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向量的投影与射影
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军
《学普联考卷2012届高三第一次月考
二、填空题13题（理科）：
已知三点
影为_______________。
或许对于选用了人教版地区的学生来说，这是一道再简单不过的题，但是对于选用了人教版的学生来说，这道题就不是那么好做了！原因很简单，人教版与人教版上竟然给出了两个不同的概念，如果上课时没有补充讲解、辨析清楚，这两个概念会使学生一头雾水。刚好我跨年级教学，既用人教版，又用人教版，现在遇到了，就对这两个概念简单地说明一下。
一、概念比较
①人教A版：（
们把数量—2.4.1）已知两个非零向量与，我，，则向量在方向上的投区专用新课标》叫做与的数量积（或内积），记作
即，其中是与的夹角，（）叫做
。 向量在方向上（在方向上）的投影（如下图）
②人教B版：（
作，过点—2.3.1）已知向量和轴（如下图）。分别作轴的垂线，垂足分别为，则
叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作
。
二、概念异同
①不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向量；二者不是同一类，求法各不同。
②相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的；在数学上表示同一个意思，求法是相同的。
三、求解举例
【例题】已知三点
上的投影为_________。
【解析】向量
式
由
式可知：
得：，，利用投影公在求解。 方向上的投影是实数，利用投影公，则向量在方向
。
所以，向量
【变式】已知三点
上的射影为_________。
【解析】向量在方向上的射影是向量，利用公式，则向量在方向在方向上的投影为。
求解。
由
式可知：
得：，，利用射影公
所以，向量
注意：向量在方向上的射影为。 在方向上的投影为实数，向量在方向上的射影为向量
它们的类型显然是不同的；但向
量在方向上射影的数量为实数，与向量在方向上的投影为实数是一回事儿！这一点，希望同学们能注意，不要把概念弄混淆。
2011-12-06 人教网
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已知三点
影为_______________。
或许对于选用了人教版地区的学生来说，这是一道再简单不过的题，但是对于选用了人教版的学生来说，这道题就不是那么好做了！原因很简单，人教版与人教版上竟然给出了两个不同的概念，如果上课时没有补充讲解、辨析清楚，这两个概念会使学生一头雾水。刚好我跨年级教学，既用人教版，又用人教版，现在遇到了，就对这两个概念简单地说明一下。
一、概念比较
①人教A版：（
们把数量—2.4.1）已知两个非零向量与，我，，则向量在方向上的投区专用新课标》叫做与的数量积（或内积），记作
即，其中是与的夹角，（）叫做
。 向量在方向上（在方向上）的投影（如下图）
②人教B版：（
作，过点—2.3.1）已知向量和轴（如下图）。分别作轴的垂线，垂足分别为，则
叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作
。
二、概念异同
①不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向量；二者不是同一类，求法各不同。
②相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的；在数学上表示同一个意思，求法是相同的。
三、求解举例
【例题】已知三点
上的投影为_________。
【解析】向量
式
由
式可知：
得：，，利用投影公在求解。 方向上的投影是实数，利用投影公，则向量在方向
。
所以，向量
【变式】已知三点
上的射影为_________。
【解析】向量在方向上的射影是向量，利用公式，则向量在方向在方向上的投影为。
求解。
由
式可知：
得：，，利用射影公
所以，向量
注意：向量在方向上的射影为。 在方向上的投影为实数，向量在方向上的射影为向量
它们的类型显然是不同的；但向
量在方向上射影的数量为实数，与向量在方向上的投影为实数是一回事儿！这一点，希望同学们能注意，不要把概念弄混淆。
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