第３２卷第２期
ＶｏＩ．３２Ｎｏ．２
水利水电科技进展
ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＷａｔｅｒＲｅｓｏｕｒｃｅｓ２０１２年４月Ａｐｔ．２０１２
Ｄ０１：１０．３８８０／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６。７６４７．２０１２．０２．００１
单位线的发展及启示
芮孝芳，刘宁宁，凌
哲，梁
霄
（河海大学水文水资源学院，江苏南京２１００９８）
摘要：单位线的建立及其发展，并得以成功应用，是水文科学的重要成就之一。寻觅、回顾了单位线的起源，论述了单位线在处理复杂、特殊的流域汇流现象时的创新性，以及半个世纪以来水文学家为揭示单位线实质采用系统论、物理学、概率论等途径所作的努力及取得的成果。提出了分析和使用单位线所不可忽视的前提条件。由于建立在“网格水滴”概念上的流域汇流计算方法，既能保持单位线法和等流时线法的优点，又能克服这两个方法的缺点，因此有可能在数字高程模型（ＤＥＭ）支
撑下成为新一代的流域汇流计算方法。
关键词：水文科学；工程水文学；单位线；系统论；统计物理学；概率论；等流时线；网格水滴
中图分类号：Ｐ３３；Ｔｖｌ２
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６－７６４７（２０１２）０２－０００１—０５
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２１００９８，Ｃｈ／ｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｕｎｉｔ
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Ｋｅ，ｒｗｏｒｄｓ：ｈｙｄｒｏｌｏｇｙｓｃｉｅｎｃｅ；ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｈｙｄｒｏｌｏｇｙ；ｕｎｉｔｈｙｄｒｏｇｒａｐｈ；ｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙ；ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
ｉｓｏｃｈｒｏｎｃ；咖ｄ
ｄｒｏｐ
１单位线的起源
在经济社会不发达的古代，人类在防治洪水灾害时，首先直觉关注的是河道某断面出现的洪峰水位和洪峰流量。因此，早在１９世纪人们就有了如何
由暴雨确定所形成的洪峰流量的愿望。Ｍｕｌｖａｎｙ于
直接用于坡面水流计算。因此，尽管早在１８７１年就有了圣维南根据牛顿力学定律导出的描写河道洪水波运动的明渠缓变不稳定偏微分方程组，但如何由暴雨过程计算流域洪水过程的问题仍没有得到解决。
直到２０世纪二三十年代，情况才有了转机。这
一时期是水文学蓬勃发展时期，新的水文学理论和
１８５０年提出了水文学历史上第一个由暴雨计算所
形成的洪峰流量的公式…，后人称之为合理化公式。
方法不断涌现，仅为了解决流域上一场暴雨形成的洪水过程的计算问题就提出了两种方法：一是Ｒｏｓｓ于１９２１年提出的时间一面积曲线概念，据此建立的
方法称为等流时线法；二是Ｓｈｅｒｍａｎ于１９３２年提出的单位线概念，据此建立的方法称为Ｓｈｅｒｍａｎ单位
随着经济社会的发展，人们对防治洪水灾害的要求也不断提高，逐步认识到了解一场暴雨所形成的流
域出口断面洪水过程比仅了解洪峰水位和洪峰流量
更为重要、更为全面。但流域由坡面和水系组成，坡
面上的水流现象要比河道中水流现象复杂得多，以
线法。等流时线法设想在流域上存在等流时线，降落在同一条等流时线上的雨滴经过相同的汇流时间将同时刻到达流域出口断面。这样，只要找出了流
致于适用于河道水流的理论和计算方法，一般并不能
基金项目：国家自然科学基金重点项日（４１１３０６３９）
作者简介：芮孝芳（１９３９－－）．男．江苏溧阳人．教授．主要从事水文学与水资源研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｉａｎｇｇｕｏｌ＠ｌ＇ｍｔｍａｉｌ．咖
水利水电科技进展。２０１２．３２（２）Ｔｄ：０２５・８３７８６３３５
Ｅ－ｍａ／／：ｊ＠ｈｈｕ．池．ｍｈｕｐ：／／ｋ／吣．Ｍｕｓ．砒．ｍ
・ｌ‘
域的等流时线，就可完成由流域上一场暴雨过程推求其形成的流域出口断面洪水过程的计算任务。单位线法是先定义一条流域单位线。所谓单位线就是指流域上分布均匀的单位时段内强度不变的１个单位的净雨量所形成的流域出口断面流量过程。应用这条单位线处理流域出口断面洪水过程计算的基本思路是：如果单位时段内强度不变的净雨量不是１个单位，而是／＇ｔ个单位，那么其所形成的流域出口断面的洪水过程为单位线的／＇ｔ倍，这叫做倍比性假设。如果一场暴雨的历时不只是１个单位时段，而是有ｍ个单位时段，那么其所形成的流域出口断面洪水过程就是各个单位时段净雨形成的流域出口断面洪水过程之同时刻流量之和，这叫做叠加性假设。因此，只要找到了流域单位线，就可以根据倍比性和叠加性假设，完成推求流域上一场暴雨所形成的流域
出口断面洪水过程的计算任务。
展之路。
２单位线的系统论解释
曾经对水文科学作出重大贡献的Ｃｈｏｗ早在２０世纪６０年代就认为流域汇流可作为一个用下列线性动力系统微分方程来描述的系统［７］：
６。紫“一。等＋－－－＋ｂｏｄ矿ｏｈ飞ｄ丽ｉｎ＋１一口ｍ面鬲一口ｍ一１ｈ吨一ｌ雾一…－口０面ｄｈＩｄ，一…一口０面Ｌ
Ｑ＝
…，ｂ。均为常数或者仅是时间ｔ的函数。
（１）１’
式中：Ｑ（ｔ）为出口断面流量过程；ｈ（ｔ）为相应于出
１：３断面流量过程的净雨过程；ｎｏ，ｏｌ’．一，口。，ｂｏ，ｂｌ’
根据瞬时单位线的定义，如果净雨输人为艿函数，那么所形成的流域出口断面流量过程就是流域
瞬时单位线ｕ（ｔ）了。这时式（１）将变成
ｕ
与Ｓｈｅｒｍａｎ直接针对实际应用提出单位线不
同，美国Ｂｏｓｔｏｎ土木工程协会早于Ｓｈｅｒｍａｎ两年即
ｃ
ｔ，＝（一！：宝舌；；ｌ＿三－＿詈：：ｊ吕宇｛｝三瑞）ｄｃ
对式（２）的两边进行Ｌａｐｌａｃｅ变换，得
ｔ）
１９３０年，提出了“瞬时暴雨产生的过程能表征流域
特征”的概念…２，这种所谓“瞬时暴雨产生的过程”就
（２）
是后人命名的“瞬时单位线”。但它并没有立即得到应用，直到１９４５年，Ｃｌａｒｋ才据此概念求得单位线用于流域汇流计算旧Ｊ。对瞬时单位线的解释最初只是
认为：“时段长为零的单位线就是瞬时单位线”，直到２０世纪７０年代才将瞬时单位线正式定义为：流域
式中：Ｄ为微分算子，Ｄ＝芋。
呲ｕ肚（一嚣等等等式省）．
ＬＥ
上分布均匀，历时极短（讪），强度极大（一∞），但总
量为１个单位的净雨所形成的出口断面流量过程。
ｇ（ｆ）］＝［一锱】Ｌ［ｍ）］ｕ㈤＝Ｌ＿ｌ【一锱】
（３）
式中：Ｐ为Ｌａｐｌａｃｅ变换的参量。
考虑到Ｌ［艿（ｔ）］＝１，并对式（３）求逆Ｌａｐｌａｃｅ变
换，得
（４）
在不断发展的近代科学技术支撑下，水文学家现在终于搞清楚了Ｓｈｅｒｍａｎ单位线的３个基本假设实质上就是认为流域汇流遵循倍比性和叠加性ｌｌ，４Ｊ。现在已经证明，自然界一切可以用线性微分方程或线性系统描写的物理过程都满足倍比性和叠加性，而且，一旦满足了倍比性和叠加性这一前提，时段长为０时的单位线就成为瞬时单位线；反之，瞬时单位线对时段的积分就成为单位线［５－６】。现在，瞬时单位线已成为单位线法的核心问题，而且在
洪水演算中也得到了应用。
式（４）就是流域瞬时单位线的系统论释义。由此可见，流域瞬时单位线反映了系统的作用，因而与流域的地形地貌特性有关。
如果直接对式（１）进行求解，那么根据运算微积分中的有关定理，可得
Ｑ（ｔ）＝ＩⅡ（ｔ—ｒ）ｈ（ｒ）ｄｒ
（５）
由于在许多情况下Ｓｈｅｒｍａｎ提出的单位线和
Ｃｌａｒｋ首次使用的瞬时单位线都能获得令人满意的
表达Ｑ（ｔ），ｕ（ｔ）和ｈ（ｔ）之间关系的式（５）称为
卷积分，因为它首先由Ｄｕｈｍａｎｍｅｌ得到，所以又称
计算效果，且既简单又方便，因此，在世界各国得到了广泛的应用。单位线法并非来自直接的实验发现，而是来自科学家对降雨形成流域出口洪水过程
的一种理性思维。为什么在实用中对多数情况都能
Ｄｕｈｍａｎｍｅｌ积分［５】５，其中被积函数为两个函数的乘积，体现了线性系统的倍比性，而从０到ｔ的积分体现了线性系统的叠加性。
取得令人满意的效果呢？这种先有“方法”后有“理论”的发展过程很耐人寻味，引起了水文学家的重视和极大的兴趣，单位线方法从此走上了一条蓬勃发
・２・
３单位线的物理学解释
如果净雨是在ｒ时刻呈空间分布均匀状态瞬时注入流域的，且由ｌｒｌ个水滴组成，那么均匀分布
水利水电科技进展，２０１２，３２（２）Ｔｅｌ：晒・８３７８６３３５Ｅ－ｍａ／／：ｊ＠抛．幽．ｍ／，ａｐ：／／／ａｌ／，．№．施ｍ
在流域上的凡个水滴都是从ｒ时刻开始从流域上不因为净雨滴降落到流域表面的时间为．ｓ，所以。
同位置向流域出口断面汇集的。由于每个水滴的流如果净雨滴从其在流域上的注入点流达流域出口断域汇流时间不一样，所以，ｒ时刻注入的ｎ个水滴必面的汇流时间为三，那么净雨滴从降落至流域表面将在不同时刻到达流域出口断面，显然，只有那些流开始，最终在流域出口断面出现的时间ｒ应为
域汇流时间正好等于ｔ—ｒ的水滴能在ｔ时刻到达
Ｔ＝Ｓ＋三
（１１）
出口断面，从而组成了ｔ时刻的流域出口断面流前已分别给出随机变量ｓ和丁的分布密度为量［６］６。如果把满足这个条件的水滴所占据的面积计＾（ｓ）和ｆｏ（ｔ），如果用ｆＢ（ｔ）表示净雨滴流域汇流时
算出来，并用ａＡ（ｔ—ｒ）表示，那么这个面积与ｒ时间三的分布密度，并假设Ｓ与三相互独立，那么根
刻降雨强度ｉ（ｒ）的乘积，就是ｒ时刻净雨对ｔ时刻
据概率论中随机变数函数的分布理论【９Ｊ，由式（１１）
流域出口断面流量的贡献，即
可导得：
ｄＱ＝３Ａ（ｔ—ｒ）ｉ（ｒ）
（６）
ｒｔ
一场降雨由连续时刻的降雨组成，把一场降雨ｆＱ（ｔ）＝ｌ石（ｔ—ｒ）厶（ｒ）ｄｒ
中每一个时刻净雨对ｔ时刻出口断面流量的贡献都ｒｔ
或
计算出来，就可得到ｔ时刻出口断面的流量
Ｑ（ｔ）＝．『ｏ‘３Ａ（ｔ—ｒ）ｉ（ｒ）＝－『：曼掣ｆ（ｒ）ｄｒｆＱ（ｔ）＝Ｉ石（ｒ）＾（ｔ—ｒ）ｄｒ
（１２）
Ｑ（ｔ）＝Ｊ
Ａ（ｔ—ｒ）ｉ（ｒ）＝Ｊｏ里』Ｌ铲ｆ（ｒ）ｄｒ
将式（９）和式（１０）代入式（１２），并考虑流域汇流
阶段的水量平衡关系，得
（７）
ｒｔ
如果人流和出流均采用ｍ３／ｓ作单位，那么式
Ｑ（ｔ）＝Ｉ．厶（ｆ—ｒ）ｈ（ｒ）ｄｒ
ｏ
Ｕ
（７）又可写成：
∞）＝Ｊ：掣，（ｒ）ｄｒ（８）
ｒｔ
或
Ｑ（ｔ）＝Ｉ．厶（ｒ）ｈ（ｔ—ｒ）ｄｒ
（１３）
ｏ
Ｕ
比较式（１３）和式（５），可见式（１３）不仅是式（５）
式中：Ａ为流域面积；口（ｔ）：鱼半；，（ｆ）：小（ｔ）。
的概率论诠释，而且流域瞬时单位线ｕ（ｔ）就是净雨
滴流域汇流时间的分布密度ｆｅ（ｔ），即
行比较，不难得知式（８）中的掣即为流域汇流的
式（８）称为径流成因公式。将式（８）与式（５）进
ｕ（ｔ）＝ｆＢ（ｔ）
（１４）
式（１４）与Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ．Ｉｔｕｒｂｅ等［１０］于１９７９年基于
瞬时单位线，这就把流域瞬时单位线的物理意义揭
粒子弱相互作用下随机运动理论和流域水量平衡原
示出来了。
理导得的结果完全一致。
４单位线的概率论解释
５综合单位线
笔者［８］认为，大气中凝结成的水滴何时以降雨
１９３８年，Ｓｎｙｄｅｒ在研究美国Ａｐｐａｌａｃｈｉａｎ山地的
的形式降落到流域表面，可视为一随机事件，即雨滴暴雨径流时，为解决缺乏水文资料情况下Ｓｈｅｒｍａｎ
降落的时间Ｓ就是随机变量。因此，将净雨强度过单位线的确定问题，通过分析Ｓｈｅｒｍａｎ单位线的特
程ｈ（ｔ）作归一化处理，就成为雨滴降落时间Ｓ这一征值，如单位线峰值、单位线洪峰滞时、单位线总历随机变量的分布密度，用＾（ｓ）表示：
ｆｈ（ｓ）：石虬
时等与地形地貌参数，如流域面积、主河道长度、流
（９）
域中心至流域出口蜥面距离ｋ等之间的关系，建
Ｊ。ｈ（ｔ）ｄｔ
立了相应的经验公式¨１｜。１９６０年，Ｎａｓｈ为了将其创建的Ｎａｓｈ瞬时单位线应用于缺乏水文资料流域的降落在流域表面的净雨滴，经由坡地汇流和河流域汇流计算，针对英国资料，建立了其中参数凡网汇流将成为流域出口断面的流量过程。降落在流和ｋ与地形地貌之间的经验公式【ｌ域表面的净雨滴何时到达流域出口断面也可视作一２｜。此后，Ｒｏｓｓｏ又
随机事件，即雨滴到达流域出口断面的时间ｒ也是
从另外的角度得到了Ｎａｓｈ模型参数与Ｈｏｒｔｏｎ地貌
随机变量。因此，将流域出口断面流量过程Ｑ（ｔ）作
参数之间的经验性关系¨３｜。１９７８年，Ｂｏｄｙ在寻求概念性模型参数与地形地貌参数定量关系的研究中也
归一化处理，就成为随机变量净雨滴在流域出口断
面出现时间ｒ这一随机变量的分布密度，用而（ｔ）
做出了一些富有启发性的工作【１４］。这种由经验公表示：
式求得的单位线就称为综合单位线。
ｆｏ（Ｉ）：—趾Ｌ
无论是Ｓｎｙｄｅｒ还是Ｎａｓｈ以及其他后来者，在建
（１０）
立综合单位线时都是采用统计综合途径。统计综合Ｊｏ
Ｑ（ｔ）ｄｔ
途径的基本思想是…Ｊ：通过对水文过程和地貌过程
水利水电科技进展．２０１２，３２（２）Ｔｄ：０２５—８３７８６３３５Ｅ－ｍａｇ：．矗＠ｈｈｕ．ｅｄｕ．ｍ
ｈｕｐ．．／／ｋｋｂ．＾ｈ．础‘．ｍ
・３。
相互作用的观测和分析，寻找出影响水文过程特征的地形地貌参数，利用积累的观测或实验资料建立
两者的定量关系，或者通过对水文过程进行宏观考
的，因此其运动速度ｙ和所取的路径长度￡均为随机变量，而且￡和ｙ是相对独立的。根据概率论中随机变量函数的分布的理论，式（１６）中３个随机变量的分布密度应有如下关系［１６］：
ｒ”
量，构建能模拟水文过程的概念性水文模型，进而建立这类模型参数与地形地貌参数的定量关系。这种建立水文过程与地形地貌参数定量关系的途径，通常有两种具体实施方法：一是先给定两者之间的函数形式，然后确定其中的参数；二是采用某种模拟仿真计算，以隐式方式直接拟合两者关系，而无须事先给定它们之间的函数形式。属于前者的主要有统计回归分析和最优化方法；属于后者的主要有人工神
经网络算法等。
ｕ（ｔ）＝厶（ｔ）＝Ｉ”曙（ｖｔ）妒（＂）ｄｖ０
Ｊ
（１７）
式中：ｇ（ｚ）和妒（口）分别为随机变量的分布密度；秽一为流域中净雨滴的最大运动速度。
式（１７）表明，只要能得到ｇ（Ｚ）和妒（秽），就可按
此式推求流域瞬时单位线了。文献［１６］认为，ｇ（ｚ）
可由宽度函数给出，９（口）可通过坡度的分布密度求得。因为宽度函数和坡度分布密度表达的均为流域
由于统计综合途径只是从影响因素分析上，而不是从物理机制上探讨水文过程与地貌过程的定量关系，因此其对水文气象资料观测的依赖性较大，没
有足够数量的水文气象观测资料是难以得出有价值的分析成果的。在应用中，对其外延和移用也应十分慎重。
地形地貌特征，所以由式（１７）求得的瞬时单位线也
属于地貌瞬时单位线。
国外发表类似的研究成果比笔者的工作晚了
３年［ｔ７］。
７一些启示
单位线来自水文学家急切解决流域降雨形成出
６地貌瞬时单位线
６．１
口断面流量过程问题的强烈愿望，也是水文学家处理复杂的、特殊的流域汇流现象的一种灵感，而倍比性和叠加性假设则起到了“桥”的关键作用。单位线的成功应用及较好的普适性，说明了用倍比性和叠
加性架起的“桥”虽系“假设”，但已不自觉地切中了
Ｒ—Ｖ地貌瞬时单位线
１９７９年，Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ－ｌｔｕｒｂｅ等［１０］基于式（１４），应用概率论、水系地貌结构理论和水文学原理由Ｒｏｄｆｉｇｕｅｚ－Ｉｔｕｒｂｅ等导出了如下流域瞬时单位线的表
达式：
流域汇流现象的本质，符合了在许多情况下，净雨水滴从流域各处向出口断面汇集遵循倍比性和叠加性
的客观事实。
ｌ∈Ｓ
‘
厶（Ｉ）＝泓．（￡）＊厶（ｔ）＊…＊正。（ｔ）Ｐ（ｓ）
‘
’
（１５）
在线性条件下，流域单位线或瞬时单位线的唯一性就意味着净雨空间分布必须均匀。如果净雨空间分布不均匀，那么流域单位线或瞬时单位线就不可能唯一。事实上，暴雨中心在上游和下游，所得出
的流域单位线或瞬时单位线必然会有较大差别。因
式中：ｓ为“水滴”到达出口断面的状态路径；戈ｌ，髫２，…，张为组成该ｓ的状态，分别在各级河流状态和各级坡地状态中选择；正．（ｔ），正，（ｔ），…，正。（ｔ）为“水滴”在状态并ｌ，茹２，…，‰中持留时间的概率密度；Ｐ（ｓ）为“水滴”选择ｓ的概率；Ｓ为ｓ的集合。
式（１５）中之ｐ（ｓ）可由Ｈｏｒｔｏｎ地貌参数确定，五．（ｔ）（ｋ＝ｌ，２，…）可由“水滴”通过状态‰（ｋ＝ｌ，
２，…）的动力因子确定。
此，在给出流域单位线或瞬时单位线的定义时，绝对不可以漏掉“净雨空间分布均匀”这一重要前提。而
在实际应用中，原则上也必须要求净雨在流域上呈均匀分布。以往曾经有人提出应按暴雨中心位置率
由于在式（１５）的具体表达式中包含有地形地貌参数，故称所得到的瞬时单位线为地貌瞬时单位线。６．２概率组合地貌瞬时单位线
呈均匀分布并瞬时降落在流域上的无穷多雨滴中的任一个，总是要以一定的运动速度Ｖ通过￡长的路径到达流域出口断面的，因此，其流域汇流时间
ｒ必为
，
定单位线和使用单位线的问题，这实际上并不妥当，理论上也不可取。因为相同降雨量的暴雨，空间分布是不尽相同的，再者暴雨中心位置的量化也是一件十分困难的事。为了满足使用单位线的条件，笔者认为不应是按暴雨中心位置给出单位线，而是应对使用单位线的流域面积大小进行限制，采用划分单元流域或子流域的方法，使净雨在单元流域或子流域上的空间分布尽可能均匀。
ｒ＝吉
ｒ
（１６）
瞬时单位线概念的建立是单位线在理论上的重
由于任一雨滴什么时间降落到流域可视为随机
・４・
水利水电科技进展。２０１２。３２（２）
大提升。由于瞬时单位线不受时段长短的影响，它
榭：０２５—８３７８６３３５
Ｆ，－ｍａ／／：ｊｔＯ／ｄｕ，．ｔｄｕ．ｍ／ａ妒：／／Ｍ６．№．出．ａＩ
必然综合反映了流域汇流特性，主要考虑了下垫面条件及其空间分布对流域汇流的影响。从物理学和
概率论所作的揭示表明，流域瞬时单位线实质上就
【７］ＣＨＯＷ
ｓｙｓｔｅｍ
ＶＴ，ＫＵＬＡＮＤＡＩＳＷ朋订ＹＶＣ．Ｇｅｎｅｒａｌｈｙｄｒｏｌｏｇｉｃ
ｍｏｄｅｌ【Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＨｙｄｒａｕｌｉｃｓＤｉｖｉｓｉｏｎ，ＡＳＣＥ，
１９７ｌ，９７（ＨＹ６）：７９１－８０４．
［８］芮孝芳．流域汇流机理的概率论体系探讨［Ｊ］．水科学进
展，１９９９，１０（１）：２０－２４．
［９］复旦大学数学系．概率论与数理统计［Ｍ］．上海：上海科
学技术出版社，１９６０：７８－９１．【１０］ＲＯＤＲＩＧＵＥＺ－ＩＴＵＲＢＥ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
是均匀分布降落在流域上的无穷个净雨水滴汇集至流域出口断面所形成的时间一面积曲线或汇流时间概率密度，首先对此作出贡献的水文学家是Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ－Ｉｔｕｒｂｅ［１０］，他原本学习理论物理，在攻读博士学位时毅然选择了水文学。所以，单位线理论的提升是水文学中通过学科交叉获得成功的范例之一。
单位线法与等流时线法是差不多同时代展现在
Ｉ，ＶＡＬＤＥＳＪ
Ｂ．‰Ｇｅｏｍｏｒｐｈｏｌｎｇｉｅ
ａｅｓｏｔｌ．ｒｃｅｓ
ｏｆ
ｈｙｄｒｏｌｏｇｉｃａｌ
Ｒｅｓｐｏｎｓｅ［Ｊ］．Ｗａｔｅｒ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９７９，１６（６）：１４０９＂１４２０．【１１］ＵＮＳＬＥＹ
ｆｏｒ
ＲＫ，ＫＯＨＬＥＲＭＡ，ＰＡＵＬＨＵＳＪＬＨ．Ｈｙｄｒｏｌｏｇｙ
Ｙｏｒｋ：ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ，１９８２：２２３—２２５．
世人面前、可用于处理流域汇流的两个方法。表面上看它们似存在差别，但深究起来却发现两者本质上是一致的。如果在单位线的物理学解释上，假设水滴的运动速度为常数，那么等流时面积分配曲线就是单位线了。如果将单位线的物理学解释植入单位线的系统论解释，那么单位线的纵坐标值就是净雨空间分布均匀条件下汇流时间处于该时段内的水
滴占全部水滴的比重，也即水滴运动速度相同情况下与该时段相应的等流时面积占全流域面积之比重。可见。在一定条件下，单位线法与等流时线法是可以互相转换的。这就不难发现人们早先对这两个方法优缺点评论的物理本质了。之所以单位线法的
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ
Ｂｒｉｔｉｓｈ
【１２］ＮＡＳＨ
ｔｏ
ＪＥ．Ａｕｎｉｔｈｙｄｒｏｇｒａｐｈ
ｓｔｕｄｙ，ｗｉｔｈ啡ｉｃｕｌａｒｒｅｆｅｒｅｎｃｅ
ｏｆｔｈｅＩｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎｏｆＣｉｖｉｉ
ｃａｔｃｈｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ
Ｅｎｇｉｎｅｅｍ，１９６０，１７：２４９－２８２．［１３］ＲＯＳＳＯＲ．Ｎａｓｈｍｏｄｅｌｒｅｌａｔｉｏｎ【１４Ｊ
ｔｏＨｏｒｔｏｎｏｒｄｅｒ
ｒａｔｉｅｓ［Ｊ】．
。ＷａｔｅｒＲｅｓｏｕｒｃｅｓＲｅｓｅａｒｃｈ，１９８４，２０（７）：９１４－９２０．
ＢＯＹＤＭＪ．Ａｓｔｏｒａｇｅ－ｍｕｔｉｎｇｍｏｄｅｌｒｅｌａｔｉｏｎｄｒａｉｎａｇｅｂａｓｉｎｈｙｄｒｏｌｏｇｙａｎｄ
ｇｅｏｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙ［Ｊ］．Ｗａｔｅｒ‰ｎＩ℃憾Ｒｅｓｅａｒｃｈ，
１９７８，１５（６）：９２１－９２８：
［１５］芮孝芳，蒋成煜．流域水文与地貌特征关系研究的回顾
与展望［Ｊ］．水科学进展，２０１０．２１（４）：４４４－４４５．
［１６］芮孝芳．由流路长度分布律和坡度分布律确定地貌瞬
时单位线的研究［Ｊ］．水科学进展，２００３，１４（５）：６０２－６０６．［１７］ＦＬＥＵＲＡＮＩ＇Ｃ，ＫＡＲＴＩＷＡ
ｆｏｒ
ａ
Ｂ，ＲＯＬＡＮＤ
Ｂ．Ａ，ｕａ删ｍｏｄｅｌ
ｈｙｄ叫即ｐ｝ｌ［Ｊ］．
优点是考虑了流域调蓄作用，而缺点是只适用于降
雨空间分布均匀的情况，就是因为它是针对流域整
ｇｅｏｍｏｒｐｈｏｌｏｇｉｃａｌ
ｉｎｓｔａｎｔｍｌｅｏｔｍｕｎｉｔ
Ｈｙｄｒｏｌｏｇｉｃａｌ
Ｐｒｏｃｅｇｓｅ８，２００６，２０：３８７９－３８９５．
Ｍｅｉ，ＬＩＵＦｍａｇ－ｇｕｉ，ｅｔａＩ．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆ
Ｏｎ
体，而不必限定水滴运动速度相同。之所以等流时线法的优点是能适应降雨空间分布不均匀的情况，
而缺点是不能考虑由于水滴运动速度不同而导致的
［１８］ＲＵＩ
Ｘｉａｏ－ｆａｎｇ，ＹＵ
ｗａｔｅｒｓｈｅｄｆｌｏｗｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｂａｓｅｄ
ｔｈｅ鲥ｄ
ｄｍｐｃｏｎｃｅｐｔ
［Ｊ］．ＷａｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００８，ｌ（１）：１－９．
（收稿Ｉ：１期：２０Ｉｉ一１２—２６编辑：马敏峰）
流域调蓄作用，就是因为它要求水滴运动速度相同。但不必将流域作为一个整体。笔者提出的“基于网
格水滴流域汇流计算方法”¨８Ｊ就是一种吸取单位线法和等流时线法之优点，同时又能排除两者之缺点的汇流计算方法。参考文献：
［１］ＤＯＯＧＥＪ［２］ＣＨＯＷ［３］ＣＬＡＲＫ
ＣＩ．Ｌｉｎｅａｒｔｈｅｏｒｙ
０ｆｈｙｄｒｏｌｎｇｉｃ
・简讯・
第８届中国土工合成材料学术会议
将在天津召开
由中国土工合成材料工程协会、国际土工合成材料学会中国委员会主办，天津大学、中交天津港湾
ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．
Ｙｏｒｋ：
ＷａｓｈｉｎｇｔｏｎＤ．Ｃ．：ＵＳＤＡ，１９７３．
ＶＴ．Ｈａｎｄｈ）ｏｋｏｆａｐｐｌｉｅｄ
工程研究院承办的第８届中国土工合成材料学术会议将于２０１２年５月２３—２５日在天津召开。会议主题为土工合成材料工程与可持续发展。主要议题包
括：土工合成材料的基本原理与特性，土工合成材料
ｈｙｄｒｏｌｏｇｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ
ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ。１９６４．
ＣＯ．Ｓｔｏｒａｇｅａｎｄｔｈｅｕｎｉｔ
ｈｙｄｒｏｇｒａｐｈ［Ｊ］．Ｔｒａｍｍｃｔｉｏｍ
设计理论与标准，土工合成材料应用、施工、测试技术，自然灾害的工程措施，土工合成材料产品研发成
果，土工合成材料生产工艺技术与设备改进。土工组
ｏｆｔｈｅＡｍｅｒｉｃａｎＳｏｃｉｅｔｙｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｓ。１９４５．１１０：１４１９・１４４６。
［４］ＪＯＨＮＳＴＯＮＥ
［Ｍ］．Ｎｅｗ
Ｄ，ＣＲＯＳＳＷＰ．Ｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆａｐｐｌｉｅｄｈｙｄｒｏｌｏｇｙ
Ｙｏｒｋ：ＲｏｎａｌｄＰｒｅｓｓ，１９４９．
合系统（土工管、土工袋等）以及国内外土工合成材料工程实例介绍。参会报名截止日期为２０１２年５月２２日。论文投稿邮箱：ｃｔａ９２０１２＠１６３．ｃｏｍ。会议
网站：ｈｔｔｐ：／／ｃｔａｇ．ｏｒｇ．ｃｎｏ
（本刊编辑部供稿）
［５］芮孝芳．线性时不变汇流系统的初步研究［Ｊ］．华东水利
学院学报，１９８２（２）：６３—７３．
［６］芮孝芳．水文学原理［Ｍ］．北京：中国水利水电出版社，
２００４：２７５－２８２．
水利水电科技进展．２０１２．３２（２）Ｔｅ／：０２５—８３７８６３３５
Ｅ－ｓａ／／：＃＠Ｍｕ＊．幽．ｍ脚：／／／ｄｒ．ｂ．批．池．ｍ
。５・
单位线的发展及启示
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
芮孝芳， 刘宁宁， 凌哲， 梁霄， RUI Xiao-fang， LIU Ning-ning， LING Zhe， LIANG Xiao河海大学水文水资源学院,江苏南京,210098
水利水电科技进展
Advances in Science and Technology of Water Resources2012,32(2)
1. 于得江. 周祖昊. 张博. 孙云秀. 李冰. YU Dejiang. ZHOU Zuhao. ZHANG Bo. SUN Yunxiu. LI Bing 基于DEM的等流时法改进研究[期刊论文]-水文2011,31(3)
2. 李丽. 郝振纯. 王加虎 一个以DEM为基础的分布式水文模型[期刊论文]-水电能源科学2004,22(4)
3. 张婷. 冯平. Zhang Ting. Feng Ping 基于DEM的资料短缺地区设计洪水推求[期刊论文]-中国工程科学2011,13(12)4. 宋星原. 雒文生. 苏志诚 枫树坝水库洪水实时预报校正方法研究[期刊论文]-人民珠江2000(3)
5. 池宸星. 郝振纯. 王玲. 胡健伟. CHI Chenxing. Hao Zhenchun. WANG Ling. Hu Jianwei 黄土区人类活动影响下的产汇流模拟研究[期刊论文]-地理科学进展2005,24(3)
6. 白耀玲 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究[学位论文]2006
7. 宋星原. 雒文生. 苏志诚 枫树坝水库洪水实时预报校正方法研究[期刊论文]-人民长江2000(3)8. 苏志诚. 宋星原 枫树坝水库洪水实时预报校正方法研究[期刊论文]-水利发展研究2002,2(12)
9. 杨涛. 张鹰. 陈界仁. 何姗. YANG Tao. ZHANG Ying. CHEN Jie-ren. HE Shan 基于数字平台的黄河多沙粗沙区分布式水文模型研究--以黄河岔巴沟流域为例[期刊论文]-水利学报2005,36(4)
10. 熊立华. 彭定志 基于数字高程模型的等流时线推求与应用[期刊论文]-武汉大学学报(工学版)2003,36(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_slsdkjjz201202001.aspx
第３２卷第２期
ＶｏＩ．３２Ｎｏ．２
水利水电科技进展
ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＷａｔｅｒＲｅｓｏｕｒｃｅｓ２０１２年４月Ａｐｔ．２０１２
Ｄ０１：１０．３８８０／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６。７６４７．２０１２．０２．００１
单位线的发展及启示
芮孝芳，刘宁宁，凌
哲，梁
霄
（河海大学水文水资源学院，江苏南京２１００９８）
摘要：单位线的建立及其发展，并得以成功应用，是水文科学的重要成就之一。寻觅、回顾了单位线的起源，论述了单位线在处理复杂、特殊的流域汇流现象时的创新性，以及半个世纪以来水文学家为揭示单位线实质采用系统论、物理学、概率论等途径所作的努力及取得的成果。提出了分析和使用单位线所不可忽视的前提条件。由于建立在“网格水滴”概念上的流域汇流计算方法，既能保持单位线法和等流时线法的优点，又能克服这两个方法的缺点，因此有可能在数字高程模型（ＤＥＭ）支
撑下成为新一代的流域汇流计算方法。
关键词：水文科学；工程水文学；单位线；系统论；统计物理学；概率论；等流时线；网格水滴
中图分类号：Ｐ３３；Ｔｖｌ２
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６－７６４７（２０１２）０２－０００１—０５
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Ｒｅｙｍｌ．１ｌ＇ｃｅ￥ａｎｄＨｙｄｒｏｌｏｇｙ，ＨｏｈａｉＵｎｉ，肌ｉｔｙ，Ｎａｎｊ／ｒｉｇ
２１００９８，Ｃｈ／ｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｕｎｉｔ
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ｄｅａｌｉｎｇｗｉｔｈｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄａｎｄｓｐｅｃｉｆｉｃｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｆｌｏｗｓｉｎｗａｔｅｒｓｈｅｄｓｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｓａｎｄｅｆｆｏｒｔｓｔｏｒｅｖｅａｌｔｈｅｓｕｂｓｔａｎｃｅｏｆｔｈｅｕｎｉｔ
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ｓｈｏｒｔｅｏｍｉｎｇｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎ—ｙ，ｔｈｅ“鲥ｄｄｒｏｐ”ｗｉｌｌｐｒｏｂａｂｌｙｂｅａ
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Ｋｅ，ｒｗｏｒｄｓ：ｈｙｄｒｏｌｏｇｙｓｃｉｅｎｃｅ；ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｈｙｄｒｏｌｏｇｙ；ｕｎｉｔｈｙｄｒｏｇｒａｐｈ；ｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙ；ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
ｉｓｏｃｈｒｏｎｃ；咖ｄ
ｄｒｏｐ
１单位线的起源
在经济社会不发达的古代，人类在防治洪水灾害时，首先直觉关注的是河道某断面出现的洪峰水位和洪峰流量。因此，早在１９世纪人们就有了如何
由暴雨确定所形成的洪峰流量的愿望。Ｍｕｌｖａｎｙ于
直接用于坡面水流计算。因此，尽管早在１８７１年就有了圣维南根据牛顿力学定律导出的描写河道洪水波运动的明渠缓变不稳定偏微分方程组，但如何由暴雨过程计算流域洪水过程的问题仍没有得到解决。
直到２０世纪二三十年代，情况才有了转机。这
一时期是水文学蓬勃发展时期，新的水文学理论和
１８５０年提出了水文学历史上第一个由暴雨计算所
形成的洪峰流量的公式…，后人称之为合理化公式。
方法不断涌现，仅为了解决流域上一场暴雨形成的洪水过程的计算问题就提出了两种方法：一是Ｒｏｓｓ于１９２１年提出的时间一面积曲线概念，据此建立的
方法称为等流时线法；二是Ｓｈｅｒｍａｎ于１９３２年提出的单位线概念，据此建立的方法称为Ｓｈｅｒｍａｎ单位
随着经济社会的发展，人们对防治洪水灾害的要求也不断提高，逐步认识到了解一场暴雨所形成的流
域出口断面洪水过程比仅了解洪峰水位和洪峰流量
更为重要、更为全面。但流域由坡面和水系组成，坡
面上的水流现象要比河道中水流现象复杂得多，以
线法。等流时线法设想在流域上存在等流时线，降落在同一条等流时线上的雨滴经过相同的汇流时间将同时刻到达流域出口断面。这样，只要找出了流
致于适用于河道水流的理论和计算方法，一般并不能
基金项目：国家自然科学基金重点项日（４１１３０６３９）
作者简介：芮孝芳（１９３９－－）．男．江苏溧阳人．教授．主要从事水文学与水资源研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｉａｎｇｇｕｏｌ＠ｌ＇ｍｔｍａｉｌ．咖
水利水电科技进展。２０１２．３２（２）Ｔｄ：０２５・８３７８６３３５
Ｅ－ｍａ／／：ｊ＠ｈｈｕ．池．ｍｈｕｐ：／／ｋ／吣．Ｍｕｓ．砒．ｍ
・ｌ‘
域的等流时线，就可完成由流域上一场暴雨过程推求其形成的流域出口断面洪水过程的计算任务。单位线法是先定义一条流域单位线。所谓单位线就是指流域上分布均匀的单位时段内强度不变的１个单位的净雨量所形成的流域出口断面流量过程。应用这条单位线处理流域出口断面洪水过程计算的基本思路是：如果单位时段内强度不变的净雨量不是１个单位，而是／＇ｔ个单位，那么其所形成的流域出口断面的洪水过程为单位线的／＇ｔ倍，这叫做倍比性假设。如果一场暴雨的历时不只是１个单位时段，而是有ｍ个单位时段，那么其所形成的流域出口断面洪水过程就是各个单位时段净雨形成的流域出口断面洪水过程之同时刻流量之和，这叫做叠加性假设。因此，只要找到了流域单位线，就可以根据倍比性和叠加性假设，完成推求流域上一场暴雨所形成的流域
出口断面洪水过程的计算任务。
展之路。
２单位线的系统论解释
曾经对水文科学作出重大贡献的Ｃｈｏｗ早在２０世纪６０年代就认为流域汇流可作为一个用下列线性动力系统微分方程来描述的系统［７］：
６。紫“一。等＋－－－＋ｂｏｄ矿ｏｈ飞ｄ丽ｉｎ＋１一口ｍ面鬲一口ｍ一１ｈ吨一ｌ雾一…－口０面ｄｈＩｄ，一…一口０面Ｌ
Ｑ＝
…，ｂ。均为常数或者仅是时间ｔ的函数。
（１）１’
式中：Ｑ（ｔ）为出口断面流量过程；ｈ（ｔ）为相应于出
１：３断面流量过程的净雨过程；ｎｏ，ｏｌ’．一，口。，ｂｏ，ｂｌ’
根据瞬时单位线的定义，如果净雨输人为艿函数，那么所形成的流域出口断面流量过程就是流域
瞬时单位线ｕ（ｔ）了。这时式（１）将变成
ｕ
与Ｓｈｅｒｍａｎ直接针对实际应用提出单位线不
同，美国Ｂｏｓｔｏｎ土木工程协会早于Ｓｈｅｒｍａｎ两年即
ｃ
ｔ，＝（一！：宝舌；；ｌ＿三－＿詈：：ｊ吕宇｛｝三瑞）ｄｃ
对式（２）的两边进行Ｌａｐｌａｃｅ变换，得
ｔ）
１９３０年，提出了“瞬时暴雨产生的过程能表征流域
特征”的概念…２，这种所谓“瞬时暴雨产生的过程”就
（２）
是后人命名的“瞬时单位线”。但它并没有立即得到应用，直到１９４５年，Ｃｌａｒｋ才据此概念求得单位线用于流域汇流计算旧Ｊ。对瞬时单位线的解释最初只是
认为：“时段长为零的单位线就是瞬时单位线”，直到２０世纪７０年代才将瞬时单位线正式定义为：流域
式中：Ｄ为微分算子，Ｄ＝芋。
呲ｕ肚（一嚣等等等式省）．
ＬＥ
上分布均匀，历时极短（讪），强度极大（一∞），但总
量为１个单位的净雨所形成的出口断面流量过程。
ｇ（ｆ）］＝［一锱】Ｌ［ｍ）］ｕ㈤＝Ｌ＿ｌ【一锱】
（３）
式中：Ｐ为Ｌａｐｌａｃｅ变换的参量。
考虑到Ｌ［艿（ｔ）］＝１，并对式（３）求逆Ｌａｐｌａｃｅ变
换，得
（４）
在不断发展的近代科学技术支撑下，水文学家现在终于搞清楚了Ｓｈｅｒｍａｎ单位线的３个基本假设实质上就是认为流域汇流遵循倍比性和叠加性ｌｌ，４Ｊ。现在已经证明，自然界一切可以用线性微分方程或线性系统描写的物理过程都满足倍比性和叠加性，而且，一旦满足了倍比性和叠加性这一前提，时段长为０时的单位线就成为瞬时单位线；反之，瞬时单位线对时段的积分就成为单位线［５－６】。现在，瞬时单位线已成为单位线法的核心问题，而且在
洪水演算中也得到了应用。
式（４）就是流域瞬时单位线的系统论释义。由此可见，流域瞬时单位线反映了系统的作用，因而与流域的地形地貌特性有关。
如果直接对式（１）进行求解，那么根据运算微积分中的有关定理，可得
Ｑ（ｔ）＝ＩⅡ（ｔ—ｒ）ｈ（ｒ）ｄｒ
（５）
由于在许多情况下Ｓｈｅｒｍａｎ提出的单位线和
Ｃｌａｒｋ首次使用的瞬时单位线都能获得令人满意的
表达Ｑ（ｔ），ｕ（ｔ）和ｈ（ｔ）之间关系的式（５）称为
卷积分，因为它首先由Ｄｕｈｍａｎｍｅｌ得到，所以又称
计算效果，且既简单又方便，因此，在世界各国得到了广泛的应用。单位线法并非来自直接的实验发现，而是来自科学家对降雨形成流域出口洪水过程
的一种理性思维。为什么在实用中对多数情况都能
Ｄｕｈｍａｎｍｅｌ积分［５】５，其中被积函数为两个函数的乘积，体现了线性系统的倍比性，而从０到ｔ的积分体现了线性系统的叠加性。
取得令人满意的效果呢？这种先有“方法”后有“理论”的发展过程很耐人寻味，引起了水文学家的重视和极大的兴趣，单位线方法从此走上了一条蓬勃发
・２・
３单位线的物理学解释
如果净雨是在ｒ时刻呈空间分布均匀状态瞬时注入流域的，且由ｌｒｌ个水滴组成，那么均匀分布
水利水电科技进展，２０１２，３２（２）Ｔｅｌ：晒・８３７８６３３５Ｅ－ｍａ／／：ｊ＠抛．幽．ｍ／，ａｐ：／／／ａｌ／，．№．施ｍ
在流域上的凡个水滴都是从ｒ时刻开始从流域上不因为净雨滴降落到流域表面的时间为．ｓ，所以。
同位置向流域出口断面汇集的。由于每个水滴的流如果净雨滴从其在流域上的注入点流达流域出口断域汇流时间不一样，所以，ｒ时刻注入的ｎ个水滴必面的汇流时间为三，那么净雨滴从降落至流域表面将在不同时刻到达流域出口断面，显然，只有那些流开始，最终在流域出口断面出现的时间ｒ应为
域汇流时间正好等于ｔ—ｒ的水滴能在ｔ时刻到达
Ｔ＝Ｓ＋三
（１１）
出口断面，从而组成了ｔ时刻的流域出口断面流前已分别给出随机变量ｓ和丁的分布密度为量［６］６。如果把满足这个条件的水滴所占据的面积计＾（ｓ）和ｆｏ（ｔ），如果用ｆＢ（ｔ）表示净雨滴流域汇流时
算出来，并用ａＡ（ｔ—ｒ）表示，那么这个面积与ｒ时间三的分布密度，并假设Ｓ与三相互独立，那么根
刻降雨强度ｉ（ｒ）的乘积，就是ｒ时刻净雨对ｔ时刻
据概率论中随机变数函数的分布理论【９Ｊ，由式（１１）
流域出口断面流量的贡献，即
可导得：
ｄＱ＝３Ａ（ｔ—ｒ）ｉ（ｒ）
（６）
ｒｔ
一场降雨由连续时刻的降雨组成，把一场降雨ｆＱ（ｔ）＝ｌ石（ｔ—ｒ）厶（ｒ）ｄｒ
中每一个时刻净雨对ｔ时刻出口断面流量的贡献都ｒｔ
或
计算出来，就可得到ｔ时刻出口断面的流量
Ｑ（ｔ）＝．『ｏ‘３Ａ（ｔ—ｒ）ｉ（ｒ）＝－『：曼掣ｆ（ｒ）ｄｒｆＱ（ｔ）＝Ｉ石（ｒ）＾（ｔ—ｒ）ｄｒ
（１２）
Ｑ（ｔ）＝Ｊ
Ａ（ｔ—ｒ）ｉ（ｒ）＝Ｊｏ里』Ｌ铲ｆ（ｒ）ｄｒ
将式（９）和式（１０）代入式（１２），并考虑流域汇流
阶段的水量平衡关系，得
（７）
ｒｔ
如果人流和出流均采用ｍ３／ｓ作单位，那么式
Ｑ（ｔ）＝Ｉ．厶（ｆ—ｒ）ｈ（ｒ）ｄｒ
ｏ
Ｕ
（７）又可写成：
∞）＝Ｊ：掣，（ｒ）ｄｒ（８）
ｒｔ
或
Ｑ（ｔ）＝Ｉ．厶（ｒ）ｈ（ｔ—ｒ）ｄｒ
（１３）
ｏ
Ｕ
比较式（１３）和式（５），可见式（１３）不仅是式（５）
式中：Ａ为流域面积；口（ｔ）：鱼半；，（ｆ）：小（ｔ）。
的概率论诠释，而且流域瞬时单位线ｕ（ｔ）就是净雨
滴流域汇流时间的分布密度ｆｅ（ｔ），即
行比较，不难得知式（８）中的掣即为流域汇流的
式（８）称为径流成因公式。将式（８）与式（５）进
ｕ（ｔ）＝ｆＢ（ｔ）
（１４）
式（１４）与Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ．Ｉｔｕｒｂｅ等［１０］于１９７９年基于
瞬时单位线，这就把流域瞬时单位线的物理意义揭
粒子弱相互作用下随机运动理论和流域水量平衡原
示出来了。
理导得的结果完全一致。
４单位线的概率论解释
５综合单位线
笔者［８］认为，大气中凝结成的水滴何时以降雨
１９３８年，Ｓｎｙｄｅｒ在研究美国Ａｐｐａｌａｃｈｉａｎ山地的
的形式降落到流域表面，可视为一随机事件，即雨滴暴雨径流时，为解决缺乏水文资料情况下Ｓｈｅｒｍａｎ
降落的时间Ｓ就是随机变量。因此，将净雨强度过单位线的确定问题，通过分析Ｓｈｅｒｍａｎ单位线的特
程ｈ（ｔ）作归一化处理，就成为雨滴降落时间Ｓ这一征值，如单位线峰值、单位线洪峰滞时、单位线总历随机变量的分布密度，用＾（ｓ）表示：
ｆｈ（ｓ）：石虬
时等与地形地貌参数，如流域面积、主河道长度、流
（９）
域中心至流域出口蜥面距离ｋ等之间的关系，建
Ｊ。ｈ（ｔ）ｄｔ
立了相应的经验公式¨１｜。１９６０年，Ｎａｓｈ为了将其创建的Ｎａｓｈ瞬时单位线应用于缺乏水文资料流域的降落在流域表面的净雨滴，经由坡地汇流和河流域汇流计算，针对英国资料，建立了其中参数凡网汇流将成为流域出口断面的流量过程。降落在流和ｋ与地形地貌之间的经验公式【ｌ域表面的净雨滴何时到达流域出口断面也可视作一２｜。此后，Ｒｏｓｓｏ又
随机事件，即雨滴到达流域出口断面的时间ｒ也是
从另外的角度得到了Ｎａｓｈ模型参数与Ｈｏｒｔｏｎ地貌
随机变量。因此，将流域出口断面流量过程Ｑ（ｔ）作
参数之间的经验性关系¨３｜。１９７８年，Ｂｏｄｙ在寻求概念性模型参数与地形地貌参数定量关系的研究中也
归一化处理，就成为随机变量净雨滴在流域出口断
面出现时间ｒ这一随机变量的分布密度，用而（ｔ）
做出了一些富有启发性的工作【１４］。这种由经验公表示：
式求得的单位线就称为综合单位线。
ｆｏ（Ｉ）：—趾Ｌ
无论是Ｓｎｙｄｅｒ还是Ｎａｓｈ以及其他后来者，在建
（１０）
立综合单位线时都是采用统计综合途径。统计综合Ｊｏ
Ｑ（ｔ）ｄｔ
途径的基本思想是…Ｊ：通过对水文过程和地貌过程
水利水电科技进展．２０１２，３２（２）Ｔｄ：０２５—８３７８６３３５Ｅ－ｍａｇ：．矗＠ｈｈｕ．ｅｄｕ．ｍ
ｈｕｐ．．／／ｋｋｂ．＾ｈ．础‘．ｍ
・３。
相互作用的观测和分析，寻找出影响水文过程特征的地形地貌参数，利用积累的观测或实验资料建立
两者的定量关系，或者通过对水文过程进行宏观考
的，因此其运动速度ｙ和所取的路径长度￡均为随机变量，而且￡和ｙ是相对独立的。根据概率论中随机变量函数的分布的理论，式（１６）中３个随机变量的分布密度应有如下关系［１６］：
ｒ”
量，构建能模拟水文过程的概念性水文模型，进而建立这类模型参数与地形地貌参数的定量关系。这种建立水文过程与地形地貌参数定量关系的途径，通常有两种具体实施方法：一是先给定两者之间的函数形式，然后确定其中的参数；二是采用某种模拟仿真计算，以隐式方式直接拟合两者关系，而无须事先给定它们之间的函数形式。属于前者的主要有统计回归分析和最优化方法；属于后者的主要有人工神
经网络算法等。
ｕ（ｔ）＝厶（ｔ）＝Ｉ”曙（ｖｔ）妒（＂）ｄｖ０
Ｊ
（１７）
式中：ｇ（ｚ）和妒（口）分别为随机变量的分布密度；秽一为流域中净雨滴的最大运动速度。
式（１７）表明，只要能得到ｇ（Ｚ）和妒（秽），就可按
此式推求流域瞬时单位线了。文献［１６］认为，ｇ（ｚ）
可由宽度函数给出，９（口）可通过坡度的分布密度求得。因为宽度函数和坡度分布密度表达的均为流域
由于统计综合途径只是从影响因素分析上，而不是从物理机制上探讨水文过程与地貌过程的定量关系，因此其对水文气象资料观测的依赖性较大，没
有足够数量的水文气象观测资料是难以得出有价值的分析成果的。在应用中，对其外延和移用也应十分慎重。
地形地貌特征，所以由式（１７）求得的瞬时单位线也
属于地貌瞬时单位线。
国外发表类似的研究成果比笔者的工作晚了
３年［ｔ７］。
７一些启示
单位线来自水文学家急切解决流域降雨形成出
６地貌瞬时单位线
６．１
口断面流量过程问题的强烈愿望，也是水文学家处理复杂的、特殊的流域汇流现象的一种灵感，而倍比性和叠加性假设则起到了“桥”的关键作用。单位线的成功应用及较好的普适性，说明了用倍比性和叠
加性架起的“桥”虽系“假设”，但已不自觉地切中了
Ｒ—Ｖ地貌瞬时单位线
１９７９年，Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ－ｌｔｕｒｂｅ等［１０］基于式（１４），应用概率论、水系地貌结构理论和水文学原理由Ｒｏｄｆｉｇｕｅｚ－Ｉｔｕｒｂｅ等导出了如下流域瞬时单位线的表
达式：
流域汇流现象的本质，符合了在许多情况下，净雨水滴从流域各处向出口断面汇集遵循倍比性和叠加性
的客观事实。
ｌ∈Ｓ
‘
厶（Ｉ）＝泓．（￡）＊厶（ｔ）＊…＊正。（ｔ）Ｐ（ｓ）
‘
’
（１５）
在线性条件下，流域单位线或瞬时单位线的唯一性就意味着净雨空间分布必须均匀。如果净雨空间分布不均匀，那么流域单位线或瞬时单位线就不可能唯一。事实上，暴雨中心在上游和下游，所得出
的流域单位线或瞬时单位线必然会有较大差别。因
式中：ｓ为“水滴”到达出口断面的状态路径；戈ｌ，髫２，…，张为组成该ｓ的状态，分别在各级河流状态和各级坡地状态中选择；正．（ｔ），正，（ｔ），…，正。（ｔ）为“水滴”在状态并ｌ，茹２，…，‰中持留时间的概率密度；Ｐ（ｓ）为“水滴”选择ｓ的概率；Ｓ为ｓ的集合。
式（１５）中之ｐ（ｓ）可由Ｈｏｒｔｏｎ地貌参数确定，五．（ｔ）（ｋ＝ｌ，２，…）可由“水滴”通过状态‰（ｋ＝ｌ，
２，…）的动力因子确定。
此，在给出流域单位线或瞬时单位线的定义时，绝对不可以漏掉“净雨空间分布均匀”这一重要前提。而
在实际应用中，原则上也必须要求净雨在流域上呈均匀分布。以往曾经有人提出应按暴雨中心位置率
由于在式（１５）的具体表达式中包含有地形地貌参数，故称所得到的瞬时单位线为地貌瞬时单位线。６．２概率组合地貌瞬时单位线
呈均匀分布并瞬时降落在流域上的无穷多雨滴中的任一个，总是要以一定的运动速度Ｖ通过￡长的路径到达流域出口断面的，因此，其流域汇流时间
ｒ必为
，
定单位线和使用单位线的问题，这实际上并不妥当，理论上也不可取。因为相同降雨量的暴雨，空间分布是不尽相同的，再者暴雨中心位置的量化也是一件十分困难的事。为了满足使用单位线的条件，笔者认为不应是按暴雨中心位置给出单位线，而是应对使用单位线的流域面积大小进行限制，采用划分单元流域或子流域的方法，使净雨在单元流域或子流域上的空间分布尽可能均匀。
ｒ＝吉
ｒ
（１６）
瞬时单位线概念的建立是单位线在理论上的重
由于任一雨滴什么时间降落到流域可视为随机
・４・
水利水电科技进展。２０１２。３２（２）
大提升。由于瞬时单位线不受时段长短的影响，它
榭：０２５—８３７８６３３５
Ｆ，－ｍａ／／：ｊｔＯ／ｄｕ，．ｔｄｕ．ｍ／ａ妒：／／Ｍ６．№．出．ａＩ
必然综合反映了流域汇流特性，主要考虑了下垫面条件及其空间分布对流域汇流的影响。从物理学和
概率论所作的揭示表明，流域瞬时单位线实质上就
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ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
是均匀分布降落在流域上的无穷个净雨水滴汇集至流域出口断面所形成的时间一面积曲线或汇流时间概率密度，首先对此作出贡献的水文学家是Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ－Ｉｔｕｒｂｅ［１０］，他原本学习理论物理，在攻读博士学位时毅然选择了水文学。所以，单位线理论的提升是水文学中通过学科交叉获得成功的范例之一。
单位线法与等流时线法是差不多同时代展现在
Ｉ，ＶＡＬＤＥＳＪ
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滴占全部水滴的比重，也即水滴运动速度相同情况下与该时段相应的等流时面积占全流域面积之比重。可见。在一定条件下，单位线法与等流时线法是可以互相转换的。这就不难发现人们早先对这两个方法优缺点评论的物理本质了。之所以单位线法的
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优点是考虑了流域调蓄作用，而缺点是只适用于降
雨空间分布均匀的情况，就是因为它是针对流域整
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Ｏｎ
体，而不必限定水滴运动速度相同。之所以等流时线法的优点是能适应降雨空间分布不均匀的情况，
而缺点是不能考虑由于水滴运动速度不同而导致的
［１８］ＲＵＩ
Ｘｉａｏ－ｆａｎｇ，ＹＵ
ｗａｔｅｒｓｈｅｄｆｌｏｗｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｂａｓｅｄ
ｔｈｅ鲥ｄ
ｄｍｐｃｏｎｃｅｐｔ
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（收稿Ｉ：１期：２０Ｉｉ一１２—２６编辑：马敏峰）
流域调蓄作用，就是因为它要求水滴运动速度相同。但不必将流域作为一个整体。笔者提出的“基于网
格水滴流域汇流计算方法”¨８Ｊ就是一种吸取单位线法和等流时线法之优点，同时又能排除两者之缺点的汇流计算方法。参考文献：
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ＣＩ．Ｌｉｎｅａｒｔｈｅｏｒｙ
０ｆｈｙｄｒｏｌｎｇｉｃ
・简讯・
第８届中国土工合成材料学术会议
将在天津召开
由中国土工合成材料工程协会、国际土工合成材料学会中国委员会主办，天津大学、中交天津港湾
ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．
Ｙｏｒｋ：
ＷａｓｈｉｎｇｔｏｎＤ．Ｃ．：ＵＳＤＡ，１９７３．
ＶＴ．Ｈａｎｄｈ）ｏｋｏｆａｐｐｌｉｅｄ
工程研究院承办的第８届中国土工合成材料学术会议将于２０１２年５月２３—２５日在天津召开。会议主题为土工合成材料工程与可持续发展。主要议题包
括：土工合成材料的基本原理与特性，土工合成材料
ｈｙｄｒｏｌｏｇｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ
ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ。１９６４．
ＣＯ．Ｓｔｏｒａｇｅａｎｄｔｈｅｕｎｉｔ
ｈｙｄｒｏｇｒａｐｈ［Ｊ］．Ｔｒａｍｍｃｔｉｏｍ
设计理论与标准，土工合成材料应用、施工、测试技术，自然灾害的工程措施，土工合成材料产品研发成
果，土工合成材料生产工艺技术与设备改进。土工组
ｏｆｔｈｅＡｍｅｒｉｃａｎＳｏｃｉｅｔｙｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｓ。１９４５．１１０：１４１９・１４４６。
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Ｄ，ＣＲＯＳＳＷＰ．Ｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆａｐｐｌｉｅｄｈｙｄｒｏｌｏｇｙ
Ｙｏｒｋ：ＲｏｎａｌｄＰｒｅｓｓ，１９４９．
合系统（土工管、土工袋等）以及国内外土工合成材料工程实例介绍。参会报名截止日期为２０１２年５月２２日。论文投稿邮箱：ｃｔａ９２０１２＠１６３．ｃｏｍ。会议
网站：ｈｔｔｐ：／／ｃｔａｇ．ｏｒｇ．ｃｎｏ
（本刊编辑部供稿）
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水利水电科技进展．２０１２．３２（２）Ｔｅ／：０２５—８３７８６３３５
Ｅ－ｓａ／／：＃＠Ｍｕ＊．幽．ｍ脚：／／／ｄｒ．ｂ．批．池．ｍ
。５・
单位线的发展及启示
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
芮孝芳， 刘宁宁， 凌哲， 梁霄， RUI Xiao-fang， LIU Ning-ning， LING Zhe， LIANG Xiao河海大学水文水资源学院,江苏南京,210098
水利水电科技进展
Advances in Science and Technology of Water Resources2012,32(2)
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