集合的概念及运算

第一节 集合的概念与运算

最新考纲：1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．

1．元素与集合

(1) (2)表示． (3)

问题探究：集合{Ø}是空集吗？它与{0}，Ø有什么区别？

提示：集合{Ø}不是空集，因为它含有元素Ø，同理，{0}也不是空集，因为它含有元素0，但{Ø}与{0}不同，因为它们的元素不同，Ø是不含任何元素的集合．

2．集合间的基本关系

并集的性质：

A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A ⇔B⊆A. 交集的性质：

A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A ⇔A⊆B. 补集的性质：

A∪(∁UA)＝；A∩(∁UA)＝；∁U(∁UA)＝

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．( ) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )

1

(3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝2 ) (4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.( )

(5)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×

2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)

A．{－1,0} C．{－1,0,1}

B．{0,1} D．{0,1,2}

[解析] 由题意知B＝{x|－2

3．(2016·北京东城期末统测)已知集合A＝{x|00}，

则A∪B＝( )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[解析] 由已知条件可得B＝{x|(x－1)(x＋1)>0}＝{x|x>1或x1或x0或x

[答案] C

4．(2015·济南3月模拟)已知集合A＝{x||x－1|

A．[3，＋∞) C．(3，＋∞)

B．(－1,0] D．[－1,0]

[解析] 解不等式|x－1|0，解得x0，所以B＝{x|x0}，∁

UB＝{x|－1≤x≤0}，所以

A∩(∁UB)＝(－1,0]，故选B.

[答案] B

5．(2015·东北三省四市第二次联考)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为．

[解析] ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素． [答案]

6

考点一 集合的基本概念

1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．

2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．

加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

(1)(2016·银川质检)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )

A．1 C．5

B．3 D．9

(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为．

[解题指导] 切入点：集合中元素的特征；关键点：集合中元素的互异性． [解析] (1)逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．

(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，

即m＝1时，2m2＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去；

3

当2m2＋m＝3时，解得m＝－2m＝1(舍去)，

313

因为当m＝－2m＋2＝23，符合题意．所以m＝－2. 3

[答案] (1)C (2)－2

(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．

对点训练

1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )

A．4 C．0

B．2 D．0或4

[解析] 由题意得，ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)，故选A.

[答案] A

2．已知集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( ) A．x＋y∈A C．xy∈A

B．x－y∈A x

DyA

[解析] 由集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}(即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式)，可得1＝02＋12,2＝12＋12，所以x＝1∈A，y＝2∈A，但1＋2＝3∉A，1

故A.“x＋y∈A”不成立；又1－2＝－1∉A，故B.“x－y∈A”不成立；又2A，x

故D.“yA”不成立．故选C.

[答案] C

3．A、B是两个集合，A＝{y|y＝x2－2}，B＝{－3,1，y}，其中y∈A，则y的取值集合是．

[解析] 因为B是一个集合，由集合元素的互异性可知y≠－3且y≠1，A是函数y＝x2－2的值域[－2，＋∞)，从而y的取值集合就是{y|y≥－2且y≠1}．

[答案] {y|y≥－2且y≠1}

考点二 集合间的基本关系

判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想(借助数轴，韦恩图及函数图象等)解决．

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．

(1)(2015·皖南八校联考)已知R表示实数集，集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3>0}，则下列结论正确的是

( )

A．M⊆N C．∁RM⊆N

B．M⊆∁RN D．∁RN⊆M

(2)(2015·郑州模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．

[解题指导] 切入点：子集的定义；关键点：含有字母参数时，应对Ø关注． [解析] (1)集合N＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x>3或x

(2)当m＋1>2m－1，即m

若B≠Ø，且满足B⊆A，如图所示，则

m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，

∴2≤m≤3.

m≥2，即m≥－3，m≤3.

故m

3}

(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，

进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常是合理利用数轴、Venn图来帮助分析；(3)B为A的子集，不要漏掉B＝Ø时的情况．

对点训练

1．(2015·重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则

( )

A．A＝B C．AB

B．A∩B＝Ø D．BA

[解析] ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B，∴BA. [答案] D

2．(2016·合肥模拟)已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，若S⊆P，则实数a的取值组成的集合是

( )

1A.3 11C.3，－2 



1B．－2



11D．0，32





[解析] 由题意得，P＝{－3,2}． 当a＝0时，S＝Ø，满足S⊆P；

1

当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－a， 11

为满足S⊆P，可使－a3，或－a2， 11即a＝3a＝－2.

11

故所求集合为0，32.





[答案] D

3．(2016·南充调研)已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是．

[解析] 集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．

[答案] (－∞，－2]

考点三 集合的基本运算

在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化

为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁．

韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

(1)(2015·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝( )

A．{2,5} C．{2,5,6}

B．{3,6} D．{2,3,5,6,8}

(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B＝.

[解题指导] 切入点：集合的交、并、补的概念；关键点：化简集合，准确运算．

[解析] (1)先求得集合B的补集，再进行交集运算．由题意得∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， y＝－x2＋2x＋6＝－(x－1)2＋7≤7， ∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}， 故A∩B＝{y|－1≤y≤7}． [答案] (1)A (2){y|－1≤y≤7}

[拓展探究] (1)在例3(2)中，若集合A变为A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B.

(2)在例3(2)中，若集合A、B变为：A＝{(x，y)|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，求A∩B.

[解] (1)因A中元素是函数自变量，则A＝R， 而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．

2

y＝x－2x，(2)由⇒x2－2x－3＝0， 2

y＝－x＋2x＋6

解得x＝3或x＝－1.

x＝3，x＝－1，

于是，或

y＝3y＝3，故A∩B＝{(3,3)，(－1,3)}．

考点四 与集合有关的新定义问题

与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键．

分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中，是破解新定义型试题的关键所在．

(2016·南昌质检)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，Ø属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：

(1)τ＝{Ø，{a}，{c}，{a，b，c}} (2)τ＝{Ø，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}} (3)τ＝{Ø，{a}，{a，b}，{a，c}}

(4)τ＝{Ø，{a，c}{b，c}，{c}，{a，b，c}} 其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．

[解题指导] 切入点：拓扑的概念；关键点：从概念出发解决问题． [解析] (1)τ＝{Ø，{a}，{c}，{a，b，c}}，而{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故(1)不是集合X上的拓扑；

(2)满足：①X属于τ，Ø属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此(2)是集合X上的拓扑；

(3){a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故(3)不是集合X上的拓扑；

(4)满足：①X属于τ，Ø属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此(4)是集合X上的拓扑．

[答案]

(2)(4)

解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．

对点训练

对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有个．

[解析] m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，„，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)．

[答案] 15

———————方法规律总结————————

[方法技巧]

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图． [易错点睛]

1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

课时跟踪训练(一)

一、选择题

1．集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则A∩(∁RB)＝

( )

A．[－3,2]

C．[－3,0] B．[－2,0)∪(0,3] D．[－3,0)

[解析] 由题知A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，所以∁RB＝{x|x>2或x

[答案] D

2．(2015·石家庄一模)若已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5,7}，P＝M∩N，则集合P的子集个数为( )

A．2

C．4 B．3 D．5

[解析] ∵P＝{1,3}，∴集合P的子集个数为4，故选C.

[答案] C

3．(2015·浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1

A．[0,1)

C．(1,2) B．(0,2] D．[1,2]

[解析] 先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算．由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁RP＝{x|0

[答案] C

4．(2015·宁波二模)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)

A．{x|－3

B．{x|－3

C．{x|－1≤x

D．{x|x

[解析] 因为A＝{x|x(x＋3)

[答案] C

5．(2015·山西四校联考)设U＝R，A＝{x|y＝xx}，B＝{y|y＝－x2}，则A∩(∁UB)＝( )

B．R

D．{0} A．Ø C．{x|x>0}

[解析] ∵A＝{x|y＝xx}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝－x2}＝{y|y≤0}，∴∁UB＝{y|y>0}，从而有A∩(∁UB)＝{x|x>0}．

[答案] C

6．(2016·唐山统考)设全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x＋2)·(x－1)

A．A∩B＝Ø

C．∁UB⊆A B．A∪B＝U D．∁UA⊆B

[解析] ∵B＝{x|(x＋2)(x－1)

[答案] A

7．(2015·临沂二检)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )

A．0或3

C．1或3 B．0或3 D．1或3

[解析] 由A∪B＝A，可得B⊆A，则m＝3或m＝m，得m＝3或0或1.经检验m＝1时，集合A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，显然不成立．综上有m＝0或3，

故选B.

[答案] B

8．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，x

A．2

C．4 B．3 D．5

[解析] 当x＝1时，y＝2或3或4；当x＝2时，y＝3，所以集合B中的元素个数为4.

[答案] C

9．(2015·沈阳质量监测(二))已知非空集合A，B，全集U＝A∪B，集合M＝A∩B，集合N＝(∁UB)∪(∁UA)，则( )

A．M∪N＝M

C．M＝N B．M∩N＝Ø D．M⊆N

[解析] 因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象，可以考虑利用Venn图辅助解题．作出满足题意的Venn图，如图所示，容易知道M∩N＝Ø，故选B.

[答案] B

10．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )

3A.0，4 

3C.4 34B．43 D．(1，＋∞)

[解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x0，f(0)＝－1

4－4a－1≤0，一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所9－6a－1>0，

3a≥4，

以4a

[答案] B

二、填空题

11．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为．

[解析] 若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求；若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A∪B)，所以a＝2.

[答案] 2

12．已知集合A＝{(x，y)|y＝49－x}，B＝{(x，y)|y＝x＋m}，且A∩B≠Ø，则实数m的取值范围是．

[解析] 集合A表示以原点为圆心，7为半径的圆在x轴及其上方的部分，A∩B≠Ø，表示直线y＝x＋m与半圆有交点，作出示意图可得实数m的取值范围是[－7，2]．

[答案] [－7,72]

13．(2015·长沙模拟)已知集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若A∩B＝Ø，则a的取值范围是．

[解析] ①当A中的元素为非正数时，A∩B＝Ø，即方程x2＋(a＋2)x＋1＝0只有非正数解，

2Δ＝a＋2－4≥0，所以解得a≥0； a＋2≥0，

②当A＝Ø时，Δ＝(a＋2)2－4综上，a>－4.

所以a的取值范围是(－4，＋∞)．

[答案] (－4，＋∞)

三、解答题

14．(2015·杭州学君中学模拟)已知集合A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中m≠0，且A＝B，求q的值．

[解] 由A＝B可知，

2m＋d＝mq，m＋d＝mq，(1)或(2) 2m＋2d＝mq，m＋2d＝mq.

1解(1)得q＝1，解(2)得q＝1或q＝－2.

又因为当q＝1时，m＝mq＝mq2，不满足集合中元素的互异性，应舍去，所

1以q＝－215．(2016·江苏四市调研)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

[解] 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

m－2＝0，(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴m＝2. m＋2≥3.

(2)∁RB＝{x|xm＋2}，∵A⊆∁RB，

∴m－2>3或m＋25或m

16．(2016·长春实验中学检测)已知集合A＝

x－5x0，B＝{x|x2－2x－m

(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；

(2)若A∩B＝{x|－1

x－5[解] 由≤0， x＋1

解得－1

(1)当m＝3时，B＝{x|－1

则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，

所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．

(2)因为A＝{x|－1

所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.

此时B＝{x|－2

第一节 集合的概念与运算

最新考纲：1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．

1．元素与集合

(1) (2)表示． (3)

问题探究：集合{Ø}是空集吗？它与{0}，Ø有什么区别？

提示：集合{Ø}不是空集，因为它含有元素Ø，同理，{0}也不是空集，因为它含有元素0，但{Ø}与{0}不同，因为它们的元素不同，Ø是不含任何元素的集合．

2．集合间的基本关系

并集的性质：

A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A ⇔B⊆A. 交集的性质：

A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A ⇔A⊆B. 补集的性质：

A∪(∁UA)＝；A∩(∁UA)＝；∁U(∁UA)＝

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．( ) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )

1

(3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝2 ) (4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.( )

(5)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×

2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)

A．{－1,0} C．{－1,0,1}

B．{0,1} D．{0,1,2}

[解析] 由题意知B＝{x|－2

3．(2016·北京东城期末统测)已知集合A＝{x|00}，

则A∪B＝( )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[解析] 由已知条件可得B＝{x|(x－1)(x＋1)>0}＝{x|x>1或x1或x0或x

[答案] C

4．(2015·济南3月模拟)已知集合A＝{x||x－1|

A．[3，＋∞) C．(3，＋∞)

B．(－1,0] D．[－1,0]

[解析] 解不等式|x－1|0，解得x0，所以B＝{x|x0}，∁

UB＝{x|－1≤x≤0}，所以

A∩(∁UB)＝(－1,0]，故选B.

[答案] B

5．(2015·东北三省四市第二次联考)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为．

[解析] ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素． [答案]

6

考点一 集合的基本概念

1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．

2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．

加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

(1)(2016·银川质检)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )

A．1 C．5

B．3 D．9

(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为．

[解题指导] 切入点：集合中元素的特征；关键点：集合中元素的互异性． [解析] (1)逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．

(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，

即m＝1时，2m2＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去；

3

当2m2＋m＝3时，解得m＝－2m＝1(舍去)，

313

因为当m＝－2m＋2＝23，符合题意．所以m＝－2. 3

[答案] (1)C (2)－2

(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．

对点训练

1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )

A．4 C．0

B．2 D．0或4

[解析] 由题意得，ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)，故选A.

[答案] A

2．已知集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( ) A．x＋y∈A C．xy∈A

B．x－y∈A x

DyA

[解析] 由集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}(即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式)，可得1＝02＋12,2＝12＋12，所以x＝1∈A，y＝2∈A，但1＋2＝3∉A，1

故A.“x＋y∈A”不成立；又1－2＝－1∉A，故B.“x－y∈A”不成立；又2A，x

故D.“yA”不成立．故选C.

[答案] C

3．A、B是两个集合，A＝{y|y＝x2－2}，B＝{－3,1，y}，其中y∈A，则y的取值集合是．

[解析] 因为B是一个集合，由集合元素的互异性可知y≠－3且y≠1，A是函数y＝x2－2的值域[－2，＋∞)，从而y的取值集合就是{y|y≥－2且y≠1}．

[答案] {y|y≥－2且y≠1}

考点二 集合间的基本关系

判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想(借助数轴，韦恩图及函数图象等)解决．

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．

(1)(2015·皖南八校联考)已知R表示实数集，集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3>0}，则下列结论正确的是

( )

A．M⊆N C．∁RM⊆N

B．M⊆∁RN D．∁RN⊆M

(2)(2015·郑州模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．

[解题指导] 切入点：子集的定义；关键点：含有字母参数时，应对Ø关注． [解析] (1)集合N＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x>3或x

(2)当m＋1>2m－1，即m

若B≠Ø，且满足B⊆A，如图所示，则

m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，

∴2≤m≤3.

m≥2，即m≥－3，m≤3.

故m

3}

(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，

进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常是合理利用数轴、Venn图来帮助分析；(3)B为A的子集，不要漏掉B＝Ø时的情况．

对点训练

1．(2015·重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则

( )

A．A＝B C．AB

B．A∩B＝Ø D．BA

[解析] ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B，∴BA. [答案] D

2．(2016·合肥模拟)已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，若S⊆P，则实数a的取值组成的集合是

( )

1A.3 11C.3，－2 



1B．－2



11D．0，32





[解析] 由题意得，P＝{－3,2}． 当a＝0时，S＝Ø，满足S⊆P；

1

当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－a， 11

为满足S⊆P，可使－a3，或－a2， 11即a＝3a＝－2.

11

故所求集合为0，32.





[答案] D

3．(2016·南充调研)已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是．

[解析] 集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．

[答案] (－∞，－2]

考点三 集合的基本运算

在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化

为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁．

韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

(1)(2015·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝( )

A．{2,5} C．{2,5,6}

B．{3,6} D．{2,3,5,6,8}

(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B＝.

[解题指导] 切入点：集合的交、并、补的概念；关键点：化简集合，准确运算．

[解析] (1)先求得集合B的补集，再进行交集运算．由题意得∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， y＝－x2＋2x＋6＝－(x－1)2＋7≤7， ∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}， 故A∩B＝{y|－1≤y≤7}． [答案] (1)A (2){y|－1≤y≤7}

[拓展探究] (1)在例3(2)中，若集合A变为A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B.

(2)在例3(2)中，若集合A、B变为：A＝{(x，y)|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，求A∩B.

[解] (1)因A中元素是函数自变量，则A＝R， 而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．

2

y＝x－2x，(2)由⇒x2－2x－3＝0， 2

y＝－x＋2x＋6

解得x＝3或x＝－1.

x＝3，x＝－1，

于是，或

y＝3y＝3，故A∩B＝{(3,3)，(－1,3)}．

考点四 与集合有关的新定义问题

与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键．

分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中，是破解新定义型试题的关键所在．

(2016·南昌质检)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，Ø属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：

(1)τ＝{Ø，{a}，{c}，{a，b，c}} (2)τ＝{Ø，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}} (3)τ＝{Ø，{a}，{a，b}，{a，c}}

(4)τ＝{Ø，{a，c}{b，c}，{c}，{a，b，c}} 其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．

[解题指导] 切入点：拓扑的概念；关键点：从概念出发解决问题． [解析] (1)τ＝{Ø，{a}，{c}，{a，b，c}}，而{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故(1)不是集合X上的拓扑；

(2)满足：①X属于τ，Ø属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此(2)是集合X上的拓扑；

(3){a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故(3)不是集合X上的拓扑；

(4)满足：①X属于τ，Ø属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此(4)是集合X上的拓扑．

[答案]

(2)(4)

解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．

对点训练

对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有个．

[解析] m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，„，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)．

[答案] 15

———————方法规律总结————————

[方法技巧]

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图． [易错点睛]

1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

课时跟踪训练(一)

一、选择题

1．集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则A∩(∁RB)＝

( )

A．[－3,2]

C．[－3,0] B．[－2,0)∪(0,3] D．[－3,0)

[解析] 由题知A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，所以∁RB＝{x|x>2或x

[答案] D

2．(2015·石家庄一模)若已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5,7}，P＝M∩N，则集合P的子集个数为( )

A．2

C．4 B．3 D．5

[解析] ∵P＝{1,3}，∴集合P的子集个数为4，故选C.

[答案] C

3．(2015·浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1

A．[0,1)

C．(1,2) B．(0,2] D．[1,2]

[解析] 先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算．由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁RP＝{x|0

[答案] C

4．(2015·宁波二模)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)

A．{x|－3

B．{x|－3

C．{x|－1≤x

D．{x|x

[解析] 因为A＝{x|x(x＋3)

[答案] C

5．(2015·山西四校联考)设U＝R，A＝{x|y＝xx}，B＝{y|y＝－x2}，则A∩(∁UB)＝( )

B．R

D．{0} A．Ø C．{x|x>0}

[解析] ∵A＝{x|y＝xx}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝－x2}＝{y|y≤0}，∴∁UB＝{y|y>0}，从而有A∩(∁UB)＝{x|x>0}．

[答案] C

6．(2016·唐山统考)设全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x＋2)·(x－1)

A．A∩B＝Ø

C．∁UB⊆A B．A∪B＝U D．∁UA⊆B

[解析] ∵B＝{x|(x＋2)(x－1)

[答案] A

7．(2015·临沂二检)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )

A．0或3

C．1或3 B．0或3 D．1或3

[解析] 由A∪B＝A，可得B⊆A，则m＝3或m＝m，得m＝3或0或1.经检验m＝1时，集合A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，显然不成立．综上有m＝0或3，

故选B.

[答案] B

8．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，x

A．2

C．4 B．3 D．5

[解析] 当x＝1时，y＝2或3或4；当x＝2时，y＝3，所以集合B中的元素个数为4.

[答案] C

9．(2015·沈阳质量监测(二))已知非空集合A，B，全集U＝A∪B，集合M＝A∩B，集合N＝(∁UB)∪(∁UA)，则( )

A．M∪N＝M

C．M＝N B．M∩N＝Ø D．M⊆N

[解析] 因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象，可以考虑利用Venn图辅助解题．作出满足题意的Venn图，如图所示，容易知道M∩N＝Ø，故选B.

[答案] B

10．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )

3A.0，4 

3C.4 34B．43 D．(1，＋∞)

[解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x0，f(0)＝－1

4－4a－1≤0，一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所9－6a－1>0，

3a≥4，

以4a

[答案] B

二、填空题

11．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为．

[解析] 若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求；若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A∪B)，所以a＝2.

[答案] 2

12．已知集合A＝{(x，y)|y＝49－x}，B＝{(x，y)|y＝x＋m}，且A∩B≠Ø，则实数m的取值范围是．

[解析] 集合A表示以原点为圆心，7为半径的圆在x轴及其上方的部分，A∩B≠Ø，表示直线y＝x＋m与半圆有交点，作出示意图可得实数m的取值范围是[－7，2]．

[答案] [－7,72]

13．(2015·长沙模拟)已知集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若A∩B＝Ø，则a的取值范围是．

[解析] ①当A中的元素为非正数时，A∩B＝Ø，即方程x2＋(a＋2)x＋1＝0只有非正数解，

2Δ＝a＋2－4≥0，所以解得a≥0； a＋2≥0，

②当A＝Ø时，Δ＝(a＋2)2－4综上，a>－4.

所以a的取值范围是(－4，＋∞)．

[答案] (－4，＋∞)

三、解答题

14．(2015·杭州学君中学模拟)已知集合A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中m≠0，且A＝B，求q的值．

[解] 由A＝B可知，

2m＋d＝mq，m＋d＝mq，(1)或(2) 2m＋2d＝mq，m＋2d＝mq.

1解(1)得q＝1，解(2)得q＝1或q＝－2.

又因为当q＝1时，m＝mq＝mq2，不满足集合中元素的互异性，应舍去，所

1以q＝－215．(2016·江苏四市调研)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

[解] 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

m－2＝0，(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴m＝2. m＋2≥3.

(2)∁RB＝{x|xm＋2}，∵A⊆∁RB，

∴m－2>3或m＋25或m

16．(2016·长春实验中学检测)已知集合A＝

x－5x0，B＝{x|x2－2x－m

(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；

(2)若A∩B＝{x|－1

x－5[解] 由≤0， x＋1

解得－1

(1)当m＝3时，B＝{x|－1

则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，

所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．

(2)因为A＝{x|－1

所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.

此时B＝{x|－2