勒级数, 这时(2)式
f '(0)f ''(0)2f (n )(0)n
x +x + +x + , 称为麦克劳林级数. 可以写作f (0)+1! 2！n !
例1 写出下列函数的麦克劳林级数
(1) ln (1+x ),
解 因f (x )=ln (1+x ), f (0)=0, f (n )(x )=(-1)
f (n )(0)=(-1)
n -1
n -1
(n -1)! ,
1+x n
(n -1)! . 所以ln (1+x )的麦克劳林级数为
n
x 2x 3x 4n -1x x -+-+ +(-1)+ .
234n
(2) (1+x )α.
解 因f (x )=(1+x )α, f (0)=1, 当α为正整数时利用二项式定理就可以写出它的麦克劳林级数; 当α不为正整数时, 由于
f (n )(x )=α(α-1) (α-n +1)(1+x )
α-n
,
所以f (n )(0)=α(α-1) (α-n +1). 于是(1+x )α的麦克劳林级数为
1+αx +
α(α-1)
2!
x 2+ +
α(α-1) (α-n +1)
n !
x n + . □
由上述几道例题知, 一个函数f (x )只要在x 0点有任意阶导数, 就有对应的泰勒级数.
2.3泰勒展开式 (幂级数展开式)
定理1[1] 设f 在点x 0具有任意阶导数, 那么f 在区间(x 0-r , x 0+r ) 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是: 对一切满足不等式x -x 0
lim R n (x ) =0.
n →∞
这里R n (x ) 是f 在x 0处的泰勒公式余项.
根据上述的定理我们就会知道, 对于一个具有任意阶导数的函数, 它的泰勒级数是否能够收敛到函数本身, 与函数f 在x 0的泰勒公式余项有着密切的联系.
下面我们给出泰勒展开式(幂级数展开式) 的概念.
若函数f 能在x 0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数, 则称函数f 在x 0的这一邻域内可以展开成泰勒级数, 并称等式
f ''(x 0)(x -x 0) 2f (n ) (x 0)(x -x 0) n
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) ++ ++
2! n !
的右边为f 在x =x 0处的泰勒展开式, 或称为幂级数展开式.
下面我们主要研究函数展开成麦克劳林级数. 因为麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数, 即当x 0=0时的泰勒级数. 它不但研究起来更加的方便, 而且也能够体现出泰勒级数的相关性质.
例2 求下列初等函数的展开式 (1) e x ; (2) sinx.
解 (1) 因f (x )=e x , f (0)=1, ∀n ∈N , f (n )(x )=e x , f (n )(0)=1,(n=1,2,…).
e θx
所以f 的拉个朗日余项为R n (x ) =x n +1(0≤θ≤1). 下面我们对余项进行放
(n +1)! 缩并求出它的极限
e θx e n +1
R n (x )=x n +1≤x ,
(n +1)! (n +1)!
e n +1
而lim x =0, 因而可以知道lim R n (x ) =0. 由定理1知
n →∞n →∞(n +1)!
x 2x n
+ ++ , x ∈(-∞, +∞) . e =1+x +2! n !
x
x
x
(2) 因
n π⎫⎛
f (x )=sin x , f (0)=0, f (n )(x )=sin x +⎪, n =1, 2, .
2⎭⎝
f
(n )
n =2m . ⎧0,
(0)=⎨m -1
n =2m -1. ()-1, ⎩
同上题一样, 经验证正弦函数的拉格朗日余项的极限为0. 于是
x 3x 5x 2n -1n -1
sin x =x -++ +(-1)+ , x ∈(-∞, +∞) . □
2n -1! 3! 5!
3泰勒级数的应用
3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式
一般来说, 只有一些相对简单的初等函数, 其幂级数展开式能直接从定义出发, 并根据定理1可求得. 但对于大多数一般的函数来说, 可以从已知的初等函数的泰勒展开式出发, 恰当的应用变量代换、 逐项求导、 逐项求积以及四则运算等方法, 间接地求得一般函数的幂级数展开式.
熟记一些常用初等函数的泰勒展开式对我们把其它函数展开成幂级数有很大的帮助, 也会提高解决问题的效率.
下面就利用泰勒级数来解决具体的问题.
例3 求非初等函数F (x )=⎰e -t dt 的幂级数展开式.
3
x
解 因为e x 的泰勒级数是
x 2x 3x n
1+x +++ ++ .
2! 3! n !
而当x ∈(-∞, +∞)时, 它的泰勒级数收敛到它本身, 即
x 2x n
e =1+x ++ ++ ,
2! n !
x
以-x 3来代替e x 展开式中的x , 可得
e
-x 3
(x 3x 6x 9-1)x 3n
=1-+-+ ++ , x ∈(-∞, +∞).
1! 2! 3! n !
n
在对上式逐项求积就得到F (x )在(-∞, +∞)上的展开式
(1x 41x 71x 10-1)x 3n +1
F (x )=⎰e dt =x -+-+ ++ . □
01！42! 73! 10n ! 3n +1
x
-t 3
n
例4[2] 将函数f (x )=⎰
x sin t 0t
dt 展为x 的幂级数并求收敛半径.
解 因为sin t 的泰勒级数为
t 3t 5t 2n +1n t -+- +(-1)+ .
2n +1! 3! 5!
而当-∞
t 3t 2n +1n
sin t =t -+ +(-1)+ , -∞
2n +1! 3!
所以
sin t t 2t 4t 2n n
=1-+- +(-1)+ , (t ≠0).
2n +1! t 3! 5!
由逐项积分定理得
x x t 2x t 4t 2n n x
⎰0t dt =⎰0dt -⎰03! dt +⎰05! dt + +(-1)⎰02n +1! dt +
x 3x 5x 2n +1n
=x -++ +(-1)+ .
2n +1⋅2n +1! 3⋅3! 5⋅5!
显然, 收敛半径R =+∞. □
x sin t
3.2近似计算
泰勒级数是解决近似计算问题的一个有力的工具. 首先选择一个合适的函数对利用泰勒级数解决近似计算问题来说是非常重要的, 所以我们应该熟记一些初等函数的泰勒级数, 其次就是利用泰勒公式余项近似的估计出某些问题的近似值.
下面就通过一些具体的例题来研究一下到底应该如何使用泰勒级数进行近似计算.
例5 求π的近似值, 计算到小数点后第三位(误差不超过10-3) . 解 已知函数arctan x 的麦克劳林级数是
2n +1
x 3x 5n x arctan x =x -++ +(-1)+ , -1
令x =
13
∈(-1, 1], 则有
π
6
=arctan x |
x =
13
=∑(-1)
n =1
∞
n -1
x 2n -1
|1 2n -1x =3
n
=则
1-
33
1
3
+
53
1
5
- +(-1)
12n +1
1
2n +1
+ ，
n
⎛⎫(11-1)⎪. 1-+- ++ π=2 n 3⋅35⋅32⎪2n +1⋅3⎝⎭
利用Leibniz 级数的余和估计
r n ≤a n +1=
31
n +1
2
⋅
1
. 2n +1
若要r n
1111
100032n +11000
5项满足题意, 当n =5时
π≈2 1-+
⎛
⎝
19
111⎫-+⎪≈3. 143. □ 45189729⎭
例6[2] 求e 的近似值并估计误差. 解 已知e x 的麦克劳林级数是
x n x x 2x n
e =∑=1+++ ++ , x ∈R .
n ! 1! 2! n ! n =0
x
∞
令x =1有
e =∑
1111
=1+++ ++ ,
1! 2! n ! n =0n !
1
近似代替e , 则误差为 k =0k !
n
∞
这就是e 的级数表示, 用它的部分和S n =∑
∞
11n 1
e -S n =e -∑=∑-∑
k =0k ! k =0k ! k =0k !
n
=
⎫1111⎛11
⎪+++ =1+++ ⎪ n +1! n +2! n +3! n +1! n +2n +2n +3⎝⎭
1⎛1n +1! 1+1+1⎫⎝n +1n +12+ ⎪1
⎪=n +1! =
1⎭
1-1
n ! n
. n +1
取n =10时, 即用S 10近似代替数e , 即
e ≈1+
1111! +2! + +10!
, 其误差不超过
110! 10=136288000
6
. □ 例7[3] 近似计算ln 2并求误差.
解 已知对数函数ln (1+x )的麦克劳林级数是
ln (1+x )=x -x 22+ +(-1)n -1x
n
n
+ , x ∈(-1, 1].
将上式中的x 用-x 代替可得
(1-x )=-x -x 2x n
ln 2- -n
- , x ∈[-1, 1).
将上面两式相减即得
ln (1+x )-ln (1-x )=2⎛ x 3x 5x 7
⎫⎪⎝x +3+5+7+ ⎪⎭
, 或
ln ⎛ 1+x ⎫
⎛x 3x 5⎫⎝1-x ⎪⎭=2 ⎝x +x 73+5+7+ ⎪⎪, x ∈(-1, 1). ⎭
令x =
1
2n +1
∈(-1, 1), n ∈N +, 有 1+
1
1+x 1-x =
=n +11-
1n . 2n +1
将x =
1
2n +1
带入(3)中可得 ln n +1n =2⎛ 111⎫ +⎝2n +132n +13+52n +15+ ⎪⎪, ⎭
或
(3)
ln (1+n )=ln n +2
⎛
⎫11
. (4) ++ ⎪3⎪
⎝2n +132n +1⎭
令n =1, 已知ln 1=0, 由级数(4)得
11⎛1⎫
ln 2=2 +++ ⎪， 35
33⨯35⨯3⎝⎭
只计算上式前4项部分和, 即有
111⎫⎛1
ln 2≈2 +++≈0. 69313. 357⎪33⨯35⨯37⨯3⎭⎝
其误差不超过
11⎛1⎫⎛1⎫5
. □ 2 ++
9⨯3⎝9⨯311⨯3⎭⎝9⨯3⎭
3.3证明不等式
泰勒级数是将函数展开成幂级数的形式, 可以应用于证明不等式. 例8 证明不等式e x +e -x ≤2e , x ∈(-∞, +∞). 证明 因为
x 2
2
e x +e -x
而
x 2n ∞x 2n x , 2e 2=2∑, =2∑! ! n =02n ! n -02n ∞
2
x 2n x 2n
, ≤
2n ! 2n ! !
故
e x +e -x ≤2e . □
x 22
3.4应用泰勒级数计算积分
对于一些复杂的积分直接计算很难求出结果, 有时候利用泰勒级数能给某一类复杂积分的计算带来一些转机, 适当的将被积函数中的某一个或某几个函数展开成它的泰勒级数, 可以使原本复杂的问题简单化.
例9[4] 计算积分⎰
解 通过变形 1ln x . dx 201-x
1ln x 11-x 2+x 11x 2
⎰01-x 2dx =⎰01-x 2ln xdx =⎰0ln xdx +⎰01-x 2ln xdx .
因为
∞x 2
2n ln xdx =-1, ln x =x ln x , ∑2⎰01-x n =11
因此
1∞2n 原式=-1+⎰∑x ln xdx . 0n =1
对于级数∑x 2n ln x 来说, 它在(0, 1)内不一致收敛, 但在[0, 1]上却逐项可积,
n =1∞
证明如下
首先当x =1时级数通项u n (1)=x ln x |x =1=0. 当0
n =1∞
⎧x 2⎪等比级数, 所以和函数S (x )=⎨1-x 2ln x , 0
⎪0, x =1. ⎩
S (1-0)=lim x →1-x 2ln (1-(1-x ))1=≠S (1). 1+x 1-x 2
故该级数非一致收敛.
x 2ln x x 2n +2x 2ln x 2n 其次因为R n (x )=∑x ln x =及ln x =⋅x , 其中lim 222+1-x 1-x 1-x k =n +1x →0∞2k
lim x →1x 2ln x x 2ln x x 2ln x 都存在有限极限, 且在(0, 1)内连续, 所以在(0, 1)内有2221-x 1-x 1-x
x 2ln x ≤G 则 界. ∃G >0, s . t 1-x 2
R n (x ≤G ⋅x 2n ,
1112n G ()()R x ≤R x dx ≤G x dx =→0. ⎰0n ⎰0n ⎰02n +1
当n →∞时即表明
lim n →∞1⎰0R n (x )dx =0.
从而级数可逐项求积分，原式
∞∞∞⎛∞12n 1111⎫1 ⎪+2=-1+∑⎰x ln xdx =-1-∑=-=-+∑∑∑2222⎪ n =10n =12n +1n =02n +1⎝n =02n +1n =12n ⎭2∞1∑2n =1n ∞
11 =-∑2+22n =1n ∞1π2π2π2. □ =-+=-∑26248n =1n ∞
通过上面一系列对泰勒级数及其应用的学习, 我们能够清晰的认识到泰勒公式与泰勒级数之间的一些联系与区别, 并且在初步掌握了泰勒展开式, 以及应用泰勒级数及其相关知识解决了一些实际问题, 从而深刻的体会到了利用泰勒级数来解决某些问题是非常方便的.
参考文献
[1] 华东师范大学数学系. 数学分析下册(第三版) [M].北京: 高等教育出版社, 2001.
[2] 范秋君, 沈锡文, 刘芸, 傅珉. 数学分析下册[M]. 北京: 北京师范学院出版,1991.
[3] 周性伟, 刘立民. 数学分析下册[M]. 天津：南开大学出版社,1987.
[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版社,2006.