第二章弹性力学基础

第二章 弹性力学基础

弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。

弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。

材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。

弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。

结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。

第一节 弹性力学假设

在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。

1. 假设物体是线弹性的

假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。

由材料力学已知：

脆性材料的物体，在应力≢比例极限以前，可作为近似的完全弹性体；

韧性（塑性）材料的物体，在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。

这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。

2. 假设物体是连续性的

假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，

都比物体尺寸小得很多，则连续性假设不会引起显着的误差。

3. 假设物体是均匀性、各向同性的

整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。

各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。

对于非晶体材料，是完全符合这一假定，而由木材，竹材等作成的构件，就不能作为各向同性体来研究，钢材构件基本上是各向同性的。

凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。

4. 假设物体的位移和应变是微小的

假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，故应变分量和转角都远小于1。 因此

① 在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。

② 在研究物体的应变和位移时，其二次幂或乘积，可

略去不计。

按照以上四个基本假设研究物体中的应力、应变和位移问题的弹性力学，称为线性弹性力学。

第二节 外力、应力、应变和位移的符

号和记号

介绍弹性力学中常用的基本概念：外力、应力、应变和位移。

一、 外力

作用在物体上的外力，可分为两类：体积力和表面力。 1. 体积力（简称体力）

体积力分布在物体体积内部的力。 例如重力和惯性力。 注：

① 在物体内部各点的体积力是不相同的；

② 任一点P处的单位体积内所作用的体积力，沿着直角 坐标轴x,y,z三个方向的投影X,Y,Z，称为该物体在P点的体积力分量。

体积力只与质量成正比，为位置坐标的函数。一般表示为

QvXYZ

规定：体积力分量X,Y,Z以坐标轴的正方向为正。 量纲：[力]/[长度] 2. 表面力（简称面力）

作用在物体表面上的外力。

例如：压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、

3

T

物体与物体之间接触压力及摩擦力等等。 注：

① 物体在其表面各点的表面力是不相同的；

② 在物体表面上任一点P处的单位表面上的表面力，沿 着直角坐标轴x,y,z三个方向的投影X,Y,，称为该物体在P点的表面力分量。

通常情况下，表面力是位置坐标的函数。一般用下式来表示

Qs

定）。

量纲：[力]/[长度]

二、应力(stress)

2



T

规定：X,Y,以坐标轴的正方向为正（弹性力学的规

弹性体在外力作用下，其内部将要产生应力。 某一点P处的应力状态：取PA=dx，PB=dy，PC=dz的一个无穷小的正六面体，如图2-1所示。

将一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。即每个面上的应力都可用三个应力分量来表示。

y

图 2-1 直角坐标系下的应力分量

正应力(normal stress)：用σ表示。角标表示正应力的作用面和作用方向。例如σx是作用在垂直x轴的面上，同时沿x轴方向的正应力。

剪应力(shear stress)：用τ表示，加上两个角标。第一个角标表示作用面垂直哪一个坐标轴，第二个表示作用方向沿哪一个坐标轴。例如τxy是作用在垂直x轴的面上、而沿y轴方向的剪应力。

应力分量的符号规定

（1）当某一截面的外法线与坐标轴正方向相同（称为正面， 如上面、右面和前面），这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。

（2）当某一截面的外法线与坐标轴负方向相同（称为负面， 如下面、左面和后面），这个截面上的应力分量以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

注意：

（1）图中所示的应力分量全部为正（黑色为正面应力，红色为负面应力）；

（2）对于正应力，其符号规定与材料力学中的规定相同（拉应力为正，压应力为负）；

（3）对于剪应力，其符号规定与材料力学中的规定不完全相同；

（4）六个剪应力存在互等关系，即：

xyyx,yzzy,zxxz

（5）可以证明：如果x，y，z，xy，yz，zx这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。

一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而

是坐标x、y、z的函数。

六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：

xyTzxyzxyyzzx

xyyzzx

（6）应力分量的量纲：[力]/[长度]。 三、应变 (strain)

物体受外力作用之后，要发生形状的改变 长度的改变----正应变 角度的改变----剪应变 1. 正应变

线段的单位长度的伸缩，用ε来表示。 例如x---x方向的线段PA的正应变

规定：以伸长为正，缩短为负。 2. 剪应变

各线段之间的直角改变量，以弧度来表示。符号为。例 如yz---y与z两方向(即PB与PC)的线段之间的直角改变。 规定：以直角变小为正，变大时为负。

2

注：

物体内任一点的应变有六个分量：

x,y,z,xy,yz,zx

一般说来，弹性体内各点的应变都不相同，。因此，描述弹性体内应变的上述六个应变分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。

六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：

x

yTzxyzxyyzzx

xyyzzx

是无量纲的物理量。 四、位移 (displacement)

---- 位置的移动。

物体内任意一点的位移用它在x,y,z三个坐标轴上的投影u、v、w表示---位移分量。

规定：以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。

量纲： [长度]

第三节 弹性力学中的两种平面问题

任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系。严格来说，任何一个实际的弹性力学都是三维空间问题。但是，如果所研究的弹性体具有某种特殊的几何形状，并且承受是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。这样的处理，分析和计算的工作量减少，而计算结果仍满足工程上对精度的要求。 一、 平面应力问题（plane stress） 1. 特点

（1）几何形状上---等厚度的平面薄板（其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板）； （2）受力状态上---只在板边上受有平行于板面、并且不沿厚度变化的表面力和体积力。 例：深梁（短而高）

2. 应力

设薄板的厚度为t。以薄板的中面为xy面，垂直于中面的任意直线为z轴。

图 2.2

t

因为在Z=外两个外表面上不受任何载荷。所以，在

2

t

Z=处有 zyzzx0。

2

另外，由于z方向的尺寸很小，外力又不沿厚度变化，则可以认为在整个薄版的所有各点都有

zyzzx0

又由剪应力互等关系，有

zyxz0

而其余的三个应力分量x,y,xy---平行于xy面，都是x,y的函数，与z无关。

3．应变与位移

与三个应力分量x,y,xy对应的独立应变分量

x,y,xy

独立的位移分量

u，v

它们也都是x,y的函数，与z无关。

注：另外，薄板在z方向可以任意变形，故沿分量z和位移w 并不为零。即 z0 ，而 z0

z方向的应变

二、 平面应变问题（plane strain）

1. 特点

（1）几何形状上---是一个近似等截面的长柱体，其长度比横截面的尺寸大的很多；

（2）受力状态上---只受有平行于横截面、且沿纵向长度均匀分布的面力和体力。 例：重力水坝、隧道和挡土墙 2. 变形情况

设长柱体的任一横截面为xy面，任意纵线（沿长度方向）为z轴。

图2.3

则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y函数。此外，在这一情况下，由于任一横截面都可以作为是对称面，所有各点都只会有x和y方向的移动，而不会有z方向的位移，即w=0，由此得

z0

又因各薄板的两侧面仍为平面，故与z方向有关的两个剪应变

yzzx0 由对称条件得 yz

zx

0

根据剪应力互等的关系，有 zyxz0

独立的应变分量 x,y,xy----平行于xy面， 独立的应力分量 x,y,xy， 独立的位移分量 u，v 。 它们都是x,y的函数，与z无关。 注：

（1）长由于Z方向上的变形被阻止了。所以，z0，而z0。

（2）许多工程问题，例如隧道、挡土墙等，并不完全符合无限长柱形体的条件。但实践证明，对于离开两端较远之处，按平面问题进行分析，其结果可满足工程上的精度要求。

第四节 平面问题的平衡方程 —应力与体积力之间的关系

在弹性力学里进行分析问题，要从三个方面来考虑：静力学、几何学和物理学。首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来确定平衡微分方程。

一、 平衡方程 --- 应力与体积力之间的平衡关系

图 2.4

从薄板（或长柱体）取出一个微小的单元体，它在x和

y方向的的尺寸分别为

dx 和 dy

在Z方向上的尺寸为t（厚度）。

应力分量是位置坐标x,y的函数，故作用在左右、上下两对面上的应力不同。 左面 ： x

,,

xy xy

xyx

dx

dx右面 ：xx

下面 ： y上面 ：y

,,

yx yx

yxy

dy

yy

dy

因为六面体是微小的，所以各面上的所受的应力可以认为是均与分布的，作用在各对应面的中心。

单元体所受的体积力，也是均与分布的，作用在它的体积中心。

列方程：

以x坐标轴为投影轴，列出投影的平衡方程∑Fx=0，得

yxx

dxtdyxtdyyxdytdxxxy

yxtdxXtdxdy0

化简以后，两边除以tdxdy，得

yx

X0 xy

同理，由∑Fy=0，得

yxy

yydytdxytdx(xyxdx)tdy



xytdyYtdxdy0

整理得：

xyx



yy

Y0

即平面问题的平衡微分方程为：

xyx

X0xy

xyy

Y0xy

上式表示应力分量与体力之间的关系，称为平面问题的平衡微分方程。上式中，未知量x,y,xyyx ，是超静定的问题，还必须考虑几何条件和物理条件。 注:

（1）由∑Mo=0，得

dxdx

(xydx)dytxydyt

x22

yxdydy

(yxdy)dxtyxdxt0

y22

整理得：

xy

1xy1yx

xydxyxdy

2x2y

略去无穷小量，得

xyyx

即为剪应力互等关系。

（2）对于平面应变问题，在图示的单元上，还有作用于前后两个面的正应力z，但由于它们自成平衡，完全不影响上面平衡方程的建立，所以上面的平衡方程对于两种平面问题都适用。

（3）对于三维问题，其平衡方程为

xyxzx

X0xyzxyyzy

Y0 xyzxzyzz

Z0xyz

第五节 平面问题的几何方程

—应变与位移之间的关系

现在从平面问题的几何学方面，导出应变分量与位移之间的关系，即平面问题的几何方程。 一、 位移

经过弹性体内任意一点P，沿x和y轴的方向取两个微小长度的线段：PA=dx，PB=dy。

uudy

y

v

vdxx

图 2.5

假定弹性体受力之后，有

x方向位移 y方向位移 P→P u v

uv A→A udx vdx xx'

uvdy vdy B→B uyy'

二、 正应变

线段PA的正应变x为

u(udx)uux dxx

注：在这里，由于位移是微小的，y方向的位移v所引起的线段PA的伸缩，是更高一阶微小的，因此略去不计。

线段PB的正应变y为

v(vdy)vvyy dyy

三、 剪应变---线段PA与PB之间的直角改变xy：

由y方向的位移v所引起的，即x方向的线段PA的转角α 由x方向的位移v所引起的，即y方向的线段PB的转角β 线段PA的转角α vvdxvv （使直角变小） dxx

线段PB的转角β u  （使直角变小） y

线段PA与PB之间的直角改变，即剪应变xy xyuv yx

综合到一起，得

uxxv yyuvxyyx

称之为平面问题的几何方程。

注：

(1) 上式对两种平面问题都适用。

(2) 当物体的位移分量完全确定时，由上式可完全确定应变分量；

但当物体的应变分量完全确定时，位移分量却不能完全 确定。

(3) 变形协调方程（相容方程）

由几何方程有

3u2u22yxyxyy

y

两式相加，得 vv22xyxxyx232

xuv 2()2yxxyyxxy

所以，平面问题变形协调方程为 22y22xy

 22yxxy

应变分量x,y,xy必须满足该方程，才能保证位移u、v 的存在。

如果任意选取的函数x,y,xy不满足该方程，那么由三个几何方程中的任意两个球出的位移分量，将与第三个几何方程不相容。这表示，变形后的物体不再是连续的，而将发生某些部分相互脱离/互相侵入的现象。

(4) 为了应用的方便，几何方程可以写成矩阵的形式： 22y2xy

uxxvy

yxyuvyx

① 对于三维问题，几何方程

uxvxyywzzuvxyyzyxvwzxzywu xz

变形协调方程（相容方程）可见相关参考文献。

例题：是说明下列应变状态是否可能？

1. xc(x2y2)

ycy2

xy2cxy

2. xc(x2y2)

ycy2

xy2cxy

x证：1. 2c,2y222y

x20,2xyxy2c

代入变形协调方程，得 左边=右边

所以为真实应变

x2. 2c,2y22y

x20,2xyxy4cy

代入变形协调方程，得 左边≠右边

所以为非真实应变

试证 当三个应变分量确定时，位移分量却不能完全确定。 证：令三个应变分量为零，即

xyxy0 (a)

由几何方程，可以求出相应的位移分量

uvuv0,0,0 (b) xyyx

将前二式分别对x及y积分，得

uf(y),vg( x) (c)

其中f、g 为任意函数。代入(b)中的第三式，得

df(y)dg(x) (d) dydx

↓ ↓

y的函数 ≡ x的函数

故只可能两边都等于同一个常数w ，于是有

df(y)w,dy

积分(e)式，得 dg(x)w (e) dx

f(y)uowy,

uuowy,g(x)vowx (f) 其中uo,vo,w 都是任意常数。代入(c)，得位移分量 vvowx (g)

上式表示的位移是三个应变分量为零时的位移，也就是刚体位移。实际上，uo,vo分别是物体沿x轴及y轴方向的刚体位移，而w是物体绕z 轴的刚体转动。

既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移。可见，当物体发生一定的形变时，由于约束条件不同，它可能具有不同的刚体位移，因而他的唯一并不是完全确定。

在平面问题中，常数uo,vo,w的任意性就反应位移的不确定性。而为了完全确定位移，就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。

第六节 平面问题的物理方程

—应力与应变之间的关系

考虑平面问题中的物理方程，导出应变与应力之间的关系，即平面问题中的物理方程。

对于各向同性的完全弹性体，其应力分量和应变分量之间的关系为线性关系，即服从广义虎克定律，记为

1xx(yz)E1yy(zx)E1zz(xy)E1xyxyG1yzyzG1zxzxG

式中 E ---- 拉压弹性模量（弹性模量）

G ---- 剪切弹性模量

三者的关系 ---- 侧向收缩系数（泊松比，泊松系数）

EG 2(1)

一、 平面应力问题 ∵ zyzzx0 ∴ yzzx0

平面应力问题物理方程

1xyxE

1 y[yx]E12(1)xyxyxyEE

又

z xyE

是由x和y确定，不是独立的应力分量。

解出应力，得

Ex12(xy)E(xy) y21EE1xyxyxy22(1)12

写成矩阵的形式

x10xE10y y211xyxy002

或

D

其中

1ED210

010 102称为平面应力问题弹性矩阵。

二、平面应变问题

∵ z0,yz0,zx0 ∴ yzzx0 由广义虎克定律得

z(xy)

把上式代入广义虎克定律得

12x(xy)

E1



12

(yx)yE1



2(1)2(1)1xyxyxy

E

2

1

把平面应力问题物理方程中的

E换成

E

,换成121

则得平面应变问题的物理方程为

D

1D

E(1)



(1)(1-2)1



0称为平面应变问题弹性矩阵。



10





10 

122(1)

第七节 边界条件

对于弹性力学平面问题，有八个未知量，推导出了八个基本方程，因此在适当的边界条件下，从八个基本方程求解未知函数是可能的。 1. 位移边界条件

物体在全部边界上的位移分量是已知的，即在边界上，有

uus,vvs

式中us,vs 是在边界上坐标的已知函数。 2. 应力边界条件

平衡方程描述的是应力与体积力的平衡关系，而应力边界条件描述的是应力与表面力之间的平衡关系。

如图2-6(a)所示，一个弹性体边界为S1上作用表面力

X,Y，在固定边界S2上u 和v 都等于0。

(a)

y

（b）

图2-6 应力边界条件

把图2-6 (a)的微元体ABD取出得图2-6 (b)。设边界AB 的外法线n 与x轴的夹角为θ，AB长度为ds。则直角边AD=ds sinθ，DB=ds cosθ，由平衡条件

1

xtcosdsyxtsindsXcosdssindst0

2

略去上式中包含高阶微量ds平方项，两边除以tds，得

F

x

0,得

(x)scos(yx)ssin

同理，由

F

y

0，得

(xy)scos(y)ssin

所以，应力边界条件为：

(x)scos(yx)ssin(xy)scos(y)ssin 

如果弹性体处于平衡状态，则在内部应满足平衡微分方程，同时，在边界上应满足应力边界条件。

注意：实际上弹性力学边界条件有三种： 1. 应力边界条件；2. 位移边界条件；3. 混合边界条件。

例题：确定图示平面问题的边界S1和S2的应力边界条件。

解： ① 边界S1： XY0 ，0

所以有 cos1,sin0 ，代入应力边界条件，得

(x)s1(yx)s00(xy)s1(y)s00

故得 (x)s0

,(xy)s 0

o

② 边界S2 ： X0,Yq ，90

所以有 cos0,sin1 ，代入应力边界条件，得

(x)s0(yx)s10(

xy)s0(y)s1q

故得 (y)sYq,(yx)s 0

例题：图示三角形水坝，试写出OA面的应力边界条件。A

解：边界OA面 ： Xgy,Y0 ，

所以有 cos1,sin0 ，代入应力边界条件，得(x)s(1)(yx)s0Xgy(xy)s(1)(

y)s0Y0

故得 (x)sgy,(xy)s 0

例题：确定图示结构AB面（连杆支承面）的边界条件（混合边界条件）。

解：边界AB面的应力边界条件:

X?,Y0 ，0

所以有cos1,sin0,代入应力边 界条件第二个方程，得

(xy)s0

则边界AB面在x方向有位移边界条件:

uus0

第八节 圣维南原理

圣维南原理是法国科学家圣维南于1855年首先提出的。我们在求解弹性力学问题时，对应一定的边界条件，得出相应的解答，表示一定的应力状态。如果边界条件改变，则将得出不同的应力分布状态。当外部载荷比较复杂时，要使应力分量完全满足边界条件是比较困难的，有时只好将边界面上的力系进行适当的变换，从而将对问题的解答有所影响，圣维南原理回答了这个影响的范围。

如图2-8(a)表示用钳夹住一个杆件，即相当于在这杆件上作用于一个平衡力系，如图2-8 (b)所示。由生产实践和理论上都可以说明，无论作用力怎样大（如把杆件钳断）,平衡力在杆件内所引起的应力都局限于A部的附近区域，所引起的应力随着离开A部区域，而很快减小。即在用虚线表示的区域A以外，几乎没有应力产生。

(a) (b)

图2-8

圣维南原理（局部影响原理）可以表述如下：如果物体一小部分边界上的力系，用一个静力等效（合力相等，合力偶矩相等）的力系代替，那么在新的力系作用下，仅在加载

区域临近应力有改变，而距离该区域较远处，应力分布几乎没有影响。

有了上面的认识，我们研究几种静力等效情况。如图2-9所示的情况 ，如果把一端或两端的拉力P变换为静力等效的力P/2，或均匀分布的拉力P/A（A为杆件的横截面积），那么只有图中虚线部分的应力分布有显着的改变，而其余部分所受的影响可以不计。这就是说，在图2-9所示的四种情况下，离开两端较远的部位的应力分布并没有显着的差别。

(a)

P/2

P/A

(c)

P/2

(d)

(b)

图2-9 等效力系

值得注意的是：圣维南原理局部静力等效影响原理的前提条件是静力等效力系作用区域一定小于结构尺寸，否则，应用圣维南原理将会失真。

第九节 虚位移原理

1. 设变形体处于平衡受力状态，如图所示：

X

物体内部有体积力： X 和Y 边界S1上有表面力：X,Y

在外力作用下物体所产生的应力：x,y,xy

设变形体的虚位移u,v，（在固定边界S2上的虚位移 u 和v为零）

虚位移对应的虚应变为：

****

uvuv**

x,*,yxy

xyyx

***

*

2. 变形体虚位移原理

设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力（体积力和表面力）在虚位移上所作的外力虚功W恒等于应力在虚应变上所作的虚变形功U，即：

W=U

其中 W(Xu*Yv*)tdxdy(Xu*Yu*)tds

Ac1

***U(xxy*yxyxy)tdxdy

A

注:

(1) 应用条件

力系要满足平衡条件

虚位移u,v是满足位移约束条件的微小位移

应变满足变形协调方程 **

 2yxxy

（2）虚位移原理是一个普遍方程，适用于弹性力学和塑性力学；

（3）如果外力（体积力和表面力）是转化在弹性体上的若干点上的集中力，即集中力为P而各力相对应作1,P2,...,Pn，

**用点的虚位移为1,*,,2n， 则有： 2*x22*y*2xy

****P(iixxyyxyxy)tdxdy

i1An

其中：t为受力体厚度。写成矩阵形式

Ptdxdy *T*T

A

式中

**

1

T**yxyT*2*TnPP1P2Pn*x* xyxy T（4）虚位移原理可用来代替平衡方程。

第二章 弹性力学基础

弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。

弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。

材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。

弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。

结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。

第一节 弹性力学假设

在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。

1. 假设物体是线弹性的

假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。

由材料力学已知：

脆性材料的物体，在应力≢比例极限以前，可作为近似的完全弹性体；

韧性（塑性）材料的物体，在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。

这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。

2. 假设物体是连续性的

假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，

都比物体尺寸小得很多，则连续性假设不会引起显着的误差。

3. 假设物体是均匀性、各向同性的

整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。

各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。

对于非晶体材料，是完全符合这一假定，而由木材，竹材等作成的构件，就不能作为各向同性体来研究，钢材构件基本上是各向同性的。

凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。

4. 假设物体的位移和应变是微小的

假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，故应变分量和转角都远小于1。 因此

① 在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。

② 在研究物体的应变和位移时，其二次幂或乘积，可

略去不计。

按照以上四个基本假设研究物体中的应力、应变和位移问题的弹性力学，称为线性弹性力学。

第二节 外力、应力、应变和位移的符

号和记号

介绍弹性力学中常用的基本概念：外力、应力、应变和位移。

一、 外力

作用在物体上的外力，可分为两类：体积力和表面力。 1. 体积力（简称体力）

体积力分布在物体体积内部的力。 例如重力和惯性力。 注：

① 在物体内部各点的体积力是不相同的；

② 任一点P处的单位体积内所作用的体积力，沿着直角 坐标轴x,y,z三个方向的投影X,Y,Z，称为该物体在P点的体积力分量。

体积力只与质量成正比，为位置坐标的函数。一般表示为

QvXYZ

规定：体积力分量X,Y,Z以坐标轴的正方向为正。 量纲：[力]/[长度] 2. 表面力（简称面力）

作用在物体表面上的外力。

例如：压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、

3

T

物体与物体之间接触压力及摩擦力等等。 注：

① 物体在其表面各点的表面力是不相同的；

② 在物体表面上任一点P处的单位表面上的表面力，沿 着直角坐标轴x,y,z三个方向的投影X,Y,，称为该物体在P点的表面力分量。

通常情况下，表面力是位置坐标的函数。一般用下式来表示

Qs

定）。

量纲：[力]/[长度]

二、应力(stress)

2



T

规定：X,Y,以坐标轴的正方向为正（弹性力学的规

弹性体在外力作用下，其内部将要产生应力。 某一点P处的应力状态：取PA=dx，PB=dy，PC=dz的一个无穷小的正六面体，如图2-1所示。

将一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。即每个面上的应力都可用三个应力分量来表示。

y

图 2-1 直角坐标系下的应力分量

正应力(normal stress)：用σ表示。角标表示正应力的作用面和作用方向。例如σx是作用在垂直x轴的面上，同时沿x轴方向的正应力。

剪应力(shear stress)：用τ表示，加上两个角标。第一个角标表示作用面垂直哪一个坐标轴，第二个表示作用方向沿哪一个坐标轴。例如τxy是作用在垂直x轴的面上、而沿y轴方向的剪应力。

应力分量的符号规定

（1）当某一截面的外法线与坐标轴正方向相同（称为正面， 如上面、右面和前面），这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。

（2）当某一截面的外法线与坐标轴负方向相同（称为负面， 如下面、左面和后面），这个截面上的应力分量以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

注意：

（1）图中所示的应力分量全部为正（黑色为正面应力，红色为负面应力）；

（2）对于正应力，其符号规定与材料力学中的规定相同（拉应力为正，压应力为负）；

（3）对于剪应力，其符号规定与材料力学中的规定不完全相同；

（4）六个剪应力存在互等关系，即：

xyyx,yzzy,zxxz

（5）可以证明：如果x，y，z，xy，yz，zx这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。

一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而

是坐标x、y、z的函数。

六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：

xyTzxyzxyyzzx

xyyzzx

（6）应力分量的量纲：[力]/[长度]。 三、应变 (strain)

物体受外力作用之后，要发生形状的改变 长度的改变----正应变 角度的改变----剪应变 1. 正应变

线段的单位长度的伸缩，用ε来表示。 例如x---x方向的线段PA的正应变

规定：以伸长为正，缩短为负。 2. 剪应变

各线段之间的直角改变量，以弧度来表示。符号为。例 如yz---y与z两方向(即PB与PC)的线段之间的直角改变。 规定：以直角变小为正，变大时为负。

2

注：

物体内任一点的应变有六个分量：

x,y,z,xy,yz,zx

一般说来，弹性体内各点的应变都不相同，。因此，描述弹性体内应变的上述六个应变分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。

六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：

x

yTzxyzxyyzzx

xyyzzx

是无量纲的物理量。 四、位移 (displacement)

---- 位置的移动。

物体内任意一点的位移用它在x,y,z三个坐标轴上的投影u、v、w表示---位移分量。

规定：以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。

量纲： [长度]

第三节 弹性力学中的两种平面问题

任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系。严格来说，任何一个实际的弹性力学都是三维空间问题。但是，如果所研究的弹性体具有某种特殊的几何形状，并且承受是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。这样的处理，分析和计算的工作量减少，而计算结果仍满足工程上对精度的要求。 一、 平面应力问题（plane stress） 1. 特点

（1）几何形状上---等厚度的平面薄板（其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板）； （2）受力状态上---只在板边上受有平行于板面、并且不沿厚度变化的表面力和体积力。 例：深梁（短而高）

2. 应力

设薄板的厚度为t。以薄板的中面为xy面，垂直于中面的任意直线为z轴。

图 2.2

t

因为在Z=外两个外表面上不受任何载荷。所以，在

2

t

Z=处有 zyzzx0。

2

另外，由于z方向的尺寸很小，外力又不沿厚度变化，则可以认为在整个薄版的所有各点都有

zyzzx0

又由剪应力互等关系，有

zyxz0

而其余的三个应力分量x,y,xy---平行于xy面，都是x,y的函数，与z无关。

3．应变与位移

与三个应力分量x,y,xy对应的独立应变分量

x,y,xy

独立的位移分量

u，v

它们也都是x,y的函数，与z无关。

注：另外，薄板在z方向可以任意变形，故沿分量z和位移w 并不为零。即 z0 ，而 z0

z方向的应变

二、 平面应变问题（plane strain）

1. 特点

（1）几何形状上---是一个近似等截面的长柱体，其长度比横截面的尺寸大的很多；

（2）受力状态上---只受有平行于横截面、且沿纵向长度均匀分布的面力和体力。 例：重力水坝、隧道和挡土墙 2. 变形情况

设长柱体的任一横截面为xy面，任意纵线（沿长度方向）为z轴。

图2.3

则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y函数。此外，在这一情况下，由于任一横截面都可以作为是对称面，所有各点都只会有x和y方向的移动，而不会有z方向的位移，即w=0，由此得

z0

又因各薄板的两侧面仍为平面，故与z方向有关的两个剪应变

yzzx0 由对称条件得 yz

zx

0

根据剪应力互等的关系，有 zyxz0

独立的应变分量 x,y,xy----平行于xy面， 独立的应力分量 x,y,xy， 独立的位移分量 u，v 。 它们都是x,y的函数，与z无关。 注：

（1）长由于Z方向上的变形被阻止了。所以，z0，而z0。

（2）许多工程问题，例如隧道、挡土墙等，并不完全符合无限长柱形体的条件。但实践证明，对于离开两端较远之处，按平面问题进行分析，其结果可满足工程上的精度要求。

第四节 平面问题的平衡方程 —应力与体积力之间的关系

在弹性力学里进行分析问题，要从三个方面来考虑：静力学、几何学和物理学。首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来确定平衡微分方程。

一、 平衡方程 --- 应力与体积力之间的平衡关系

图 2.4

从薄板（或长柱体）取出一个微小的单元体，它在x和

y方向的的尺寸分别为

dx 和 dy

在Z方向上的尺寸为t（厚度）。

应力分量是位置坐标x,y的函数，故作用在左右、上下两对面上的应力不同。 左面 ： x

,,

xy xy

xyx

dx

dx右面 ：xx

下面 ： y上面 ：y

,,

yx yx

yxy

dy

yy

dy

因为六面体是微小的，所以各面上的所受的应力可以认为是均与分布的，作用在各对应面的中心。

单元体所受的体积力，也是均与分布的，作用在它的体积中心。

列方程：

以x坐标轴为投影轴，列出投影的平衡方程∑Fx=0，得

yxx

dxtdyxtdyyxdytdxxxy

yxtdxXtdxdy0

化简以后，两边除以tdxdy，得

yx

X0 xy

同理，由∑Fy=0，得

yxy

yydytdxytdx(xyxdx)tdy



xytdyYtdxdy0

整理得：

xyx



yy

Y0

即平面问题的平衡微分方程为：

xyx

X0xy

xyy

Y0xy

上式表示应力分量与体力之间的关系，称为平面问题的平衡微分方程。上式中，未知量x,y,xyyx ，是超静定的问题，还必须考虑几何条件和物理条件。 注:

（1）由∑Mo=0，得

dxdx

(xydx)dytxydyt

x22

yxdydy

(yxdy)dxtyxdxt0

y22

整理得：

xy

1xy1yx

xydxyxdy

2x2y

略去无穷小量，得

xyyx

即为剪应力互等关系。

（2）对于平面应变问题，在图示的单元上，还有作用于前后两个面的正应力z，但由于它们自成平衡，完全不影响上面平衡方程的建立，所以上面的平衡方程对于两种平面问题都适用。

（3）对于三维问题，其平衡方程为

xyxzx

X0xyzxyyzy

Y0 xyzxzyzz

Z0xyz

第五节 平面问题的几何方程

—应变与位移之间的关系

现在从平面问题的几何学方面，导出应变分量与位移之间的关系，即平面问题的几何方程。 一、 位移

经过弹性体内任意一点P，沿x和y轴的方向取两个微小长度的线段：PA=dx，PB=dy。

uudy

y

v

vdxx

图 2.5

假定弹性体受力之后，有

x方向位移 y方向位移 P→P u v

uv A→A udx vdx xx'

uvdy vdy B→B uyy'

二、 正应变

线段PA的正应变x为

u(udx)uux dxx

注：在这里，由于位移是微小的，y方向的位移v所引起的线段PA的伸缩，是更高一阶微小的，因此略去不计。

线段PB的正应变y为

v(vdy)vvyy dyy

三、 剪应变---线段PA与PB之间的直角改变xy：

由y方向的位移v所引起的，即x方向的线段PA的转角α 由x方向的位移v所引起的，即y方向的线段PB的转角β 线段PA的转角α vvdxvv （使直角变小） dxx

线段PB的转角β u  （使直角变小） y

线段PA与PB之间的直角改变，即剪应变xy xyuv yx

综合到一起，得

uxxv yyuvxyyx

称之为平面问题的几何方程。

注：

(1) 上式对两种平面问题都适用。

(2) 当物体的位移分量完全确定时，由上式可完全确定应变分量；

但当物体的应变分量完全确定时，位移分量却不能完全 确定。

(3) 变形协调方程（相容方程）

由几何方程有

3u2u22yxyxyy

y

两式相加，得 vv22xyxxyx232

xuv 2()2yxxyyxxy

所以，平面问题变形协调方程为 22y22xy

 22yxxy

应变分量x,y,xy必须满足该方程，才能保证位移u、v 的存在。

如果任意选取的函数x,y,xy不满足该方程，那么由三个几何方程中的任意两个球出的位移分量，将与第三个几何方程不相容。这表示，变形后的物体不再是连续的，而将发生某些部分相互脱离/互相侵入的现象。

(4) 为了应用的方便，几何方程可以写成矩阵的形式： 22y2xy

uxxvy

yxyuvyx

① 对于三维问题，几何方程

uxvxyywzzuvxyyzyxvwzxzywu xz

变形协调方程（相容方程）可见相关参考文献。

例题：是说明下列应变状态是否可能？

1. xc(x2y2)

ycy2

xy2cxy

2. xc(x2y2)

ycy2

xy2cxy

x证：1. 2c,2y222y

x20,2xyxy2c

代入变形协调方程，得 左边=右边

所以为真实应变

x2. 2c,2y22y

x20,2xyxy4cy

代入变形协调方程，得 左边≠右边

所以为非真实应变

试证 当三个应变分量确定时，位移分量却不能完全确定。 证：令三个应变分量为零，即

xyxy0 (a)

由几何方程，可以求出相应的位移分量

uvuv0,0,0 (b) xyyx

将前二式分别对x及y积分，得

uf(y),vg( x) (c)

其中f、g 为任意函数。代入(b)中的第三式，得

df(y)dg(x) (d) dydx

↓ ↓

y的函数 ≡ x的函数

故只可能两边都等于同一个常数w ，于是有

df(y)w,dy

积分(e)式，得 dg(x)w (e) dx

f(y)uowy,

uuowy,g(x)vowx (f) 其中uo,vo,w 都是任意常数。代入(c)，得位移分量 vvowx (g)

上式表示的位移是三个应变分量为零时的位移，也就是刚体位移。实际上，uo,vo分别是物体沿x轴及y轴方向的刚体位移，而w是物体绕z 轴的刚体转动。

既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移。可见，当物体发生一定的形变时，由于约束条件不同，它可能具有不同的刚体位移，因而他的唯一并不是完全确定。

在平面问题中，常数uo,vo,w的任意性就反应位移的不确定性。而为了完全确定位移，就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。

第六节 平面问题的物理方程

—应力与应变之间的关系

考虑平面问题中的物理方程，导出应变与应力之间的关系，即平面问题中的物理方程。

对于各向同性的完全弹性体，其应力分量和应变分量之间的关系为线性关系，即服从广义虎克定律，记为

1xx(yz)E1yy(zx)E1zz(xy)E1xyxyG1yzyzG1zxzxG

式中 E ---- 拉压弹性模量（弹性模量）

G ---- 剪切弹性模量

三者的关系 ---- 侧向收缩系数（泊松比，泊松系数）

EG 2(1)

一、 平面应力问题 ∵ zyzzx0 ∴ yzzx0

平面应力问题物理方程

1xyxE

1 y[yx]E12(1)xyxyxyEE

又

z xyE

是由x和y确定，不是独立的应力分量。

解出应力，得

Ex12(xy)E(xy) y21EE1xyxyxy22(1)12

写成矩阵的形式

x10xE10y y211xyxy002

或

D

其中

1ED210

010 102称为平面应力问题弹性矩阵。

二、平面应变问题

∵ z0,yz0,zx0 ∴ yzzx0 由广义虎克定律得

z(xy)

把上式代入广义虎克定律得

12x(xy)

E1



12

(yx)yE1



2(1)2(1)1xyxyxy

E

2

1

把平面应力问题物理方程中的

E换成

E

,换成121

则得平面应变问题的物理方程为

D

1D

E(1)



(1)(1-2)1



0称为平面应变问题弹性矩阵。



10





10 

122(1)

第七节 边界条件

对于弹性力学平面问题，有八个未知量，推导出了八个基本方程，因此在适当的边界条件下，从八个基本方程求解未知函数是可能的。 1. 位移边界条件

物体在全部边界上的位移分量是已知的，即在边界上，有

uus,vvs

式中us,vs 是在边界上坐标的已知函数。 2. 应力边界条件

平衡方程描述的是应力与体积力的平衡关系，而应力边界条件描述的是应力与表面力之间的平衡关系。

如图2-6(a)所示，一个弹性体边界为S1上作用表面力

X,Y，在固定边界S2上u 和v 都等于0。

(a)

y

（b）

图2-6 应力边界条件

把图2-6 (a)的微元体ABD取出得图2-6 (b)。设边界AB 的外法线n 与x轴的夹角为θ，AB长度为ds。则直角边AD=ds sinθ，DB=ds cosθ，由平衡条件

1

xtcosdsyxtsindsXcosdssindst0

2

略去上式中包含高阶微量ds平方项，两边除以tds，得

F

x

0,得

(x)scos(yx)ssin

同理，由

F

y

0，得

(xy)scos(y)ssin

所以，应力边界条件为：

(x)scos(yx)ssin(xy)scos(y)ssin 

如果弹性体处于平衡状态，则在内部应满足平衡微分方程，同时，在边界上应满足应力边界条件。

注意：实际上弹性力学边界条件有三种： 1. 应力边界条件；2. 位移边界条件；3. 混合边界条件。

例题：确定图示平面问题的边界S1和S2的应力边界条件。

解： ① 边界S1： XY0 ，0

所以有 cos1,sin0 ，代入应力边界条件，得

(x)s1(yx)s00(xy)s1(y)s00

故得 (x)s0

,(xy)s 0

o

② 边界S2 ： X0,Yq ，90

所以有 cos0,sin1 ，代入应力边界条件，得

(x)s0(yx)s10(

xy)s0(y)s1q

故得 (y)sYq,(yx)s 0

例题：图示三角形水坝，试写出OA面的应力边界条件。A

解：边界OA面 ： Xgy,Y0 ，

所以有 cos1,sin0 ，代入应力边界条件，得(x)s(1)(yx)s0Xgy(xy)s(1)(

y)s0Y0

故得 (x)sgy,(xy)s 0

例题：确定图示结构AB面（连杆支承面）的边界条件（混合边界条件）。

解：边界AB面的应力边界条件:

X?,Y0 ，0

所以有cos1,sin0,代入应力边 界条件第二个方程，得

(xy)s0

则边界AB面在x方向有位移边界条件:

uus0

第八节 圣维南原理

圣维南原理是法国科学家圣维南于1855年首先提出的。我们在求解弹性力学问题时，对应一定的边界条件，得出相应的解答，表示一定的应力状态。如果边界条件改变，则将得出不同的应力分布状态。当外部载荷比较复杂时，要使应力分量完全满足边界条件是比较困难的，有时只好将边界面上的力系进行适当的变换，从而将对问题的解答有所影响，圣维南原理回答了这个影响的范围。

如图2-8(a)表示用钳夹住一个杆件，即相当于在这杆件上作用于一个平衡力系，如图2-8 (b)所示。由生产实践和理论上都可以说明，无论作用力怎样大（如把杆件钳断）,平衡力在杆件内所引起的应力都局限于A部的附近区域，所引起的应力随着离开A部区域，而很快减小。即在用虚线表示的区域A以外，几乎没有应力产生。

(a) (b)

图2-8

圣维南原理（局部影响原理）可以表述如下：如果物体一小部分边界上的力系，用一个静力等效（合力相等，合力偶矩相等）的力系代替，那么在新的力系作用下，仅在加载

区域临近应力有改变，而距离该区域较远处，应力分布几乎没有影响。

有了上面的认识，我们研究几种静力等效情况。如图2-9所示的情况 ，如果把一端或两端的拉力P变换为静力等效的力P/2，或均匀分布的拉力P/A（A为杆件的横截面积），那么只有图中虚线部分的应力分布有显着的改变，而其余部分所受的影响可以不计。这就是说，在图2-9所示的四种情况下，离开两端较远的部位的应力分布并没有显着的差别。

(a)

P/2

P/A

(c)

P/2

(d)

(b)

图2-9 等效力系

值得注意的是：圣维南原理局部静力等效影响原理的前提条件是静力等效力系作用区域一定小于结构尺寸，否则，应用圣维南原理将会失真。

第九节 虚位移原理

1. 设变形体处于平衡受力状态，如图所示：

X

物体内部有体积力： X 和Y 边界S1上有表面力：X,Y

在外力作用下物体所产生的应力：x,y,xy

设变形体的虚位移u,v，（在固定边界S2上的虚位移 u 和v为零）

虚位移对应的虚应变为：

****

uvuv**

x,*,yxy

xyyx

***

*

2. 变形体虚位移原理

设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力（体积力和表面力）在虚位移上所作的外力虚功W恒等于应力在虚应变上所作的虚变形功U，即：

W=U

其中 W(Xu*Yv*)tdxdy(Xu*Yu*)tds

Ac1

***U(xxy*yxyxy)tdxdy

A

注:

(1) 应用条件

力系要满足平衡条件

虚位移u,v是满足位移约束条件的微小位移

应变满足变形协调方程 **

 2yxxy

（2）虚位移原理是一个普遍方程，适用于弹性力学和塑性力学；

（3）如果外力（体积力和表面力）是转化在弹性体上的若干点上的集中力，即集中力为P而各力相对应作1,P2,...,Pn，

**用点的虚位移为1,*,,2n， 则有： 2*x22*y*2xy

****P(iixxyyxyxy)tdxdy

i1An

其中：t为受力体厚度。写成矩阵形式

Ptdxdy *T*T

A

式中

**

1

T**yxyT*2*TnPP1P2Pn*x* xyxy T（4）虚位移原理可用来代替平衡方程。