收益最大化的技术力量的合理分配方案
摘要：本文给出了关于制定公司技术力量合理分配方案的一个数学模型——收益最大化模型。针对问题建立整数线性规划模型，用LINGO 软件对模型进行求解，给出一个合理的技术力量分配计划，得出公司每天最大的直接收益是36000元。 此外，我们还对本文模型一的不足之处做出了改进，建立了模型二，使该公司收益最大化的技术力量分配更合理。
关键词：整数线性规划模型，
LINGO 软件，M ATLAB 软件
一、 问题的重述
A 公司现有41个专业技术人员，共承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在a 地和b 地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在c 地和d 地，主要工作在办公室完成。
由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求：
项目d ，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；各项目客户对总人数都有限制；由于c 、d 两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是55，多于公司现有人数41。
因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。
二、 模型的假设
1、在整个工程项目实施过程中没有人员流失； 2、公司人员工资无变动；
3、公司人员都能正常上班，遵从公司调动； 4、每天工作结束以后统一发放工资；
5、公司除员工的工资发放和管理费开支外，没有额外支出。
三、 符号的说明
X i j
表示第i 种工作人员，承接第j 种工作项目，工作人员i =1,2,3,4，分别表示
高级工程师，工程师，助理工程师，技术员；工作项目j =1,2,3,4，分别表示a 地，b 地，c 地，d 地。
四、 问题的分析
题中问题要求对公司现有的技术力量进行分配，使公司每天的直接收益最大。题目给出公司承接的4个工程项目和各种技术人员的收费标准。为了保证工程质量，对专业人员结构的分配必须符合题目中客户的要求。
根据题中的相关数据，建立线性规划模型，用 软件对模型进行求解，给出一个合理的技术力量分配方案。
五、 模型的建立与求解
5.1建立线性规划模型（模型一）
5.1.1目标函数的建立
为使公司的直接收益最大，根据题中所给的不同项目和各种人员的收费标准（表2），建立线性规划模型，可得目标函数：
M axZ =1000X 11+800X 21+600X 31+500X 41+1500X 12+800X 22+700X 32+600X 42+1300X 13+900X 23+700X 33 +600X 43+1000X 14+800X 24+700X 34+500X 44
5.1.2约束条件的建立
为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，由题
中所给各项目对专业技术人员结构的要求（表3），可知：
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪X +
11⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪X 12+⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪X 13+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩X 14+
1≤X 11≤32≤X 212≤X 311≤X 41
X 21+X 31+X 41≤102≤X 12≤52≤X 222≤X 323≤X 42
X 22+X 32+X 42≤16
X 13=22≤X 232≤X 331≤X 43
X 23+X 33+X 43≤111≤X 14≤22≤X 24≤81≤X 34X 44=0
X 24+X 34+X 44≤18
根据公司的人员结构情况（表1）可知：
⎧X 11+X 12+X 13+X 14≤9⎪
⎪X 21+X 22+X 23+X 24≤17
⎨
⎪X 31+X 32+X 33+X 34≤10⎪X +X +X +X ≤5
424344⎩41
5.1.3模型的建立
综上所述，可得到线性规划模型：
M axZ =1000X 11+800X 21+600X 31+500X 41+1500X 12+800X 22+700X 32+600X 42+1300X 13+900X 23+700X 33+600X 43+1000X 14+800X 24+700X 34+500X 44
1≤X 11≤3⎧
⎪
2≤X 21
⎪⎪2≤X 31⎪
1≤X 41
⎪
⎪X +X +X +X ≤10
11213141⎪
2≤X 12≤5⎪
⎪2≤X 22⎪
2≤X 32⎪
⎪
3≤X 42
⎪
⎪X 12+X 22+X 32+X 42≤16⎪
X 13=2⎪
⎪2≤X 23⎪s . t . ⎨
2≤X 33
⎪⎪1≤X 43⎪
⎪X 13+X 23+X 33+X 43≤11⎪1≤X 14≤2⎪
2≤X 24≤8⎪
⎪1≤X 34⎪
X 44=0⎪
⎪
X +X 24+X 34+X 44≤18⎪14
⎪X 11+X 12+X 13+X 14≤9⎪
⎪X 21+X 22+X 23+X 24≤17⎪X +X +X +X ≤10
31323334⎪⎪⎩X 41+X 42+X 43+X 44≤5
5.2模型的求解
通过使用LINGO 求解得到结果如下：
由此可知，合理的技术力量分配方案为：
1名高级工程师，2名工程师，2名助理工程师，1名技术员在a 地工作； 5名高级工程师，2名工程师，5名助理工程师，3名技术员在b 地工作； 2名高级工程师，6名工程师，2名助理工程师，1名技术员在c 地工作； 1名高级工程师，7名工程师，1名助理工程师，0名技术员在d 地工作。
此时，公司获得最大的直接收益：
MaxZ 36000元
六、 模型的改进与推广
6.1模型的改进
由于模型一只考虑了公司的总收益，并没有计算公司的成本支出，因此为了使该公司获得最大利润，根据：利润=收益-成本，提出改进方案，建立模型二，达成收益较大、成本较小，利润最大的效果。
讨论如下三点：
（1）由公司人员的工资情况（表1）及在c 、d 两地工作的人员每人每天有50元的管理费开支，可得：
C =250X 1+200X 2+170X 3+110X 4+50(X 13+X 23+X 33+X 43+X 14+X 24+X 34+X 44)
由于公司总收益为：
Z =1000X 11+800X 21+600X 31+500X 41+1500X 12
+800X 22+700X 32+600X 42+1300X 13+900X 23+700X 33+600X 43+1000X 14+800X 24+700X 34+500X 44
因为利润=收益-成本，所以公司利润为：
L =Z -C
经M ATLAB 计算，上述方案所得的利润为：
L =27100（元）
（2）为得到理想化模型，使该公司的收益尽量大，成本尽量小，从而得出最大利润的模型如下：
MaxL =Z -C
C =250X 1+200X 2+170X 3+110X 4+50(X 13+X 23+X 33+X 43+X 14+X 24+X 34+X 44)
Z =1000X 11+800X 21+600X 31+500X 41+1500X 12
+800X 22+700X 32+600X 42+1300X 13+900X 23+700X 33+600X 43+1000X 14+800X 24+700X 34+500X 44
1≤X 11≤3⎧
⎪
2≤X 21
⎪⎪2≤X 31⎪
1≤X 41
⎪
⎪X +X +X +X ≤10
11213141⎪
2≤X 12≤5⎪
⎪2≤X 22⎪
2≤X 32⎪
⎪
3≤X 42
⎪
⎪X 12+X 22+X 32+X 42≤16⎪
X 13=2⎪
⎪2≤X 23⎪s . t . ⎨
2≤X 33
⎪⎪1≤X 43⎪
⎪X 13+X 23+X 33+X 43≤11⎪1≤X 14≤2⎪
2≤X 24≤8⎪
⎪1≤X 34⎪
X 44=0⎪
⎪
X +X 24+X 34+X 44≤18⎪14
⎪X 11+X 12+X 13+X 14≤9⎪
⎪X 21+X 22+X 23+X 24≤17⎪X +X +X +X ≤10
31323334⎪⎪⎩X 41+X 42+X 43+X 44≤5
通过使用LINGO 求解得到结果如下：
由此可知，合理的技术力量分配方案为：
1名高级工程师，6名工程师，2名助理工程师，1名技术员在a 地工作； 5名高级工程师，3名工程师，5名助理工程师，3名技术员在b 地工作； 2名高级工程师，6名工程师，2名助理工程师，1名技术员在c 地工作； 1名高级工程师，2名工程师，1名助理工程师，0名技术员在d 地工作。
此时，公司获得最大的利润：
MaxL =27350元
（3）此方案情况下，经M ATLAB 计算公司的直接收益最大为
MaxZ =36000
经验证，经改进的模型在公司最大收益相同的情况下，改进后的利润更大，因此改进的模型具有实际意义。
6.2模型的推广
本模型采用线性规划模型的方法，解决了A 公司在分配现有技术力量时使公司每天直接受益最大的问题，可应用于与此类似的许多服务性行业。例如，在搬家公司的货物分类运输的问题上，该模型的运用，可以准确、快捷的分配公司现有的运输工具及人员来满足客户的需要，以便更好的完成工作，为客户提供周全的服务。
七、 参考文献
八、附录
Global optimal solution found.
Objective value: 36000.00
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost X11 1.000000 0.000000 X21 2.000000 0.000000 X31 2.000000 0.000000 X41 1.000000 0.000000 X12 5.000000 0.000000 X22 2.000000 0.000000 X32 5.000000 0.000000 X42 3.000000 0.000000 X13 2.000000 0.000000 X23 6.000000 0.000000 X33 2.000000 0.000000 X43 1.000000 0.000000 X14 1.000000 0.000000 X24 7.000000 0.000000 X34 1.000000 0.000000 X44 0.000000 0.000000
Global optimal solution found.
Objective value: 27350.00
Total solver iterations: 7
Variable Value Reduced Cost X11 1.000000 0.000000 X21 6.000000 0.000000 X31 2.000000 0.000000 X41 1.000000 0.000000 X12 5.000000 0.000000 X22 3.000000 0.000000 X32 5.000000 0.000000 X42 3.000000 0.000000 X13 2.000000 0.000000 X23 6.000000 0.000000 X33 2.000000 0.000000 X43 1.000000 0.000000
X14 1.000000 0.000000
X24 2.000000 0.000000
X34 1.000000 0.000000
X44 0.000000 0.000000
X1 9.000000 0.000000
X2 17.00000 0.000000
X3 10.00000 0.000000
X4 5.000000 0.000000
x11=1;x21=2;x31=2;x41=1;x12=5;x22=2;x32=5;x42=3;x13=2;x23=6;x33=2;x43=1;x14=1;x24=7;x34=1;x44=0;x1=9;x2=17;x3=10;x4=5;1000*x11+800*x21+600*x31+500*x41+1500*x12+800*x22+700*x32+600*x42+1300*x13+900*x23+700*x33+600*x43+1000*x14+800*x24+700*x34+500*x44-250*x1-200*x2-170*x3-110*x4-50*(x13+x23+x33+x43+x14+x24+x34+x44)
ans =
27100
>>
x11=1;x21=6;x31=2;x41=1;x12=5;x22=3;x32=5;x42=3;x13=2;x23=6;x33=2;x43=1;x14=1;x24=2;x34=1;x44=0;x1=9;x2=17;x3=10;x4=5;1000*x11+800*x21+600*x31+500*x41+1500*x12+800*x22+700*x32+600*x42+1300*x13+900*x23+700*x33+600*x43+1000*x14+800*x24+700*x34+500*x44
ans =
36000
收益最大化的技术力量的合理分配方案
摘要：本文给出了关于制定公司技术力量合理分配方案的一个数学模型——收益最大化模型。针对问题建立整数线性规划模型，用LINGO 软件对模型进行求解，给出一个合理的技术力量分配计划，得出公司每天最大的直接收益是36000元。 此外，我们还对本文模型一的不足之处做出了改进，建立了模型二，使该公司收益最大化的技术力量分配更合理。
关键词：整数线性规划模型，
LINGO 软件，M ATLAB 软件
一、 问题的重述
A 公司现有41个专业技术人员，共承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在a 地和b 地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在c 地和d 地，主要工作在办公室完成。
由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求：
项目d ，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；各项目客户对总人数都有限制；由于c 、d 两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是55，多于公司现有人数41。
因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。
二、 模型的假设
1、在整个工程项目实施过程中没有人员流失； 2、公司人员工资无变动；
3、公司人员都能正常上班，遵从公司调动； 4、每天工作结束以后统一发放工资；
5、公司除员工的工资发放和管理费开支外，没有额外支出。
三、 符号的说明
X i j
表示第i 种工作人员，承接第j 种工作项目，工作人员i =1,2,3,4，分别表示
高级工程师，工程师，助理工程师，技术员；工作项目j =1,2,3,4，分别表示a 地，b 地，c 地，d 地。
四、 问题的分析
题中问题要求对公司现有的技术力量进行分配，使公司每天的直接收益最大。题目给出公司承接的4个工程项目和各种技术人员的收费标准。为了保证工程质量，对专业人员结构的分配必须符合题目中客户的要求。
根据题中的相关数据，建立线性规划模型，用 软件对模型进行求解，给出一个合理的技术力量分配方案。
五、 模型的建立与求解
5.1建立线性规划模型（模型一）
5.1.1目标函数的建立
为使公司的直接收益最大，根据题中所给的不同项目和各种人员的收费标准（表2），建立线性规划模型，可得目标函数：
M axZ =1000X 11+800X 21+600X 31+500X 41+1500X 12+800X 22+700X 32+600X 42+1300X 13+900X 23+700X 33 +600X 43+1000X 14+800X 24+700X 34+500X 44
5.1.2约束条件的建立
为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，由题
中所给各项目对专业技术人员结构的要求（表3），可知：
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪X +
11⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪X 12+⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪X 13+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩X 14+
1≤X 11≤32≤X 212≤X 311≤X 41
X 21+X 31+X 41≤102≤X 12≤52≤X 222≤X 323≤X 42
X 22+X 32+X 42≤16
X 13=22≤X 232≤X 331≤X 43
X 23+X 33+X 43≤111≤X 14≤22≤X 24≤81≤X 34X 44=0
X 24+X 34+X 44≤18
根据公司的人员结构情况（表1）可知：
⎧X 11+X 12+X 13+X 14≤9⎪
⎪X 21+X 22+X 23+X 24≤17
⎨
⎪X 31+X 32+X 33+X 34≤10⎪X +X +X +X ≤5
424344⎩41
5.1.3模型的建立
综上所述，可得到线性规划模型：
M axZ =1000X 11+800X 21+600X 31+500X 41+1500X 12+800X 22+700X 32+600X 42+1300X 13+900X 23+700X 33+600X 43+1000X 14+800X 24+700X 34+500X 44
1≤X 11≤3⎧
⎪
2≤X 21
⎪⎪2≤X 31⎪
1≤X 41
⎪
⎪X +X +X +X ≤10
11213141⎪
2≤X 12≤5⎪
⎪2≤X 22⎪
2≤X 32⎪
⎪
3≤X 42
⎪
⎪X 12+X 22+X 32+X 42≤16⎪
X 13=2⎪
⎪2≤X 23⎪s . t . ⎨
2≤X 33
⎪⎪1≤X 43⎪
⎪X 13+X 23+X 33+X 43≤11⎪1≤X 14≤2⎪
2≤X 24≤8⎪
⎪1≤X 34⎪
X 44=0⎪
⎪
X +X 24+X 34+X 44≤18⎪14
⎪X 11+X 12+X 13+X 14≤9⎪
⎪X 21+X 22+X 23+X 24≤17⎪X +X +X +X ≤10
31323334⎪⎪⎩X 41+X 42+X 43+X 44≤5
5.2模型的求解
通过使用LINGO 求解得到结果如下：
由此可知，合理的技术力量分配方案为：
1名高级工程师，2名工程师，2名助理工程师，1名技术员在a 地工作； 5名高级工程师，2名工程师，5名助理工程师，3名技术员在b 地工作； 2名高级工程师，6名工程师，2名助理工程师，1名技术员在c 地工作； 1名高级工程师，7名工程师，1名助理工程师，0名技术员在d 地工作。
此时，公司获得最大的直接收益：
MaxZ 36000元
六、 模型的改进与推广
6.1模型的改进
由于模型一只考虑了公司的总收益，并没有计算公司的成本支出，因此为了使该公司获得最大利润，根据：利润=收益-成本，提出改进方案，建立模型二，达成收益较大、成本较小，利润最大的效果。
讨论如下三点：
（1）由公司人员的工资情况（表1）及在c 、d 两地工作的人员每人每天有50元的管理费开支，可得：
C =250X 1+200X 2+170X 3+110X 4+50(X 13+X 23+X 33+X 43+X 14+X 24+X 34+X 44)
由于公司总收益为：
Z =1000X 11+800X 21+600X 31+500X 41+1500X 12
+800X 22+700X 32+600X 42+1300X 13+900X 23+700X 33+600X 43+1000X 14+800X 24+700X 34+500X 44
因为利润=收益-成本，所以公司利润为：
L =Z -C
经M ATLAB 计算，上述方案所得的利润为：
L =27100（元）
（2）为得到理想化模型，使该公司的收益尽量大，成本尽量小，从而得出最大利润的模型如下：
MaxL =Z -C
C =250X 1+200X 2+170X 3+110X 4+50(X 13+X 23+X 33+X 43+X 14+X 24+X 34+X 44)
Z =1000X 11+800X 21+600X 31+500X 41+1500X 12
+800X 22+700X 32+600X 42+1300X 13+900X 23+700X 33+600X 43+1000X 14+800X 24+700X 34+500X 44
1≤X 11≤3⎧
⎪
2≤X 21
⎪⎪2≤X 31⎪
1≤X 41
⎪
⎪X +X +X +X ≤10
11213141⎪
2≤X 12≤5⎪
⎪2≤X 22⎪
2≤X 32⎪
⎪
3≤X 42
⎪
⎪X 12+X 22+X 32+X 42≤16⎪
X 13=2⎪
⎪2≤X 23⎪s . t . ⎨
2≤X 33
⎪⎪1≤X 43⎪
⎪X 13+X 23+X 33+X 43≤11⎪1≤X 14≤2⎪
2≤X 24≤8⎪
⎪1≤X 34⎪
X 44=0⎪
⎪
X +X 24+X 34+X 44≤18⎪14
⎪X 11+X 12+X 13+X 14≤9⎪
⎪X 21+X 22+X 23+X 24≤17⎪X +X +X +X ≤10
31323334⎪⎪⎩X 41+X 42+X 43+X 44≤5
通过使用LINGO 求解得到结果如下：
由此可知，合理的技术力量分配方案为：
1名高级工程师，6名工程师，2名助理工程师，1名技术员在a 地工作； 5名高级工程师，3名工程师，5名助理工程师，3名技术员在b 地工作； 2名高级工程师，6名工程师，2名助理工程师，1名技术员在c 地工作； 1名高级工程师，2名工程师，1名助理工程师，0名技术员在d 地工作。
此时，公司获得最大的利润：
MaxL =27350元
（3）此方案情况下，经M ATLAB 计算公司的直接收益最大为
MaxZ =36000
经验证，经改进的模型在公司最大收益相同的情况下，改进后的利润更大，因此改进的模型具有实际意义。
6.2模型的推广
本模型采用线性规划模型的方法，解决了A 公司在分配现有技术力量时使公司每天直接受益最大的问题，可应用于与此类似的许多服务性行业。例如，在搬家公司的货物分类运输的问题上，该模型的运用，可以准确、快捷的分配公司现有的运输工具及人员来满足客户的需要，以便更好的完成工作，为客户提供周全的服务。
七、 参考文献
八、附录
Global optimal solution found.
Objective value: 36000.00
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost X11 1.000000 0.000000 X21 2.000000 0.000000 X31 2.000000 0.000000 X41 1.000000 0.000000 X12 5.000000 0.000000 X22 2.000000 0.000000 X32 5.000000 0.000000 X42 3.000000 0.000000 X13 2.000000 0.000000 X23 6.000000 0.000000 X33 2.000000 0.000000 X43 1.000000 0.000000 X14 1.000000 0.000000 X24 7.000000 0.000000 X34 1.000000 0.000000 X44 0.000000 0.000000
Global optimal solution found.
Objective value: 27350.00
Total solver iterations: 7
Variable Value Reduced Cost X11 1.000000 0.000000 X21 6.000000 0.000000 X31 2.000000 0.000000 X41 1.000000 0.000000 X12 5.000000 0.000000 X22 3.000000 0.000000 X32 5.000000 0.000000 X42 3.000000 0.000000 X13 2.000000 0.000000 X23 6.000000 0.000000 X33 2.000000 0.000000 X43 1.000000 0.000000
X14 1.000000 0.000000
X24 2.000000 0.000000
X34 1.000000 0.000000
X44 0.000000 0.000000
X1 9.000000 0.000000
X2 17.00000 0.000000
X3 10.00000 0.000000
X4 5.000000 0.000000
x11=1;x21=2;x31=2;x41=1;x12=5;x22=2;x32=5;x42=3;x13=2;x23=6;x33=2;x43=1;x14=1;x24=7;x34=1;x44=0;x1=9;x2=17;x3=10;x4=5;1000*x11+800*x21+600*x31+500*x41+1500*x12+800*x22+700*x32+600*x42+1300*x13+900*x23+700*x33+600*x43+1000*x14+800*x24+700*x34+500*x44-250*x1-200*x2-170*x3-110*x4-50*(x13+x23+x33+x43+x14+x24+x34+x44)
ans =
27100
>>
x11=1;x21=6;x31=2;x41=1;x12=5;x22=3;x32=5;x42=3;x13=2;x23=6;x33=2;x43=1;x14=1;x24=2;x34=1;x44=0;x1=9;x2=17;x3=10;x4=5;1000*x11+800*x21+600*x31+500*x41+1500*x12+800*x22+700*x32+600*x42+1300*x13+900*x23+700*x33+600*x43+1000*x14+800*x24+700*x34+500*x44
ans =
36000