基本初等函数求导公式
' (1) (C ) =0 ' (3) (sinx ) =cos x
2
'(tanx ) =sec x (5)
μμ-1
'(x ) =μx (2)
' (4) (cosx ) =-sin x
2'(cotx ) =-csc x (6)
' (7) (secx ) =sec x tan x
(9)
' (8) (cscx ) =-csc x cot x
x x '(e) =e (10)
(a x ) '=a x ln a (loga x ) '=
1
x ln a
(lnx ) '=
(12)
(11)
1x ，
(arcsinx ) '=
(13)
1-x 2
11+x 2
(14)
(arccosx ) '=-
1-x 2
11+x 2
(arctanx ) '=
(15)
(arccotx ) '=-
(16)
函数的和、差、积、商的求导法则
v =v (x ) 都可导，则 设u =u (x ) ，
(u ±v ) '=u '±v ' (uv ) '=u 'v +u v '
(Cu ) '=C u '（C 是常数）
（1） （2）
（3）
'
⎛u ⎫u 'v -u v ' ⎪=2v v ⎝⎭ （4）
反函数求导法则 若函数
x =ϕ(y ) 在某区间I y 内可导、单调且ϕ'(y ) ≠0，则它的反函数y =f (x ) 在对应
I 区间x 内也可导，且
dy 1=
1dx f '(x ) =
dy ϕ'(y ) 或
复合函数求导法则
设y =f (u ) ，而u =ϕ(x ) 且f (u ) 及ϕ(x ) 都可导，则复合函数y =f [ϕ(x )]的导数为
dy dy du =ϕ'(x ) dx du dx 或y '=f '(u )
２. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式：
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程
f (x , y ) =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.
P (x 0, y 0) 的某一邻域内具有连续的偏导数，
隐函数存在定理1 设函数F (x , y ) 在点
且F (x 0, y 0) =0，, F y (x 0, y 0) ≠0，则方程F (x , y ) =0在点(x 0, y 0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y =f (x ) ，它满足条件y 0=f (x 0) ，并有
F dy
=-x
F y (2) dx
公式（2）就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数y =f (x ) 代入，得恒等式
F (x , f (x )) ≡0,
其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得
∂F ∂F dy +=0, ∂y dx ∂x
由于F y 连续，且F y (x 0, y 0) ≠0，所以存在(x0,y 0) 的一个邻域，在这个邻域内F y ≠0，于是得
F dy
=-x .
F y dx
如果F (x , y ) 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得
F x ⎫F x ⎫d 2y ∂⎛∂⎛ ⎪ ⎪dy =-+-
⎪ ⎪dx 2∂x ⎝F y ⎭∂y ⎝F y ⎭dx
F xy F y -F yy F x ⎛F x ⎫
-⎪=--22 ⎪F y F y
⎝F y ⎭
F xx F y 2-2F xy F x F y +F yy F x 2=-. 3
F y
F xx F y -F yz F x
2
2
例1 验证方程x +y -1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，y =1的隐函数y =f (x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。
22
F (x , y ) =x +y -1，则F x =2x , F y =2y , F (0, 1) =0, F y (0, 1) =2≠0. 因此解 设
由定理1可知，方程x +y -1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，y =1的隐函数y =f (x ) 。
下面求这函数的一阶和二阶导数
22
F dy dy
=-x -x =0
F y =y ， dx x =0
dx ; x
y -x (-)
y 2+x 21y d 2y -y -x y '=-=-=-, 22332y y y y dx =
d 2y
2dx
=-1
x =0
。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程
F (x , y , z )=0 (3)
就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (x , y , z ) 的性质来断定由方程F (x , y , z )=0所确定的二元函数z =(x , y ) 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z ) 在点P (x 0, y 0, z 0) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且F (x 0, y 0, z 0) =0，F z (x 0, y 0, z 0) ≠0，则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ) ，它满足条件
z 0=f (x 0, y 0) ，并有
∂z -F x ∂z -F y
∂x =F z , ∂y =F z . (4)
这个定理我们不证. 与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (x , y , f (x , y ) ) ≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得
∂z ∂z
F x +F z ∂x =0, F y +F z ∂y =0。
因为F z 连续，且F z (x 0, y 0, z 0) ≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0) 的一个邻域，在这个邻域内F z ≠0，于是得
∂z -F x ∂z -F y
∂x =F z , ∂y =F z 。
∂2z
. 2222
例2 设x +y +z -4z =0，求∂x
222
解 设F (x , y , z ) =x +y +z -4z ，则F x =2x , F z =2z -4. 应用公式(4)，得
∂z x
∂x =2-z 。
再一次x 对求偏导数，得
∂2z =∂x 2
(2-z ) +x (2-z ) 2
∂z
⎛x ⎫
(2-z ) +x ⎪
(2-z ) 2+x 22-z ⎝⎭==. 23
(2-z ) (2-z )
二、方程组的情形
下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组
⎧F (x , y , u , v ) =0,
⎨
⎩G (x , y , u , z ) =0. (5)
这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。
隐函数存在定理3 设函数F (x , y , u , v ) 、G (x , y , u , v ) 在点P 0(x 0, y 0, u 0, v 0) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F (x 0, y 0, u 0, v 0) =0，G (x 0, y 0, u 0, v 0) =0, 且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):
∂F
∂u
∂(F , G ) ∂G
J =∂(u , v ) =∂u ∂F ∂v ∂G ∂v
在点P 0(x 0, y 0, u 0, v 0) 不等于零，则方程组F (x , y , u , v ) =0，G (x , y , u , v ) =0在点
(x 0, y 0, u 0, v 0) 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u =u (x , y ), v =v (x , y ) ，它满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, u 0) ，并有
F x G x
F u
1∂(F , G ) ∂u
G ∂x =-J ∂(x , v ) =-u
F u G u
F u
1∂(F , G ) ∂v
G ∂x =-J ∂(u , x ) =-u
F v
G v
F v
G v F x G x
,
F v
G v (6)
,
F y G y
F u ∂u 1∂(F , G )
G ∂y =-J ∂(y , v ) =-v
F v G v F v
,
G v
F u G u
F u ∂v 1∂(F , G )
∂y =-J ∂(u , y ) =-G u
这个定理我们不证.
F y G y
. F v G v
∂u ∂u ∂v ∂v
例3 设xu -yv =0, yu +xv =1，求∂x , ∂y , ∂x 和∂y .
解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。
将所给方程的两边对x 求导并移项，得
∂v ⎧∂u
x -y =-u , ⎪∂x ∂x ⎨∂u ∂v ⎪y +x =-v .
∂x ⎩∂x
J =
在
x -y
=x 2+y 2≠0
y x 的条件下，
-u -y
∂u -v x xu +yv
==-2, 2
x -y ∂x x +y y x
x -u
y -v ∂v yu -xv ==2. ∂x x -y x +y 2
y x
22
y J =x +y ≠0的条件下可得 将所给方程的两边对求导，用同样方法在
∂u xv -yu ∂v xu +yv =2, =-. 222
x +y ∂y x +y ∂y
基本初等函数求导公式
' (1) (C ) =0 ' (3) (sinx ) =cos x
2
'(tanx ) =sec x (5)
μμ-1
'(x ) =μx (2)
' (4) (cosx ) =-sin x
2'(cotx ) =-csc x (6)
' (7) (secx ) =sec x tan x
(9)
' (8) (cscx ) =-csc x cot x
x x '(e) =e (10)
(a x ) '=a x ln a (loga x ) '=
1
x ln a
(lnx ) '=
(12)
(11)
1x ，
(arcsinx ) '=
(13)
1-x 2
11+x 2
(14)
(arccosx ) '=-
1-x 2
11+x 2
(arctanx ) '=
(15)
(arccotx ) '=-
(16)
函数的和、差、积、商的求导法则
v =v (x ) 都可导，则 设u =u (x ) ，
(u ±v ) '=u '±v ' (uv ) '=u 'v +u v '
(Cu ) '=C u '（C 是常数）
（1） （2）
（3）
'
⎛u ⎫u 'v -u v ' ⎪=2v v ⎝⎭ （4）
反函数求导法则 若函数
x =ϕ(y ) 在某区间I y 内可导、单调且ϕ'(y ) ≠0，则它的反函数y =f (x ) 在对应
I 区间x 内也可导，且
dy 1=
1dx f '(x ) =
dy ϕ'(y ) 或
复合函数求导法则
设y =f (u ) ，而u =ϕ(x ) 且f (u ) 及ϕ(x ) 都可导，则复合函数y =f [ϕ(x )]的导数为
dy dy du =ϕ'(x ) dx du dx 或y '=f '(u )
２. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式：
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程
f (x , y ) =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.
P (x 0, y 0) 的某一邻域内具有连续的偏导数，
隐函数存在定理1 设函数F (x , y ) 在点
且F (x 0, y 0) =0，, F y (x 0, y 0) ≠0，则方程F (x , y ) =0在点(x 0, y 0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y =f (x ) ，它满足条件y 0=f (x 0) ，并有
F dy
=-x
F y (2) dx
公式（2）就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数y =f (x ) 代入，得恒等式
F (x , f (x )) ≡0,
其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得
∂F ∂F dy +=0, ∂y dx ∂x
由于F y 连续，且F y (x 0, y 0) ≠0，所以存在(x0,y 0) 的一个邻域，在这个邻域内F y ≠0，于是得
F dy
=-x .
F y dx
如果F (x , y ) 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得
F x ⎫F x ⎫d 2y ∂⎛∂⎛ ⎪ ⎪dy =-+-
⎪ ⎪dx 2∂x ⎝F y ⎭∂y ⎝F y ⎭dx
F xy F y -F yy F x ⎛F x ⎫
-⎪=--22 ⎪F y F y
⎝F y ⎭
F xx F y 2-2F xy F x F y +F yy F x 2=-. 3
F y
F xx F y -F yz F x
2
2
例1 验证方程x +y -1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，y =1的隐函数y =f (x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。
22
F (x , y ) =x +y -1，则F x =2x , F y =2y , F (0, 1) =0, F y (0, 1) =2≠0. 因此解 设
由定理1可知，方程x +y -1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，y =1的隐函数y =f (x ) 。
下面求这函数的一阶和二阶导数
22
F dy dy
=-x -x =0
F y =y ， dx x =0
dx ; x
y -x (-)
y 2+x 21y d 2y -y -x y '=-=-=-, 22332y y y y dx =
d 2y
2dx
=-1
x =0
。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程
F (x , y , z )=0 (3)
就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (x , y , z ) 的性质来断定由方程F (x , y , z )=0所确定的二元函数z =(x , y ) 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z ) 在点P (x 0, y 0, z 0) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且F (x 0, y 0, z 0) =0，F z (x 0, y 0, z 0) ≠0，则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ) ，它满足条件
z 0=f (x 0, y 0) ，并有
∂z -F x ∂z -F y
∂x =F z , ∂y =F z . (4)
这个定理我们不证. 与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (x , y , f (x , y ) ) ≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得
∂z ∂z
F x +F z ∂x =0, F y +F z ∂y =0。
因为F z 连续，且F z (x 0, y 0, z 0) ≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0) 的一个邻域，在这个邻域内F z ≠0，于是得
∂z -F x ∂z -F y
∂x =F z , ∂y =F z 。
∂2z
. 2222
例2 设x +y +z -4z =0，求∂x
222
解 设F (x , y , z ) =x +y +z -4z ，则F x =2x , F z =2z -4. 应用公式(4)，得
∂z x
∂x =2-z 。
再一次x 对求偏导数，得
∂2z =∂x 2
(2-z ) +x (2-z ) 2
∂z
⎛x ⎫
(2-z ) +x ⎪
(2-z ) 2+x 22-z ⎝⎭==. 23
(2-z ) (2-z )
二、方程组的情形
下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组
⎧F (x , y , u , v ) =0,
⎨
⎩G (x , y , u , z ) =0. (5)
这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。
隐函数存在定理3 设函数F (x , y , u , v ) 、G (x , y , u , v ) 在点P 0(x 0, y 0, u 0, v 0) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F (x 0, y 0, u 0, v 0) =0，G (x 0, y 0, u 0, v 0) =0, 且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):
∂F
∂u
∂(F , G ) ∂G
J =∂(u , v ) =∂u ∂F ∂v ∂G ∂v
在点P 0(x 0, y 0, u 0, v 0) 不等于零，则方程组F (x , y , u , v ) =0，G (x , y , u , v ) =0在点
(x 0, y 0, u 0, v 0) 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u =u (x , y ), v =v (x , y ) ，它满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, u 0) ，并有
F x G x
F u
1∂(F , G ) ∂u
G ∂x =-J ∂(x , v ) =-u
F u G u
F u
1∂(F , G ) ∂v
G ∂x =-J ∂(u , x ) =-u
F v
G v
F v
G v F x G x
,
F v
G v (6)
,
F y G y
F u ∂u 1∂(F , G )
G ∂y =-J ∂(y , v ) =-v
F v G v F v
,
G v
F u G u
F u ∂v 1∂(F , G )
∂y =-J ∂(u , y ) =-G u
这个定理我们不证.
F y G y
. F v G v
∂u ∂u ∂v ∂v
例3 设xu -yv =0, yu +xv =1，求∂x , ∂y , ∂x 和∂y .
解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。
将所给方程的两边对x 求导并移项，得
∂v ⎧∂u
x -y =-u , ⎪∂x ∂x ⎨∂u ∂v ⎪y +x =-v .
∂x ⎩∂x
J =
在
x -y
=x 2+y 2≠0
y x 的条件下，
-u -y
∂u -v x xu +yv
==-2, 2
x -y ∂x x +y y x
x -u
y -v ∂v yu -xv ==2. ∂x x -y x +y 2
y x
22
y J =x +y ≠0的条件下可得 将所给方程的两边对求导，用同样方法在
∂u xv -yu ∂v xu +yv =2, =-. 222
x +y ∂y x +y ∂y