一、三角函数的图像及性质 一、诱导公式
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin (α-β)=sin αcos β-cos αsin βcos (α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos (α-β)=cos αcos β+sin αsin βtan α+tan β
tan (α+β)=
1-tan αtan βtan α-tan β
tan (α-β)=
1+tan αtan β
【例】 1. sin163sin 223+sin 253sin313= _______．
2.
x x =_____________．
3. 若f (sinx ) ＝3－cos2x ，则f (cosx ) ＝___________ ． 4. 化简：
sin α+sin 2α =________
1+cos α+cos 2α
二、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos α-1=1-2sin α
2
2
四、万能公式
(3)对任意不为0的实数a 、b ，有
b
asin θ+bcosθ(θ+ϕ),(tanϕ=)
a
三、三角函数的一般式
三角函数的一般式：y =A sin (ωx +ϕ)+b 其中A ＞0，ω≠0。则该函数的最大值为
y max =A +b ，最小值为y min =-A +b ，周期T 为：T =
2π
1等差数列 ○
若果等差数列{a nn }（即对热议的n ∈N , 都有a n +1-a n =d ，d 为公差）的首项为a 1，公
+
差为d ，则该等差数列的通项公式a n 和前n 新项和S n 公式
a n =a 1+(n -1) d S n =na 1+=
等差数列的性质：
对于任意的正整数p 、q 、r 、s ，如果有p+q=r+s，那么在等差数列{a nn }我们有
(a 1+a n )
2
n (n -1)
d 2n
a p +a q =a r +a s ，特别的如果a 、b 、c 成等差数列，则我们有a+c=2b
【练习】 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5=10，S 10=-5, 则概述咧的公差是 。 2等比数列 ○
在等比数列{a nn }（即对任意的n ∈N ，都有
+
a n +1
=q ，q 为公比）首项为a 1，公比为a n
q （q ≠1）, 则概述咧的通项公式a n 和前n 项和S n 公式
a n =a 1*q n -1
⎧na 1(q =1) ⎪
S =⎨a 1(1-q n )
(q ≠1)⎪1-q ⎩
等比数列的西性质：
对于任意的正整数p 、q 、r 、s ，满足p+q=r+s,那么在等比数列{a nn }我们有a p *a q =a r *a s 特别地，如果a 、b 、c 成等比数列，那么我们有b =ac
2
1. （2013浙江、问）在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列. （Ⅰ）求d ，a n ；
（Ⅱ) 若d
1
2.
设f (x ) =6cos 2x 2x (x ∈R ). .
(Ⅰ) 求f (x ) 的最大值及最小正周期；
(Ⅱ) 在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 锐角A
满足f (A ) =3-B =求
π，12
a
的值. c
3. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c
且2a sin B = . （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ) 若a =6，b+c=8，求△ABC 的面积.
cos B b
4. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C cos C 2a ＋c （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
5. 已知数列{a n }是各项为正的等比数列，数列{b n }的前n 项和S n =n 2＋5n ，且满足
a 4=b 14，a 6=b 126，令c n =log
2
a n n ∈N ＋
()
（1）求数列{b n }及{c n }的通项公式；
（2）设P n =c b 1＋c b 2＋⋯⋯＋c b n ，Q n =c c 1＋c c 2＋⋯⋯＋c c n ，试比较P n 和Q n 的大小并说明理由.
6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足（1） 求a n ； 证明：
7. 已知公差为d 的等差数列{a n }满足d ≠0，且a 2是a 1，a 4的等比中项，记
12n ＋＋⋯⋯＋=n ，n ∈N ＋. a 1-1a 2-1a n -1
1113
＋＋⋯⋯＜ S 1S 2S n 2
b n =a 2n n ∈N ＋
()
已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3n ∈N ＋. （1）设b n =a n ＋3，证明数列{b n }是等比数列； （2）设c n =na n ，求数列{c n }的前n 项和S n . （2）若d ＞0时，对任意的正整数n 均有求D 的取值范围.
()
a ＋a ＋⋯⋯＋a 2n -111
，＋＋⋯⋯＋＜2＜12
b 12b n 2n -1
8. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3n ∈N ＋. （1）设b n =a n ＋3，证明数列{b n }是等比数列； （2）设c n =na n ，求数列{c n }的前n 项和S n .
()
一、三角函数的图像及性质 一、诱导公式
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin (α-β)=sin αcos β-cos αsin βcos (α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos (α-β)=cos αcos β+sin αsin βtan α+tan β
tan (α+β)=
1-tan αtan βtan α-tan β
tan (α-β)=
1+tan αtan β
【例】 1. sin163sin 223+sin 253sin313= _______．
2.
x x =_____________．
3. 若f (sinx ) ＝3－cos2x ，则f (cosx ) ＝___________ ． 4. 化简：
sin α+sin 2α =________
1+cos α+cos 2α
二、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos α-1=1-2sin α
2
2
四、万能公式
(3)对任意不为0的实数a 、b ，有
b
asin θ+bcosθ(θ+ϕ),(tanϕ=)
a
三、三角函数的一般式
三角函数的一般式：y =A sin (ωx +ϕ)+b 其中A ＞0，ω≠0。则该函数的最大值为
y max =A +b ，最小值为y min =-A +b ，周期T 为：T =
2π
1等差数列 ○
若果等差数列{a nn }（即对热议的n ∈N , 都有a n +1-a n =d ，d 为公差）的首项为a 1，公
+
差为d ，则该等差数列的通项公式a n 和前n 新项和S n 公式
a n =a 1+(n -1) d S n =na 1+=
等差数列的性质：
对于任意的正整数p 、q 、r 、s ，如果有p+q=r+s，那么在等差数列{a nn }我们有
(a 1+a n )
2
n (n -1)
d 2n
a p +a q =a r +a s ，特别的如果a 、b 、c 成等差数列，则我们有a+c=2b
【练习】 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5=10，S 10=-5, 则概述咧的公差是 。 2等比数列 ○
在等比数列{a nn }（即对任意的n ∈N ，都有
+
a n +1
=q ，q 为公比）首项为a 1，公比为a n
q （q ≠1）, 则概述咧的通项公式a n 和前n 项和S n 公式
a n =a 1*q n -1
⎧na 1(q =1) ⎪
S =⎨a 1(1-q n )
(q ≠1)⎪1-q ⎩
等比数列的西性质：
对于任意的正整数p 、q 、r 、s ，满足p+q=r+s,那么在等比数列{a nn }我们有a p *a q =a r *a s 特别地，如果a 、b 、c 成等比数列，那么我们有b =ac
2
1. （2013浙江、问）在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列. （Ⅰ）求d ，a n ；
（Ⅱ) 若d
1
2.
设f (x ) =6cos 2x 2x (x ∈R ). .
(Ⅰ) 求f (x ) 的最大值及最小正周期；
(Ⅱ) 在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 锐角A
满足f (A ) =3-B =求
π，12
a
的值. c
3. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c
且2a sin B = . （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ) 若a =6，b+c=8，求△ABC 的面积.
cos B b
4. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C cos C 2a ＋c （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
5. 已知数列{a n }是各项为正的等比数列，数列{b n }的前n 项和S n =n 2＋5n ，且满足
a 4=b 14，a 6=b 126，令c n =log
2
a n n ∈N ＋
()
（1）求数列{b n }及{c n }的通项公式；
（2）设P n =c b 1＋c b 2＋⋯⋯＋c b n ，Q n =c c 1＋c c 2＋⋯⋯＋c c n ，试比较P n 和Q n 的大小并说明理由.
6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足（1） 求a n ； 证明：
7. 已知公差为d 的等差数列{a n }满足d ≠0，且a 2是a 1，a 4的等比中项，记
12n ＋＋⋯⋯＋=n ，n ∈N ＋. a 1-1a 2-1a n -1
1113
＋＋⋯⋯＜ S 1S 2S n 2
b n =a 2n n ∈N ＋
()
已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3n ∈N ＋. （1）设b n =a n ＋3，证明数列{b n }是等比数列； （2）设c n =na n ，求数列{c n }的前n 项和S n . （2）若d ＞0时，对任意的正整数n 均有求D 的取值范围.
()
a ＋a ＋⋯⋯＋a 2n -111
，＋＋⋯⋯＋＜2＜12
b 12b n 2n -1
8. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3n ∈N ＋. （1）设b n =a n ＋3，证明数列{b n }是等比数列； （2）设c n =na n ，求数列{c n }的前n 项和S n .
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