高中数学(平面向量) 综合练习含解析
△ABC D 1．在中，AB =c ，AC =b ．若点满足BD =2DC ，则AD =（ ）
2 1 5 2 2 1 1 2 A ．b -c B ．c -b C ．b +c D ．b +c
33333333
2
．已知OA =1, =，OA ⋅OB =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30︒，
m
OC =mOA +nOB (m , n ∈R )，则等于（ ）
n
1 C
． D
33
3．若向量a , b , c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ⋅a +2b =（ ）
A ．3 B ．
()
A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
4．已知向量m =(a , -2), n =(1,1-a ) ，且m ∥n ，则实数a =（ ）
A ．-1 B ．2或-1 C ．2 D ．-2
5．已知向量a =(1,2) ，向量b =(x , -2) ，且a ⊥(a -b ) ，则实数x 等于
A ．-4 B ．4 C ．0 D ．9
6．已知|a |＝1，|b |
a ⊥(a -b ) ，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）
2ππππ
B． C． D．
3643
7．已知平面向量a ，b 满足a ⋅a +b =3，且a =2，b =1，则向量a 与b 夹角的
A ．
()
正弦值为（ ） A ．-
11 B
．- C． D
．
222 2
∠BAD =60，8．在平行四边形ABCD 中，AD =2，若AD ⋅BE =1，E 为CD 的中点．
则AB 的长为( )
A
．4 C．5 D．6
9．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若
(OB -OC ) ⋅(OB +OC -2OA ) =0，则∆ABC 是（ ）
A ．以AB 为底面的等腰三角形 B ．以BC 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形
1
10．在∆ABC 中，MB =AB ，且对AB 边上任意一点N ，恒有NB ⋅NC ≥MB ⋅MC ，
4
则有（ ）
A ．AB ⊥BC B．AB ⊥AC C ．AB =AC D．AC =BC
11．点P 是∆ABC 所在平面内的一点，若CB =λPA +PB (λ∈R ) ，则点P 在（ ）
A ．∆ABC 内部
B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上 D ．BC 边所在的直线上
12．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c -b =6，c +b -a =2，且O 为此三角形的内心，则AO ⋅CB =（ ） A ．4 B．5 C．6 D．7
13．在∆ABC 中，=, =, ||=2, ||=3, ⋅=3则∠C 的大小为（ ） A ．30 B．60 C．120 D．150
︒
︒
︒
︒
o s C =3a c o s B c -o s 14．在∆ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b c B
，
BA ⋅BC =2，则∆ABC 的面积为（ ）
A
．
15．若非零向量a , b 满足|a +b |=|a -b |=2|a |，则向量b 与a +b 的夹角为16．在平面直角坐标系中，设M , N , T 是圆C :(x -1) +y =4上不同三点，若存在正
2
2
3
C
．
． 2
a 3+ab 2+2ab +b +1
实数a , b ，使得CT =aCM +bCN ，则的取值范围为 ．
a
π
17
．已知向量a =(1，向量a , c 的夹角是，a ⋅c =2，则|c |等于 ．
3
18．已知正方形ABCD ，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB , CD 于点
MN 2
M 、N ，则最小值为_________________． 2
BN
19．若a , b 均为非零向量，且a -2b ⊥a , b -2a ⊥b ，则a , b 的夹角为 ．
()()
1
AB=2，动点E 和F 分别在2
1
DC ，DF =BF 的最小值为 ．线段BC 和DC 上，且BE =λBC ，则AE · 2λ
20．在等腰梯形ABCD 中，已知AB//DC，∠ABC=60°，BC=
21．已知∆ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面ABC 内，若AM ⋅AB
|CM |=1，则CM ⋅AB 的取值范围是 ．
22．向量a =(1,1) ，且a 与a +b 的方向相反，则a ⋅b 的取值范围是 ．
BC =b ，23．如图，在三棱锥中D -ABC 中，已知AB =2，AC ⋅BD =-3，设AD =a ，
c 2
CD =c ，则的最小值为 ．
ab +1
24．已知A 点坐标为(-1,0) ，B 点坐标为(1,0)，且动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的
垂直平分线l 交线段MA 于点P ． （1）求动点P 的轨迹C 方程．
（2）若P 是曲线C 上的点，，求k =PA ⋅PB 的最大值和最小值．
2
25．△ABC 中，内角为A ，B ，C ，所对的三边分别是a ，b ，c ，已知b = ac ，cos B =
3． 4
11
+； tan A tan C 3
（2）设BA ·BC =, 求a +c ．
21*
26．已知函数f (x )=，点O 为坐标原点, 点A n (n , f (n ))(n ∈N ) , 向量i =(0,1)，
x +1
θn 是向量OA n 与i
（1）求
3
27．已知向量a =(sinx , ), b =(cosx , -1).
2
（1）当a //b 时，求2cos 2x -sin 2x 的值； ⎡π⎤
（2）求f (x ) =(a +b ) ⋅b 在⎢-,0⎥上的值域．
⎣2⎦
28．如图，在平面直角坐标系中，方程为x 2+y 2+DX +Ey +F =0的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上．
（1）若四边形ABCD 的面积为40，对角线AC 的长为8，⋅=0，且∠ADC 为锐角，求圆的方程，并求出B , D 的坐标；
（2）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH ⊥AB ，且垂足为H ，试用平面解析几何的研究方法判断点O 、G 、H 是否共线，并说明理由．
29．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1),B (2,3),C (3,2)，点P (x , y ) 在∆ABC 中三边
围成的区域（含边界）上，且OP =λAB +μAC (λ, μ∈R ) ．
（1）若λ=μ=
2
，求OP ； 3
（2）用x , y 表示λ-μ并求λ-μ的最大值．
x 2y 2
30．已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) , 过左焦点F 1(-1,0) 的直线与椭圆C 交于M 、
a b
N 两点，且∆F 2MN 的周长为8；过点P (4,0)且不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交
于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）求OA ⋅OB 的取值范围；
（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：如图所示，在 ABC 中，AD =AB +BD
又
BD =2DC
，
2 2 2 2 1 ∴BD =BC BC =AC -AB =b -c ∴AD =AB +BC =c +b -c =b +c
33333
()
故选C ．
考点：向量加法 2．A 【解析】
试题分析：如图所示，建立直角坐标系．则OA =(
1,0), OB =,
(
∴∴OC =mOA +nOB =m , ∴tan 30 =
(
)
m
==3．故选B n
考点：共线向量
【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题．解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果． 3．D 【解析】 试
题
分
析
：
设
a =λb
，则由已知可得
c ⋅(a +2b ) =c ⋅a +c ⋅(2b ) =c ⋅a +c ⋅(2λb) =(2λ+1)⋅c ⋅a =0
考点：向量的运算 4．B 【解析】
试题分析：由已知m ∥n ，则a ⨯(1-a ) -(-2)⨯1=-a 2+a +2=0⇒a =-1, a =2
考点：共线向量 5．D
【解析】
试题分析： a -b =(1-x ,4)由a ⊥(a -b ) ⇒(1,2)⋅(1-x ,4)=1-x +8=0⇒x =9
考点；向量垂直的充要条件 6．B 【解析】
r 2 a ⋅b 试题分析：
由题意得a ⋅(a -b ) =0⇒a ⋅b =a =1⇒cos ==，所以向量a 与
|a |⋅|b |
πr
向量b 的夹角为4，选Ｂ．
考点：向量夹角 7．D 【解析】 试
题分析：
2 -12πa ⋅a +b =3⇒a +a ⋅b =3⇒a ⋅b =-1⇒cos =⇒=.
23选D ．
()
考点：向量夹角
8．D 【解析】 试
题分析：
1 1 AD ⋅BE =AD （⋅BA +AD +DE ) =AD （⋅-AB +AD +AB ) =AD （⋅AD -AB )
22 1π1
=4-⨯2⨯AB ⨯cos =4-AB =1
232，因此AB =6. 选D ．
考点：向量数量积 9．B 【解析】
试题分析：设BC 的中点为 D ，∵(OB -OC ) ⋅(OB +OC -2OA ) =0，∴
CB ⋅(2OD -2OA ) =0，
∴CB ⋅2AD =0，∴CB ⊥AD ，故△ABC 的BC 边上的中线也是高线．故△ABC 是以BC 为
底边的等腰三角形，故选 B． 考点：三角形的形状判断． 10．D 【解析】
试题分析：以A 为原点，AB 为x 轴，建立直角坐标系，设B (4,0),C (a , b ) ，N (x ,0) ，则M (3,0)
，
MB ⋅MC =(1,0) ⋅(a -3, b ) =a -3
，
NB ⋅NC =(4-x ,0) ⋅(a -x , b ) =(4-x )(a -x ) ，
a +42(a +4) 2
) +4a -， (4-x )(a -x ) =x -(a +4) x +4a =(x -24
2
(a +4) 2a +4
=3）=a -3（或由题意4a -，解得a =2，所以AC =BC ．故选D ． 24
考点：向量的数量积，数量积的坐标运算．
【名师点睛】1．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA ＝a ，点A 的位置被a 所唯
一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是（x ，y ）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的
向量是一一对应的，即向量（x ，y ）向量OA 点A （x ，y ）．要把点
的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也
不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A （1，2），B （3，4），则AB ＝（2，2）．
3．用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思
维量，降低难度．本题建立坐标系后，NB ⋅NC =(4-x ,0) ⋅(a -x , b ) =(4-x )(a -x ) ，问
题转化为函数f (x ) =(4-x )(a -x ) 的最小值是a -3或在x =3时取得最小值，由二次函数的性质结论易得． 11．B 【解析】
试题分析：由CB =λPA +PB 得CB -PB =λPA ，即CP =λPA ，所以CP 与PA 共线，
故选B ．
考点：向量的线性运算，向量的共线． 12．C 【解析】
试题分析：如下图所示，过O 作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，
∴AO ⋅CB =AO ⋅(AB -AC ) =AO ⋅AB -AO ⋅AC =|AD |⋅|AB |-|AE |⋅|AC |，
又∵O 为∆ABC 内心，∴|AD |⋅|AB |-|AE |⋅|AC |=|AD |⋅c -|AD |⋅b ，
a +b +c -(|BD |+|BC |+|CE |)c +b -a
=，
22
(c -b )(c +b -a )
=6，故选C ． ∴AO ⋅CB =AO ⋅(AB -AC ) =AO ⋅AB -AO ⋅AC =
2|AD |=
考点：1．三角形内心性质；2．平面向量数量积． 【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 13．B 【解析】
01cos C =，所以C =60，故选B ．
2
考点：平面向量数量积的应用． 14．C 【解析】
s =试题分析：由b c o C
a 3-c B o s c ，根B 据正弦定理可得
s i B n c C =o s A 3-s B i n c C o B ，
1
∴sin (B +C )=3sin A cos B =sin A , ∴cos B =；再根据BA ⋅BC =2，得
31
c ⋅a c ⋅o s B ，=∴ac =6，所以∆
ABC 的面积为ac ⋅sin B =C 为正确答案．
2
考点：1、正弦定理；2、向量的数量积． 【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用，属于中档题；由b cos C =3a cos B -c cos B ，根据正弦定理求出cos B 的值，进而求出sin B
的值；再根据BA ⋅BC =2，利用两个向量的数量积的定义求得ac 的值，最后根据面积公式
1
ac ⋅sin B 求出∆ABC 的面积即可． 2
15．
π 6
【解析】
试题分析：如图所示，设AB =a , AD =b ，∵两个非零向量满足|a +b |=|a -b |=2|a |，
则四边形ABCD 是矩形，且 AB 1ππ
==cos ∠BAC ，∴∠BAC =∠OAB =，∴∠OAD =．AC 236
π
∠OAD 而向量b 与a +b 的夹角即为，故向量b 与a +b 的夹角为
6
考点：向量的夹角的计算 16．(2,+∞) 【解析】
试题分析：由题意，两
边
CT =CM =CN =2
平
方
，设C T =a C M b +C N M , C N 夹角为θ，对C
，
整
理
得
22
4=4a 2+2abCM ⋅CN +4b 2⇒1=a 2+2ab c o s θ+b 2 -1≤cos θ≤1∴(a -b )≤1≤(a +b )
，可得到
-1≤a -b ≤1, a +b ≤-1或a +b ≥1，以为a 横坐标, b 为纵坐标, 表示出满足上面条件的平
面
区
域
．
如
图
阴
影
部
分
所
示
，
则
a 3+ab 2+2ab +b +1b +1b +12
=a 2+b 2+2b +=a 2+(b +1)-1+，
a a a
它表示点(a , b )到点(0, -1)的距离的平方及点(a , b )与点(0, -1)连线斜率的和，由可行域可知当点(a , b )位于点(1, 0)时取到最小值2，但由题意a , b 为正实数，故
a 3+ab 2+2ab +b +1
的取值范围为(2,+∞
)
a
【名师点睛】本题主要考查向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识，属难题．解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义，需要一定的数学功底． 考点：
17．2 【解析】
π试题分析：a ⋅c =a ⋅c ⋅cos a , c =2⋅c ⋅cos =2∴c =2
3
考点：向量的运算 18．3-5 【解析】
试题分析：以正方形中心O 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设正方形边长为2个单
MN 24m 2+4y ==
BN 2(1+m ) 2+4
位，则B (1,1),M (m ,1), N (-m , -1), m ∈[-1,1]，因此
，由
8(m 2+4m -1) y '==0
[(1+m ) 2+
4]2
得m 2或m =2(舍
) ，因此函数在
2,1) 单调增，在
(-
2) 单调减，即m =2时，函数取最小值3-
考点：利用导数求函数最值 【思路点睛】
函数最值存在的两条定论
1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点．
2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．“单峰”利用导数探求．
π19．3
【解析】
2 2
试题分析：a -2b ⊥a , b -2a ⊥b ⇒a -2b ⋅a =0, b -2a ⋅b =0⇒a =2b ⋅a =b ，
()()()()
a ⋅b 1π
因此cos θ==, θ=.
3|a ||b |2
考点：向量夹角 20
．l3 【解析】
试题分析：由题意得AB =4, CD =2
AE ⋅BF =(AB +BE ) ⋅(BC +CF ) =AB ⋅BC +BE ⋅BC +AB ⋅CF +BE ⋅CF
=|AB |⋅|BC |cos120+|BE |⋅|BC |-|AB |⋅|CF |+|BE ||⋅CF |cos60 1111=4⨯2⨯(-) +λ⋅22-4⨯(1-) ⨯2+2λ⋅(1-) ⨯
2⨯
22λ2λ2
=-13+6λ+
4
λ
≥-13+
=
l3，
当且仅
λ=
当时取等号，即AE ·BF
的最小值为l3
考点：向量数量积，基本不等式求最值 21．[-1, -) 【解析】
试题分析：如图，以A 为原点，AB 为x
轴建立直角坐标系，则B (1,0),C (12
1，设2
12
M (x , y ) ，AM ⋅AB =(x , y ) ⋅(1,0) =x
2 1111
-≤x
0，所以CM ⋅AB =(x -, y ⋅(1,0)=x -∈[-1, -) ．
2222
考点：向量的数量积，数量积的坐标运算．
【名师点睛】1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．
2．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA ＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a
的坐标与点A 的坐标都是（x ，y ）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量（x ，y ）
向量OA
点A （x ，y ）．要把点的坐标与向量的
坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A （1，2），B （3，4），则AB ＝（2，2）．
3．用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思
维量，降低难度． 22．(-∞, -2) 【解析】
试题分析：因为a 与a +b 的方向相反，所以a 与b 共线，且方向相反．设b =ka =(k , k )
（k
a ⋅b =k +k +2k
考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算． 23．2． 【解析】
2
222
试题分析：设AD =a ，CB =b ，DC =c ，∵AB =2，∴|a +b +c |=4⇒a +b +c +
2(a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a ) =4
，
又
2
∵
A ⋅
C =-3
B ，D ∴
(a +
2
2
c ) ⋅
2
(-b
2
-c )
2
2
2
=3， a -
b ⇒ b ⋅ c 3+ c ⋅ a +
a 2+b 2+22ab +2
≥=2，当且仅当∴a +b +c +2(3-c )=4⇒c =a +b +2，∴
ab +1ab +1c 2
a =b 时，等号成立，即的最小值是2．
ab +1
考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．
【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．
x 2y 2
+=1；24．（1）（2）k max =4，k min =3． 43
【解析】
试题分析：（1）根据题意知|PA |+|PB |=|PA |+|PM |=4>2，所以P 的轨迹是以A , B 为
x 2y 2
焦点的椭圆，且2a =4, 2c =2，所以轨迹的方程为（2）设点P (x 0, y 0) 则+=1；
43x 02y 02
+=
1，根据两点之间的距离公式得：k =43
得：k =4-
12
x 0，又有椭圆的范围知-2≤x 0≤2，求函数的最值． 4
试题解析：（1）∵|PA |+|PB |=|PA |+|PM |=4；又|AB |=2， ∴P 的轨迹是以A , B 为焦点的椭圆， ∵2a =4, 2c =2，∴b 2=a 2-c 2=3，
x 2y 2所求轨迹方程为+=1．
43x 02y 02
（2）解：设点P (x 0, y 0) 则+=1
43
k =(-2≤x 0≤2)
=
111
=(2-x 0)(2+x 0) =4-x 02 224
∴当x 0=0 时，k max =4∴当x 0=±2 时，k min =3
考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值． 【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题．求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误． 25．（1
【解析】
（2）3． B = sinAsinC ，又试题分析：（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：sin ²cos B =
3，所以sin （A +C ）
=sinB =sin （A +C ）= sinAsinC ，展开两边4 3 333
同除以sinAsinC 即可；（2）因为BA ·BC =，cos B =，所以ac ⋅cosB =ac =，
4422
a 2+c 2-b 2
=ac =2，由余弦定理得cos B =则b ²
2ac
a 2+c 2-2(a +c ) 2-2ac -23
（a +c ）²=9 ，a +c =3． ===，所以
444=ac ∴ sin ²B = sinAsinC 试题解析：（1）
b ²
3
cosB =且B 为三角形内角? ∴sin （A +C ）=sinB =
411cos A cos C +=+=tan A tan C sin A sin C 3 333
（2）∵BA ·BC = ，cosB = ∴ac ⋅cosB =ac =，
2442
=ac =2 则b ²
∴
a 2+c 2-b 2a 2+c 2-2(a +c ) 2-2ac -23
=== ∴cos B =
2ac 444
（a +c ）²=9 ，a +c =3 ∴
考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式．
26
是直线OA n
的倾斜角，
【解析】
试题分析：由题意可得90︒-θn
∴
∴
f (n )cos θn sin (90︒-θn ) 111
，
==tan （90︒-θn ）===-
sin θn cos (90︒-θn ) n n n +1n n +1
考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算
⎡2021⎤
, ⎥ 27．（1）2cos x -sin 2x =；（2）f (x ) 的值域为⎢-
1322⎦⎣
2
【解析】
试题分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx 的值，然后化简2cos
2
x -sin 2x 即可
（2）先表示出f (x )
=(a +b ) ⋅b =sin 2x +π⎫，再根据x 的范围求出函数（的f x ）⎪
2⎝4⎭
最大值及最小值． 试题解析：（1） a ||b ，∴
33cos x +sin x =0，∴tan x =- 22
2cos 2x -2sin x cos x 2-2tan x 20
2cos x -sin 2x ===．
sin 2x +cos 2x 1+tan 2x 13
2
1
（2）
a +b =(sinx +cos x , )
2
πf (x ) =(a +b ) ⋅b =x +)
24
∵-
π
2
≤x ≤0，∴-
3ππππ≤2x +≤
，∴-1≤sin(2x +) ≤
44442
⎡121⎤
∴-, ⎥． ≤f (x ) ≤ ∴函数 f (x ) 的值域为⎢-
22⎦22⎣
考点：正弦函数的性质
2
x 28．（1）+(y -3)=25，B (0, 8), D (0, -2) （2）共线
2
【解析】
试题分析：（1）利用四边形ABCD 面积得直径BD =10，因而半径为5，利用弦AC=8可求
22
()M 0, 3()x +y -3=25，可得圆在y 轴上得圆心M 到直线AC 距离为3，即圆心，方程为
的交点B (0, 8), D (0, -2) （2）判断三点O 、G 、H 是否共线，一般利用斜率进行判定，即判断k OG =k OH 是否成立，而AB ⊥OH ，因此只需判断k O G k
A B
=-1是否成立，设
A (a , 0)，B (0, b )，C (c , 0)，D (d , 0)．则转化为判断bd =ac 是否成立：对于圆M 的一般方
2222x +y +DX +Ey +F =0y +Ey +F =0两x +DX +F =0程，a ，c 为两根，b ，d 为
根，从而由韦达定理得ac =F =bd ，因此三点共线．
试题解析：解：（1）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 面积为S =40, AC =8可得BD =10．
S =
AC ⋅BD 2
，因
又因为AB ⋅AD =0，所以∠A 为直角，而因为四边形是圆M 的内接四边形，故
BD =2r =10, r =5，连接MA ，求得MO =3，所以M (0, 3)，故圆M 的方程为
x 2+(y -3)=25，
2
令x =0, y =8或-2，求得B (0, 8), D (0, -2)
，B (0, b )，C (c , 0)，D (d , 0)． 证：设四边形四个顶点的坐标分别为A (a , 0)
⎛c d ⎫⎛c d ⎫
= , ⎪ , ⎪
⎝22⎭ 则可得点G 的坐标为⎝22⎭，即
AB ⊥OH G 、O 、H 又AB =(-a , b )，且，故使共线，只需证AB ⋅OG =0即可
bd -ac 22
x +y +DX +Ey +F =0， M 而AB ⋅OG =，且对于圆的一般方程
2
2
当y =0时，可得x +DX +F =0，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，
于是有
x A x C =ac =F ．
2y +Ey +F =0，其中方程的两根分别为点B 和点D 的纵坐标， x =0同理，当时，可得
bd -ac y y =bd =F =0，即AB ⊥OG ， 于是有B D ，所以，AB ⋅OG =
2
故G 、O 、H 必定三点共线 考点：圆的方程，直线与圆位置关系
29．（1
）OP =；（2）λ-μ的最大值为1． 【解析】
试题分析：（1）直接求出向量的坐标，即可计算模的大小；（2）由向量相等的定义可得λ, μ，
2 2
试题解析：（1）由已知AB =(1,2), AC =(2,1)，所以OP =AB +AC =(2,2) ，
33
OP =，
（2）由已知得OP =λ(1, +2μ)
1⎧λ=(2y -x ) ⎪⎪3
， ⎨
⎪μ=1(2x -y ) ⎪3⎩
∴λ-μ=y -x ．由简单线性规划的思想可得λ-μ的最大值为1． 考点：向量的坐标运算，向量的相等，简单线性规划．
⎧x =λ+2μ
，∴⎨，=(2λ+, 1μ) λ+(μ2
⎩y =2λ+μ
y 2x 213
30．（1）（2）[-4) ；（3）证明见解析． +=1；
443
【解析】
试题分析：（1）由题意得可得c =1，由椭圆的定义可求得a =2，再由a , b , c 的关系，可得
到椭圆的标准方程；（2）设直线PB 的方程为y =k (x -4) ，代入椭圆的方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围；（3）求得E 的坐标，以及直线AE 的方程，令y =0，运用韦达定理，即可得到所求定点．
y 2x 2试题解析：（1）椭圆的方程为+=1
43
（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y =k (x -4) ⎧y =k (x -4) ⎪由⎨x 2得： y 2
+=1⎪3⎩4
(4k 2+3) x 2-32k 2x +64k 2-12=0
由∆=(-32k 2) 2-4(4k 2+3)(64k 2-12) >0得：k 2
1
4
32k 264k 2-12
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2 ① ，x 1x 2=2
4k +34k +3
∴y 1y 2=k (x 1-4) k (x 2-4) =k 2x 1x 2-4k 2(x 1+x 2) +16k 2
64k 2-1232k 287222
-4k ⋅+16k =25-∴OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=(1+k ) ⋅
4k 2+34k 2+34k 2+3
131878787
∵0≤k 2
44344k +3
13∴OA ⋅OB 的取值范围是[-4) ．
4
（3）证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E （x 2，－y 2）
y +y 2y (x -x 2)
直线AE 的方程为y -y 1=1 (x -x 1) ，令y = 0得：x =x 1-11
x 1-x 2y 1+y 2
2x x -4(x 1+x 2)
又y 1=k (x 1-4) ，y 2=k (x 2-4) ，∴x =12
x 1+x 2-8
由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）．
考点：椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，本题的解答中，把直线方程y =k (x -4) 代入椭圆的方程，
得二次方程(4k +3) x -32k x +64k -12=0，把向量OA ⋅OB 的运算转化为二次方程韦达定
2
2
2
2
理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点．
高中数学(平面向量) 综合练习含解析
△ABC D 1．在中，AB =c ，AC =b ．若点满足BD =2DC ，则AD =（ ）
2 1 5 2 2 1 1 2 A ．b -c B ．c -b C ．b +c D ．b +c
33333333
2
．已知OA =1, =，OA ⋅OB =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30︒，
m
OC =mOA +nOB (m , n ∈R )，则等于（ ）
n
1 C
． D
33
3．若向量a , b , c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ⋅a +2b =（ ）
A ．3 B ．
()
A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
4．已知向量m =(a , -2), n =(1,1-a ) ，且m ∥n ，则实数a =（ ）
A ．-1 B ．2或-1 C ．2 D ．-2
5．已知向量a =(1,2) ，向量b =(x , -2) ，且a ⊥(a -b ) ，则实数x 等于
A ．-4 B ．4 C ．0 D ．9
6．已知|a |＝1，|b |
a ⊥(a -b ) ，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）
2ππππ
B． C． D．
3643
7．已知平面向量a ，b 满足a ⋅a +b =3，且a =2，b =1，则向量a 与b 夹角的
A ．
()
正弦值为（ ） A ．-
11 B
．- C． D
．
222 2
∠BAD =60，8．在平行四边形ABCD 中，AD =2，若AD ⋅BE =1，E 为CD 的中点．
则AB 的长为( )
A
．4 C．5 D．6
9．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若
(OB -OC ) ⋅(OB +OC -2OA ) =0，则∆ABC 是（ ）
A ．以AB 为底面的等腰三角形 B ．以BC 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形
1
10．在∆ABC 中，MB =AB ，且对AB 边上任意一点N ，恒有NB ⋅NC ≥MB ⋅MC ，
4
则有（ ）
A ．AB ⊥BC B．AB ⊥AC C ．AB =AC D．AC =BC
11．点P 是∆ABC 所在平面内的一点，若CB =λPA +PB (λ∈R ) ，则点P 在（ ）
A ．∆ABC 内部
B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上 D ．BC 边所在的直线上
12．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c -b =6，c +b -a =2，且O 为此三角形的内心，则AO ⋅CB =（ ） A ．4 B．5 C．6 D．7
13．在∆ABC 中，=, =, ||=2, ||=3, ⋅=3则∠C 的大小为（ ） A ．30 B．60 C．120 D．150
︒
︒
︒
︒
o s C =3a c o s B c -o s 14．在∆ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b c B
，
BA ⋅BC =2，则∆ABC 的面积为（ ）
A
．
15．若非零向量a , b 满足|a +b |=|a -b |=2|a |，则向量b 与a +b 的夹角为16．在平面直角坐标系中，设M , N , T 是圆C :(x -1) +y =4上不同三点，若存在正
2
2
3
C
．
． 2
a 3+ab 2+2ab +b +1
实数a , b ，使得CT =aCM +bCN ，则的取值范围为 ．
a
π
17
．已知向量a =(1，向量a , c 的夹角是，a ⋅c =2，则|c |等于 ．
3
18．已知正方形ABCD ，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB , CD 于点
MN 2
M 、N ，则最小值为_________________． 2
BN
19．若a , b 均为非零向量，且a -2b ⊥a , b -2a ⊥b ，则a , b 的夹角为 ．
()()
1
AB=2，动点E 和F 分别在2
1
DC ，DF =BF 的最小值为 ．线段BC 和DC 上，且BE =λBC ，则AE · 2λ
20．在等腰梯形ABCD 中，已知AB//DC，∠ABC=60°，BC=
21．已知∆ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面ABC 内，若AM ⋅AB
|CM |=1，则CM ⋅AB 的取值范围是 ．
22．向量a =(1,1) ，且a 与a +b 的方向相反，则a ⋅b 的取值范围是 ．
BC =b ，23．如图，在三棱锥中D -ABC 中，已知AB =2，AC ⋅BD =-3，设AD =a ，
c 2
CD =c ，则的最小值为 ．
ab +1
24．已知A 点坐标为(-1,0) ，B 点坐标为(1,0)，且动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的
垂直平分线l 交线段MA 于点P ． （1）求动点P 的轨迹C 方程．
（2）若P 是曲线C 上的点，，求k =PA ⋅PB 的最大值和最小值．
2
25．△ABC 中，内角为A ，B ，C ，所对的三边分别是a ，b ，c ，已知b = ac ，cos B =
3． 4
11
+； tan A tan C 3
（2）设BA ·BC =, 求a +c ．
21*
26．已知函数f (x )=，点O 为坐标原点, 点A n (n , f (n ))(n ∈N ) , 向量i =(0,1)，
x +1
θn 是向量OA n 与i
（1）求
3
27．已知向量a =(sinx , ), b =(cosx , -1).
2
（1）当a //b 时，求2cos 2x -sin 2x 的值； ⎡π⎤
（2）求f (x ) =(a +b ) ⋅b 在⎢-,0⎥上的值域．
⎣2⎦
28．如图，在平面直角坐标系中，方程为x 2+y 2+DX +Ey +F =0的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上．
（1）若四边形ABCD 的面积为40，对角线AC 的长为8，⋅=0，且∠ADC 为锐角，求圆的方程，并求出B , D 的坐标；
（2）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH ⊥AB ，且垂足为H ，试用平面解析几何的研究方法判断点O 、G 、H 是否共线，并说明理由．
29．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1),B (2,3),C (3,2)，点P (x , y ) 在∆ABC 中三边
围成的区域（含边界）上，且OP =λAB +μAC (λ, μ∈R ) ．
（1）若λ=μ=
2
，求OP ； 3
（2）用x , y 表示λ-μ并求λ-μ的最大值．
x 2y 2
30．已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) , 过左焦点F 1(-1,0) 的直线与椭圆C 交于M 、
a b
N 两点，且∆F 2MN 的周长为8；过点P (4,0)且不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交
于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）求OA ⋅OB 的取值范围；
（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：如图所示，在 ABC 中，AD =AB +BD
又
BD =2DC
，
2 2 2 2 1 ∴BD =BC BC =AC -AB =b -c ∴AD =AB +BC =c +b -c =b +c
33333
()
故选C ．
考点：向量加法 2．A 【解析】
试题分析：如图所示，建立直角坐标系．则OA =(
1,0), OB =,
(
∴∴OC =mOA +nOB =m , ∴tan 30 =
(
)
m
==3．故选B n
考点：共线向量
【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题．解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果． 3．D 【解析】 试
题
分
析
：
设
a =λb
，则由已知可得
c ⋅(a +2b ) =c ⋅a +c ⋅(2b ) =c ⋅a +c ⋅(2λb) =(2λ+1)⋅c ⋅a =0
考点：向量的运算 4．B 【解析】
试题分析：由已知m ∥n ，则a ⨯(1-a ) -(-2)⨯1=-a 2+a +2=0⇒a =-1, a =2
考点：共线向量 5．D
【解析】
试题分析： a -b =(1-x ,4)由a ⊥(a -b ) ⇒(1,2)⋅(1-x ,4)=1-x +8=0⇒x =9
考点；向量垂直的充要条件 6．B 【解析】
r 2 a ⋅b 试题分析：
由题意得a ⋅(a -b ) =0⇒a ⋅b =a =1⇒cos ==，所以向量a 与
|a |⋅|b |
πr
向量b 的夹角为4，选Ｂ．
考点：向量夹角 7．D 【解析】 试
题分析：
2 -12πa ⋅a +b =3⇒a +a ⋅b =3⇒a ⋅b =-1⇒cos =⇒=.
23选D ．
()
考点：向量夹角
8．D 【解析】 试
题分析：
1 1 AD ⋅BE =AD （⋅BA +AD +DE ) =AD （⋅-AB +AD +AB ) =AD （⋅AD -AB )
22 1π1
=4-⨯2⨯AB ⨯cos =4-AB =1
232，因此AB =6. 选D ．
考点：向量数量积 9．B 【解析】
试题分析：设BC 的中点为 D ，∵(OB -OC ) ⋅(OB +OC -2OA ) =0，∴
CB ⋅(2OD -2OA ) =0，
∴CB ⋅2AD =0，∴CB ⊥AD ，故△ABC 的BC 边上的中线也是高线．故△ABC 是以BC 为
底边的等腰三角形，故选 B． 考点：三角形的形状判断． 10．D 【解析】
试题分析：以A 为原点，AB 为x 轴，建立直角坐标系，设B (4,0),C (a , b ) ，N (x ,0) ，则M (3,0)
，
MB ⋅MC =(1,0) ⋅(a -3, b ) =a -3
，
NB ⋅NC =(4-x ,0) ⋅(a -x , b ) =(4-x )(a -x ) ，
a +42(a +4) 2
) +4a -， (4-x )(a -x ) =x -(a +4) x +4a =(x -24
2
(a +4) 2a +4
=3）=a -3（或由题意4a -，解得a =2，所以AC =BC ．故选D ． 24
考点：向量的数量积，数量积的坐标运算．
【名师点睛】1．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA ＝a ，点A 的位置被a 所唯
一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是（x ，y ）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的
向量是一一对应的，即向量（x ，y ）向量OA 点A （x ，y ）．要把点
的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也
不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A （1，2），B （3，4），则AB ＝（2，2）．
3．用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思
维量，降低难度．本题建立坐标系后，NB ⋅NC =(4-x ,0) ⋅(a -x , b ) =(4-x )(a -x ) ，问
题转化为函数f (x ) =(4-x )(a -x ) 的最小值是a -3或在x =3时取得最小值，由二次函数的性质结论易得． 11．B 【解析】
试题分析：由CB =λPA +PB 得CB -PB =λPA ，即CP =λPA ，所以CP 与PA 共线，
故选B ．
考点：向量的线性运算，向量的共线． 12．C 【解析】
试题分析：如下图所示，过O 作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，
∴AO ⋅CB =AO ⋅(AB -AC ) =AO ⋅AB -AO ⋅AC =|AD |⋅|AB |-|AE |⋅|AC |，
又∵O 为∆ABC 内心，∴|AD |⋅|AB |-|AE |⋅|AC |=|AD |⋅c -|AD |⋅b ，
a +b +c -(|BD |+|BC |+|CE |)c +b -a
=，
22
(c -b )(c +b -a )
=6，故选C ． ∴AO ⋅CB =AO ⋅(AB -AC ) =AO ⋅AB -AO ⋅AC =
2|AD |=
考点：1．三角形内心性质；2．平面向量数量积． 【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 13．B 【解析】
01cos C =，所以C =60，故选B ．
2
考点：平面向量数量积的应用． 14．C 【解析】
s =试题分析：由b c o C
a 3-c B o s c ，根B 据正弦定理可得
s i B n c C =o s A 3-s B i n c C o B ，
1
∴sin (B +C )=3sin A cos B =sin A , ∴cos B =；再根据BA ⋅BC =2，得
31
c ⋅a c ⋅o s B ，=∴ac =6，所以∆
ABC 的面积为ac ⋅sin B =C 为正确答案．
2
考点：1、正弦定理；2、向量的数量积． 【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用，属于中档题；由b cos C =3a cos B -c cos B ，根据正弦定理求出cos B 的值，进而求出sin B
的值；再根据BA ⋅BC =2，利用两个向量的数量积的定义求得ac 的值，最后根据面积公式
1
ac ⋅sin B 求出∆ABC 的面积即可． 2
15．
π 6
【解析】
试题分析：如图所示，设AB =a , AD =b ，∵两个非零向量满足|a +b |=|a -b |=2|a |，
则四边形ABCD 是矩形，且 AB 1ππ
==cos ∠BAC ，∴∠BAC =∠OAB =，∴∠OAD =．AC 236
π
∠OAD 而向量b 与a +b 的夹角即为，故向量b 与a +b 的夹角为
6
考点：向量的夹角的计算 16．(2,+∞) 【解析】
试题分析：由题意，两
边
CT =CM =CN =2
平
方
，设C T =a C M b +C N M , C N 夹角为θ，对C
，
整
理
得
22
4=4a 2+2abCM ⋅CN +4b 2⇒1=a 2+2ab c o s θ+b 2 -1≤cos θ≤1∴(a -b )≤1≤(a +b )
，可得到
-1≤a -b ≤1, a +b ≤-1或a +b ≥1，以为a 横坐标, b 为纵坐标, 表示出满足上面条件的平
面
区
域
．
如
图
阴
影
部
分
所
示
，
则
a 3+ab 2+2ab +b +1b +1b +12
=a 2+b 2+2b +=a 2+(b +1)-1+，
a a a
它表示点(a , b )到点(0, -1)的距离的平方及点(a , b )与点(0, -1)连线斜率的和，由可行域可知当点(a , b )位于点(1, 0)时取到最小值2，但由题意a , b 为正实数，故
a 3+ab 2+2ab +b +1
的取值范围为(2,+∞
)
a
【名师点睛】本题主要考查向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识，属难题．解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义，需要一定的数学功底． 考点：
17．2 【解析】
π试题分析：a ⋅c =a ⋅c ⋅cos a , c =2⋅c ⋅cos =2∴c =2
3
考点：向量的运算 18．3-5 【解析】
试题分析：以正方形中心O 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设正方形边长为2个单
MN 24m 2+4y ==
BN 2(1+m ) 2+4
位，则B (1,1),M (m ,1), N (-m , -1), m ∈[-1,1]，因此
，由
8(m 2+4m -1) y '==0
[(1+m ) 2+
4]2
得m 2或m =2(舍
) ，因此函数在
2,1) 单调增，在
(-
2) 单调减，即m =2时，函数取最小值3-
考点：利用导数求函数最值 【思路点睛】
函数最值存在的两条定论
1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点．
2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．“单峰”利用导数探求．
π19．3
【解析】
2 2
试题分析：a -2b ⊥a , b -2a ⊥b ⇒a -2b ⋅a =0, b -2a ⋅b =0⇒a =2b ⋅a =b ，
()()()()
a ⋅b 1π
因此cos θ==, θ=.
3|a ||b |2
考点：向量夹角 20
．l3 【解析】
试题分析：由题意得AB =4, CD =2
AE ⋅BF =(AB +BE ) ⋅(BC +CF ) =AB ⋅BC +BE ⋅BC +AB ⋅CF +BE ⋅CF
=|AB |⋅|BC |cos120+|BE |⋅|BC |-|AB |⋅|CF |+|BE ||⋅CF |cos60 1111=4⨯2⨯(-) +λ⋅22-4⨯(1-) ⨯2+2λ⋅(1-) ⨯
2⨯
22λ2λ2
=-13+6λ+
4
λ
≥-13+
=
l3，
当且仅
λ=
当时取等号，即AE ·BF
的最小值为l3
考点：向量数量积，基本不等式求最值 21．[-1, -) 【解析】
试题分析：如图，以A 为原点，AB 为x
轴建立直角坐标系，则B (1,0),C (12
1，设2
12
M (x , y ) ，AM ⋅AB =(x , y ) ⋅(1,0) =x
2 1111
-≤x
0，所以CM ⋅AB =(x -, y ⋅(1,0)=x -∈[-1, -) ．
2222
考点：向量的数量积，数量积的坐标运算．
【名师点睛】1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．
2．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA ＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a
的坐标与点A 的坐标都是（x ，y ）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量（x ，y ）
向量OA
点A （x ，y ）．要把点的坐标与向量的
坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A （1，2），B （3，4），则AB ＝（2，2）．
3．用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思
维量，降低难度． 22．(-∞, -2) 【解析】
试题分析：因为a 与a +b 的方向相反，所以a 与b 共线，且方向相反．设b =ka =(k , k )
（k
a ⋅b =k +k +2k
考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算． 23．2． 【解析】
2
222
试题分析：设AD =a ，CB =b ，DC =c ，∵AB =2，∴|a +b +c |=4⇒a +b +c +
2(a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a ) =4
，
又
2
∵
A ⋅
C =-3
B ，D ∴
(a +
2
2
c ) ⋅
2
(-b
2
-c )
2
2
2
=3， a -
b ⇒ b ⋅ c 3+ c ⋅ a +
a 2+b 2+22ab +2
≥=2，当且仅当∴a +b +c +2(3-c )=4⇒c =a +b +2，∴
ab +1ab +1c 2
a =b 时，等号成立，即的最小值是2．
ab +1
考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．
【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．
x 2y 2
+=1；24．（1）（2）k max =4，k min =3． 43
【解析】
试题分析：（1）根据题意知|PA |+|PB |=|PA |+|PM |=4>2，所以P 的轨迹是以A , B 为
x 2y 2
焦点的椭圆，且2a =4, 2c =2，所以轨迹的方程为（2）设点P (x 0, y 0) 则+=1；
43x 02y 02
+=
1，根据两点之间的距离公式得：k =43
得：k =4-
12
x 0，又有椭圆的范围知-2≤x 0≤2，求函数的最值． 4
试题解析：（1）∵|PA |+|PB |=|PA |+|PM |=4；又|AB |=2， ∴P 的轨迹是以A , B 为焦点的椭圆， ∵2a =4, 2c =2，∴b 2=a 2-c 2=3，
x 2y 2所求轨迹方程为+=1．
43x 02y 02
（2）解：设点P (x 0, y 0) 则+=1
43
k =(-2≤x 0≤2)
=
111
=(2-x 0)(2+x 0) =4-x 02 224
∴当x 0=0 时，k max =4∴当x 0=±2 时，k min =3
考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值． 【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题．求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误． 25．（1
【解析】
（2）3． B = sinAsinC ，又试题分析：（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：sin ²cos B =
3，所以sin （A +C ）
=sinB =sin （A +C ）= sinAsinC ，展开两边4 3 333
同除以sinAsinC 即可；（2）因为BA ·BC =，cos B =，所以ac ⋅cosB =ac =，
4422
a 2+c 2-b 2
=ac =2，由余弦定理得cos B =则b ²
2ac
a 2+c 2-2(a +c ) 2-2ac -23
（a +c ）²=9 ，a +c =3． ===，所以
444=ac ∴ sin ²B = sinAsinC 试题解析：（1）
b ²
3
cosB =且B 为三角形内角? ∴sin （A +C ）=sinB =
411cos A cos C +=+=tan A tan C sin A sin C 3 333
（2）∵BA ·BC = ，cosB = ∴ac ⋅cosB =ac =，
2442
=ac =2 则b ²
∴
a 2+c 2-b 2a 2+c 2-2(a +c ) 2-2ac -23
=== ∴cos B =
2ac 444
（a +c ）²=9 ，a +c =3 ∴
考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式．
26
是直线OA n
的倾斜角，
【解析】
试题分析：由题意可得90︒-θn
∴
∴
f (n )cos θn sin (90︒-θn ) 111
，
==tan （90︒-θn ）===-
sin θn cos (90︒-θn ) n n n +1n n +1
考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算
⎡2021⎤
, ⎥ 27．（1）2cos x -sin 2x =；（2）f (x ) 的值域为⎢-
1322⎦⎣
2
【解析】
试题分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx 的值，然后化简2cos
2
x -sin 2x 即可
（2）先表示出f (x )
=(a +b ) ⋅b =sin 2x +π⎫，再根据x 的范围求出函数（的f x ）⎪
2⎝4⎭
最大值及最小值． 试题解析：（1） a ||b ，∴
33cos x +sin x =0，∴tan x =- 22
2cos 2x -2sin x cos x 2-2tan x 20
2cos x -sin 2x ===．
sin 2x +cos 2x 1+tan 2x 13
2
1
（2）
a +b =(sinx +cos x , )
2
πf (x ) =(a +b ) ⋅b =x +)
24
∵-
π
2
≤x ≤0，∴-
3ππππ≤2x +≤
，∴-1≤sin(2x +) ≤
44442
⎡121⎤
∴-, ⎥． ≤f (x ) ≤ ∴函数 f (x ) 的值域为⎢-
22⎦22⎣
考点：正弦函数的性质
2
x 28．（1）+(y -3)=25，B (0, 8), D (0, -2) （2）共线
2
【解析】
试题分析：（1）利用四边形ABCD 面积得直径BD =10，因而半径为5，利用弦AC=8可求
22
()M 0, 3()x +y -3=25，可得圆在y 轴上得圆心M 到直线AC 距离为3，即圆心，方程为
的交点B (0, 8), D (0, -2) （2）判断三点O 、G 、H 是否共线，一般利用斜率进行判定，即判断k OG =k OH 是否成立，而AB ⊥OH ，因此只需判断k O G k
A B
=-1是否成立，设
A (a , 0)，B (0, b )，C (c , 0)，D (d , 0)．则转化为判断bd =ac 是否成立：对于圆M 的一般方
2222x +y +DX +Ey +F =0y +Ey +F =0两x +DX +F =0程，a ，c 为两根，b ，d 为
根，从而由韦达定理得ac =F =bd ，因此三点共线．
试题解析：解：（1）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 面积为S =40, AC =8可得BD =10．
S =
AC ⋅BD 2
，因
又因为AB ⋅AD =0，所以∠A 为直角，而因为四边形是圆M 的内接四边形，故
BD =2r =10, r =5，连接MA ，求得MO =3，所以M (0, 3)，故圆M 的方程为
x 2+(y -3)=25，
2
令x =0, y =8或-2，求得B (0, 8), D (0, -2)
，B (0, b )，C (c , 0)，D (d , 0)． 证：设四边形四个顶点的坐标分别为A (a , 0)
⎛c d ⎫⎛c d ⎫
= , ⎪ , ⎪
⎝22⎭ 则可得点G 的坐标为⎝22⎭，即
AB ⊥OH G 、O 、H 又AB =(-a , b )，且，故使共线，只需证AB ⋅OG =0即可
bd -ac 22
x +y +DX +Ey +F =0， M 而AB ⋅OG =，且对于圆的一般方程
2
2
当y =0时，可得x +DX +F =0，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，
于是有
x A x C =ac =F ．
2y +Ey +F =0，其中方程的两根分别为点B 和点D 的纵坐标， x =0同理，当时，可得
bd -ac y y =bd =F =0，即AB ⊥OG ， 于是有B D ，所以，AB ⋅OG =
2
故G 、O 、H 必定三点共线 考点：圆的方程，直线与圆位置关系
29．（1
）OP =；（2）λ-μ的最大值为1． 【解析】
试题分析：（1）直接求出向量的坐标，即可计算模的大小；（2）由向量相等的定义可得λ, μ，
2 2
试题解析：（1）由已知AB =(1,2), AC =(2,1)，所以OP =AB +AC =(2,2) ，
33
OP =，
（2）由已知得OP =λ(1, +2μ)
1⎧λ=(2y -x ) ⎪⎪3
， ⎨
⎪μ=1(2x -y ) ⎪3⎩
∴λ-μ=y -x ．由简单线性规划的思想可得λ-μ的最大值为1． 考点：向量的坐标运算，向量的相等，简单线性规划．
⎧x =λ+2μ
，∴⎨，=(2λ+, 1μ) λ+(μ2
⎩y =2λ+μ
y 2x 213
30．（1）（2）[-4) ；（3）证明见解析． +=1；
443
【解析】
试题分析：（1）由题意得可得c =1，由椭圆的定义可求得a =2，再由a , b , c 的关系，可得
到椭圆的标准方程；（2）设直线PB 的方程为y =k (x -4) ，代入椭圆的方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围；（3）求得E 的坐标，以及直线AE 的方程，令y =0，运用韦达定理，即可得到所求定点．
y 2x 2试题解析：（1）椭圆的方程为+=1
43
（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y =k (x -4) ⎧y =k (x -4) ⎪由⎨x 2得： y 2
+=1⎪3⎩4
(4k 2+3) x 2-32k 2x +64k 2-12=0
由∆=(-32k 2) 2-4(4k 2+3)(64k 2-12) >0得：k 2
1
4
32k 264k 2-12
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2 ① ，x 1x 2=2
4k +34k +3
∴y 1y 2=k (x 1-4) k (x 2-4) =k 2x 1x 2-4k 2(x 1+x 2) +16k 2
64k 2-1232k 287222
-4k ⋅+16k =25-∴OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=(1+k ) ⋅
4k 2+34k 2+34k 2+3
131878787
∵0≤k 2
44344k +3
13∴OA ⋅OB 的取值范围是[-4) ．
4
（3）证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E （x 2，－y 2）
y +y 2y (x -x 2)
直线AE 的方程为y -y 1=1 (x -x 1) ，令y = 0得：x =x 1-11
x 1-x 2y 1+y 2
2x x -4(x 1+x 2)
又y 1=k (x 1-4) ，y 2=k (x 2-4) ，∴x =12
x 1+x 2-8
由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）．
考点：椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，本题的解答中，把直线方程y =k (x -4) 代入椭圆的方程，
得二次方程(4k +3) x -32k x +64k -12=0，把向量OA ⋅OB 的运算转化为二次方程韦达定
2
2
2
2
理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点．