求变力做功的几种方法
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：
一、等值法
等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h ，
已知细绳的拉力为F 牛（恒定），滑块沿水平面
由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细
绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点
运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳
的拉力F 等于T 。T 在对物体做功的过程中大小
虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是
变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F 的大小和方向
都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中, 拉力F 的作用点的位移大小为：
二、微元法
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：
A 0焦耳 B 20π焦耳
C 10焦耳 D 20焦耳
分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可
认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS ，则转一周中各个
小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20π
J ，故B 正确。
三、平均力法
如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f 0是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少？
分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100
米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f 0＝0.05×105×10N ＝5×104N, 所以前进100米过程中的平均牵引力
＝N ＝1×105N,
S ＝1×105×100J ＝1×107J 。 ∴W ＝
四、图象法
如果力F 随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F —x 图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
例如：对于例3除可用平均力法计算外也可
用图象法。由F=103x+f0可知，当x 变化时，F
也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面
用图象求解。牵引力表达式为
F=103x+0.5×105，其函数表达图象
如图3。根据F-x 图象所围的面积表示牵引力所
做
的功，故牵引力所做的功等于梯形OABD 的“面
积”。
所以
。
五、能量转化法求变力做功
功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。
1、用动能定理求变力做功
动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是W 外=ΔEK ，W 外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例4、如图4所示，AB 为1/4圆弧轨道，半
径为0.8m ，BC 是水平轨道，长3m ，BC
处的摩
擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
分析：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，W G =mgR，f BC =umg，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W 外=0，
所以
mgR-umg -W AB =0
即W AB
=mgR-umg=1×10×
0.8-×1×10×3=6(J)
2、用机械能守恒定律求变力做功
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例5、如图5所示，质量m 为2千克的物
体，从光滑斜面的顶端A 点以v 0=5米/秒的初
速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B
点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度h=5
米，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹
簧
的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，
则状态A ： E A = mgh+mv02/2
对状态B ： E B =－W 弹簧+0
由机械能守恒定律得： W 弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J ）。
3、用功能原理求变力做功
功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。
例6、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F 竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F 所做的功。
分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大, 链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程拉力F 做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L/2=1米，故机械能动变化量为：
ΔE=mg L/2=2×10×1=20（J ）
根据功能原理力F 所做的功为：W=20J
4、用公式W=Pt求变力做功
例7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。
分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fvm =fvm ，所以汽车的牵引力做的功为W 汽车=Pt=fvm t 根据动能定理有：
W 汽车—fs=mvm 2/2，即fv m t －fs= mvm 2/2
代入数值解得： f=6000N。
变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题．在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路．
课后训练题
1、如图所示，质量为2ｋｇ的物体从Ａ点沿半径为Ｒ的粗糙
半球内表面以10ｍ／ｓ的速度开始下滑，到达Ｂ点时的速度
变为2ｍ／ｓ，求物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力所做的
功是多少?
2、一条长链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如
图所示．链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上
滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在
这一过程中重力所做的功为多少?
3、如图所示，一人用定滑轮吊起一个质量为Ｍ的物体，绳子
每单位长的质量为ρ，试求人将物体从地面吊起高度为Ｌ的
过程中所做的最小功．
4、质量为5×105ｋｇ的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0．06倍，机车经过5ｍｉｎ速度达到最大值108ｋｍ／ｈ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功．
5、用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比．如果钉子第一次被打入木块的深度为2ｃｍ，求第二次打入的深度和需要几次打击才能将铁钉打入4ｃｍ深处．
6、将一根水平放置在地面上的长为6ｍ、质量为200ｋｇ的粗细均匀的金属棒竖立起来，至少要做多少功（设所施加的力始终垂直于棒）?
课后训练题解答
1、分析 物体由Ａ滑到Ｂ的过程中，受重力Ｇ、弹力Ｎ和摩擦力ｆ三个力的作用，因而有
ｆ＝μＮ，
Ｎ－ｍｇｃｏｓθ＝ｍｖ2／Ｒ，
即 Ｎ＝ｍ（ｖ2／Ｒ）＋ｍｇｃｏｓθ．
式中μ为动摩擦因素，ｖ为物体在某点的速度．分析上式可知，在物体由Ａ到Ｃ运动的过程中，θ由大到变小，ｃｏｓθ变大，因而Ｎ变大，ｆ也变大．
在物体由Ｃ到Ｂ运动的过程中，θ由小到变大，ｃｏｓθ变小，因而Ｎ变小，ｆ也变小．
由以上可知，物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力ｆ是变力，是变力做功问题．
解 根据动能定理有
Ｗ外＝ΔＥｋ．
在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，弹力N 不做功；重力在物体由Ａ运动到Ｃ的过程中对物体所做的正功与物体从Ｃ运动到Ｂ的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零．因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量．则有
Ｗ外＝Ｗｆ＝ΔＥｋ，
即 Ｗｆ＝（1／2）ｍｖＢ2－（1／2）ｍｖＡ2＝（（1／2）×2×22－（1／2）×2×102）＝－96Ｊ．
式中负号表示摩擦力对物体做负功．可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的．
2、分析 长链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，该部分的质量也在不断增大，即这部分所受的重力是变力，整个长链的运动也是在该变力作用下的运动，是变力做功问题．
图2
解 取桌面为零势能面，设整个链条质量为ｍ，桌面高度为ｈ，下垂部分质量为ｍ０．则有
ｍ０／ｍ＝ｂ／ａ，ｍ０＝（ｂ／ａ）ｍ，
开始下滑时链条的初动能Ｅｋ1＝0，
初势能Ｅｐ1＝－ｍ０ｇ·（ｂ／2）＝－ｍｇ·（ｂ2／2ａ），
机械能Ｅ1＝Ｅｋ1＋Ｅｐ1＝－（ｂ2／2ａ）ｍｇ．
设链条全部离开桌面的瞬时速度为ｖ，此时链条的势能Ｅｐ2＝－（ａ／2）ｍｇ，
动能Ｅｋ2＝（1／2）ｍｖ2，
机械能Ｅ2＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，
根据机械能守恒定律有Ｅ1＝Ｅ2，即
－（ｂ2／2ａ）ｍｇ＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，
解得 ｖ＝．
因此，在这一过程中重力所做的功为
ＷＧ＝ΔＥｋ＝（1／2）ｍｖ2－0＝（ｍｇ／2ａ）（ａ2－ｂ2）．
3、分析 假定物体被匀速吊起，人将物体从地面吊起的过程中，人的拉力可表示为
Ｔ＝Ｍｇ＋ρｘｇ，
式中ｘ为竖直方向绳的余长．当物体上升时，绳的余长ｘ减小，Ｔ减小，因而Ｔ为变力，故本题属变力做功问题．
解 设绳的重量全面集中在它的重心上，物体升高高度为Ｌ时，绳的重心上升Ｌ／2，则系统机械能的增量为
ΔＥ＝ΔＥ1＋ΔＥ2
＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，
式中ΔＥ1、ΔＥ2分别为物体和绳的机械能增量．
由功能原理知，人的拉力所做的功为
Ｗ＝ΔＥ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，
当ΔＥｋ1＝ΔＥｋ2＝0时，即缓慢提升物体时Ｗ最小，即
Ｗｍｉｎ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｐ2
＝ＭｇＬ＋（Ｌ／2）ρＬｇ＝［Ｍ＋（1／2）ρＬ］ｇＬ．
可见，在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便．
4、分析 因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用Ｗ＝Ｆｓｃｏｓａ来求解，但可用公式Ｗ＝Ｐｔ来计算．
解 根据题意，机车所受阻力ｆ＝ｋｍｇ，当机车速度达到最大值时，机车功率为
Ｐ＝Ｆｖｍａｘ＝ｆｖｍａｘ＝ｋｍｇｖｍａｘ
＝0．06×5×105×10×（108×103／3600）
＝9×106Ｗ．
根据Ｐ＝Ｗｔ，该时间内阻力做功为
Ｗｆ＝Ｐ／ｔ＝9×106／300＝3×104Ｊ．
根据动能定理Ｗ外＝ΔＥｋ得牵引力做功
ＷＦ＝ΔＥｋ＋Ｗｆ
＝（1／2）ｍｖｍａｘ2＋Ｗｆ
＝（1／2）×5×105×302＋3×104
＝2．25×108Ｊ．
5、分析 铁钉进入木块所受的阻力ｆ跟铁钉进入木块的深度ｘ之间的关系为ｆ＝ｋｘ，由此可知，阻力是一个变力．铁钉得到锤子给予的动能后，克服木块对它的阻力做功的问题，是一个变力做功的问题．
解 （1）依据题意做出ｆ－ｘ关系图线如图4所示．
图4
第一次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ1等于图4中三角形ＡＯＣ的面积的值．
设第二次打击时铁钉被打入的深度为ｘ0，第二次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ2等于图4中梯形ＡＢＤＣ的面积的值．
因ｆ＝ｋｘ，由图可得
＝2ｋ，＝（2＋ｘ0）ｋ，
·＝（1／2）×2ｋ×2＝2ｋ，
＝（（2ｋ＋（2＋ｘ0）ｋ）／2）×ｘ0 则 Ｗ1＝（1／2） Ｗ2＝（（＋）／2）×
＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，
因每次打击时给铁钉的动能相等，故
Ｗ1＝Ｗ2，
则 2ｋ＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，
解得 ｘ0＝2（－1）ｃｍ．
（2）设打击ｎ次可将铁钉打入4ｃｍ深处，此时克服阻力做功为Ｗ3，即图4中三角形ＯＥＦ的面积的值．
由图可知，当ｘ＝4
ｃｍ时，
Ｗ3＝（1／2）·
· ＝4ｋ，则 ＝（1／2）×4×4ｋ＝8ｋ． 每次打击时克服阻力做功（即给铁钉的动能）为Ｗ1＝2ｋ，所以 ｎ＝Ｗ3／Ｗ1＝8ｋ／2ｋ＝4次．
一个看似复杂的变力做功问题，通过图象变换，使得解题过程简单、明了．
6、分析 如图5所示，用一始终垂直于棒的力将棒的一端匀速提起，由于力的方向和大小时刻在发生变，就可用化，因而也不能直接用公式Ｗ＝Ｆｓ来求解，但如果能求出变力Ｆ在棒竖起的过程中的平均值
Ｗ＝ｓ来求解这一变力做功的问题．
图5
解 如图5所示，在棒转动到与地面成θ角时，以Ｂ为转轴，可列力矩平衡方程
ＦＬ＝Ｇ（Ｌ／2）ｃｏｓθ，即Ｆ＝（1／2）ｍｇｃｏｓθ，
由数学知识可知，当θ由0°到90°的变化过程中，Ｆ的平均值为 ＝（2／π）Ｆｍａｘ＝（2／π）·（1／2）ｍｇ＝（1／π）ｍｇ， 因此，变力Ｆ所做的功为
Ｗ＝
Ｊ．
ｓ＝（1／π）ｍｇ·（1／4）（2πＬ）＝（1／2）×200×10×6＝6×103
求变力做功的几种方法
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：
一、等值法
等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h ，
已知细绳的拉力为F 牛（恒定），滑块沿水平面
由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细
绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点
运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳
的拉力F 等于T 。T 在对物体做功的过程中大小
虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是
变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F 的大小和方向
都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中, 拉力F 的作用点的位移大小为：
二、微元法
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：
A 0焦耳 B 20π焦耳
C 10焦耳 D 20焦耳
分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可
认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS ，则转一周中各个
小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20π
J ，故B 正确。
三、平均力法
如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f 0是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少？
分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100
米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f 0＝0.05×105×10N ＝5×104N, 所以前进100米过程中的平均牵引力
＝N ＝1×105N,
S ＝1×105×100J ＝1×107J 。 ∴W ＝
四、图象法
如果力F 随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F —x 图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
例如：对于例3除可用平均力法计算外也可
用图象法。由F=103x+f0可知，当x 变化时，F
也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面
用图象求解。牵引力表达式为
F=103x+0.5×105，其函数表达图象
如图3。根据F-x 图象所围的面积表示牵引力所
做
的功，故牵引力所做的功等于梯形OABD 的“面
积”。
所以
。
五、能量转化法求变力做功
功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。
1、用动能定理求变力做功
动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是W 外=ΔEK ，W 外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例4、如图4所示，AB 为1/4圆弧轨道，半
径为0.8m ，BC 是水平轨道，长3m ，BC
处的摩
擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
分析：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，W G =mgR，f BC =umg，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W 外=0，
所以
mgR-umg -W AB =0
即W AB
=mgR-umg=1×10×
0.8-×1×10×3=6(J)
2、用机械能守恒定律求变力做功
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例5、如图5所示，质量m 为2千克的物
体，从光滑斜面的顶端A 点以v 0=5米/秒的初
速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B
点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度h=5
米，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹
簧
的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，
则状态A ： E A = mgh+mv02/2
对状态B ： E B =－W 弹簧+0
由机械能守恒定律得： W 弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J ）。
3、用功能原理求变力做功
功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。
例6、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F 竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F 所做的功。
分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大, 链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程拉力F 做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L/2=1米，故机械能动变化量为：
ΔE=mg L/2=2×10×1=20（J ）
根据功能原理力F 所做的功为：W=20J
4、用公式W=Pt求变力做功
例7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。
分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fvm =fvm ，所以汽车的牵引力做的功为W 汽车=Pt=fvm t 根据动能定理有：
W 汽车—fs=mvm 2/2，即fv m t －fs= mvm 2/2
代入数值解得： f=6000N。
变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题．在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路．
课后训练题
1、如图所示，质量为2ｋｇ的物体从Ａ点沿半径为Ｒ的粗糙
半球内表面以10ｍ／ｓ的速度开始下滑，到达Ｂ点时的速度
变为2ｍ／ｓ，求物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力所做的
功是多少?
2、一条长链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如
图所示．链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上
滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在
这一过程中重力所做的功为多少?
3、如图所示，一人用定滑轮吊起一个质量为Ｍ的物体，绳子
每单位长的质量为ρ，试求人将物体从地面吊起高度为Ｌ的
过程中所做的最小功．
4、质量为5×105ｋｇ的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0．06倍，机车经过5ｍｉｎ速度达到最大值108ｋｍ／ｈ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功．
5、用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比．如果钉子第一次被打入木块的深度为2ｃｍ，求第二次打入的深度和需要几次打击才能将铁钉打入4ｃｍ深处．
6、将一根水平放置在地面上的长为6ｍ、质量为200ｋｇ的粗细均匀的金属棒竖立起来，至少要做多少功（设所施加的力始终垂直于棒）?
课后训练题解答
1、分析 物体由Ａ滑到Ｂ的过程中，受重力Ｇ、弹力Ｎ和摩擦力ｆ三个力的作用，因而有
ｆ＝μＮ，
Ｎ－ｍｇｃｏｓθ＝ｍｖ2／Ｒ，
即 Ｎ＝ｍ（ｖ2／Ｒ）＋ｍｇｃｏｓθ．
式中μ为动摩擦因素，ｖ为物体在某点的速度．分析上式可知，在物体由Ａ到Ｃ运动的过程中，θ由大到变小，ｃｏｓθ变大，因而Ｎ变大，ｆ也变大．
在物体由Ｃ到Ｂ运动的过程中，θ由小到变大，ｃｏｓθ变小，因而Ｎ变小，ｆ也变小．
由以上可知，物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力ｆ是变力，是变力做功问题．
解 根据动能定理有
Ｗ外＝ΔＥｋ．
在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，弹力N 不做功；重力在物体由Ａ运动到Ｃ的过程中对物体所做的正功与物体从Ｃ运动到Ｂ的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零．因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量．则有
Ｗ外＝Ｗｆ＝ΔＥｋ，
即 Ｗｆ＝（1／2）ｍｖＢ2－（1／2）ｍｖＡ2＝（（1／2）×2×22－（1／2）×2×102）＝－96Ｊ．
式中负号表示摩擦力对物体做负功．可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的．
2、分析 长链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，该部分的质量也在不断增大，即这部分所受的重力是变力，整个长链的运动也是在该变力作用下的运动，是变力做功问题．
图2
解 取桌面为零势能面，设整个链条质量为ｍ，桌面高度为ｈ，下垂部分质量为ｍ０．则有
ｍ０／ｍ＝ｂ／ａ，ｍ０＝（ｂ／ａ）ｍ，
开始下滑时链条的初动能Ｅｋ1＝0，
初势能Ｅｐ1＝－ｍ０ｇ·（ｂ／2）＝－ｍｇ·（ｂ2／2ａ），
机械能Ｅ1＝Ｅｋ1＋Ｅｐ1＝－（ｂ2／2ａ）ｍｇ．
设链条全部离开桌面的瞬时速度为ｖ，此时链条的势能Ｅｐ2＝－（ａ／2）ｍｇ，
动能Ｅｋ2＝（1／2）ｍｖ2，
机械能Ｅ2＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，
根据机械能守恒定律有Ｅ1＝Ｅ2，即
－（ｂ2／2ａ）ｍｇ＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，
解得 ｖ＝．
因此，在这一过程中重力所做的功为
ＷＧ＝ΔＥｋ＝（1／2）ｍｖ2－0＝（ｍｇ／2ａ）（ａ2－ｂ2）．
3、分析 假定物体被匀速吊起，人将物体从地面吊起的过程中，人的拉力可表示为
Ｔ＝Ｍｇ＋ρｘｇ，
式中ｘ为竖直方向绳的余长．当物体上升时，绳的余长ｘ减小，Ｔ减小，因而Ｔ为变力，故本题属变力做功问题．
解 设绳的重量全面集中在它的重心上，物体升高高度为Ｌ时，绳的重心上升Ｌ／2，则系统机械能的增量为
ΔＥ＝ΔＥ1＋ΔＥ2
＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，
式中ΔＥ1、ΔＥ2分别为物体和绳的机械能增量．
由功能原理知，人的拉力所做的功为
Ｗ＝ΔＥ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，
当ΔＥｋ1＝ΔＥｋ2＝0时，即缓慢提升物体时Ｗ最小，即
Ｗｍｉｎ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｐ2
＝ＭｇＬ＋（Ｌ／2）ρＬｇ＝［Ｍ＋（1／2）ρＬ］ｇＬ．
可见，在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便．
4、分析 因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用Ｗ＝Ｆｓｃｏｓａ来求解，但可用公式Ｗ＝Ｐｔ来计算．
解 根据题意，机车所受阻力ｆ＝ｋｍｇ，当机车速度达到最大值时，机车功率为
Ｐ＝Ｆｖｍａｘ＝ｆｖｍａｘ＝ｋｍｇｖｍａｘ
＝0．06×5×105×10×（108×103／3600）
＝9×106Ｗ．
根据Ｐ＝Ｗｔ，该时间内阻力做功为
Ｗｆ＝Ｐ／ｔ＝9×106／300＝3×104Ｊ．
根据动能定理Ｗ外＝ΔＥｋ得牵引力做功
ＷＦ＝ΔＥｋ＋Ｗｆ
＝（1／2）ｍｖｍａｘ2＋Ｗｆ
＝（1／2）×5×105×302＋3×104
＝2．25×108Ｊ．
5、分析 铁钉进入木块所受的阻力ｆ跟铁钉进入木块的深度ｘ之间的关系为ｆ＝ｋｘ，由此可知，阻力是一个变力．铁钉得到锤子给予的动能后，克服木块对它的阻力做功的问题，是一个变力做功的问题．
解 （1）依据题意做出ｆ－ｘ关系图线如图4所示．
图4
第一次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ1等于图4中三角形ＡＯＣ的面积的值．
设第二次打击时铁钉被打入的深度为ｘ0，第二次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ2等于图4中梯形ＡＢＤＣ的面积的值．
因ｆ＝ｋｘ，由图可得
＝2ｋ，＝（2＋ｘ0）ｋ，
·＝（1／2）×2ｋ×2＝2ｋ，
＝（（2ｋ＋（2＋ｘ0）ｋ）／2）×ｘ0 则 Ｗ1＝（1／2） Ｗ2＝（（＋）／2）×
＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，
因每次打击时给铁钉的动能相等，故
Ｗ1＝Ｗ2，
则 2ｋ＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，
解得 ｘ0＝2（－1）ｃｍ．
（2）设打击ｎ次可将铁钉打入4ｃｍ深处，此时克服阻力做功为Ｗ3，即图4中三角形ＯＥＦ的面积的值．
由图可知，当ｘ＝4
ｃｍ时，
Ｗ3＝（1／2）·
· ＝4ｋ，则 ＝（1／2）×4×4ｋ＝8ｋ． 每次打击时克服阻力做功（即给铁钉的动能）为Ｗ1＝2ｋ，所以 ｎ＝Ｗ3／Ｗ1＝8ｋ／2ｋ＝4次．
一个看似复杂的变力做功问题，通过图象变换，使得解题过程简单、明了．
6、分析 如图5所示，用一始终垂直于棒的力将棒的一端匀速提起，由于力的方向和大小时刻在发生变，就可用化，因而也不能直接用公式Ｗ＝Ｆｓ来求解，但如果能求出变力Ｆ在棒竖起的过程中的平均值
Ｗ＝ｓ来求解这一变力做功的问题．
图5
解 如图5所示，在棒转动到与地面成θ角时，以Ｂ为转轴，可列力矩平衡方程
ＦＬ＝Ｇ（Ｌ／2）ｃｏｓθ，即Ｆ＝（1／2）ｍｇｃｏｓθ，
由数学知识可知，当θ由0°到90°的变化过程中，Ｆ的平均值为 ＝（2／π）Ｆｍａｘ＝（2／π）·（1／2）ｍｇ＝（1／π）ｍｇ， 因此，变力Ｆ所做的功为
Ｗ＝
Ｊ．
ｓ＝（1／π）ｍｇ·（1／4）（2πＬ）＝（1／2）×200×10×6＝6×103