浅谈分式方程的增根与无解

浅谈分式方程的增根与无解

甘肃民族师范学院 武学鹏

摘要 增根和无解始终贯穿于学习分式方程的整个过程中，它们虽然是两个不同的概念，却也有着微妙的联系.初学者对于这两个概念总是难以区分，本人试图引入几个例子，对这两个概念尤其是增根作一些注解.

关键字 分式方程；增根；无解；注解 Discuss the extraneous roots and the no solution of fraction equation Abstract :extraneous roots and no solution is always running through the whole process of learning fraction equation, though they are two different concepts, it has a subtle connections. It always difficult to distinguish for beginners of this two concepts, I tried to introduce a few examples of these two concepts. I will do some notes for this two concepts especially extraneous roots . Key words :fraction equation; The root; no solution; comments 分式方程的增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形过程中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.而分式方程无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.

1.对分式方程解的讨论

例1.解方程1

x32 x22xx2

解 方程两边同时乘以x(x-2)，消去分母,可得(x-2)+3x=-2.

解这个整式方程，得x=0.

这样，得到方程的解是x=0的结论.

可是很显然，x=0并不是原分式方程的解，因为它不能使方程的两边相等.这只要把x=0代入原分式方程验证即可.当x=0时，原方程中有的项的分母为0，没有意义.

我们的求解过程是完全正确的，并没有出任何的差错.为什么会出现这样的情况呢？

其实，分式方程中未知数x的取值范围是x≠0且x≠2，去分母化为整式方程后，未知数x的取值范围扩大成了全体实数.这样，从整式方程解出的未知数的值就有可能不是原来分式方程的解.

由例1可以看出，把分式方程变形为整式方程这种变形过程，并不能保证两个方程的解相同.

那么,如何知道从整式方程解出的未知数的值是不是原分式方程的解呢？

其实很简单，检验即可.可以把从整式方程解出的未知数的值逐个代入去分母时方程两边所乘的那个公分母中，看是否使公分母等于0。如果公分母等于0，则说明这个值是增根；否则就是原方程的解.

所以，这个题中x=0就是增根，故而原方程无解.

原方程为什么会无解呢？其实，无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.

在例1 中，由于不论x取何值，都不能使分式方程两边的值相等，因此原方程无解.

2．分式方程增根和无解的隶属关系

是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？

其实也不然,有增根的分式方程不一定无解，而无解的分式方程也不一定有增根.请看下面两个例子.

例2.解方程2x2x12 x1xxx

解 去分母，整理，得(x-3)(x+1)=0，

解得x=3或x=-1。

此时，虽然 x=-1是增根，但原方程并不是无解的，因为该方程还有一个解x=3.

例3.解方程x20 x

经过去分母，整理，可得到2等于0 的谬论.所以原方程无解，但原方程也没有增根.

3.避免增根的方法

增根对于初学者来说，显然是一个很难理解的概念.有没有办法可以避免增根呢？

这里，本人有一种解法.不过解起来比较费劲，有时划不来，还不如解后再检验.试看下面的例子.

例4.解方程2x2x12 x1xxx

2x2x120 解 把右边化为0，得，x1xxx

2x22(x1)2左边通分，得0 x(x1)

x22x3即0 x(x1)

分子分解因式，再约分，得

由分子x-3=0，得x=3. x30 x

这样，增根x=-1就没有出现.

4.利用增根解决分式方程的有关问题

增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解.如上面例1中，分式方程的增根x=0，它虽然不是分式方程的解，但却是去分母后所得整式方程的解.利用这种关系可以解决分式方程的有关问题.

例5.已知关于x的方程12k2有增根，求k的值. x1x2xx2

解 原方程去分母，化为 (x+2)+2(x-1)=k，

因为原方程的最简公分母是(x-1)(x+2)，所以方程的增根可能是x=1或x=-2.

若增根为x=1，代入整式方程，得3- k=0，即k=3；

若增根为x=-2，代入整式方程，得0-6=k，即k=-6.

故当k=3或k=-6时，原方程会有增根.

5.无解与增根关系的妙用

虽然无解的分式方程不一定有增根，但有增根的分式方程却也不一定无解.可以看出，无解与增根之间有种微妙的关系.

增根与无解都经常出现在分式方程中，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根.

例6.已知关于x的方程xmm无解，求m的值. x3

解 把原方程化为x + m = m(x-3)，分两种情况讨论.

（1）若上面的整式方程无解，则原方程也无解.整式方程可化为 (1-m)x=-4m，当1-m=0而-4m≠0时，整式方程无解，此时m=1.

（2）若整式方程有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当整式方程的解为x=3时原方程无解.把x=3代入整式方程，得3+m=0，故m=-3.

综合（1）（2）可知，当m=1或m=-3时，原方程无解.

6.对“增根”的个人看法

解分式方程必须验根,检验目的是为检验所求的根是否为原方程的增根，并不是检验是否为原方程的根.要判断所求出的解是否为原方程的根应该把求出的结果直接代入到原方程中检验.因此分式方程一定要验根是指分式方程一定要验证是否为增根.比如下面的例子. 例7.解方程2x12 x33x

经过去分母等变形求解可得x=3，然后需把x=3代入到方程的分母中，检验分母是否为0.本题中分母x-3为0，根据增根的定义可知，x=3是原方程的增根，应舍去. 另外，若采用下面的变形：2x12 x33x

3x2 即 x3

约分后得到-1=-2的谬论，所以原方程无解.

也就是说，无论x取什么值，原方程都不能成立.而由第一种解法求得的x=3使得原分式方程的分母为0，按照教材规定，x=3为原分式方程的增根.

7.对初学者学习“增根”的建议

通过上面的讨论，我建议初学者将教材中的 “增根”理解为“假根”.假，含有不是的意思.假根之意，其实不是根，这样学生可能更容易接受“增根应该舍去、不是原方程的根”这一说法.我认为，所

求出的使分式方程的分母为0的根好像是原方程的根，但又使分式方程的分母为0，分式变得无意义了，因此，这样的根不是原分式方程的根，而是假根，应该舍去，所以把“增根”理解为“假根”是无可厚非的.

参考文献:

[1]黄英俊.分式方程的增根的教学比较.广西.广西师范大学.2009

[2]王修明.分式方程与增根初中数学教与学.2009

制作整理:蓝天飞扬

浅谈分式方程的增根与无解

甘肃民族师范学院 武学鹏

摘要 增根和无解始终贯穿于学习分式方程的整个过程中，它们虽然是两个不同的概念，却也有着微妙的联系.初学者对于这两个概念总是难以区分，本人试图引入几个例子，对这两个概念尤其是增根作一些注解.

关键字 分式方程；增根；无解；注解 Discuss the extraneous roots and the no solution of fraction equation Abstract :extraneous roots and no solution is always running through the whole process of learning fraction equation, though they are two different concepts, it has a subtle connections. It always difficult to distinguish for beginners of this two concepts, I tried to introduce a few examples of these two concepts. I will do some notes for this two concepts especially extraneous roots . Key words :fraction equation; The root; no solution; comments 分式方程的增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形过程中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.而分式方程无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.

1.对分式方程解的讨论

例1.解方程1

x32 x22xx2

解 方程两边同时乘以x(x-2)，消去分母,可得(x-2)+3x=-2.

解这个整式方程，得x=0.

这样，得到方程的解是x=0的结论.

可是很显然，x=0并不是原分式方程的解，因为它不能使方程的两边相等.这只要把x=0代入原分式方程验证即可.当x=0时，原方程中有的项的分母为0，没有意义.

我们的求解过程是完全正确的，并没有出任何的差错.为什么会出现这样的情况呢？

其实，分式方程中未知数x的取值范围是x≠0且x≠2，去分母化为整式方程后，未知数x的取值范围扩大成了全体实数.这样，从整式方程解出的未知数的值就有可能不是原来分式方程的解.

由例1可以看出，把分式方程变形为整式方程这种变形过程，并不能保证两个方程的解相同.

那么,如何知道从整式方程解出的未知数的值是不是原分式方程的解呢？

其实很简单，检验即可.可以把从整式方程解出的未知数的值逐个代入去分母时方程两边所乘的那个公分母中，看是否使公分母等于0。如果公分母等于0，则说明这个值是增根；否则就是原方程的解.

所以，这个题中x=0就是增根，故而原方程无解.

原方程为什么会无解呢？其实，无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.

在例1 中，由于不论x取何值，都不能使分式方程两边的值相等，因此原方程无解.

2．分式方程增根和无解的隶属关系

是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？

其实也不然,有增根的分式方程不一定无解，而无解的分式方程也不一定有增根.请看下面两个例子.

例2.解方程2x2x12 x1xxx

解 去分母，整理，得(x-3)(x+1)=0，

解得x=3或x=-1。

此时，虽然 x=-1是增根，但原方程并不是无解的，因为该方程还有一个解x=3.

例3.解方程x20 x

经过去分母，整理，可得到2等于0 的谬论.所以原方程无解，但原方程也没有增根.

3.避免增根的方法

增根对于初学者来说，显然是一个很难理解的概念.有没有办法可以避免增根呢？

这里，本人有一种解法.不过解起来比较费劲，有时划不来，还不如解后再检验.试看下面的例子.

例4.解方程2x2x12 x1xxx

2x2x120 解 把右边化为0，得，x1xxx

2x22(x1)2左边通分，得0 x(x1)

x22x3即0 x(x1)

分子分解因式，再约分，得

由分子x-3=0，得x=3. x30 x

这样，增根x=-1就没有出现.

4.利用增根解决分式方程的有关问题

增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解.如上面例1中，分式方程的增根x=0，它虽然不是分式方程的解，但却是去分母后所得整式方程的解.利用这种关系可以解决分式方程的有关问题.

例5.已知关于x的方程12k2有增根，求k的值. x1x2xx2

解 原方程去分母，化为 (x+2)+2(x-1)=k，

因为原方程的最简公分母是(x-1)(x+2)，所以方程的增根可能是x=1或x=-2.

若增根为x=1，代入整式方程，得3- k=0，即k=3；

若增根为x=-2，代入整式方程，得0-6=k，即k=-6.

故当k=3或k=-6时，原方程会有增根.

5.无解与增根关系的妙用

虽然无解的分式方程不一定有增根，但有增根的分式方程却也不一定无解.可以看出，无解与增根之间有种微妙的关系.

增根与无解都经常出现在分式方程中，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根.

例6.已知关于x的方程xmm无解，求m的值. x3

解 把原方程化为x + m = m(x-3)，分两种情况讨论.

（1）若上面的整式方程无解，则原方程也无解.整式方程可化为 (1-m)x=-4m，当1-m=0而-4m≠0时，整式方程无解，此时m=1.

（2）若整式方程有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当整式方程的解为x=3时原方程无解.把x=3代入整式方程，得3+m=0，故m=-3.

综合（1）（2）可知，当m=1或m=-3时，原方程无解.

6.对“增根”的个人看法

解分式方程必须验根,检验目的是为检验所求的根是否为原方程的增根，并不是检验是否为原方程的根.要判断所求出的解是否为原方程的根应该把求出的结果直接代入到原方程中检验.因此分式方程一定要验根是指分式方程一定要验证是否为增根.比如下面的例子. 例7.解方程2x12 x33x

经过去分母等变形求解可得x=3，然后需把x=3代入到方程的分母中，检验分母是否为0.本题中分母x-3为0，根据增根的定义可知，x=3是原方程的增根，应舍去. 另外，若采用下面的变形：2x12 x33x

3x2 即 x3

约分后得到-1=-2的谬论，所以原方程无解.

也就是说，无论x取什么值，原方程都不能成立.而由第一种解法求得的x=3使得原分式方程的分母为0，按照教材规定，x=3为原分式方程的增根.

7.对初学者学习“增根”的建议

通过上面的讨论，我建议初学者将教材中的 “增根”理解为“假根”.假，含有不是的意思.假根之意，其实不是根，这样学生可能更容易接受“增根应该舍去、不是原方程的根”这一说法.我认为，所

求出的使分式方程的分母为0的根好像是原方程的根，但又使分式方程的分母为0，分式变得无意义了，因此，这样的根不是原分式方程的根，而是假根，应该舍去，所以把“增根”理解为“假根”是无可厚非的.

参考文献:

[1]黄英俊.分式方程的增根的教学比较.广西.广西师范大学.2009

[2]王修明.分式方程与增根初中数学教与学.2009

制作整理:蓝天飞扬