高中数学文科圆锥曲线与方程_例题与练习

第二章 圆锥曲线与方程

知识体系总览

§2.1椭圆

1、椭圆及其标准方程

（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

x2y2y2x2

（2）.椭圆的标准方程：221 221（a＞b＞0）

abab

（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于y项的分母，

则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

2、椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.

22

（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程xy1, 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长

22

22

ab

分别等于2a和2b，

c

(2).离心率： e 0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近

a

于圆.

(3)椭圆的焦半径： MF1aex，MF2aex.a=b+c

22

x0y0x2y2

(4).椭圆的的内外部点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部221

abab

2

2

2

(5).焦点三角形PF、三角形面积公式将有关线段PF11F2经常利用余弦定理．．．．．．．．．．．合起来，建立PF1PF2§2.1.1椭圆及其标准方程

典例剖析

题型一 椭圆的定义应用

例1：

、PF2、2c，有关角F1PF2结

、PF1PF2

等关系．面积公式：．．．．．SF1PF2btan2

2



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评析： 点P在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点P椭圆的定义，二是点P满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义

题型二 椭圆标准方程的求法

例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点(,)，求椭圆的标准方程

5

232

x2y2

解法1 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221(ab0)，

ab

由椭圆的定义可知：2a

x2y2222

1 ac2,bac6所以所求的标准方程为

106

53x2y22222

1，将点(,

)代人解得：解法2 c2,baca4，所以可设所求的方程为22

22aa4

x2y2

1 a 所以所求的标准方程为

106

评析 求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准方程的类型，并将其用有关参数a,b表示出来然后结合条件建立a,b所满足的等式，求得a,b的值，再代人方程 备选题

22

例3：设点P是圆xy4上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足PM2MD．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

解 设点M的坐标为x,y，点P的坐标为x0,y0，由PM2MD， 得xx0,yy028x,y，即x03x16，y03y．

22

因为点Px0,y0在圆xy4上，所以x02y024．即3x163y4，

2

2

416

即xy2，这就是动点M的轨迹方程．

39

22

评析 本题中的点M与点P相关，我们得到x03x16，y03y是关键，利用点P在xy4上的条件，

进而便求得点M的轨迹方程，此法称为代人法． 点击双基 1、．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（C ）

2

x2y2x2y2x2y222

y1 D. x1 1 B. 1 C. A.

444334

2若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（B ）

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B 1 C 1 D 1

[**************]2

３.与椭圆9x+4y=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(B )

x2y2x2y2x2y2x2y2

A 1B1C1D1

[***********]

4、椭圆5xky5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k1

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5、椭圆的焦点为F1(0,5),F2(0,5)，点P(3,4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为169y2x2

1,a240，1解：焦点为F，可设椭圆方程为；点在椭圆上，P(3,4)(0,5),F(0,5)122222

aa25aa25

y2x2

1 所以椭圆方程为

4015

课外作业 一、选择题

x2y2

1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（D ） 1．已知椭圆

2516

2 B 3 C 5 D 7

2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点(,)，则椭圆方程是 （ D ）

222222

B．yx1 C．yx1 D．xy1

1064884106

22

3．若方程x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 （ D ） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）

4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（C ） 22

A．yx1

5232

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B．1或1 C．1 D．以上都不对 A．

[**************]

5．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程

是（ C ）。

y2y2y2y2x2x2x2x2 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1

[1**********]

22

6、椭圆mxnymn0(mn0)的焦点坐标为（C ）

A、0,mn B、0,mn C、0,m D、0,nm

x22

7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边

3

上，则△ABC的周长是 ( C )

（A）3 （B）6 （C）43 （D）12

9

8．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件PF1PF2a(a0)，则点P的轨迹是（A ）

a

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 二 、填空题



x2y2

9方程1表示焦点在y轴的椭圆时，实数m的取值范围是_______m(1,3)(3,1)

|m|12

x2y2

10．与椭圆4 x + 9 y = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为________1．

1510

2

2

11、如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式

x2(y3)2x2(y3)210，则M的轨迹方程是

x2y2

1 1625

三、解答题

12．将圆xy4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．

答案：xy21,椭圆

4

2

22

13．答案：14．

第 3 页 共 30 页

思悟小结

1. 要灵活运用椭圆的定义来解决问题，一般情况下涉及焦点问题则应首先考虑定义。 2. 要求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在

中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指的 a与b具体数

2

2

x2y2

1(m0,n0)，也可以设方程值，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为

mn

为Ax2By21(A0,B0)，避免讨论和繁杂的计算

§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第一课时）

典例剖析

题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等． 例1 已知椭圆x2(m3)y2m(m

0)的离心率e顶点坐标．

m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、m0,m

mmm(m2)

0m，

m3m3m3

x2y2

1，解 把椭圆的方程写成：

m

m3

mm1, a2m,b2，ce



m

3

y211a1,b,c，故椭圆的长轴长为2，短轴长为1

，两焦点坐标分别为椭圆的标准方程为：x

124

11F1(F2，四个顶点坐标分别为A1(1,0),A2(1,0),B1(0,),B1(0,).

2222

2

评析： 解决此类问题的关键是将所给的方程正确地化成椭圆的标准方程，然后判断焦点在哪个坐标轴上，准

确的求出a,b，进而求出其他有关性质

题型二 椭圆的几何性质简单应用 例2 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )

A

．

1 B

． C

．2 D

1

22

分析 利用椭圆的几何性质和定义

b2a2c2x2y

2

2c，即2c，即解一 设椭圆方程为221，依题意，显然有PF2F1F2，则aab

e22e10，解得e1．选D．

解二 ∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴PF2F1F22c,PF122c.

∵PF1PF22a，∴22cc2a，∴

c

a

121

21．故选D．

2b2

评析 解法一中的2PF2是椭圆的通径，它是椭圆经过焦点的所有弦中最短的一条题型

a

备选题

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bx2y2

例3： 椭圆221(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于，求该椭圆的离

ab心率.

解本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为

xy

1，左焦点F(-c,0)，则ab

c0|1|b

c1522

117，化简，得5a-14ac+8c=0 得， 或（舍）22a24ab2

22222

abcbac

x2y2

评析： 应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线221(a>b>0)”，

ab

22222

则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴ a>b, ∴a>c-a 从而1e2.

点击双基

1中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于

3

，则椭圆的方程是（ C ） 5

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B.1 C.1 D.1

A.

[**************]59

2

答案：

x2y20

1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF F1 、F2是椭圆则ΔAF面积（ ） 1F245，1F2的97

777A7 B C D

422

x2y2

1上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为 4 4．．椭圆

259yym(a>0，y≠0)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 m＜－1 5、若方程

xaxa

课外作业 一、选择题

1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为

1

，则椭圆的方程是(D ) 3

x2y2x2y2x2y2A.+=1 B.+=1 C.+=1 [1**********]236

2

x2y2D.+=1 3632

答案

x2y2x2y2

3．椭圆221和22kk0具有 （ A ）

abab

A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 4．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B )

第 5 页 共 30 页

bx2y2

例3： 椭圆221(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于，求该椭圆的离

ab心率.

解本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为

xy

1，左焦点F(-c,0)，则ab

c0|1|b

c1522

117，化简，得5a-14ac+8c=0 得， 或（舍）22a24ab2

22222

abcbac

x2y2

评析： 应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线221(a>b>0)”，

ab

22222

则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴ a>b, ∴a>c-a 从而1e2.

点击双基

1中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于

3

，则椭圆的方程是（ C ） 5

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B.1 C.1 D.1

A.

[**************]59

2

答案：

x2y20

1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF F1 、F2是椭圆则ΔAF面积（ ） 1F245，1F2的97

777A7 B C D

422

x2y2

1上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为 4 4．．椭圆

259yym(a>0，y≠0)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 m＜－1 5、若方程

xaxa

课外作业 一、选择题

1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为

1

，则椭圆的方程是(D ) 3

x2y2x2y2x2y2A.+=1 B.+=1 C.+=1 [1**********]236

2

x2y2D.+=1 3632

答案

x2y2x2y2

3．椭圆221和22kk0具有 （ A ）

abab

A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 4．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B )

1

B.

C. D. 2 22x2y2

1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为 5. 椭圆

4924

A.

（D ）

A 21 B 22 C 23 D 24

22

6．椭圆xy1上的点到直线x2y20的最大距离是

164

（D ）

D．

A．3 B． C．22

7．椭圆两焦点为 F1(4,0)，P在椭圆上，若 △PF则椭圆方程为（ B ） F2(4,0) ，1F2的面积的最大值为12，

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 C . 1 D . 1 A. 1 B .

[1**********]69

x2

8．过点M（－2，0）的直线m与椭圆P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k（，k10）y21交于P1，1

2

直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为 （ D ）

A．2 二 、填空题

B．－2 C．

1

2

D．－

1 2

x2y2

9．已知点（0, 1)在椭圆+ = 1 内，则m的取值范围是[1, 5)(5,+∞).

5m

15x2y2

1的离心率为，则k的值为___________4,或． 10．椭圆

24k89

c2k891c29k81522

,k4；当k89时，e2,k 解：当k89时，e2

ak84a944x2y2

11．设AB是椭圆221的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则

abb2

kABkOM____2．

a

xx2y1y2

,)， 解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则中点M(122

y2y1y2y1y22y12

得kAB，kABkOM2 ,kOM2

x2x1x2x1x2x1

y22y12b2

2 bxayab,bx2ay2ab,得b(x2x)a(y2y)0,即2

x2x12a

22

1

221

22

2

2

2

2

22

2

2

21

2

2

21

三解答题 12.答案：

13已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e

b45

2

，短轴长为85，求椭圆的方程． 3

解 :由

c2e

a3



a12y2x2x2y2

，∴椭圆的方程为：1或1. c[1**********]

a2b2c2

22xy14椭圆21a＞b＞0与直线xy1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点.（1）2ab

求

11≤e≤2，求椭圆长轴的取值范围. 的值；（2）若椭圆的离心率满足e

a2b232

解：设P(x1,y1),P(x2,y2)，由OP ⊥ OQ  x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

y11x1,y21x2,代入上式得：2x1x2(x1x2)10 ①又将y1x代入

a2(1b2)x2y22a2222222

1

(a

b

)x2axa(1b)0，0,x1x22,x1x22

a2b2ab2ab2代入①化简得 112.

22

a

b

a2c2b21b211b222

(2) e212122,又由（1）知b2

322a32a1aaa

2



1125356

，∴长轴 2a ∈ [5,6]. a2a2

22a134222

思悟小结

1.要准确把握椭圆的标准方程的结构特征以及“标准”的含义，能从椭圆的标准方程读出几何性质，更要能

a2

够利用标准方程解决问题，在解题时要深刻理解椭圆中的几何量a,b,c,e,等之间的关系及每个量的本质含

c

义，并能熟练地应用于解题。

2.要能熟练地应用几何性质来分析问题，特别是离心率作为几何性质之一，必须重点突破。

§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第二课时）

典例剖析

题型一 直线与椭圆

例1 已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线yx2交椭圆C于A、B两点，

求线段AB的中点坐标． 解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:

x22

xy122

y1.联立方程组9,消去y得, 10x36x270. 9yx2

18xx29

 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0)那么: x1x2,x0=1

255

191

所以y0=x0+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).

555

2

评析 直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题，进而转化为一

元二次方程的问题．

题型二 求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题

例2

评析 “点差法”的要点是巧代斜率，与弦中点有关的问题有三类：平行弦的中点轨迹，过定点的弦中点轨迹，过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程 备选题

例3．在ABC中，BC=24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求ABC的重

心的轨迹方程。

解 如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角

坐标系。 设M为ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由

重

22|BD||CM||CE|，，于是33

2222

|MB||MC||BD||CE|=(|BD||CE|)=3926.根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为

3333

心

的

性

质

知

|BM|

焦点的椭圆.

2a|MB||MC|26，a13，又2c|BC|24，c12，b2a2c213212225，故所求的

x2y21(y0). 椭圆方程为

16925

评析 有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B、C和ABC的重心有关，因此需考虑以BC的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点A不能在BC的所在的直线上。 在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几

x2y2

1(y0) 何意义，在本题中，所求的椭圆方程为

16925

点击双基

1 答案：

答案：

x2y2

1上的点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则△PF1F2的周长是（ B ） 3．点P是椭圆95

（A）12

（B）10

（C）8

（D）6

4

． 5

4．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于_________x2y2

5．已知Px,y是椭圆1上的点，则xy的取值范围是____________[13,13]．

14425

课外作业 一、选择题

答案：D

2．椭圆xmy1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ A ）

A．

2

2

11

B． C． 2 42

D．4

3、若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ C ）

2113A. B. C. 2322

22xy

4．已知椭圆方程为+ ，焦点在x轴上，则其焦距等于 （ A ）

8m（A）8–m （B）22–|m| （C）m–8 （D）|m|–22

x2y21

5．若椭圆 + = 1的离心率为, 则m的值等于 （ ）

16m[1**********]28

（A）18 （B）18或 （C）16或 （D）16或

9999

x2y2

6．已知F是椭圆221(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x

ab

离心率是 （ A ） （A）

221

（B） （C） (D) 2422

x2y2

1上一点,F1、F2为其焦点，则cos∠F1PF27．若P是椭圆94

A．

111 B．－1 C． D． 299

x2y29

1上三个不同的点，则“AF,BF,CF 成8设A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)是右焦点为F的椭圆

5259

等差数列”是“x1x28”的（ A. ）.

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既非充分也非必要

4449

.由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，|BF|＝5－×4＝，|CF|5555

4449

＝5－x2，故AF,BF,CF成等差数列（5－x1）＋（5－x2）＝2×x1x28，

5555

解：a＝5，b＝3，∴c＝4，F（4，0）， e＝

二 、填空题

x2y2

9．椭圆+ = 1 的焦距为2,则m的值为或3

m4

10．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程

x2y2

是 . + = 1

162511、长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C（x，y）满足AC2CB，则动点C的轨

迹方程是 . 答案：x

2

12

y1 4

三、解答题

12已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为

3，求椭圆的方程。

x2y2

1(m0,n0,mn) 解：设椭圆的标准方程mn

5232

()()22xy1，解得 m6,n 则有 

nm610

()2()2

1

nm

x2

y21交于不同两点A和B，且OAOB1（其中O为坐标原点）13．直线ykx，求k的3

值．

x2

y21，得(13k2)x230． 解：将ykx3

由直线与椭圆交于不同的两点，得

2

113k0,2

即． k222

3)12(13k)12(3k1)0.

设A(xA,yA),B(xB,yB)，则.由OAOB1，得xAxByAyB1．

而xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xAxB)2

53k2353k2

1．于是．解得 k(k1)2222

3k11

3k1

故k的值为．

14已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2

2

的距离之和为12，圆Ck:x2y22kx4y210(kR)的圆心为点Ak.

2

（1）求椭圆

G的方程；（2）求AkF1F2的面积；（3）问是否存在圆Ck包围椭圆G? 请说明理由

.

x2y2

解（1）设椭圆G的方程为：221 （ab0）半焦距为c;

ab

2a1222a

6222 则解得 , bac36279 所求椭圆G的方程为：xy1. c369

c

a

11

（2）点AK的坐标为K,2， SVAKF1F2F1F222

22

22

（3）若k0，由6012k0211512k0可知点（6，0）在圆Ck外，

若k0，由(6)20212k0211512k0可知点（－6，0）在圆Ck外；

思悟小结

1,在直线与椭圆的位置关系问题中，要注意弦长问题，垂直问题、中点弦问题等，解决的一般思路是联立直线与椭圆的方程组，消去一个未知量，通过题意找到根与系数的关系，利用韦达定理列式求解。

x2y22

2把椭圆方程221(ab0)

与直线方程ykxb联立消去y，整理成形如AxBxC0的形式，对

ab

此一元二次方程有：

（1）0，直线与椭圆有两个公共点P,Q，此时的弦长的求法：①求两点P,Q的坐标，利用两点间的距离公式；②由韦达定理得到弦长公式PQpxq，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长。

（2）0,直线与椭圆有一个公共点，相切 （3）0,直线与椭圆有无公共点，相离

§2.2双曲线

知识梳理

1、双曲线及其标准方程

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.

若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

（2）

.双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

2、双曲线的简单几何性质

x2y2c（1）.双曲线221实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e离心率e越大，开口越大.

aba

bx2y2x2y2

（2）.双曲线221的渐近线方程为yx或表示为220.若已知双曲线的渐近线方程是

aabab

22

y

m

x，即mxny0，那么双曲线的方程具有以下形式：m2x2n2y2k，其中k是一个不为零的常数. n

a2a2

（3）焦半径公式PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc

（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b

①若双曲线方程为221渐近线方程：220yx；②若渐近线方程为

abaab

xyx2y2x2y2b

yx0双曲线可设为22；③若双曲线与221有公共渐近线，可设为

abaabab

x2y2x2y2

2（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.④双曲线221(a,b0)焦点三角形面积：2abab

SF1PF2bcot

2



2

，高h

b2cot

c



。

§2.2.1双曲线的定义与标准方程

典例剖析

题型一 双曲线标准方程的判断

题型二 求双曲线标准方程

例2 已知双曲线过M(1,1),N(2,5)两点，求双曲线的标准方程

x2y2

解法1 当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为：221(a0,b0)，因为M(1,1),N(2,5)在

ab

1118

18x2y2a2b2a27

1 双曲线上，所以, 解得：；所求的双曲线方程为：

42511771a2b2b27

y2x2

当双曲线的焦点在Y轴上时，设双曲线的方程为：221(a0,b0)，因为M(1,1),N(2,5)在双曲线

ab

1111

18x2y2a2b2a27

1 上，所以, 解得：；（不合舍去）综上：所求的双曲线方程为：77182541

7b2a2b2

22

解法2 因为双曲线的焦点位置不定，所以设双曲线的方程为：mxny（1mn0)

8mmn18x2y27

1 因为点M(1,1),N(2,5)在双曲线上，解得所求的双曲线方程为：

1774m25n1n7

评析 解法1采用了通法，因为无法判断焦点所在的位置，分两种情况讨论。解法2将双曲线的方程设为

mx2ny2（1mn0)，运算比较简便。

备选题

例3：

评析 确定一个双曲线的标准方程需要三个条件a,b，两个定形条件，一个定位条件：焦点坐标。 点击双基

1、命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙： 点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( B )

(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

x2y2

2、圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在该双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是

916（D ）

416A． B

C．5 D．

33

3、设x,yR，且2y是1x和1x的等比中项，则动点x,y的轨迹为除去x轴上点的（D ） A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆

x2y2

1表示双曲线，则k的取值范围是 (,4)(1,) 4．若曲线

4k1k

5、设ABC的顶点A(4,0)，B(4,0)，且sinAsinB

1

sinC，则第三个顶点C的轨迹方程是________. 2

x2y2

1(x2) 答案：

412

课外作业

一、选择题

1动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（D ）

双曲线 B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线

x2y2

2．方程（ D ） 1表示双曲线，则k的取值范围是

1k1k

A．1k1 B．k0 C．k0 D．k1或k1

x2y2

3． 双曲线2（ C ） 1的焦距是

m124m2

A．4 B．22 C．8 D．与m有关

x2

4 如果双曲线－y2=1的两个焦点为F1、F2，A是双曲线上一点，且｜AF1｜=5，那么｜AF2｜

9

等于( D )

A.5+ B.5+2 C.8 D.11

x2y2

1左焦点F1的弦AB长为6，则ABF2（F2为右焦点）的周长是（ A ） 5．过双曲线

169

A．28 B．22 C．14 D．12

x2y2

已知ABP的顶点A、B分别为双曲线C1的左右焦点，顶点P在双

1696、

sinA-sinB

曲线C上，则的值等于

sinP

A.

45

B C

D. 542

答案 A

y2

1的左右焦点．若点P在双曲线上，且PF1PF20 7、设F1,F2分别是双曲线x9

则PF1PF2=（B ）

A．

B． 2 C． D． 2

8已知F1,F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是 （ B ）

A 直线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线 二、填空题

y2x2

9 过点A(－2，42)、B(3，－2)的双曲线的标准方程为－=1

416y2x222

10. 与双曲线16x－9y=－144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为－=1

214

x2y2

11.方程+=1表示的曲线为C，给出下列四个命题:

4kk1

①曲线C不可能是圆； ②若14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1

5

.其中正确的命题是__________.③④ 255

解析:当4－k=k－1,即k=时表示圆，否定命题①,显然k=∈(1,4),

22

∴否定命题②；若曲线C为双曲线，则有(4－k)(k－1)

上的椭圆，则4－k>k－1>0,解得1

5

,说明命题④正确. 答案:③④ 2

x

2y2

1有相同焦点，且经过点，求其方程。 12．双曲线与椭圆

2736y2x2y2x2

1的焦点为(0,3),c3，设双曲线方程为21过点， 解：椭圆23627a9

a1615y2x2222

1，得a4,或36，而a9，a4，双曲线方程为1． 则2

a9a245

9

(3,,5)，,P

13．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P坐标分别为求双曲线的标准方程． 12

4

y2x2

解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为221(a0,b0)①；

ab

∵点P1,P2在双曲线上，∴点P1,P2的坐标适合方程①．

(232

212

ab9

将(3,

,5)分别代入方程①中，得方程组： 92425()

221

ba

11211y2x2a216a16

1． 将2和2看着整体，解得，∴2即双曲线的标准方程为

ab169b911

b29

14如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100 m，

PB=150 m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程

解:设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, C 即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50. ∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点O为

x2y21

原点的直角坐标系，则曲线为－=1,其中a=25,c=|AB|.

ab2

P

x2y2222

∴c=257,b=c－a=3750.∴所求曲线方程为－=1(x≥25,y≥0).

6253750

思悟小结

由给定条件求双曲线的方程常用待定系数法。首先是根据焦点的位置设出方程的形式（含参数），再由题设条件确定参数的值，应特别注意焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏。

B

§2.2.2双曲线的简单的几何性质（第一课时）

典例剖析

题型一 双曲线的性质

x2y2141共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程. 例1已知双曲线与椭圆

9255

4

解 由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,

5

y2x2

1. 从而

所以求双曲线方程为:

412

评析 关于双曲线离心率、渐近线问题常常是考察的重点，主要寻找a,b,c三元素之间的关系

题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法

x2y2



1有共同的渐近线，并且经过点4)的双曲线方程． 例2 求与双曲线93

x2y2

0

解 由题意可设所求双曲线方程为：93

双曲线经过点4)

(4)2

5 3

y2x2

所求双曲线方程为：1

1545xyx2y2x2y2

评析 渐近线为0的双曲线方程可设为22(0)，若与221有共同的渐近线也可以

abababx2y2

设出双曲线系22(0)，再把已知点代入，即可求出．

ab

备选题

y2

1上两点A、B，AB中点M（1，2） 例3 设双曲线x2

2

⑴求直线AB方程；

⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

ykx2k2222解法一：显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k)x-2k(2-k)x-k+4k-6=0 y2

1x

2xxk(2k)

当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2） 则12∴ k=1，满足△>0∴ 直线AB：y=x+1

22k2

2y12x1112 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）则两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)

22x2y2122

y221y1y22(x1x2)2

1 ∴ AB：y=x+1代入x1得：△>0 ∵ x1≠x2∴ ∴ kAB

22x1x2y1y2

评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须

检验条件△>0是否成立。

（2）设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

yx1由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3 y22

1x

2yx32由得：x2+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0） y2

1x

2

xx4

3,y0x036∴ M（-3，6） 则x03

2

1

|CD|=2又|MA|=|MB|=2∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2

∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，2为半径的圆上

评析：此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心，充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在学习中必须引起足够重视. 点击双基

∴ |MC|=|MD|=

1、若双曲线x2ky21的离心率是2，则实数k的值是（B ） A.3 B.  C. 3

13

D.

1 3

x2y2

2、若双曲线221(a0,b0)的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（ D ）

ab2

A．yx B．y2x C．yx D．y22x

2

x2y2

1表示双曲线的（ A ） 3、若kR，则k3是方程

k3k3

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既充分也不必要条件

x2y2

P到x轴的距离为 1 的两个焦点为F1、F2，点P在该双曲线上，若PF4、双曲线1PF20，则点

916

第 15 页 共 30 页

16. 5

y2x2

5、若双曲线2－2=1的渐近线与方程为(x2)2y23的圆相切，则此双曲线的离心率

ab

为 2．

课外作业

一、选择题

22

1.方程mx＋ny＋mn=0(m

A (0,

x2

2．焦点为0,6，且与双曲线（B ） y21有相同的渐近线的双曲线方程是

2

x2y2y2x2y2x2x2y2

A．B．C．D．1 1 1 1

[**************]2

x2y2x2y2

3．若0ka，双曲线2（ D ） 1与双曲线221有

akb2kab

A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点

xx2y2

4、若双曲线221的一条渐近线方程为y0．则此双曲线的离心率为（B ）

3ab

A

B

C

．D

x2

y21有相同渐近线的双曲线的方程是(D ) 5、过点(2，-2)且与双曲线2

x2y2y2x2x2y2y2x2

1 (B)1 (C)1 (D)1 (A)42422424

2222yxxy

6、双曲线221(a,b0)的一条渐近线与椭圆221(ab0)交于点M、

abbaN，则MN=（Ｃ）

A. a+b

22

B. 2a C. 2(ab)

22

D. 2(ab)

x2

y21(n1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,

且满足PF1PF27、双曲线n

则PF1F2的面积为(A )

1

(A)1 (B) (C)2 (D)4

2

解：假设PF

1PF2,

由双曲线定义PF1PF2

PF1PF2解得PF1PF2

F1F2S

2

2

PF1F2

1

PF1PF21 2

x2x22

8、给出下列曲线：①4x+2y－1=0; ②x+y=3; ③y1 ④y21，其中与直线

22

y=－2x－3有交点的所有曲线是 （ D ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 二填空题

x2y2

1a0的一条渐近线方程为3x2y0，则a＝__________.2 9若双曲线29a

455x2y2

1的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率e为或 10已知双曲线

334mn

第 16 页 共 30 页

x2y2

11．直线y

x1与双曲线1相交于A,B两点，则AB=______ 46

23

三解答题

12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

35

；（２）顶点间的距离为6，渐近线方程为yx．

24

2b12,

x2y2

（１）解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为22=1．由题意，得c5 解得a8，c10．∴

ab.a4

x2y2222

1． bca1006436．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为

6436

x2y2

（2）解１：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为22=1

ab

2a12,

x2y29

1． 由题意，得b3 解得a3，b．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为

819.2a24

y2x2

1． 同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为94

3x2y2

(0) 解２：设以yx为渐近线的双曲线的方程为

249

x2y29

1． 当＞０时，246，解得，＝． 此时，所要求的双曲线的方程为

8194

4y2x2

1 当＜０时，296，解得，＝－１．此时，所要求的双曲线的方程为94

（１）焦点在 x轴上

,虚轴长为12，离心率为

13．

14．

思悟小结

1.由已知双曲线方程求基本量，注意首先将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置。

xyx2y2

2渐近线是刻划双曲线的一个重要概念。渐近线为0的双曲线方程可设为22(0)，若与

abab

第 17 页 共 30 页

x2y2x2y2

1有共同的渐近线也可以设出双曲线系22(0)

aba2b2

§2.2.2双曲线的简单的几何性质（第二课时）

典例剖析

题型一 应用双曲线的定义及性质解题

例1 求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的比例中项． 证明：设等轴双曲线的方程为x2y2a2，双曲线上任一点P的坐标为x1,y1 则P到中心的距离

为

，等轴双曲线的离心率

是，所以点P到两焦点的距离分别

为

|1a|,|1a|，所以|PF1||PF2||

1a||1a||

2x12a2||x12y12||PO|2

评析：涉及双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要双曲线的定义，P到两焦点的距离分别为

|1a|,|1a|即为焦半径公式，请同学们自行推导

题型二 直线与双曲线的位置关系

2

例 已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x－2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围. 分析 联立方程组，结合数形讨论

ykxb222

解

联立方程组2消去y得(2k—1)x+4kbx+2b+1=0,

2

x2y1当2k10k2

（1）当b0时，有一个交点；

（2）当b0时，没有交点，所以不合题意．

=(4kb)

2—4(2k2—1)(2b2+1)=—4(2k2—2b2

—1)≥0，对所有实数b

恒成立，∴2k2—1≤0，得 所以 kk

2222

当2k10

k2

评析 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证

明．注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种．一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线．另一种是与双曲线相切的直线也有两条． 备选题

22

例3： k代表实数，讨论方程kx2y80所表示的曲线.

y2x2

1为焦点在y轴的双曲线； 解： 当k0时，曲线

84k2

当k0时，曲线2y80为两条平行于x轴的直线y2或y2；

x2y2

1为焦点在x轴的椭圆； 当0k2时，曲线84k22

当k2时，曲线xy4为一个圆；

y2x2

1为焦点在y轴的椭圆 当k2时，曲线

84k

评析：针对k的各种情形进行分类讨论

.

点击双基

x2y2

1的焦距为（.D ）

1．双曲线

10

2

A． B． C．D．第 18 页 共 30 页

1x2y2

2若双曲线221(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是

4ab

（C ）

A、x2y0 B、2xy0 C

、x0 D

y0

b1x2y2

，

解:对于双曲线221(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离因为b，而

2c4ab

1b因此bc,a

，因此其渐近线方程为x0. ,

2a2

3．已知双曲线方程为x2y1，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（B ）

4

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

5x2y2

4、与双曲线1有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为

4916

x2y25、已知双曲线221(a0,b

0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，

abx23y2

则双曲线方程为 ．1

44

课外作业

一、选择题

1.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D

x22y2

A -y=1和

3922xC y-=1和x2-32

x2x222x-=1 B -y=1和y-=1 333

x2y2y2x22

=1 D -y=1和-=1

9333

2．已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 A．1

B．2

C．3

D．4

1

，则m（D ） 5

x2y2

1有共同的渐近线，且经过点A(3,23}的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 3.与双曲线

916

(C )

A 8 B 4 C 2 D 1

4.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( C ) A （-∞,0） B (-3,0) C (-12,0) D (-12,1)

5已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 （D） (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5

x2y2

6如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（A ） 42

(A)

4 3

(B)

26

3

(C)2

(D)2

x2y2

7、设F1，F2分别是双曲线22的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290

ab

且AF13AF2，则双曲线的离心率为（B ）

A

．

2

B

．

2

C

．

2

D

x2y2

1的左右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且PF2F1F2，则PF1F28．已知双曲线C:

916

的面积等于(C )

第 19 页 共 30 页

（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96 填空题

x2y2

1的离心率e∈

(1, 2)，则

k的取值范围是 ．(12,0) 9.

双曲线

4k

10、若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=xa＋b的值是 ．

1 2

x2y223

11．已知双曲线221(a0,b0)的离心率的取值范围是e[,2]，则两渐近线夹角

3ab



的取值范围是 ． [,]

32

三、解答题12.

13．答案：

14．设椭圆与双曲线有共同焦点F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.

解法1：设交点为P(x,y)，双曲线的实半轴长为a (2

由半焦距为4, 得它们的方程分别为：

2

x2a2



y216a2

1 (1) 和

x24a2



y24a216

=1 (2)

(a24)(16a2)

(2)4─(1)得：y (3),代入(1)得：a2=2|x|

422

再代入(3)化简得：(x─5)+y=9 或(x+5)2+y2=9 .

解法2：用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||, 解得：|F1P|=3 |F2P| 或3 |F1P|=|F2P| .即：

(x4)2y23(x4)2y2或 (x4)2y23(x4)2y2,

化简得：(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9． 思悟小结

1涉及双曲线上的点P到两个焦点F 1、F2的距离问题为aex0，即为焦半径公式，请同学们可以尝试推导。2解决直线与双曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更方便。

§2.3抛物线

知识梳理

1．抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

方程y2px

2

p0叫做抛物线的标准方程．

pp,0），它的准线方程是x； 22

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

2．抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他

几种形式：y2

2px，2，

2.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离．

§2.3.1抛物线及其标准方程

典例剖析

题型二：求抛物线的标准方程

例2 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（—3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.

解1 设抛物线方程y2=—2px(p＞0)，则焦点F（—

m26p

p4p4

，解得 或p22m26m2m(3)5

2

p

,0)，由题设可得： 2

故抛物线的方程为y2=—8x,m的值为±解2 设抛物线方程为y2=—2px(p＞0)，则焦点F（—

pp,0），准线方程为x=. 22

p

+3=5， 2

∴p=4．因此抛物线方程为y2=—8x，又点M（—3，m)在抛物线上，于是m2=24，∴m=±根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，则评析 比较两种解法，可看出运用定义方法的简捷. 备选题

例3如图所示，点A(1,0).点R在y轴上运动，T在x轴上，N为动点，

且RTRA0,RNRT0,设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程； 解：设N(x,y)，由RNRT0知：R是TN的中点， 则T(x,0),R(0,),RTRA0(X,)(1,)0





y

2y2y2

则y4x就是点N的轨迹曲线C的方程

评析 此问题是平面解析几何和向量知识的结合，以向量为背景求圆锥曲线方程是命题的一种方向。 点击双基

1、 顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线方程是(B )

(A)x2=8y (B)x2= 8y (C)y2=8x (D)y2=8x

2

2.、抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B ) 17157

(A) (B) (C) (D)0 16168

2

3、过点P(0,1)与抛物线y=x有且只有一个交点的直线有(B )

(A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条 解：过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求

4抛物线y24ax(a0)的焦点坐标是_____________; (a,0)

5、动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是. x2=8y 课外作业 一、选择题

1．抛物线y2x2的焦点坐标是 （ C ）

1

C．(0,)

84

2．抛物线y210x的焦点到准线的距离是（ B ）

A．(1,0) B．(1,0) D． (0,1)

4

A．

515

B．5 C． D．10 22

3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上,其上的点P(m,3)到焦点的距离为5, 则抛物线方程为（ D ）

A．x28y B．x24y C．x24y D．x28y 4.抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是 ( A )

|a|aa|a|

B x= C x D x=

44443

5.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是( C )

4

A

B 4 C 8 D 2

A.x

6．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为（D ） A．x28y B．x24y

C．x24y

D．x28y

7若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( B )

(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(

2

1

，1) 2

(D)(0，0)

8过抛物线yax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于(C )

(A)2a (B)

11pq

14 (C)4a (D) 2aa

解：作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q，则

1122

p=q=|FK|而|FK|1,4a

2apqp

(

2a

)

二、填空题

2

9．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是 x＝8y

10．平面上的动点P到点A（0，－2）的距离比到直线l：y＝4的距离小2，则动点P的轨迹方程是

2

x＝－8y

12

11．抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______(,)．

84

三、解答题

12．求经过点P2,4的抛物线的标准方程．

解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：y22px或x22py

在第一种情形下，求得抛物线方程为：y28x；在第二种情形下，求得抛物线方程为：x2y； 13在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小. 解：如图，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|，由抛物线定义可知：|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|，显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2．故点P的坐标为（2，2）.

14.已知圆x2y29x0与顶点原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A、B两 △AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程．

点，

解：设所求抛物线y22px，因为△AOB的垂心恰为抛物线的焦点,所以AB⊥X轴,则可设

pp

Ax1,y1,Bx1,y2,F,0.而OAx1,y1,FBx1,y2,由题意OAFB0,可得

22

22p5y1x19x102

x1x12px10,即x1p.又A点既在圆上又在抛物线上所以2得x192p所以

22y12px

5

p92p,p2,y24x 2

思悟小结

1.重视定义在解题中的应用；灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化。

2注意确定四种标准方程的条件，明确抛物线的焦距、焦顶距、通径与抛物线标准方程中的系数的关系。 §2.3.2抛物线的简单的几何性质（第一课时）

典例剖析

题型一 利用定义和几何图形的性质求解.

例1 求证：以抛物线y2 = 2px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切． 证明 如图，过A，B分别作AC，BD垂直于l，垂足为C，D．据抛物线定义有：|AC| =|AF|，|BD| = |BF|，所以|AB|＝|AC|＋|BD|.

又由ACDB是梯形，据梯形中位线性质知：|MH|

11

(|AC||BD|)|AB| 22

即|MH|为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证．

评析

题型二：焦点弦问题

例2 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.

解1 如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.

由题可知，直线AB的方程为y=x—1，代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0 解上述方程得x1

x2=3—

y

y2=2—即A、B的坐标分别为（，（3—2—

∴|AB|=(322322)

22(222222)28 解2 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1·x2=1

∴|ABx1—x2|2(x1x2)24x1x226248

解3 设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|

即|AF|=|AA′|=x1+1；同理|BF|=|BB′|=x2

+1 ∴|AB|=|AF

|+|BF|=x1+x2+2=8

评析： 解2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视． 备选题

例3在抛物线y

4

x上求一点，使这点到直线y4x5的距离最短。 解：设点P(t,4t)，距离为d，d

2

2

2， 

当t

11

时，d取得最小值，此时P(,1)为所求的点。 22

评析，此问题可以设点P(t,4t2),利用抛物线标点法求解；也可以设y4xb与y4x2相切，求出切点的坐标 点击双基

1从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，

则△MPF的面积为（ B ）

A．5

B．10

C．20 D．

2 过抛物线y22px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则AB的最小值为（C ）

p

B p 2p D 无法确定 2

3、若抛物线y24x的焦点是F,准线是l,则经过点F、M（4，4）且与l相切的圆共有（ C ）．

A

A.0个 B.1个 C.2个 D.4个

4、过抛物线y4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),若x1x26,那么AB等于 5、过抛物线y＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝__－p

课外作业 一、选择题

1．焦点是F(2,0)的抛物线的标准方程是（A ）

（A）y28x （B）y28x

2

2

2

2

2

（C）x28y

2

2

（D）x28y

2

2.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点(－

到焦点距离是6,则抛物线的方程为（D ） （A）y4x （B）y2x （C）y2x （D）y4x或y36x

3.一个正三角形的顶点都在抛物线y4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（ A ） （A

）（B

）（C

） （D

）92

4．过抛物线y4x的焦点作直线交抛物线于Ax1,y1，Bx2,y2两点，如果x1x26， 那么|AB|=（ B ）

（A）10 （B）8 （C）6 （D）4

5．已知M为抛物线y4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P3,1，则|MP||MF|的最小值为（ B ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6

6.抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于 （ A ）

2

2

A. （B）2 （C）

2

2

（D）15

7动点P在抛物线y=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是(C )

2222

（A）(2y+1)=-12x（B）(2y+1)=12x （C）(2y-1)=-12x（D）(2y-1)=12x 8、如图，过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（B ）

A．y

2

2

交

3x 2

2

B．y3x C．y

2

9

x D．y29x 2

二、填空题

2

9.抛物线y6x的焦点的坐标是,0, 准线方程是

32

3x.

2

10.已知圆x2y26x70，与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p _______2_．

11．过抛物线y4x焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是

______

2

y22x1 )

三、解答题

12已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x+y=4相交的公共弦长等于2，求这抛物线的方程．

2

2

解:设抛物线方程为y22pxp0或y22pxp0.

当p0时,根据对称性设Ax0,,Bx0,,代入圆方程得x01,2p3, 求得抛物线方程为y23x.同理可得y23x





1

x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线段AB中点M的轨迹的方程． 2

xa22

解：设M的坐标为（x，y），A（2a，a），又B(0,3a)得 

y2a

y22

消去a，得轨迹方程为x，即y4x

4

13．动直线y =a，与抛物线y

2

14．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

m26pp2

解：设抛物线方程为x2py(p0)，则焦点F（,0），由题意可得  p222m(3)5

2

m26m262

解之得或， 故所求的抛物线方程为x8y，m的值为2

p4p4

思悟小结

1要重视抛物线“定义的应用”、“回归定义”有时使问题变得简捷明确。

2焦点弦的性质：设直线过焦点F与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，l的倾斜角为，

2pp2

则有：y1y2p;x1x2;通经的长度为2p；ABx1x2p 2

Sin4

2

§2.3.2抛物线的简单的几何性质（第二课时）

典例剖析

题型一 焦半径问题

r

例1 已知半圆的直径AB为2r，半圆外的直线l与BA的延长线垂直且交于G点，AG=2a，（2a

2

上有相异两点M和N．它们与直线l的距离分别为d1、d2,，d1 ==MA，d2=NA，

求证：AM+AN=2r．

分析

证明 以AG的中点为原点，垂直于AB的直线为y222

则圆的方程为(x—a—r)+y=r，又由已知可知点M、N在以Al为准线的抛物线线y2=4ax上， 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，将抛物线线的方程代入圆方程可得：2

x+2(a—r)x+a2—2ar=0，

NA= 从而有：x1+x2=2(r—a)；又由抛物线的焦半径公式可得：MA=x1p

x2+=x2+a；所以AM+AN= x1+a ,+ x2+a=x1+x2+2a=2(r—a)+2a=2r 2

评析 由抛物线的定义导出的焦半径公式常是解决几何问题的有力工具． 题型二 直线与抛物线的位置关系

例2 焦点在y轴上的抛物线被直线x—2y—1=0.

分析 焦点是在y轴正半轴上还是在y轴负半轴上？本题没有指明，应当有两种情况，可以分两种情况来解，但我们可以统一地设抛物线方程x2=ay(a≠0).

x2ay

解 设抛物线方程为:x=ay(a≠0)，由方程组消去y得：2x2—ax+a=0，∵直线与抛物线有两个交

x2y10

2

点.∴Δ=(—a)2—4×2×a＞0，即a＜0或a＞8

设两交点坐标为A（x1,y1）、B(x2,y2),则x1+x2=

1a

aa,x1·x2=， 22

2

5(a28a)=，即a—∴|AB|=(1k2)(x1x2)2(1)()245(a28a)，∵|AB|=，∴44224

a11

8a—48=0，解得a=—4或a=12．∴所求抛物线标准方程为：x2=—4y或x2=12y

评析 此类问题将直线和抛物线方程联立整理为关于x或y的二次方程，结合韦达定理求解． 备选题

例3 A、B是抛物线y22px（p>0）上的两点，满足OAOB， （1）求证：A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）求证：直线AB过定点． （3）求AB中点Ｍ的轨迹方程．

分析 依题意可设出A、B的两点坐标，然后根据条件OAOB求之．

22222

y12y2y1y2y2y12

解 （1）设A(,y1)，B(,y2)，由OAOB得：+y1·y2=0；即y1·y2=－4p，从而x1·x2=4p2 22p2p2p2p4p

（2）由两点式方程可得AB的方程为：(y1+y2)y=2px+y1·y2；即(y1+y2)y=2px－4p2令y=0,得x=2p；即直线AB过定点E(2p,0)

22y1y2

22

yy2y2(y1y2)22y1y22p2py1

（3）设AB的中点为M(x,y)，则x；y1 

24p4p2

，

消去y1y2，得AB中点Ｍ的轨迹方程：y2px2p2 （x≥2p）

评析 此题的方法很多，上面给出的解法不失为一种最为基础的好方法，其它的方法请同学们自己尝试． 点击双基 1准线是y

3

的抛物线的标准方程是（D ） 2

（C）x26y

2

2

2

2

（A）y26x （B）y26x

2

2

（D）x26y

2

2

2

2 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆xy2x6y90的圆心的抛物线的方程是（D ）

y3x或y3x B y3x C y9x或y3x D y3x或y9x

x2y2

1a0右焦点与抛物线y216x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（D） 3、已知双曲线29a

54847

A． B． C． D．

45557

322

4、 以抛物线x23y的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.x(y)9

4

2

5.设斜率为1的直线l经过抛物线y4x的焦点,与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，

则 OAOB = -3 课外作业 一、选择题

1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）

2

2．抛物线yx上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是

（ A ）

（ A ）

A．（1，1） B．（

11

,） 24

C．(,)

3924

D．（2，4）

3．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（B ） A．6m B． 26m C．4.5m D．9m

4．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是

（ C ）

A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x

5．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别

11

等于（ C ） pq

14

A．2a B． C．4a D．

2aa

6、已知抛物线y2a(x1)的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为

是p、q，则

（B ）

A．1 B．2 C．3 7抛物线y2=4x截直线y2xk所得弦长为35，则k的值是(D ) (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4

8．已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P，y1)，P2(x2，y2)，P，y3)在抛物线上， 1(x13(x3且2x2x1x3， 则有（ C

）

2

2

D．4

FPＡ．FP1FP21FP2FP3 Ｂ．二、填空题

FP2FPFP3 FP3Ｃ．2FP12FP1FP3 Ｄ．

22

x2y2

1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 y24x 9．抛物线的焦点为椭圆94

2

10．抛物线y=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为 2．

11．P是抛物线y=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q

的坐标是 （1，0）． 三、解答题 12解：

2

2

13.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线yx上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M解：M

52

 , M到y轴距离的最小值为5 ,424

2

14如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y=2x

M（x1,y1）,N(x2, y2)两点．（1）求x1x2与y1y2的值；（2）求证：OM⊥ON．

（Ⅰ）解：直线l的方程为 yk(x2)(k0) ①

代入y=2x消去y可得kx2(k1)x4k0. ② 点M，N的横坐标x1与 x2是②的两个根，

2

于

2222

4k2

由韦达定理得x1x224.由y122x1,y222x2

k

得(y1y2)24x1x24416,注意到y1y20,所以y1y24.

（Ⅱ）证明；设OM，ON的斜率分别为k1, k2,

则k1

y1yyy4,k22.相乘得k1k2121,所以OMON. x1x2x1x24

思悟小结

1.涉及到直线被抛物线截得弦的中点问题时，常用一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），这样可以直接得到两交点的坐标之和，也可以用点差法找到两交点的坐标之和，直接与中点建立联系。

2.涉及焦点弦问题可以利用焦半径公式，焦半径公式可由抛物线的定义直接导出。

章末测试

一、选择题(本大题共10小题，第小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)

1．如果实数x,y满足等式(x2)2y23，那么A、

y

的最大值是（ D ） x

331

B、 C、 D、3

322

2．若直线(1a)xy10与圆x2y22x0相切，则a的值为（ D ） A、1,1 B、2,2 C、1 D、1

x2y2

1(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为3．已知椭圆225a

（ D ）（A）10 （B）20 （C）241（D） 441

x2y2

1上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ B ） 4．椭圆

10036

（A）15 （B）12 （C）10 （D）8

x2y2

1的焦点F1、F2，P为椭圆上的一点，已知PF1PF2，则△F1PF2的面积为（ A ）5．椭圆（A）259

9 （B）12 （C）10 （D）8

x2y2

1上的点到直线x2y20的最大距离是（D ） 6．椭圆

164

（A）3（B）（C）22（D）

7．以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（D ） （A）x2y22 （B）y2x22

（C）x2y24或y2x24（D）x2y22或y2x22

8．过双曲线x2y28的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（ C ） （A）28 （B）1482（C）1482（D）82

9．双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ B）

63（C）（D） 233x2y2

1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ D ） 10．如果椭圆

369

（A）x2y0（B）x2y40（C）2x3y120（D）x2y80

（A）（B）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．）

x2y2x2y2

1具有相同的离心率且过点（2，

-）的椭圆的标准方程是1或11．与椭圆43863y24x2

1． 2525

12．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(

，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程

x2

y21 是 ．4

2

13．过抛物线y2px（p>0）的焦点F作一直线l与抛物线交于P、Q两点，作PP1、QQ1垂直于抛物线的准线，

垂足分别是P1、Q1，已知线段PF、QF的长度分别是a、b，那么|P1Q1

|=

14．若直线l过抛物线yax(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则2

1 4

x2y2

15已知双曲线221(a,bR)的离心率e[2,2]，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是

ab

bccabbππ

14_________．[,]. 解析：

2，∴224，即2，∴，

得1343aaa2aa2

∴

2222



4





3

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题10分）已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（2，0），长轴长6，设直线yx2交椭圆C

于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:

x22

xy122

y1.联立方程组9,消去y得, 10x36x270. 9yx2

18xx29

 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0)那么: x1x2,x0=1

255

191

所以y0=x0+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).

555

x2y2141共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程. 17．（本题10分）已知双曲线与椭圆

9255

4

解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,

5

y2x2

1. 从而

所以求双曲线方程为:

412

2

18．（本题10分）椭圆的两个焦点F1、F2在x轴上，以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程．

解：设P（3，4），则圆心为F1F2中点（原点），|F1F2|=2|OP|=10， ∴ c=5，∴ F1（-5，0），F2（5，0）

∴ 2a=|PF1|+|PF2|=824222426，∴ a=45，

2

x2y2

1 ∴ b=a-c=20，∴ 所求椭圆方程

4520

2

2

2

2

19（本题10分）抛物线y2x上的一点P(x , y)到点A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为f(a)，求f(a)的表达式

2

解:由于y2x,而





其中x0

(1)a1时,当且仅当x=0时, f(a)=|PA|min=|a|.

(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, f(a)=|PA|min

.所以f

(a)=|a|,a1

.

a1

20．（本题10分）求两条渐近线为x2y0且截直线xy30所得弦长为

2

2

8的双曲线方程． 3

x2-4y2=2

解:设双曲线方程为x-4y=.联立方程组得: ,消去y得，3x-24x+(36+)=0

xy30

x1x28

36

设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，那么： x1x2

32

2412(36)0

第二章 圆锥曲线与方程

知识体系总览

§2.1椭圆

1、椭圆及其标准方程

（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

x2y2y2x2

（2）.椭圆的标准方程：221 221（a＞b＞0）

abab

（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于y项的分母，

则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

2、椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.

22

（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程xy1, 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长

22

22

ab

分别等于2a和2b，

c

(2).离心率： e 0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近

a

于圆.

(3)椭圆的焦半径： MF1aex，MF2aex.a=b+c

22

x0y0x2y2

(4).椭圆的的内外部点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部221

abab

2

2

2

(5).焦点三角形PF、三角形面积公式将有关线段PF11F2经常利用余弦定理．．．．．．．．．．．合起来，建立PF1PF2§2.1.1椭圆及其标准方程

典例剖析

题型一 椭圆的定义应用

例1：

、PF2、2c，有关角F1PF2结

、PF1PF2

等关系．面积公式：．．．．．SF1PF2btan2

2



第 1 页 共 30 页

评析： 点P在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点P椭圆的定义，二是点P满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义

题型二 椭圆标准方程的求法

例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点(,)，求椭圆的标准方程

5

232

x2y2

解法1 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221(ab0)，

ab

由椭圆的定义可知：2a

x2y2222

1 ac2,bac6所以所求的标准方程为

106

53x2y22222

1，将点(,

)代人解得：解法2 c2,baca4，所以可设所求的方程为22

22aa4

x2y2

1 a 所以所求的标准方程为

106

评析 求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准方程的类型，并将其用有关参数a,b表示出来然后结合条件建立a,b所满足的等式，求得a,b的值，再代人方程 备选题

22

例3：设点P是圆xy4上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足PM2MD．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

解 设点M的坐标为x,y，点P的坐标为x0,y0，由PM2MD， 得xx0,yy028x,y，即x03x16，y03y．

22

因为点Px0,y0在圆xy4上，所以x02y024．即3x163y4，

2

2

416

即xy2，这就是动点M的轨迹方程．

39

22

评析 本题中的点M与点P相关，我们得到x03x16，y03y是关键，利用点P在xy4上的条件，

进而便求得点M的轨迹方程，此法称为代人法． 点击双基 1、．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（C ）

2

x2y2x2y2x2y222

y1 D. x1 1 B. 1 C. A.

444334

2若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（B ）

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B 1 C 1 D 1

[**************]2

３.与椭圆9x+4y=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(B )

x2y2x2y2x2y2x2y2

A 1B1C1D1

[***********]

4、椭圆5xky5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k1

第 2 页 共 30 页

5、椭圆的焦点为F1(0,5),F2(0,5)，点P(3,4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为169y2x2

1,a240，1解：焦点为F，可设椭圆方程为；点在椭圆上，P(3,4)(0,5),F(0,5)122222

aa25aa25

y2x2

1 所以椭圆方程为

4015

课外作业 一、选择题

x2y2

1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（D ） 1．已知椭圆

2516

2 B 3 C 5 D 7

2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点(,)，则椭圆方程是 （ D ）

222222

B．yx1 C．yx1 D．xy1

1064884106

22

3．若方程x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 （ D ） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）

4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（C ） 22

A．yx1

5232

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B．1或1 C．1 D．以上都不对 A．

[**************]

5．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程

是（ C ）。

y2y2y2y2x2x2x2x2 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1

[1**********]

22

6、椭圆mxnymn0(mn0)的焦点坐标为（C ）

A、0,mn B、0,mn C、0,m D、0,nm

x22

7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边

3

上，则△ABC的周长是 ( C )

（A）3 （B）6 （C）43 （D）12

9

8．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件PF1PF2a(a0)，则点P的轨迹是（A ）

a

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 二 、填空题



x2y2

9方程1表示焦点在y轴的椭圆时，实数m的取值范围是_______m(1,3)(3,1)

|m|12

x2y2

10．与椭圆4 x + 9 y = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为________1．

1510

2

2

11、如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式

x2(y3)2x2(y3)210，则M的轨迹方程是

x2y2

1 1625

三、解答题

12．将圆xy4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．

答案：xy21,椭圆

4

2

22

13．答案：14．

第 3 页 共 30 页

思悟小结

1. 要灵活运用椭圆的定义来解决问题，一般情况下涉及焦点问题则应首先考虑定义。 2. 要求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在

中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指的 a与b具体数

2

2

x2y2

1(m0,n0)，也可以设方程值，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为

mn

为Ax2By21(A0,B0)，避免讨论和繁杂的计算

§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第一课时）

典例剖析

题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等． 例1 已知椭圆x2(m3)y2m(m

0)的离心率e顶点坐标．

m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、m0,m

mmm(m2)

0m，

m3m3m3

x2y2

1，解 把椭圆的方程写成：

m

m3

mm1, a2m,b2，ce



m

3

y211a1,b,c，故椭圆的长轴长为2，短轴长为1

，两焦点坐标分别为椭圆的标准方程为：x

124

11F1(F2，四个顶点坐标分别为A1(1,0),A2(1,0),B1(0,),B1(0,).

2222

2

评析： 解决此类问题的关键是将所给的方程正确地化成椭圆的标准方程，然后判断焦点在哪个坐标轴上，准

确的求出a,b，进而求出其他有关性质

题型二 椭圆的几何性质简单应用 例2 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )

A

．

1 B

． C

．2 D

1

22

分析 利用椭圆的几何性质和定义

b2a2c2x2y

2

2c，即2c，即解一 设椭圆方程为221，依题意，显然有PF2F1F2，则aab

e22e10，解得e1．选D．

解二 ∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴PF2F1F22c,PF122c.

∵PF1PF22a，∴22cc2a，∴

c

a

121

21．故选D．

2b2

评析 解法一中的2PF2是椭圆的通径，它是椭圆经过焦点的所有弦中最短的一条题型

a

备选题

第 4 页 共 30 页

bx2y2

例3： 椭圆221(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于，求该椭圆的离

ab心率.

解本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为

xy

1，左焦点F(-c,0)，则ab

c0|1|b

c1522

117，化简，得5a-14ac+8c=0 得， 或（舍）22a24ab2

22222

abcbac

x2y2

评析： 应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线221(a>b>0)”，

ab

22222

则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴ a>b, ∴a>c-a 从而1e2.

点击双基

1中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于

3

，则椭圆的方程是（ C ） 5

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B.1 C.1 D.1

A.

[**************]59

2

答案：

x2y20

1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF F1 、F2是椭圆则ΔAF面积（ ） 1F245，1F2的97

777A7 B C D

422

x2y2

1上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为 4 4．．椭圆

259yym(a>0，y≠0)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 m＜－1 5、若方程

xaxa

课外作业 一、选择题

1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为

1

，则椭圆的方程是(D ) 3

x2y2x2y2x2y2A.+=1 B.+=1 C.+=1 [1**********]236

2

x2y2D.+=1 3632

答案

x2y2x2y2

3．椭圆221和22kk0具有 （ A ）

abab

A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 4．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B )

第 5 页 共 30 页

bx2y2

例3： 椭圆221(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于，求该椭圆的离

ab心率.

解本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为

xy

1，左焦点F(-c,0)，则ab

c0|1|b

c1522

117，化简，得5a-14ac+8c=0 得， 或（舍）22a24ab2

22222

abcbac

x2y2

评析： 应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线221(a>b>0)”，

ab

22222

则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴ a>b, ∴a>c-a 从而1e2.

点击双基

1中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于

3

，则椭圆的方程是（ C ） 5

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B.1 C.1 D.1

A.

[**************]59

2

答案：

x2y20

1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF F1 、F2是椭圆则ΔAF面积（ ） 1F245，1F2的97

777A7 B C D

422

x2y2

1上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为 4 4．．椭圆

259yym(a>0，y≠0)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 m＜－1 5、若方程

xaxa

课外作业 一、选择题

1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为

1

，则椭圆的方程是(D ) 3

x2y2x2y2x2y2A.+=1 B.+=1 C.+=1 [1**********]236

2

x2y2D.+=1 3632

答案

x2y2x2y2

3．椭圆221和22kk0具有 （ A ）

abab

A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 4．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B )

1

B.

C. D. 2 22x2y2

1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为 5. 椭圆

4924

A.

（D ）

A 21 B 22 C 23 D 24

22

6．椭圆xy1上的点到直线x2y20的最大距离是

164

（D ）

D．

A．3 B． C．22

7．椭圆两焦点为 F1(4,0)，P在椭圆上，若 △PF则椭圆方程为（ B ） F2(4,0) ，1F2的面积的最大值为12，

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 C . 1 D . 1 A. 1 B .

[1**********]69

x2

8．过点M（－2，0）的直线m与椭圆P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k（，k10）y21交于P1，1

2

直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为 （ D ）

A．2 二 、填空题

B．－2 C．

1

2

D．－

1 2

x2y2

9．已知点（0, 1)在椭圆+ = 1 内，则m的取值范围是[1, 5)(5,+∞).

5m

15x2y2

1的离心率为，则k的值为___________4,或． 10．椭圆

24k89

c2k891c29k81522

,k4；当k89时，e2,k 解：当k89时，e2

ak84a944x2y2

11．设AB是椭圆221的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则

abb2

kABkOM____2．

a

xx2y1y2

,)， 解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则中点M(122

y2y1y2y1y22y12

得kAB，kABkOM2 ,kOM2

x2x1x2x1x2x1

y22y12b2

2 bxayab,bx2ay2ab,得b(x2x)a(y2y)0,即2

x2x12a

22

1

221

22

2

2

2

2

22

2

2

21

2

2

21

三解答题 12.答案：

13已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e

b45

2

，短轴长为85，求椭圆的方程． 3

解 :由

c2e

a3



a12y2x2x2y2

，∴椭圆的方程为：1或1. c[1**********]

a2b2c2

22xy14椭圆21a＞b＞0与直线xy1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点.（1）2ab

求

11≤e≤2，求椭圆长轴的取值范围. 的值；（2）若椭圆的离心率满足e

a2b232

解：设P(x1,y1),P(x2,y2)，由OP ⊥ OQ  x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

y11x1,y21x2,代入上式得：2x1x2(x1x2)10 ①又将y1x代入

a2(1b2)x2y22a2222222

1

(a

b

)x2axa(1b)0，0,x1x22,x1x22

a2b2ab2ab2代入①化简得 112.

22

a

b

a2c2b21b211b222

(2) e212122,又由（1）知b2

322a32a1aaa

2



1125356

，∴长轴 2a ∈ [5,6]. a2a2

22a134222

思悟小结

1.要准确把握椭圆的标准方程的结构特征以及“标准”的含义，能从椭圆的标准方程读出几何性质，更要能

a2

够利用标准方程解决问题，在解题时要深刻理解椭圆中的几何量a,b,c,e,等之间的关系及每个量的本质含

c

义，并能熟练地应用于解题。

2.要能熟练地应用几何性质来分析问题，特别是离心率作为几何性质之一，必须重点突破。

§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第二课时）

典例剖析

题型一 直线与椭圆

例1 已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线yx2交椭圆C于A、B两点，

求线段AB的中点坐标． 解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:

x22

xy122

y1.联立方程组9,消去y得, 10x36x270. 9yx2

18xx29

 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0)那么: x1x2,x0=1

255

191

所以y0=x0+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).

555

2

评析 直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题，进而转化为一

元二次方程的问题．

题型二 求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题

例2

评析 “点差法”的要点是巧代斜率，与弦中点有关的问题有三类：平行弦的中点轨迹，过定点的弦中点轨迹，过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程 备选题

例3．在ABC中，BC=24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求ABC的重

心的轨迹方程。

解 如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角

坐标系。 设M为ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由

重

22|BD||CM||CE|，，于是33

2222

|MB||MC||BD||CE|=(|BD||CE|)=3926.根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为

3333

心

的

性

质

知

|BM|

焦点的椭圆.

2a|MB||MC|26，a13，又2c|BC|24，c12，b2a2c213212225，故所求的

x2y21(y0). 椭圆方程为

16925

评析 有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B、C和ABC的重心有关，因此需考虑以BC的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点A不能在BC的所在的直线上。 在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几

x2y2

1(y0) 何意义，在本题中，所求的椭圆方程为

16925

点击双基

1 答案：

答案：

x2y2

1上的点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则△PF1F2的周长是（ B ） 3．点P是椭圆95

（A）12

（B）10

（C）8

（D）6

4

． 5

4．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于_________x2y2

5．已知Px,y是椭圆1上的点，则xy的取值范围是____________[13,13]．

14425

课外作业 一、选择题

答案：D

2．椭圆xmy1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ A ）

A．

2

2

11

B． C． 2 42

D．4

3、若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ C ）

2113A. B. C. 2322

22xy

4．已知椭圆方程为+ ，焦点在x轴上，则其焦距等于 （ A ）

8m（A）8–m （B）22–|m| （C）m–8 （D）|m|–22

x2y21

5．若椭圆 + = 1的离心率为, 则m的值等于 （ ）

16m[1**********]28

（A）18 （B）18或 （C）16或 （D）16或

9999

x2y2

6．已知F是椭圆221(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x

ab

离心率是 （ A ） （A）

221

（B） （C） (D) 2422

x2y2

1上一点,F1、F2为其焦点，则cos∠F1PF27．若P是椭圆94

A．

111 B．－1 C． D． 299

x2y29

1上三个不同的点，则“AF,BF,CF 成8设A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)是右焦点为F的椭圆

5259

等差数列”是“x1x28”的（ A. ）.

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既非充分也非必要

4449

.由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，|BF|＝5－×4＝，|CF|5555

4449

＝5－x2，故AF,BF,CF成等差数列（5－x1）＋（5－x2）＝2×x1x28，

5555

解：a＝5，b＝3，∴c＝4，F（4，0）， e＝

二 、填空题

x2y2

9．椭圆+ = 1 的焦距为2,则m的值为或3

m4

10．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程

x2y2

是 . + = 1

162511、长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C（x，y）满足AC2CB，则动点C的轨

迹方程是 . 答案：x

2

12

y1 4

三、解答题

12已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为

3，求椭圆的方程。

x2y2

1(m0,n0,mn) 解：设椭圆的标准方程mn

5232

()()22xy1，解得 m6,n 则有 

nm610

()2()2

1

nm

x2

y21交于不同两点A和B，且OAOB1（其中O为坐标原点）13．直线ykx，求k的3

值．

x2

y21，得(13k2)x230． 解：将ykx3

由直线与椭圆交于不同的两点，得

2

113k0,2

即． k222

3)12(13k)12(3k1)0.

设A(xA,yA),B(xB,yB)，则.由OAOB1，得xAxByAyB1．

而xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xAxB)2

53k2353k2

1．于是．解得 k(k1)2222

3k11

3k1

故k的值为．

14已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2

2

的距离之和为12，圆Ck:x2y22kx4y210(kR)的圆心为点Ak.

2

（1）求椭圆

G的方程；（2）求AkF1F2的面积；（3）问是否存在圆Ck包围椭圆G? 请说明理由

.

x2y2

解（1）设椭圆G的方程为：221 （ab0）半焦距为c;

ab

2a1222a

6222 则解得 , bac36279 所求椭圆G的方程为：xy1. c369

c

a

11

（2）点AK的坐标为K,2， SVAKF1F2F1F222

22

22

（3）若k0，由6012k0211512k0可知点（6，0）在圆Ck外，

若k0，由(6)20212k0211512k0可知点（－6，0）在圆Ck外；

思悟小结

1,在直线与椭圆的位置关系问题中，要注意弦长问题，垂直问题、中点弦问题等，解决的一般思路是联立直线与椭圆的方程组，消去一个未知量，通过题意找到根与系数的关系，利用韦达定理列式求解。

x2y22

2把椭圆方程221(ab0)

与直线方程ykxb联立消去y，整理成形如AxBxC0的形式，对

ab

此一元二次方程有：

（1）0，直线与椭圆有两个公共点P,Q，此时的弦长的求法：①求两点P,Q的坐标，利用两点间的距离公式；②由韦达定理得到弦长公式PQpxq，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长。

（2）0,直线与椭圆有一个公共点，相切 （3）0,直线与椭圆有无公共点，相离

§2.2双曲线

知识梳理

1、双曲线及其标准方程

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.

若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

（2）

.双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

2、双曲线的简单几何性质

x2y2c（1）.双曲线221实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e离心率e越大，开口越大.

aba

bx2y2x2y2

（2）.双曲线221的渐近线方程为yx或表示为220.若已知双曲线的渐近线方程是

aabab

22

y

m

x，即mxny0，那么双曲线的方程具有以下形式：m2x2n2y2k，其中k是一个不为零的常数. n

a2a2

（3）焦半径公式PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc

（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b

①若双曲线方程为221渐近线方程：220yx；②若渐近线方程为

abaab

xyx2y2x2y2b

yx0双曲线可设为22；③若双曲线与221有公共渐近线，可设为

abaabab

x2y2x2y2

2（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.④双曲线221(a,b0)焦点三角形面积：2abab

SF1PF2bcot

2



2

，高h

b2cot

c



。

§2.2.1双曲线的定义与标准方程

典例剖析

题型一 双曲线标准方程的判断

题型二 求双曲线标准方程

例2 已知双曲线过M(1,1),N(2,5)两点，求双曲线的标准方程

x2y2

解法1 当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为：221(a0,b0)，因为M(1,1),N(2,5)在

ab

1118

18x2y2a2b2a27

1 双曲线上，所以, 解得：；所求的双曲线方程为：

42511771a2b2b27

y2x2

当双曲线的焦点在Y轴上时，设双曲线的方程为：221(a0,b0)，因为M(1,1),N(2,5)在双曲线

ab

1111

18x2y2a2b2a27

1 上，所以, 解得：；（不合舍去）综上：所求的双曲线方程为：77182541

7b2a2b2

22

解法2 因为双曲线的焦点位置不定，所以设双曲线的方程为：mxny（1mn0)

8mmn18x2y27

1 因为点M(1,1),N(2,5)在双曲线上，解得所求的双曲线方程为：

1774m25n1n7

评析 解法1采用了通法，因为无法判断焦点所在的位置，分两种情况讨论。解法2将双曲线的方程设为

mx2ny2（1mn0)，运算比较简便。

备选题

例3：

评析 确定一个双曲线的标准方程需要三个条件a,b，两个定形条件，一个定位条件：焦点坐标。 点击双基

1、命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙： 点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( B )

(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

x2y2

2、圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在该双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是

916（D ）

416A． B

C．5 D．

33

3、设x,yR，且2y是1x和1x的等比中项，则动点x,y的轨迹为除去x轴上点的（D ） A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆

x2y2

1表示双曲线，则k的取值范围是 (,4)(1,) 4．若曲线

4k1k

5、设ABC的顶点A(4,0)，B(4,0)，且sinAsinB

1

sinC，则第三个顶点C的轨迹方程是________. 2

x2y2

1(x2) 答案：

412

课外作业

一、选择题

1动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（D ）

双曲线 B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线

x2y2

2．方程（ D ） 1表示双曲线，则k的取值范围是

1k1k

A．1k1 B．k0 C．k0 D．k1或k1

x2y2

3． 双曲线2（ C ） 1的焦距是

m124m2

A．4 B．22 C．8 D．与m有关

x2

4 如果双曲线－y2=1的两个焦点为F1、F2，A是双曲线上一点，且｜AF1｜=5，那么｜AF2｜

9

等于( D )

A.5+ B.5+2 C.8 D.11

x2y2

1左焦点F1的弦AB长为6，则ABF2（F2为右焦点）的周长是（ A ） 5．过双曲线

169

A．28 B．22 C．14 D．12

x2y2

已知ABP的顶点A、B分别为双曲线C1的左右焦点，顶点P在双

1696、

sinA-sinB

曲线C上，则的值等于

sinP

A.

45

B C

D. 542

答案 A

y2

1的左右焦点．若点P在双曲线上，且PF1PF20 7、设F1,F2分别是双曲线x9

则PF1PF2=（B ）

A．

B． 2 C． D． 2

8已知F1,F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是 （ B ）

A 直线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线 二、填空题

y2x2

9 过点A(－2，42)、B(3，－2)的双曲线的标准方程为－=1

416y2x222

10. 与双曲线16x－9y=－144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为－=1

214

x2y2

11.方程+=1表示的曲线为C，给出下列四个命题:

4kk1

①曲线C不可能是圆； ②若14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1

5

.其中正确的命题是__________.③④ 255

解析:当4－k=k－1,即k=时表示圆，否定命题①,显然k=∈(1,4),

22

∴否定命题②；若曲线C为双曲线，则有(4－k)(k－1)

上的椭圆，则4－k>k－1>0,解得1

5

,说明命题④正确. 答案:③④ 2

x

2y2

1有相同焦点，且经过点，求其方程。 12．双曲线与椭圆

2736y2x2y2x2

1的焦点为(0,3),c3，设双曲线方程为21过点， 解：椭圆23627a9

a1615y2x2222

1，得a4,或36，而a9，a4，双曲线方程为1． 则2

a9a245

9

(3,,5)，,P

13．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P坐标分别为求双曲线的标准方程． 12

4

y2x2

解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为221(a0,b0)①；

ab

∵点P1,P2在双曲线上，∴点P1,P2的坐标适合方程①．

(232

212

ab9

将(3,

,5)分别代入方程①中，得方程组： 92425()

221

ba

11211y2x2a216a16

1． 将2和2看着整体，解得，∴2即双曲线的标准方程为

ab169b911

b29

14如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100 m，

PB=150 m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程

解:设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, C 即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50. ∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点O为

x2y21

原点的直角坐标系，则曲线为－=1,其中a=25,c=|AB|.

ab2

P

x2y2222

∴c=257,b=c－a=3750.∴所求曲线方程为－=1(x≥25,y≥0).

6253750

思悟小结

由给定条件求双曲线的方程常用待定系数法。首先是根据焦点的位置设出方程的形式（含参数），再由题设条件确定参数的值，应特别注意焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏。

B

§2.2.2双曲线的简单的几何性质（第一课时）

典例剖析

题型一 双曲线的性质

x2y2141共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程. 例1已知双曲线与椭圆

9255

4

解 由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,

5

y2x2

1. 从而

所以求双曲线方程为:

412

评析 关于双曲线离心率、渐近线问题常常是考察的重点，主要寻找a,b,c三元素之间的关系

题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法

x2y2



1有共同的渐近线，并且经过点4)的双曲线方程． 例2 求与双曲线93

x2y2

0

解 由题意可设所求双曲线方程为：93

双曲线经过点4)

(4)2

5 3

y2x2

所求双曲线方程为：1

1545xyx2y2x2y2

评析 渐近线为0的双曲线方程可设为22(0)，若与221有共同的渐近线也可以

abababx2y2

设出双曲线系22(0)，再把已知点代入，即可求出．

ab

备选题

y2

1上两点A、B，AB中点M（1，2） 例3 设双曲线x2

2

⑴求直线AB方程；

⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

ykx2k2222解法一：显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k)x-2k(2-k)x-k+4k-6=0 y2

1x

2xxk(2k)

当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2） 则12∴ k=1，满足△>0∴ 直线AB：y=x+1

22k2

2y12x1112 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）则两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)

22x2y2122

y221y1y22(x1x2)2

1 ∴ AB：y=x+1代入x1得：△>0 ∵ x1≠x2∴ ∴ kAB

22x1x2y1y2

评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须

检验条件△>0是否成立。

（2）设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

yx1由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3 y22

1x

2yx32由得：x2+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0） y2

1x

2

xx4

3,y0x036∴ M（-3，6） 则x03

2

1

|CD|=2又|MA|=|MB|=2∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2

∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，2为半径的圆上

评析：此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心，充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在学习中必须引起足够重视. 点击双基

∴ |MC|=|MD|=

1、若双曲线x2ky21的离心率是2，则实数k的值是（B ） A.3 B.  C. 3

13

D.

1 3

x2y2

2、若双曲线221(a0,b0)的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（ D ）

ab2

A．yx B．y2x C．yx D．y22x

2

x2y2

1表示双曲线的（ A ） 3、若kR，则k3是方程

k3k3

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既充分也不必要条件

x2y2

P到x轴的距离为 1 的两个焦点为F1、F2，点P在该双曲线上，若PF4、双曲线1PF20，则点

916

第 15 页 共 30 页

16. 5

y2x2

5、若双曲线2－2=1的渐近线与方程为(x2)2y23的圆相切，则此双曲线的离心率

ab

为 2．

课外作业

一、选择题

22

1.方程mx＋ny＋mn=0(m

A (0,

x2

2．焦点为0,6，且与双曲线（B ） y21有相同的渐近线的双曲线方程是

2

x2y2y2x2y2x2x2y2

A．B．C．D．1 1 1 1

[**************]2

x2y2x2y2

3．若0ka，双曲线2（ D ） 1与双曲线221有

akb2kab

A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点

xx2y2

4、若双曲线221的一条渐近线方程为y0．则此双曲线的离心率为（B ）

3ab

A

B

C

．D

x2

y21有相同渐近线的双曲线的方程是(D ) 5、过点(2，-2)且与双曲线2

x2y2y2x2x2y2y2x2

1 (B)1 (C)1 (D)1 (A)42422424

2222yxxy

6、双曲线221(a,b0)的一条渐近线与椭圆221(ab0)交于点M、

abbaN，则MN=（Ｃ）

A. a+b

22

B. 2a C. 2(ab)

22

D. 2(ab)

x2

y21(n1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,

且满足PF1PF27、双曲线n

则PF1F2的面积为(A )

1

(A)1 (B) (C)2 (D)4

2

解：假设PF

1PF2,

由双曲线定义PF1PF2

PF1PF2解得PF1PF2

F1F2S

2

2

PF1F2

1

PF1PF21 2

x2x22

8、给出下列曲线：①4x+2y－1=0; ②x+y=3; ③y1 ④y21，其中与直线

22

y=－2x－3有交点的所有曲线是 （ D ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 二填空题

x2y2

1a0的一条渐近线方程为3x2y0，则a＝__________.2 9若双曲线29a

455x2y2

1的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率e为或 10已知双曲线

334mn

第 16 页 共 30 页

x2y2

11．直线y

x1与双曲线1相交于A,B两点，则AB=______ 46

23

三解答题

12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

35

；（２）顶点间的距离为6，渐近线方程为yx．

24

2b12,

x2y2

（１）解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为22=1．由题意，得c5 解得a8，c10．∴

ab.a4

x2y2222

1． bca1006436．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为

6436

x2y2

（2）解１：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为22=1

ab

2a12,

x2y29

1． 由题意，得b3 解得a3，b．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为

819.2a24

y2x2

1． 同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为94

3x2y2

(0) 解２：设以yx为渐近线的双曲线的方程为

249

x2y29

1． 当＞０时，246，解得，＝． 此时，所要求的双曲线的方程为

8194

4y2x2

1 当＜０时，296，解得，＝－１．此时，所要求的双曲线的方程为94

（１）焦点在 x轴上

,虚轴长为12，离心率为

13．

14．

思悟小结

1.由已知双曲线方程求基本量，注意首先将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置。

xyx2y2

2渐近线是刻划双曲线的一个重要概念。渐近线为0的双曲线方程可设为22(0)，若与

abab

第 17 页 共 30 页

x2y2x2y2

1有共同的渐近线也可以设出双曲线系22(0)

aba2b2

§2.2.2双曲线的简单的几何性质（第二课时）

典例剖析

题型一 应用双曲线的定义及性质解题

例1 求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的比例中项． 证明：设等轴双曲线的方程为x2y2a2，双曲线上任一点P的坐标为x1,y1 则P到中心的距离

为

，等轴双曲线的离心率

是，所以点P到两焦点的距离分别

为

|1a|,|1a|，所以|PF1||PF2||

1a||1a||

2x12a2||x12y12||PO|2

评析：涉及双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要双曲线的定义，P到两焦点的距离分别为

|1a|,|1a|即为焦半径公式，请同学们自行推导

题型二 直线与双曲线的位置关系

2

例 已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x－2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围. 分析 联立方程组，结合数形讨论

ykxb222

解

联立方程组2消去y得(2k—1)x+4kbx+2b+1=0,

2

x2y1当2k10k2

（1）当b0时，有一个交点；

（2）当b0时，没有交点，所以不合题意．

=(4kb)

2—4(2k2—1)(2b2+1)=—4(2k2—2b2

—1)≥0，对所有实数b

恒成立，∴2k2—1≤0，得 所以 kk

2222

当2k10

k2

评析 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证

明．注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种．一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线．另一种是与双曲线相切的直线也有两条． 备选题

22

例3： k代表实数，讨论方程kx2y80所表示的曲线.

y2x2

1为焦点在y轴的双曲线； 解： 当k0时，曲线

84k2

当k0时，曲线2y80为两条平行于x轴的直线y2或y2；

x2y2

1为焦点在x轴的椭圆； 当0k2时，曲线84k22

当k2时，曲线xy4为一个圆；

y2x2

1为焦点在y轴的椭圆 当k2时，曲线

84k

评析：针对k的各种情形进行分类讨论

.

点击双基

x2y2

1的焦距为（.D ）

1．双曲线

10

2

A． B． C．D．第 18 页 共 30 页

1x2y2

2若双曲线221(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是

4ab

（C ）

A、x2y0 B、2xy0 C

、x0 D

y0

b1x2y2

，

解:对于双曲线221(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离因为b，而

2c4ab

1b因此bc,a

，因此其渐近线方程为x0. ,

2a2

3．已知双曲线方程为x2y1，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（B ）

4

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

5x2y2

4、与双曲线1有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为

4916

x2y25、已知双曲线221(a0,b

0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，

abx23y2

则双曲线方程为 ．1

44

课外作业

一、选择题

1.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D

x22y2

A -y=1和

3922xC y-=1和x2-32

x2x222x-=1 B -y=1和y-=1 333

x2y2y2x22

=1 D -y=1和-=1

9333

2．已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 A．1

B．2

C．3

D．4

1

，则m（D ） 5

x2y2

1有共同的渐近线，且经过点A(3,23}的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 3.与双曲线

916

(C )

A 8 B 4 C 2 D 1

4.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( C ) A （-∞,0） B (-3,0) C (-12,0) D (-12,1)

5已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 （D） (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5

x2y2

6如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（A ） 42

(A)

4 3

(B)

26

3

(C)2

(D)2

x2y2

7、设F1，F2分别是双曲线22的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290

ab

且AF13AF2，则双曲线的离心率为（B ）

A

．

2

B

．

2

C

．

2

D

x2y2

1的左右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且PF2F1F2，则PF1F28．已知双曲线C:

916

的面积等于(C )

第 19 页 共 30 页

（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96 填空题

x2y2

1的离心率e∈

(1, 2)，则

k的取值范围是 ．(12,0) 9.

双曲线

4k

10、若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=xa＋b的值是 ．

1 2

x2y223

11．已知双曲线221(a0,b0)的离心率的取值范围是e[,2]，则两渐近线夹角

3ab



的取值范围是 ． [,]

32

三、解答题12.

13．答案：

14．设椭圆与双曲线有共同焦点F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.

解法1：设交点为P(x,y)，双曲线的实半轴长为a (2

由半焦距为4, 得它们的方程分别为：

2

x2a2



y216a2

1 (1) 和

x24a2



y24a216

=1 (2)

(a24)(16a2)

(2)4─(1)得：y (3),代入(1)得：a2=2|x|

422

再代入(3)化简得：(x─5)+y=9 或(x+5)2+y2=9 .

解法2：用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||, 解得：|F1P|=3 |F2P| 或3 |F1P|=|F2P| .即：

(x4)2y23(x4)2y2或 (x4)2y23(x4)2y2,

化简得：(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9． 思悟小结

1涉及双曲线上的点P到两个焦点F 1、F2的距离问题为aex0，即为焦半径公式，请同学们可以尝试推导。2解决直线与双曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更方便。

§2.3抛物线

知识梳理

1．抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

方程y2px

2

p0叫做抛物线的标准方程．

pp,0），它的准线方程是x； 22

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

2．抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他

几种形式：y2

2px，2，

2.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离．

§2.3.1抛物线及其标准方程

典例剖析

题型二：求抛物线的标准方程

例2 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（—3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.

解1 设抛物线方程y2=—2px(p＞0)，则焦点F（—

m26p

p4p4

，解得 或p22m26m2m(3)5

2

p

,0)，由题设可得： 2

故抛物线的方程为y2=—8x,m的值为±解2 设抛物线方程为y2=—2px(p＞0)，则焦点F（—

pp,0），准线方程为x=. 22

p

+3=5， 2

∴p=4．因此抛物线方程为y2=—8x，又点M（—3，m)在抛物线上，于是m2=24，∴m=±根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，则评析 比较两种解法，可看出运用定义方法的简捷. 备选题

例3如图所示，点A(1,0).点R在y轴上运动，T在x轴上，N为动点，

且RTRA0,RNRT0,设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程； 解：设N(x,y)，由RNRT0知：R是TN的中点， 则T(x,0),R(0,),RTRA0(X,)(1,)0





y

2y2y2

则y4x就是点N的轨迹曲线C的方程

评析 此问题是平面解析几何和向量知识的结合，以向量为背景求圆锥曲线方程是命题的一种方向。 点击双基

1、 顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线方程是(B )

(A)x2=8y (B)x2= 8y (C)y2=8x (D)y2=8x

2

2.、抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B ) 17157

(A) (B) (C) (D)0 16168

2

3、过点P(0,1)与抛物线y=x有且只有一个交点的直线有(B )

(A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条 解：过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求

4抛物线y24ax(a0)的焦点坐标是_____________; (a,0)

5、动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是. x2=8y 课外作业 一、选择题

1．抛物线y2x2的焦点坐标是 （ C ）

1

C．(0,)

84

2．抛物线y210x的焦点到准线的距离是（ B ）

A．(1,0) B．(1,0) D． (0,1)

4

A．

515

B．5 C． D．10 22

3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上,其上的点P(m,3)到焦点的距离为5, 则抛物线方程为（ D ）

A．x28y B．x24y C．x24y D．x28y 4.抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是 ( A )

|a|aa|a|

B x= C x D x=

44443

5.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是( C )

4

A

B 4 C 8 D 2

A.x

6．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为（D ） A．x28y B．x24y

C．x24y

D．x28y

7若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( B )

(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(

2

1

，1) 2

(D)(0，0)

8过抛物线yax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于(C )

(A)2a (B)

11pq

14 (C)4a (D) 2aa

解：作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q，则

1122

p=q=|FK|而|FK|1,4a

2apqp

(

2a

)

二、填空题

2

9．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是 x＝8y

10．平面上的动点P到点A（0，－2）的距离比到直线l：y＝4的距离小2，则动点P的轨迹方程是

2

x＝－8y

12

11．抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______(,)．

84

三、解答题

12．求经过点P2,4的抛物线的标准方程．

解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：y22px或x22py

在第一种情形下，求得抛物线方程为：y28x；在第二种情形下，求得抛物线方程为：x2y； 13在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小. 解：如图，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|，由抛物线定义可知：|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|，显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2．故点P的坐标为（2，2）.

14.已知圆x2y29x0与顶点原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A、B两 △AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程．

点，

解：设所求抛物线y22px，因为△AOB的垂心恰为抛物线的焦点,所以AB⊥X轴,则可设

pp

Ax1,y1,Bx1,y2,F,0.而OAx1,y1,FBx1,y2,由题意OAFB0,可得

22

22p5y1x19x102

x1x12px10,即x1p.又A点既在圆上又在抛物线上所以2得x192p所以

22y12px

5

p92p,p2,y24x 2

思悟小结

1.重视定义在解题中的应用；灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化。

2注意确定四种标准方程的条件，明确抛物线的焦距、焦顶距、通径与抛物线标准方程中的系数的关系。 §2.3.2抛物线的简单的几何性质（第一课时）

典例剖析

题型一 利用定义和几何图形的性质求解.

例1 求证：以抛物线y2 = 2px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切． 证明 如图，过A，B分别作AC，BD垂直于l，垂足为C，D．据抛物线定义有：|AC| =|AF|，|BD| = |BF|，所以|AB|＝|AC|＋|BD|.

又由ACDB是梯形，据梯形中位线性质知：|MH|

11

(|AC||BD|)|AB| 22

即|MH|为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证．

评析

题型二：焦点弦问题

例2 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.

解1 如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.

由题可知，直线AB的方程为y=x—1，代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0 解上述方程得x1

x2=3—

y

y2=2—即A、B的坐标分别为（，（3—2—

∴|AB|=(322322)

22(222222)28 解2 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1·x2=1

∴|ABx1—x2|2(x1x2)24x1x226248

解3 设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|

即|AF|=|AA′|=x1+1；同理|BF|=|BB′|=x2

+1 ∴|AB|=|AF

|+|BF|=x1+x2+2=8

评析： 解2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视． 备选题

例3在抛物线y

4

x上求一点，使这点到直线y4x5的距离最短。 解：设点P(t,4t)，距离为d，d

2

2

2， 

当t

11

时，d取得最小值，此时P(,1)为所求的点。 22

评析，此问题可以设点P(t,4t2),利用抛物线标点法求解；也可以设y4xb与y4x2相切，求出切点的坐标 点击双基

1从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，

则△MPF的面积为（ B ）

A．5

B．10

C．20 D．

2 过抛物线y22px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则AB的最小值为（C ）

p

B p 2p D 无法确定 2

3、若抛物线y24x的焦点是F,准线是l,则经过点F、M（4，4）且与l相切的圆共有（ C ）．

A

A.0个 B.1个 C.2个 D.4个

4、过抛物线y4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),若x1x26,那么AB等于 5、过抛物线y＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝__－p

课外作业 一、选择题

1．焦点是F(2,0)的抛物线的标准方程是（A ）

（A）y28x （B）y28x

2

2

2

2

2

（C）x28y

2

2

（D）x28y

2

2.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点(－

到焦点距离是6,则抛物线的方程为（D ） （A）y4x （B）y2x （C）y2x （D）y4x或y36x

3.一个正三角形的顶点都在抛物线y4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（ A ） （A

）（B

）（C

） （D

）92

4．过抛物线y4x的焦点作直线交抛物线于Ax1,y1，Bx2,y2两点，如果x1x26， 那么|AB|=（ B ）

（A）10 （B）8 （C）6 （D）4

5．已知M为抛物线y4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P3,1，则|MP||MF|的最小值为（ B ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6

6.抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于 （ A ）

2

2

A. （B）2 （C）

2

2

（D）15

7动点P在抛物线y=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是(C )

2222

（A）(2y+1)=-12x（B）(2y+1)=12x （C）(2y-1)=-12x（D）(2y-1)=12x 8、如图，过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（B ）

A．y

2

2

交

3x 2

2

B．y3x C．y

2

9

x D．y29x 2

二、填空题

2

9.抛物线y6x的焦点的坐标是,0, 准线方程是

32

3x.

2

10.已知圆x2y26x70，与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p _______2_．

11．过抛物线y4x焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是

______

2

y22x1 )

三、解答题

12已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x+y=4相交的公共弦长等于2，求这抛物线的方程．

2

2

解:设抛物线方程为y22pxp0或y22pxp0.

当p0时,根据对称性设Ax0,,Bx0,,代入圆方程得x01,2p3, 求得抛物线方程为y23x.同理可得y23x





1

x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线段AB中点M的轨迹的方程． 2

xa22

解：设M的坐标为（x，y），A（2a，a），又B(0,3a)得 

y2a

y22

消去a，得轨迹方程为x，即y4x

4

13．动直线y =a，与抛物线y

2

14．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

m26pp2

解：设抛物线方程为x2py(p0)，则焦点F（,0），由题意可得  p222m(3)5

2

m26m262

解之得或， 故所求的抛物线方程为x8y，m的值为2

p4p4

思悟小结

1要重视抛物线“定义的应用”、“回归定义”有时使问题变得简捷明确。

2焦点弦的性质：设直线过焦点F与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，l的倾斜角为，

2pp2

则有：y1y2p;x1x2;通经的长度为2p；ABx1x2p 2

Sin4

2

§2.3.2抛物线的简单的几何性质（第二课时）

典例剖析

题型一 焦半径问题

r

例1 已知半圆的直径AB为2r，半圆外的直线l与BA的延长线垂直且交于G点，AG=2a，（2a

2

上有相异两点M和N．它们与直线l的距离分别为d1、d2,，d1 ==MA，d2=NA，

求证：AM+AN=2r．

分析

证明 以AG的中点为原点，垂直于AB的直线为y222

则圆的方程为(x—a—r)+y=r，又由已知可知点M、N在以Al为准线的抛物线线y2=4ax上， 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，将抛物线线的方程代入圆方程可得：2

x+2(a—r)x+a2—2ar=0，

NA= 从而有：x1+x2=2(r—a)；又由抛物线的焦半径公式可得：MA=x1p

x2+=x2+a；所以AM+AN= x1+a ,+ x2+a=x1+x2+2a=2(r—a)+2a=2r 2

评析 由抛物线的定义导出的焦半径公式常是解决几何问题的有力工具． 题型二 直线与抛物线的位置关系

例2 焦点在y轴上的抛物线被直线x—2y—1=0.

分析 焦点是在y轴正半轴上还是在y轴负半轴上？本题没有指明，应当有两种情况，可以分两种情况来解，但我们可以统一地设抛物线方程x2=ay(a≠0).

x2ay

解 设抛物线方程为:x=ay(a≠0)，由方程组消去y得：2x2—ax+a=0，∵直线与抛物线有两个交

x2y10

2

点.∴Δ=(—a)2—4×2×a＞0，即a＜0或a＞8

设两交点坐标为A（x1,y1）、B(x2,y2),则x1+x2=

1a

aa,x1·x2=， 22

2

5(a28a)=，即a—∴|AB|=(1k2)(x1x2)2(1)()245(a28a)，∵|AB|=，∴44224

a11

8a—48=0，解得a=—4或a=12．∴所求抛物线标准方程为：x2=—4y或x2=12y

评析 此类问题将直线和抛物线方程联立整理为关于x或y的二次方程，结合韦达定理求解． 备选题

例3 A、B是抛物线y22px（p>0）上的两点，满足OAOB， （1）求证：A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）求证：直线AB过定点． （3）求AB中点Ｍ的轨迹方程．

分析 依题意可设出A、B的两点坐标，然后根据条件OAOB求之．

22222

y12y2y1y2y2y12

解 （1）设A(,y1)，B(,y2)，由OAOB得：+y1·y2=0；即y1·y2=－4p，从而x1·x2=4p2 22p2p2p2p4p

（2）由两点式方程可得AB的方程为：(y1+y2)y=2px+y1·y2；即(y1+y2)y=2px－4p2令y=0,得x=2p；即直线AB过定点E(2p,0)

22y1y2

22

yy2y2(y1y2)22y1y22p2py1

（3）设AB的中点为M(x,y)，则x；y1 

24p4p2

，

消去y1y2，得AB中点Ｍ的轨迹方程：y2px2p2 （x≥2p）

评析 此题的方法很多，上面给出的解法不失为一种最为基础的好方法，其它的方法请同学们自己尝试． 点击双基 1准线是y

3

的抛物线的标准方程是（D ） 2

（C）x26y

2

2

2

2

（A）y26x （B）y26x

2

2

（D）x26y

2

2

2

2 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆xy2x6y90的圆心的抛物线的方程是（D ）

y3x或y3x B y3x C y9x或y3x D y3x或y9x

x2y2

1a0右焦点与抛物线y216x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（D） 3、已知双曲线29a

54847

A． B． C． D．

45557

322

4、 以抛物线x23y的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.x(y)9

4

2

5.设斜率为1的直线l经过抛物线y4x的焦点,与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，

则 OAOB = -3 课外作业 一、选择题

1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）

2

2．抛物线yx上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是

（ A ）

（ A ）

A．（1，1） B．（

11

,） 24

C．(,)

3924

D．（2，4）

3．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（B ） A．6m B． 26m C．4.5m D．9m

4．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是

（ C ）

A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x

5．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别

11

等于（ C ） pq

14

A．2a B． C．4a D．

2aa

6、已知抛物线y2a(x1)的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为

是p、q，则

（B ）

A．1 B．2 C．3 7抛物线y2=4x截直线y2xk所得弦长为35，则k的值是(D ) (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4

8．已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P，y1)，P2(x2，y2)，P，y3)在抛物线上， 1(x13(x3且2x2x1x3， 则有（ C

）

2

2

D．4

FPＡ．FP1FP21FP2FP3 Ｂ．二、填空题

FP2FPFP3 FP3Ｃ．2FP12FP1FP3 Ｄ．

22

x2y2

1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 y24x 9．抛物线的焦点为椭圆94

2

10．抛物线y=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为 2．

11．P是抛物线y=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q

的坐标是 （1，0）． 三、解答题 12解：

2

2

13.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线yx上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M解：M

52

 , M到y轴距离的最小值为5 ,424

2

14如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y=2x

M（x1,y1）,N(x2, y2)两点．（1）求x1x2与y1y2的值；（2）求证：OM⊥ON．

（Ⅰ）解：直线l的方程为 yk(x2)(k0) ①

代入y=2x消去y可得kx2(k1)x4k0. ② 点M，N的横坐标x1与 x2是②的两个根，

2

于

2222

4k2

由韦达定理得x1x224.由y122x1,y222x2

k

得(y1y2)24x1x24416,注意到y1y20,所以y1y24.

（Ⅱ）证明；设OM，ON的斜率分别为k1, k2,

则k1

y1yyy4,k22.相乘得k1k2121,所以OMON. x1x2x1x24

思悟小结

1.涉及到直线被抛物线截得弦的中点问题时，常用一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），这样可以直接得到两交点的坐标之和，也可以用点差法找到两交点的坐标之和，直接与中点建立联系。

2.涉及焦点弦问题可以利用焦半径公式，焦半径公式可由抛物线的定义直接导出。

章末测试

一、选择题(本大题共10小题，第小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)

1．如果实数x,y满足等式(x2)2y23，那么A、

y

的最大值是（ D ） x

331

B、 C、 D、3

322

2．若直线(1a)xy10与圆x2y22x0相切，则a的值为（ D ） A、1,1 B、2,2 C、1 D、1

x2y2

1(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为3．已知椭圆225a

（ D ）（A）10 （B）20 （C）241（D） 441

x2y2

1上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ B ） 4．椭圆

10036

（A）15 （B）12 （C）10 （D）8

x2y2

1的焦点F1、F2，P为椭圆上的一点，已知PF1PF2，则△F1PF2的面积为（ A ）5．椭圆（A）259

9 （B）12 （C）10 （D）8

x2y2

1上的点到直线x2y20的最大距离是（D ） 6．椭圆

164

（A）3（B）（C）22（D）

7．以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（D ） （A）x2y22 （B）y2x22

（C）x2y24或y2x24（D）x2y22或y2x22

8．过双曲线x2y28的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（ C ） （A）28 （B）1482（C）1482（D）82

9．双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ B）

63（C）（D） 233x2y2

1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ D ） 10．如果椭圆

369

（A）x2y0（B）x2y40（C）2x3y120（D）x2y80

（A）（B）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．）

x2y2x2y2

1具有相同的离心率且过点（2，

-）的椭圆的标准方程是1或11．与椭圆43863y24x2

1． 2525

12．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(

，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程

x2

y21 是 ．4

2

13．过抛物线y2px（p>0）的焦点F作一直线l与抛物线交于P、Q两点，作PP1、QQ1垂直于抛物线的准线，

垂足分别是P1、Q1，已知线段PF、QF的长度分别是a、b，那么|P1Q1

|=

14．若直线l过抛物线yax(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则2

1 4

x2y2

15已知双曲线221(a,bR)的离心率e[2,2]，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是

ab

bccabbππ

14_________．[,]. 解析：

2，∴224，即2，∴，

得1343aaa2aa2

∴

2222



4





3

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题10分）已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（2，0），长轴长6，设直线yx2交椭圆C

于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:

x22

xy122

y1.联立方程组9,消去y得, 10x36x270. 9yx2

18xx29

 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0)那么: x1x2,x0=1

255

191

所以y0=x0+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).

555

x2y2141共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程. 17．（本题10分）已知双曲线与椭圆

9255

4

解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,

5

y2x2

1. 从而

所以求双曲线方程为:

412

2

18．（本题10分）椭圆的两个焦点F1、F2在x轴上，以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程．

解：设P（3，4），则圆心为F1F2中点（原点），|F1F2|=2|OP|=10， ∴ c=5，∴ F1（-5，0），F2（5，0）

∴ 2a=|PF1|+|PF2|=824222426，∴ a=45，

2

x2y2

1 ∴ b=a-c=20，∴ 所求椭圆方程

4520

2

2

2

2

19（本题10分）抛物线y2x上的一点P(x , y)到点A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为f(a)，求f(a)的表达式

2

解:由于y2x,而





其中x0

(1)a1时,当且仅当x=0时, f(a)=|PA|min=|a|.

(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, f(a)=|PA|min

.所以f

(a)=|a|,a1

.

a1

20．（本题10分）求两条渐近线为x2y0且截直线xy30所得弦长为

2

2

8的双曲线方程． 3

x2-4y2=2

解:设双曲线方程为x-4y=.联立方程组得: ,消去y得，3x-24x+(36+)=0

xy30

x1x28

36

设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，那么： x1x2

32

2412(36)0