第29卷 第5期
Vol. 29No. 5昭通师范高等专科学校学报Journal of Zhaotong Teacher πs College 2007年10月Oct.
2007●数学
求多项式函数实数根的方法黄 永, 康道坤(昭通师范高等专科学校数学系, 云南 昭通 657000) 摘要:较程序化地给出了实系数多项式函数实数根的求法.
关键词:实系数; 多项式函数; 实数根
中图分类号:O151.1 文献标志码:A 文章编号:100829322(2007) 0520008204
关于实系数多项式函数
n n-1i f (x ) =a 0x +a 1x +∗+a i x +a n 0) (1)
的实数根的求法, , 不够系统, 且寻找根的方法缺乏程序化. , 函数实数根的方法.
1为节省篇幅, 在此仅给出涉及到的有关定理和方法, 其证明可参阅相关文献.
定理1[1] n 次多项式f (x ) 至多有n 个不同的根.
定理2(笛卡尔符号律) [2] 多项式函数f (x ) 的正实根个数等于f (x ) 的非零系数的符号变化个数, 或者等于比该变化个数小一个偶数的数; f (x ) 的负实根个数等于f (-x ) 的非零系数的符号变化个数, 或者等于比该变化个数小一个偶数的数.
定理3[1] 数c 是f (x ) 的根的充分必要条件是f (x ) 能被x -c 整除.
定理4[1] 每个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积. 定理5[1] 设(1) 式中Πi =0, 1, ∗,n , a i ∈ , 即f (x ) 是整系数多项式, 若a n ≠0, 且有理数u/v 是f (x ) 的一个根, u ∈ , v ∈ *, (u , v ) =1, 那么:
(i ) v |a 0, u |a n ;
(ii ) f (x ) /(x -u/v ) 是一个整系数多项式.
定理6(根的上下界定理)
是f (x ) 的根的一个上界; [2] 设(1) 式中a 0>0, 1) 若存在正实数M , 当用x -M 去对f (x ) 作综合除法时第三行数字仅出现正数或0, 那么M 就
2) 若存在不大于0的实数m , 当用x -m 去对f (x ) 作综合除法时第三行数字交替地出现正数(或0) 和负数(或0) 时, 那么m 就是f (x ) 的根的一个下界.
定理7(判断根上下界的牛顿法) [3](k ) , ∗,f 设有实数k , 使f (k ) , f ′
(m )
[3](m ) (k ) , ∗f (n ) (k ) 均为非负数, 或均为非正数, 则方程f (x ) =0的实根都小于k. 这里f 定理8(判断根上下界的拉格朗日法)
收稿日期:2006209210(x ) 表示f (x ) 的m 阶导数. 设(1) 式中a 0>0, 且a k 为第一个负系数, 即a k
) , 女, 云南彝良人, 讲师, 学士, 主要从事数学教育研究. 作者简介:黄永(1966—
・8・
黄永, 康道坤求多项式函数实数根的方法
k 第5期Πi
(x ) 互素. 定理9[1] 多项式f (x ) 无重根的充分且必要条件是f (x ) 与它的导数f ′
定理10(St urm 定理) [3] 设多项式f (x ) 无重根,b 1
f 0(b 1) , f 1
1(b 1) , ∗,f s (b 1) , ∗,f (b 2) , ∗,f s (b 2) , ∗,f m m (b 1) (b 2) 与f 0(b 2) , f
的变号的个数, 则p =U (b 1) -U (b 2) .
定理11[3] 设f (x ) 为实系数多项式, D (f ) 为f (x ) 的根的判别式, 则当D (f ) =0时, 方程f (x ) =0有重根; 当D (f ) 0时方程f (x ) =0无重根, 且有偶数对虚根.
对(1) 式中的f (x ) , D (f ) 定义为:
n (n -1) /2-1) , D (f ) =(-1) a 0R (f , f ′
) 称为f 和f ′其中f ′为f (x ) 的导函数, R (f , f ′的结式, 是由f (x ) 2n -1阶方
阵R 的行列式. 如果当k >n 或k
方法:综合除法[1], [1], 、牛顿法[3].
2 , 我们可得到寻找多项式函数实数根的方法步骤:
1、由定理1寻找出函数根的最大个数.
2、由定理2判断正实数根和负实数根的可能个数.
3、由定理11计算多项式的判别式, 判断是否有重根; 若无重根, 则根据定理11, 当判别式大于零时, 方程的实根数与n 相差4的倍数; 反之, 方程的实根数与n -2相差4的倍数.
(x ) 的最大公因式(f (x ) , f ′(x ) ) , 该公因式的根4、若判别式等于零, 用辗转相除法求出f (x ) 和f ′
即为f (x ) 的重根, 用带余除法将多项式降次.
5、利用定理6、定理7或定理8或者用改写方程的方法[2]找出函数的根的上下界.
6、若多项式函数的系数都是有理数, 则先化为整系数多项式g (x ) , 再利用定理5列出可能的有理根. 根据根的上下界对可能的有理根作筛选. 计算g (1) 和g (-1) , 判断±1是不是g (x ) 的根; 如果是, 则用带余除法将多项式降次; 如果不是, 则根据定理5的(ii ) , 令方程某个可能的有理根为α, 计算
[4]) 和g (-1) /(1+α) 是否都是整数, 只要有一个不是整数αg (1) /(1-α, 就不是方程的根.
7、利用定理3作综合除法找出函数的有理根.
8、利用带余除法将原多项式函数降次.
9、利用定理10, 或者通过函数单调性的分析, 或者用寻找根的上下界的方法, 限定降次后多项式函数根的范围.
10、利用公式法、线插法、牛顿法或其他求近似根的方法寻找出f (x ) 的实根或近似实根.
这里所列的方法步骤是指思维过程, 对于具体的多项式函数, 应根据它的具体特点灵活处理, 使过
(x ) ) 都相当繁琐, 这一步骤程简单化. 也就是说, 并非所有步骤都必须去做. 计算判别式和(f (x ) , f ′
也可省略. 实际计算中可以用文[5
]的方法利用Excel 作工具计算判别式, 但当计算结果的绝对值远小
(x ) ) 来检验. (f (x ) , 于1时应考虑可能是等于0时的近似, 即f (x ) 可能有重根, 而通过计算(f (x ) , f ′
(x ) ) 的计算可以用文[6]的方法利用矩阵的初等变换作工具. f ′
・9・
3 实例
例1 求多项式函数f (x ) =3x 5-2x 4-15x 3+10x 2+12x -8的实数根.
解:1、由定理1知f (x ) 至多有5个实根.
2、由定理2知f (x ) 有3个或1个正实根, 有2个或0个负实根.
) ≈4×108, 从而知D (f ) >0, 方程有1个或5个实根. 3、计算D (f ) , 用Excel 算出R (f , f ′
4、寻找根的上下界. 因为f (x ) =x 3(3x 2-2x -15) +(10x 2+12x -8) , 所以(1+) /3是f (x ) 的一个上界. (本来也可由定理8得出其上界6, 但我们希望上界越小越好. ) 又f (x ) =3x (x 4-5x 2+4) -2(x 4-5x 2+4) , 所以-2是f (x ) 的一个下界.
在求f (x ) 下界的过程中, 知道f (x ) =(3x -2) (x 4-5x 2+4) =(3x -2) (x 2-1) (x 2-4) , 即得到f (x ) 的所有实根:2/3, ±1, ±2.
例2 求多项式函数f (x ) =x 5-5x 4+14x 3-34x 2+48x -24的实数根.
解:1、由定理1知f (x ) 至多有5个实根.
2、由定理2知f (x ) 有5个、3个或1个正实根, 无负实根.
) ≈-4×10-83、计算D (f ) , 用Excel 算出R (f , f ′
(f (x ) , f ′(x ) ) =x -2, 知2) 2将多项式降次, 得g (x ) =
23f (x ) /(x -2) =x -x +6x -6.
4、计算g (1) =0, , g (x ) /(x -1) =x 2+6. 显然x 2+6无实根, 故原多项式的实根为1例3f (x ) =x 6-x 5-9x 4+2x 3+22x 2+3x -18的实数根.
解:1、由定理1知f (x ) 至多有6个实根.
2、由定理2知f (x ) 有3个或1个正实根, 3个或1个负实根.
) ≈5×3、计算D (f ) , 用Excel 算出R (f , f ′109, 从而知D (f )
根. 再由第2步知有4个实根.
4、计算f (1) =0, 知1为多项式的一个根, 计算g (x ) =f (x ) /(x -1) =-x 5-9x 3-7x 2+15x +18. 再计算g (1) =18, g (-1) =4. g (x ) 可能的有理根为±2, ±3, ±6, ±9, ±18. 因为4/(1+2) , 18/(1-(-3)) , 4/(1±6) , 4/(1±9) , 4/(1±18) 均非整数, 故g (x ) 只可能有有理根-2和3.
5、作综合除法知-2和3都是g (x ) 的根, 且g (x ) =(x +2) (x -3) (x 3+x 2-2x -3) , 由于已求出f (x ) 有根1, -2和3, 故由第2步和第3步知h (x ) =x 3+x 2-2x -3只有1个正实根. 由拉格朗日法知该正根的一个上界为1+. 又由x 3+x 2-2x -3=(x -1) 2+x 3-4, 知也是一个上界. 又由x 3+x 2-2x -3=x (x 2+x -2) -3知1是该正根的一个下界. 在区间(1, ) 内利用线插法可求得h (x ) 的近似正根1. 53, 用牛顿法可求得h (x ) 的近似正根1. 55. 多次应用这些方法可求得更精确的近似根. 自然本题也可直接用卡当(Cardan ) 公式求出h (x ) 的精确根, 但对更一般的方程在实际应用中一般只需要求出也只能求出足够精确的近似根.
至于求方程近似根的其他方法, 可参阅文献[7—9], 本文不再详述.
参考文献:
[1]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M ].第4版. 北京:高等教育出版社,1999.
[2]MichaelSullivan. College Algebra[M ].Upper Saddle River NJ USA :Prentice Hall , 1996.
[3]周伯壎. 高等代数[M ].北京:人民教育出版社,1966.
[4]潘晏仲, 李洪军. 高等代数与几何[M ].西安:西安交通大学出版社,1999.
[5]冉婕. Excel 在线性代数中的应用[J].昭通师范高等专科学校学报,2002,24(2) :36—38. 33
・10・
[6]谢芳.
矩阵初等变换的若干应用[J
].昭通师范高等专科学校学报,2004,26(2) :51—55.
[7]黄清龙. 两个求解多项式方程的迭代法[J].兰州大学学报(自然科学版) ,1994,30(2) :10—14.
[8]马昭坤, 马跃峰. 多项式方程的求解方法[J].曲阜师范大学学报,2000,26(3) :21—24.
[9]曹德胜. 利用计算机求高次方程的根[J].华北矿业高等专科学校学报,2001,3(1) :38—40.
Methods of Exploring the R eal Number Roots of a Polynomial Function
HUAN G Y ong , KAN G Dao 2kun
(Department of Maths , Zhaotong Teacher πs College , Zhaotong 657000, China )
Abstract :Methods of exploring the real number roots of a real coefficient polynomial f unction are procedurally given. K eyw ords :real coefficient ; polynomial f unction ; real number root
・11・
第29卷 第5期
Vol. 29No. 5昭通师范高等专科学校学报Journal of Zhaotong Teacher πs College 2007年10月Oct.
2007●数学
求多项式函数实数根的方法黄 永, 康道坤(昭通师范高等专科学校数学系, 云南 昭通 657000) 摘要:较程序化地给出了实系数多项式函数实数根的求法.
关键词:实系数; 多项式函数; 实数根
中图分类号:O151.1 文献标志码:A 文章编号:100829322(2007) 0520008204
关于实系数多项式函数
n n-1i f (x ) =a 0x +a 1x +∗+a i x +a n 0) (1)
的实数根的求法, , 不够系统, 且寻找根的方法缺乏程序化. , 函数实数根的方法.
1为节省篇幅, 在此仅给出涉及到的有关定理和方法, 其证明可参阅相关文献.
定理1[1] n 次多项式f (x ) 至多有n 个不同的根.
定理2(笛卡尔符号律) [2] 多项式函数f (x ) 的正实根个数等于f (x ) 的非零系数的符号变化个数, 或者等于比该变化个数小一个偶数的数; f (x ) 的负实根个数等于f (-x ) 的非零系数的符号变化个数, 或者等于比该变化个数小一个偶数的数.
定理3[1] 数c 是f (x ) 的根的充分必要条件是f (x ) 能被x -c 整除.
定理4[1] 每个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积. 定理5[1] 设(1) 式中Πi =0, 1, ∗,n , a i ∈ , 即f (x ) 是整系数多项式, 若a n ≠0, 且有理数u/v 是f (x ) 的一个根, u ∈ , v ∈ *, (u , v ) =1, 那么:
(i ) v |a 0, u |a n ;
(ii ) f (x ) /(x -u/v ) 是一个整系数多项式.
定理6(根的上下界定理)
是f (x ) 的根的一个上界; [2] 设(1) 式中a 0>0, 1) 若存在正实数M , 当用x -M 去对f (x ) 作综合除法时第三行数字仅出现正数或0, 那么M 就
2) 若存在不大于0的实数m , 当用x -m 去对f (x ) 作综合除法时第三行数字交替地出现正数(或0) 和负数(或0) 时, 那么m 就是f (x ) 的根的一个下界.
定理7(判断根上下界的牛顿法) [3](k ) , ∗,f 设有实数k , 使f (k ) , f ′
(m )
[3](m ) (k ) , ∗f (n ) (k ) 均为非负数, 或均为非正数, 则方程f (x ) =0的实根都小于k. 这里f 定理8(判断根上下界的拉格朗日法)
收稿日期:2006209210(x ) 表示f (x ) 的m 阶导数. 设(1) 式中a 0>0, 且a k 为第一个负系数, 即a k
) , 女, 云南彝良人, 讲师, 学士, 主要从事数学教育研究. 作者简介:黄永(1966—
・8・
黄永, 康道坤求多项式函数实数根的方法
k 第5期Πi
(x ) 互素. 定理9[1] 多项式f (x ) 无重根的充分且必要条件是f (x ) 与它的导数f ′
定理10(St urm 定理) [3] 设多项式f (x ) 无重根,b 1
f 0(b 1) , f 1
1(b 1) , ∗,f s (b 1) , ∗,f (b 2) , ∗,f s (b 2) , ∗,f m m (b 1) (b 2) 与f 0(b 2) , f
的变号的个数, 则p =U (b 1) -U (b 2) .
定理11[3] 设f (x ) 为实系数多项式, D (f ) 为f (x ) 的根的判别式, 则当D (f ) =0时, 方程f (x ) =0有重根; 当D (f ) 0时方程f (x ) =0无重根, 且有偶数对虚根.
对(1) 式中的f (x ) , D (f ) 定义为:
n (n -1) /2-1) , D (f ) =(-1) a 0R (f , f ′
) 称为f 和f ′其中f ′为f (x ) 的导函数, R (f , f ′的结式, 是由f (x ) 2n -1阶方
阵R 的行列式. 如果当k >n 或k
方法:综合除法[1], [1], 、牛顿法[3].
2 , 我们可得到寻找多项式函数实数根的方法步骤:
1、由定理1寻找出函数根的最大个数.
2、由定理2判断正实数根和负实数根的可能个数.
3、由定理11计算多项式的判别式, 判断是否有重根; 若无重根, 则根据定理11, 当判别式大于零时, 方程的实根数与n 相差4的倍数; 反之, 方程的实根数与n -2相差4的倍数.
(x ) 的最大公因式(f (x ) , f ′(x ) ) , 该公因式的根4、若判别式等于零, 用辗转相除法求出f (x ) 和f ′
即为f (x ) 的重根, 用带余除法将多项式降次.
5、利用定理6、定理7或定理8或者用改写方程的方法[2]找出函数的根的上下界.
6、若多项式函数的系数都是有理数, 则先化为整系数多项式g (x ) , 再利用定理5列出可能的有理根. 根据根的上下界对可能的有理根作筛选. 计算g (1) 和g (-1) , 判断±1是不是g (x ) 的根; 如果是, 则用带余除法将多项式降次; 如果不是, 则根据定理5的(ii ) , 令方程某个可能的有理根为α, 计算
[4]) 和g (-1) /(1+α) 是否都是整数, 只要有一个不是整数αg (1) /(1-α, 就不是方程的根.
7、利用定理3作综合除法找出函数的有理根.
8、利用带余除法将原多项式函数降次.
9、利用定理10, 或者通过函数单调性的分析, 或者用寻找根的上下界的方法, 限定降次后多项式函数根的范围.
10、利用公式法、线插法、牛顿法或其他求近似根的方法寻找出f (x ) 的实根或近似实根.
这里所列的方法步骤是指思维过程, 对于具体的多项式函数, 应根据它的具体特点灵活处理, 使过
(x ) ) 都相当繁琐, 这一步骤程简单化. 也就是说, 并非所有步骤都必须去做. 计算判别式和(f (x ) , f ′
也可省略. 实际计算中可以用文[5
]的方法利用Excel 作工具计算判别式, 但当计算结果的绝对值远小
(x ) ) 来检验. (f (x ) , 于1时应考虑可能是等于0时的近似, 即f (x ) 可能有重根, 而通过计算(f (x ) , f ′
(x ) ) 的计算可以用文[6]的方法利用矩阵的初等变换作工具. f ′
・9・
3 实例
例1 求多项式函数f (x ) =3x 5-2x 4-15x 3+10x 2+12x -8的实数根.
解:1、由定理1知f (x ) 至多有5个实根.
2、由定理2知f (x ) 有3个或1个正实根, 有2个或0个负实根.
) ≈4×108, 从而知D (f ) >0, 方程有1个或5个实根. 3、计算D (f ) , 用Excel 算出R (f , f ′
4、寻找根的上下界. 因为f (x ) =x 3(3x 2-2x -15) +(10x 2+12x -8) , 所以(1+) /3是f (x ) 的一个上界. (本来也可由定理8得出其上界6, 但我们希望上界越小越好. ) 又f (x ) =3x (x 4-5x 2+4) -2(x 4-5x 2+4) , 所以-2是f (x ) 的一个下界.
在求f (x ) 下界的过程中, 知道f (x ) =(3x -2) (x 4-5x 2+4) =(3x -2) (x 2-1) (x 2-4) , 即得到f (x ) 的所有实根:2/3, ±1, ±2.
例2 求多项式函数f (x ) =x 5-5x 4+14x 3-34x 2+48x -24的实数根.
解:1、由定理1知f (x ) 至多有5个实根.
2、由定理2知f (x ) 有5个、3个或1个正实根, 无负实根.
) ≈-4×10-83、计算D (f ) , 用Excel 算出R (f , f ′
(f (x ) , f ′(x ) ) =x -2, 知2) 2将多项式降次, 得g (x ) =
23f (x ) /(x -2) =x -x +6x -6.
4、计算g (1) =0, , g (x ) /(x -1) =x 2+6. 显然x 2+6无实根, 故原多项式的实根为1例3f (x ) =x 6-x 5-9x 4+2x 3+22x 2+3x -18的实数根.
解:1、由定理1知f (x ) 至多有6个实根.
2、由定理2知f (x ) 有3个或1个正实根, 3个或1个负实根.
) ≈5×3、计算D (f ) , 用Excel 算出R (f , f ′109, 从而知D (f )
根. 再由第2步知有4个实根.
4、计算f (1) =0, 知1为多项式的一个根, 计算g (x ) =f (x ) /(x -1) =-x 5-9x 3-7x 2+15x +18. 再计算g (1) =18, g (-1) =4. g (x ) 可能的有理根为±2, ±3, ±6, ±9, ±18. 因为4/(1+2) , 18/(1-(-3)) , 4/(1±6) , 4/(1±9) , 4/(1±18) 均非整数, 故g (x ) 只可能有有理根-2和3.
5、作综合除法知-2和3都是g (x ) 的根, 且g (x ) =(x +2) (x -3) (x 3+x 2-2x -3) , 由于已求出f (x ) 有根1, -2和3, 故由第2步和第3步知h (x ) =x 3+x 2-2x -3只有1个正实根. 由拉格朗日法知该正根的一个上界为1+. 又由x 3+x 2-2x -3=(x -1) 2+x 3-4, 知也是一个上界. 又由x 3+x 2-2x -3=x (x 2+x -2) -3知1是该正根的一个下界. 在区间(1, ) 内利用线插法可求得h (x ) 的近似正根1. 53, 用牛顿法可求得h (x ) 的近似正根1. 55. 多次应用这些方法可求得更精确的近似根. 自然本题也可直接用卡当(Cardan ) 公式求出h (x ) 的精确根, 但对更一般的方程在实际应用中一般只需要求出也只能求出足够精确的近似根.
至于求方程近似根的其他方法, 可参阅文献[7—9], 本文不再详述.
参考文献:
[1]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M ].第4版. 北京:高等教育出版社,1999.
[2]MichaelSullivan. College Algebra[M ].Upper Saddle River NJ USA :Prentice Hall , 1996.
[3]周伯壎. 高等代数[M ].北京:人民教育出版社,1966.
[4]潘晏仲, 李洪军. 高等代数与几何[M ].西安:西安交通大学出版社,1999.
[5]冉婕. Excel 在线性代数中的应用[J].昭通师范高等专科学校学报,2002,24(2) :36—38. 33
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[6]谢芳.
矩阵初等变换的若干应用[J
].昭通师范高等专科学校学报,2004,26(2) :51—55.
[7]黄清龙. 两个求解多项式方程的迭代法[J].兰州大学学报(自然科学版) ,1994,30(2) :10—14.
[8]马昭坤, 马跃峰. 多项式方程的求解方法[J].曲阜师范大学学报,2000,26(3) :21—24.
[9]曹德胜. 利用计算机求高次方程的根[J].华北矿业高等专科学校学报,2001,3(1) :38—40.
Methods of Exploring the R eal Number Roots of a Polynomial Function
HUAN G Y ong , KAN G Dao 2kun
(Department of Maths , Zhaotong Teacher πs College , Zhaotong 657000, China )
Abstract :Methods of exploring the real number roots of a real coefficient polynomial f unction are procedurally given. K eyw ords :real coefficient ; polynomial f unction ; real number root
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