高斯滤波器和2RC滤波器

第五章 高斯滤波器

5.1介绍

高斯滤波器被广泛应用于表面轮廓分析。美国标准（美国机械工程师协会2002）和国际标准（国际标准化组织1996）都对它进行了阐述。高斯滤波器的权重函数（滤波器在时域和空间域的定义）如下：

S x =αλcexp⁡[−π(αλc2] 5.1 式子中α= =0.4697,x是权重函数距离原点的位置，λc是粗糙度中长波波长的截止频率。

通过对连续函数S x 进行傅里叶变换可以得到函数的传递特性，变化如下： Sf λ =∞ −∞1xS x eiλxdx=∞1 −∞αλce[−π(x2)]αλceiλxdx=e[−π(αλc2)]λ 5.2 从等式5.2,能够看出该正弦波振幅有衰减，其波长截止波长(λ=λc)是0.5,因此在截止处，滤波器传递了50%。下面的例子展示了，在给定权重函数下，其高斯滤波器传递曲线的样子。

范例5.1 在给定空间域λc≤x≤λc下，描绘高斯滤波器S。其中让λc=0.8mm，采样间隔∆x=1μm。

下面是MATLAB生成的代码，并且其所描述的图展示在(图5.1 a)。

图5.1 a绘制高斯滤波器；λc=0.8mm，b高斯滤波器传递特性

lambdac=0.8; % in mm

dx=0.001; % in mm

x=(-lambdac:dx:lambdac)’;

alpha=0.4697;

S=(1/(alpha*lambdac)).*exp(-pi*(x/(alpha*lambdac)).^2);

% generate the Gaussian filter

S=S/sum(S); % normalize to unit sum

plot(x,S);

xlabel(’Distance (mm)’);

ylabel(’Weighting function’);

范例5.2 产生高斯滤波器S的振幅传输特性，并且评估正弦波的振幅传输特性，其截止波长(λc=0.8mm)。

高斯滤波器的传递特性能够同样获得，通过借助第四章4.4范例所示的矩形滤波器例程。传递特性如图5.1b所示。该正弦波由0.8mm波长组成，其振幅衰减为0.5(Sf的阵列元素有11个)。因此高斯滤波器在截止频率处，传输量为50%。注意在图5.1b所示的传递特性中，可以清楚的看到，在其截止频率处有一个坡度过程，并没有直上直下的锋利过渡。这意味着滤波器不能立刻抑制所有波长小于截止频率的波长，而是在截止频率处使它们逐渐变弱。这个传递特性也能够被描述通过直接对等式5.2采样。

m=size(S,1); % length of Gaussian filter

l=8; % length of a profile is assumed to be 8 mm

n=l/dx; % number of profile points

S=[zeros(n/2-floor(m/2),1); S; zeros(n/2-floor(m/2)-1,1)];

% center the filter and zero-pad to 8000 long

Sf=fft(S); % DFT of S

j=(2:1:floor(n/2)+1)’;% generate wavelength array for X axis of

% transmission plot

wave=n*dx./(j-1);

semilogx(wave,100*abs(Sf(2:floor(n/2)+1,1)));

xlabel(’Wavelength (mm)’);

ylabel(’Amplitude (%)’);

5.2高通和低通滤波器

迄今为止描述的滤波器都是低通滤波器，因为它只能传递低频部分(波长大于截止波长)。第3章和第4章所描述的矩形滤波器和步进滤波器也都是低通滤波器。低通滤波器是一个平均滤波器因为它能产生一个光滑的轮廓。一个滤波器也能够被设计成只传输高频的信号。这种滤波器是众所知周的高通滤波器。高斯高通滤波器的传递特性如下

Sf λ =1−e(−π αλc2)λ⁡ 5.3

这个高通高斯滤波器在截止波长处也传递50%。这是很重要的，因为它阐释了高斯低通和高通在传递上的互补性。这可以表明高频信号与低频信号的差异仅仅表现在原始轮廓。因此用两种不同滤波器同时捕捉高频和低频信号是没有必要的。

5.3用高斯滤波器量化粗糙度、波纹度和形状

滤波器的输出是粗糙度，波纹度还是形状（三者为专业术语），取决于滤波器的类型（高通或者低通）和截止波长的阈值。如之前第3章所述，因为粗糙度，波纹度还是形状都有自己明确定义的带宽范围，所以构造带宽的上限和下限截止波长要符合各自要求。ASME B46.1标准中定义截止波长λcw作为波纹度的长波截止波长，λsw作为波纹度的短波截止波长，λc作为粗糙度的长波截止波长，λs作为粗糙度的短波截止波长。λc的选择等于λsw。ASME B46.1与ISO 11562两者都已经给出了截止波长的推荐阈值。除此之外，他们也提供了进一步的指导对于截止比率的选择。例如，选择λc与一个适当的 λc/λs比率将限制探针的大小 (美国机械工程师协会2002)。

滤波器与截止波长λs相关联构成低通滤波器，与此相对应滤波器与截止波

长λc相关联，则构成一个高通滤波器。上述这对滤波器应用到轮廓上输出的是粗糙度。如果想获得波纹度需要调整到λsw(低通)λcw(高通)。形状通常包含了所有大尺寸波长，因此下端的截止波长为λf，通常来说这样就足够了。但值得注意的是在ASME B46.1标准中并没有定义λf。图5.2举例说明了上述滤波器的不同。

图5.2划分粗糙度轮廓、波纹度轮廓、形状轮廓的五种滤波器的传递特性

(λs=25um,λc=0.8mm,λsw=0.8mm, λcw=8mm, λf=8mm)

综上所述，很显然根据粗糙度或者波纹度的定义，我们需要两个滤波器同时操作来获得。然而事实上有些简单化的公共认可，这样通过一个信号的滤波操作也可以简单的获得粗糙度或者波纹度。首先，截止波长为λs的低通滤波器有时可以被忽略，或者用自动滤波器仪器的初始数据。其次一种情况是，轮廓长度通常并没有足够的长度去捕捉形状，因此截止波长λcw的高通滤波器并没有用到。最后一种状况是，在第5.2部分已经有所提及，利用高斯低通和高通滤波器的互补定义，可以用一个滤波器来评估粗糙度和波纹度(截止波长λc的高通或者低通)。

总的来说，粗糙度轮廓能够通过用一个截止波长为λc的高通滤波器去过滤原始轮廓来获得。波纹度轮廓与原始轮廓和粗糙度轮廓的区别是很简单的。在原始轮廓上应用高斯低通滤波器λsw就以获得波纹度的表面轮廓。同样的这也是粗糙度轮廓与波纹轮廓和原始轮廓之间的区别。无论怎么做，两者产生的结果是一样的。

5.4截止波长的影响

当λc增加，粗糙度轮廓的带宽将变大，因此应该增加振幅参数，例如Ra，来计算粗糙度轮廓。另一方面，同样的截止波长将导致波纹度轮廓中的一些波长被移除，作为这个结果应该在计算波纹度轮廓时，减小振幅参数Wa

5.5相位特性

我们已经非常详细的研究了高斯滤波器的振幅传递特性，但是对于相位特性我们还没有提及。高斯滤波器并不会使两个不同波长的正弦波产生相对的相位改变。换句话说，每一个进入滤波器的正弦波形都会复现它进入时的相位特性，并不会发生相位改变。这种相位不变的特性，也正是高斯滤波器的最大优点。

5.6总结

高斯滤波器可能是今天被用的最广泛的滤波器。我们本章复习了它的定义和实现方法。我也讨论了高通和低通滤波器的定义。而且我们还讨论了高斯高通和低通滤波器是如何互补的，因此用两个滤波器操作获得粗糙度和波纹度是多余的。高斯滤波器的相位不变性，使得它的输出不会扭曲变形。

练习

5.1通过对公式5.2的连续采样生成一个高斯低通滤波器曲线。假设λc=0.8mm，采样间隔∆x=1μm。和图5.1 b对比两者相同吗？

5.2生成一个如图5.2所示的图，假设轮廓长度是1,000mm，采样间隔为∆x=1μm，截止波长参考图5.2所示。

5.3写一个高斯函数文件 myGaussian.m，调用该函数需要给两个参数——间隔和截止波长（两者单位相同）,然后函数产生一个高斯低通滤波器，这个高斯函数是经过归一化的，为了使所有的权重统一。

5.4用截止波长0.8mm的高斯低通滤波器滤波2mm波长振幅为1μm的曲线z1, 利用高斯滤波器的振幅传递曲线观察振幅衰减情况。采样间隔参数为∆x=1μm。用同样的滤波器滤波0.5mm波长振幅为0.5μm的曲线z2,观察其振幅衰减状况。

5.5根据练习5.4和已知高斯滤波器的相位特性，计算并绘制滤波输出，高斯滤波器的滤波轮廓为练习5.4讨论的两个正弦波之和。

5.6用空间卷积验证练习5.4的结果。并用5.3制作的高斯滤波函数生成这个滤波器。

5.7用频域积分验证练习5.4的结果。为了这个窗口能均匀排放这8000长度的数组，需要在高斯滤波器的空间域填补零点。然后对滤波器和轮廓执行DFTs，进行逐项积分。用反向DFT 进行评估并提取相关部分补偿相位(看4.6的例子)。这个波纹度轮廓一定是和5.5与5.6中产生的轮廓相同，除了在边缘上可能有少许差别。

5.8用空间卷积方法过滤练习3.1中的轮廓z，用三种不同截止波长的低通高斯滤波器，分别是0.5mm,0.8mm和2mm。从波纹度轮廓w 上截取截止长度的一半。n w(i) 计算波纹度轮廓w中的Wa。其中Wa被定义为Wa=w(i)是波纹度数n组的第i个元素，n是数组w的长度。随着截止波长的增加是Wa增加还是减小，为什么？

参考文献

美国机械工程协会2002,ASME B46.1-2002,表面纹理(表面粗糙度，波纹度和花纹),ASME.美国.纽约

国际标准化组织1996,ISO11562:1996，几何产品规格(GPS)-表面纹理：轮廓方式-滤波器相位调整特性，ISO,瑞士,日内瓦

第6章 2RC滤波器

6.1引言

最早用于表面测量的滤波器是2RC滤波器。这种滤波器早期由硬件构成，现在已经可以方便使用软件执行。2RC滤波器并不是一个线性相位的滤波器，并且对粗糙度和波纹度两个滤波器需要区分来看待。尽管2RC滤波器很早就被应用于表面轮廓滤波，但是却在高斯滤波器之后来讨论它，是因为这种滤波器在执行时更具有挑战性的问题存在。ASME B46.1标准(美国机械工程协会2002)对2RC滤波器有所提及，但是国际标准中并没有涉及该滤波器。

6.2 2RC高通滤波器

从历史上来看，2RC滤波器仅仅被用于从原始轮廓中提取粗错度轮廓，因此文献报道中一般仅提供了2RC的粗糙度滤波器的权重函数。为了获取表面的波纹的轮廓，需要一个单独的波纹度权重函数(看练习6.1)。高通粗糙度滤波器的权重函数如下：

S x = 2−Aλc exp⁡(−Aλc 6.1 λcA x x 其中A=3.64，x是权重函数距离原点的位置，λc是粗糙度长波的截止波长。高通滤波器的传递特性可以通过对其连续传递函数S(x)做傅里叶变换可以获得： Sf λ =(1−jk−2) 6.2 λcλ其中k=1/ 并且j= 6.1的权重函数是很重要的。权重函数提供了一个轮廓的高频组成部分，但是空间卷积也是很重要的，它是一个平均处理的过程。对等式6.1的权重函数进行卷积，将得出一个“二等分线”。二等分线和粗糙度轮廓是有区别的。然而从公式6.1并不能很清楚的看出两者的区别，如果读者对此很感兴趣，可以看6.3节，此节将对这个问题作出解释。

2RC滤波器在截止波长处的振幅衰减是75%。从公式6.2推断此时λ=λc。并且滤波器不具有相位不变的特性。这意味的不同波长的正弦波其输出相位会有不同程度的偏移量。这将导致在输出轮廓上出现失真，因此这并不是一个有用的特性。尽管受此限制2RC滤波器仍然被用了许多年，因为那时候的数字滤波器不能识别表面轮廓的起点。下面的例子展示了2RC滤波器的这些方面。

例子6.1绘制权重函数，振幅传输图，高通2RC滤波器的相频特性图。假设截止波长λc=0.8mm。

2RC滤波器的权重函数被生成在−2λc≤x≤0，因为这个滤波器关于原点并不对称。事实上，滤波器在原点前沿是单边的。

传递特性能够用很多种方式生成，在这个例子中，我们将直接对公式6.2采样。图6.1 a-c分别展示了2RC滤波器的权重函数、振幅传输和相频特性。 lambdac = 0.8; % 截止波长单位 mm

dx = 0.001; % 间隔单位 mm

A = 2 pi/sqrt(3);

x = (-2 lambdac:dx:0)’;

for j=1:1:length(x) % 生成权重函数

S(j,1)=(A/lambdac) (2-(A/lambdac)*abs(x(j)))*

exp(-(A/lambdac) abs(x(j)));

end

S = S/sum(S); % 单位归一化处理

plot(x,S)

xlabel(’Distance (mm)’);

ylabel(’Weighting function’);

lamda = (0.002:0.001:8)’; % 生成波长轴

Sf = (1-i 1/sqrt(3). (lamda/lambdac)).^(-2);

% 对公式6.2连续采样

semilogx(lamda,100*abs(Sf)); % 取绝对值

% amplitude transmission

xlabel(’Wavelength (mm)’);

ylabel(’Amplitude (%)’); % 绘制振幅用“%”

semilogx(lamda, angle(Sf)); % 用角度绘制相位

xlabel(’Wavelength (mm)’);

ylabel(’Phase (radians)’); % 绘制相位单位弧度

图6.1 a 两电阻两电容(2RC)滤波器的权重函数 b 振幅传输特性 c相位特性

例子6.2 用截止波长为0.8mm高通2RC滤波器，按3.1范例中所述的空间卷积方法生成一个滤波轮廓z

2RC高通滤波器关于原点并不对称。因此这个滤波器不得不在卷积的时候做一个关于原点的镜像来完成卷积过程(回想一下卷积镜像操作的定义；用这个建立的镜像来做卷积和多项式相乘)。并且卷积后的轮廓长度为n+m-1，其中n是原始轮廓的长度，m是滤波器数组的长度。就对称的滤波器来说，

来自卷子阵列

中心的n个元素代表了波纹度轮廓，但是就2RC滤波器来说，n个元素代表二等分线。这是因为滤波器数组的原点占有的权重比例最大，并且它是滤波轮廓的起始点。在轮廓结束端，当滤波器从表面记录时，滤波器的前部是在轮廓表面外边的，这时已经不能评价一个真实的平均移动了。就高斯滤波器来说，权重最大的点是对称排列在中间的，并且卷积阵列的中心点在波纹度轮廓时，是被剔除的。图6.2 a展示了原始轮廓，并且和一个二等分线轮廓。图6.2 b展示了粗糙度轮廓。

图6.2 a用2RC高通滤波器生成的轮廓z和二等分线。b 用2RC高通滤波器生成的轮廓z和粗糙度轮廓

dx = 0.001;

l = 8;

n = l/dx;

x = (0:dx:l-dx)’;

z1 = 1 sin(2 pi. x/2); % amplitude 1 um, wavelength 2 mm

z2 = 0.5 sin(2 pi. x/0.5); % amplitude 0.5 um, wavelength 0.5 mm

z = z1 + z2;

S = flipud(S); % mirror the non-symmetric weighting

% function

C = conv(S, z); % conv performs a second flip before

% moving average

MeanLine = C(1:n); % extract the first n points

r = z-MeanLine;

plot(x,z,’r’,x,MeanLine,’b’);

xlabel(’Distance (mm)’);

ylabel(’Amplitude (\mum)’);

plot(x,z,’r’,x,r ,’b’);

xlabel(’Distance (mm)’);

ylabel(’Amplitude (\mum)’);

6.3 2RC滤波器的深入介绍

早期使用的2RC滤波器是实时性的。当仪器经过轮廓表面，轮廓上的点以电压信号(Vin)被输入到2RC电路网络。滤波后的信号通过电压(Vout)被输出，并且经过处理转变为高度单位。一个一介的RC滤波器的传递函数(Hf1=Vout/Vin)能够从任何标准的电气工程教科书上获得，其表达式如下：

Hf1=1+jRCw 6.3

其中ω是频率表达是ω=2π/λ，j= R和C分别是电阻和电容。这个传递函数表达了滤波器的传递特性，并且是在频域被定义的(因此，我们根据习惯把这里的f写成Hf)。图6.3展示了一个二介电路网络，其传递函数是一介电路网络函数的平方，因此其公式如下：

Hf2=VVinjRCw=Hf12=(1+jRCw2 6.4 jRCw

2RC滤波器定义了其截止频率λc处的传输为75%。RC的取值在满足这种情况下能够获得通过如下公式。将ω=2π/λ带入等式6.4中，推到得

Hf2 =展开化简并计算得：

RC=λc 2π2=3/4 6.5 6.6

为了在空间域实现这个滤波器，我们需要一个权重函数的表达式。我们能够通过对传递函数进行逆变换来得到这个权重函数。让我们改写这个传递函数：

Hf2=(1−1

jRCω2=1−2RC1jωRC+1(RC)(1jω)2RC 6.7

对其进行傅里叶变换得：

H t =δ t −RC 2−RC e 6.8 其中δ t 是单位脉冲。

H(t)是2RC滤波器的脉冲响应，其由两部分组成，一个部分是单位脉冲，另一部分是随时间变化的指数。时变部分产生直流部分，脉冲产生瞬时交流部分。DC部分的权重函数能够通过对上式的RC值取代来获得，其公式如下：

S x =λC 2−λC e

其中A

=AxA−xAλC1t−tRC, 0≤x

图6.3 RC电路网络 C是电容，R是电阻，Vin输入电压信号，Vout输出电压信号

脉冲响应回答了一个疑问，那就是早期为什么高通2RC滤波器只提供二等分线的权重函数。这是显而易见的，权重函数仅仅捕捉了脉冲响应的DC组成部分。但是瞬时AC响应的组成(粗糙度轮廓)与原始轮廓和DC二等分线相比是有区别的。

最后提及一下，在75%条件下取代RC值的传递函数如下：

Hf2=(jRCω

1+jRCω2=1

(12 6.10

6.4 2RC滤波器和高斯滤波器的比较

一个表面轮廓的例子(d_med-Type D roughness specimen)能够被下载，从美国国家标准技术研究所(NIST)基于表面测量测试系统算法的网站上(美国国家标准技术研究所；Bui 和 Vorburger 2007)。在载入MATLAB之前，要删除开头和结尾的信息(开始的15行和结尾的后2行)。这个轮廓被滤波用一个高斯低通滤波器，其截止波长在0.8mm。这个同样的轮廓被滤波用一个2RC高通滤波器在相同的截止波长。原始轮廓和高斯波纹度轮廓被展示在图6.4a。可以观察到，这个波纹度在波峰和波谷处是没有相位失真的。相应对俄粗糙度轮廓被展示在图6.4b。

原始轮廓和用2RC产生的二等分轮廓(不是波纹度轮廓)，在截止波长为

0.8mm时的图像被展示在图6.4c。可以观察到，二等分轮廓移动了一个相位。粗糙度轮廓被展示在图6.4d，因为相位偏移出现了失真(人为规定特性)。

并且应该注意到在图6.4d展示的粗糙度轮廓中，其振幅通常是大于图6.4b所展示的振幅的，尽管两者都是用同样的截止波长生成的。这是因为2RC滤波器截止波长的传输量是75%，对比2RC滤波器，高斯滤波器仅在截止波长处有50的传输量。因此在截止波长处或其附近的波长将被传递通过2RC滤波器，因此其振幅相对较大。

6.5 总结

2RC滤波器是最早用于表面测量的滤波器。最早它被用硬件电路来实现，但是现在它已经能够方便用数字化来实现。这个滤波器有一些缺陷：(a)在粗糙度轮廓中它有一个相位的失真(b)粗糙度滤波器和波纹度滤波器需要分开处理(c)最后它有边缘失真现象。在之后介绍的高斯滤波器相对的可以缓和2RC滤波器的这些缺陷。从第五章可以知道，高斯滤波器是被数字化实现的。它没用相位失真的影响，并且高通和低通具有互补性，因此可以仅用一个滤波器来获得粗糙度和波纹度两者轮廓表面。但是高斯滤波器也有边缘失真的问题。

练习

6.1 2RC低通滤波器的传递函数是Hf=(1+jRCω),j= 截止波长处的传输量为75%。RC=xA2λc1ω=2πλcS x =1(1+jRCω)e−xAλc0≤x≤∞,A=2π Hf==12。

6.2当用一个截止波长为0.8mm的高通2RC滤波器滤波一个波长2mm振幅1μm的正弦轮廓表面时，它的振幅衰减和相位角分别是多少？当滤波一个波长0.5mm振幅0.5μm的正弦轮廓时，其振幅衰减和相位角又是多少？用高斯滤波器和这些信心重建一个滤波轮廓，对比两者之间的差异。

参考文献

美国机械工程师协会2002，ASME B46.1-2002,表面纹理(表面粗糙度、波纹度和花纹),ASME.纽约,美国

Bui,S.H 和Vorburger,T.V.2007,表面测量算法实验系,精密测量

程,vol.31,no.3,pp.218-225

美国国家标准技术研究所NIST的网络资源：NIST基于网络表面测量算法试验系统网站，网址http://syseng.nist.gov/VSC/jsp/，使用权 日本25,2008.盖思宝,MD,USA 怀特斯特,DJ,和Reason,R.E.1965，用电磁波滤波器发现表面纹理二分法等式，特勒 霍布森.拉斯特,英国

生词和滤波专业词汇总结

Surface profile 表面轮廓

Filter 滤波器

Gaussian filter 高斯滤波器

Long-wavelength roughness cutoff 粗糙度的长波截止波长

Transmission characteristics 传递特性

Fourier transform 傅里叶变换

Amplitude attenuation 振幅衰减

Sinusoid 正弦曲线

Sampling Interval 间隔

High-Pass Filter 高通滤波器

Low-Pass Filter 低通滤波器

Phase characteristics 相频特性

Roughness 轮廓粗糙度

Waviness 轮廓波纹度

Form 轮廓形状度

Phase distortion 相位失真

Sinusoidal 正弦曲线

Surface texture 表面纹理

第五章 高斯滤波器

5.1介绍

高斯滤波器被广泛应用于表面轮廓分析。美国标准（美国机械工程师协会2002）和国际标准（国际标准化组织1996）都对它进行了阐述。高斯滤波器的权重函数（滤波器在时域和空间域的定义）如下：

S x =αλcexp⁡[−π(αλc2] 5.1 式子中α= =0.4697,x是权重函数距离原点的位置，λc是粗糙度中长波波长的截止频率。

通过对连续函数S x 进行傅里叶变换可以得到函数的传递特性，变化如下： Sf λ =∞ −∞1xS x eiλxdx=∞1 −∞αλce[−π(x2)]αλceiλxdx=e[−π(αλc2)]λ 5.2 从等式5.2,能够看出该正弦波振幅有衰减，其波长截止波长(λ=λc)是0.5,因此在截止处，滤波器传递了50%。下面的例子展示了，在给定权重函数下，其高斯滤波器传递曲线的样子。

范例5.1 在给定空间域λc≤x≤λc下，描绘高斯滤波器S。其中让λc=0.8mm，采样间隔∆x=1μm。

下面是MATLAB生成的代码，并且其所描述的图展示在(图5.1 a)。

图5.1 a绘制高斯滤波器；λc=0.8mm，b高斯滤波器传递特性

lambdac=0.8; % in mm

dx=0.001; % in mm

x=(-lambdac:dx:lambdac)’;

alpha=0.4697;

S=(1/(alpha*lambdac)).*exp(-pi*(x/(alpha*lambdac)).^2);

% generate the Gaussian filter

S=S/sum(S); % normalize to unit sum

plot(x,S);

xlabel(’Distance (mm)’);

ylabel(’Weighting function’);

范例5.2 产生高斯滤波器S的振幅传输特性，并且评估正弦波的振幅传输特性，其截止波长(λc=0.8mm)。

高斯滤波器的传递特性能够同样获得，通过借助第四章4.4范例所示的矩形滤波器例程。传递特性如图5.1b所示。该正弦波由0.8mm波长组成，其振幅衰减为0.5(Sf的阵列元素有11个)。因此高斯滤波器在截止频率处，传输量为50%。注意在图5.1b所示的传递特性中，可以清楚的看到，在其截止频率处有一个坡度过程，并没有直上直下的锋利过渡。这意味着滤波器不能立刻抑制所有波长小于截止频率的波长，而是在截止频率处使它们逐渐变弱。这个传递特性也能够被描述通过直接对等式5.2采样。

m=size(S,1); % length of Gaussian filter

l=8; % length of a profile is assumed to be 8 mm

n=l/dx; % number of profile points

S=[zeros(n/2-floor(m/2),1); S; zeros(n/2-floor(m/2)-1,1)];

% center the filter and zero-pad to 8000 long

Sf=fft(S); % DFT of S

j=(2:1:floor(n/2)+1)’;% generate wavelength array for X axis of

% transmission plot

wave=n*dx./(j-1);

semilogx(wave,100*abs(Sf(2:floor(n/2)+1,1)));

xlabel(’Wavelength (mm)’);

ylabel(’Amplitude (%)’);

5.2高通和低通滤波器

迄今为止描述的滤波器都是低通滤波器，因为它只能传递低频部分(波长大于截止波长)。第3章和第4章所描述的矩形滤波器和步进滤波器也都是低通滤波器。低通滤波器是一个平均滤波器因为它能产生一个光滑的轮廓。一个滤波器也能够被设计成只传输高频的信号。这种滤波器是众所知周的高通滤波器。高斯高通滤波器的传递特性如下

Sf λ =1−e(−π αλc2)λ⁡ 5.3

这个高通高斯滤波器在截止波长处也传递50%。这是很重要的，因为它阐释了高斯低通和高通在传递上的互补性。这可以表明高频信号与低频信号的差异仅仅表现在原始轮廓。因此用两种不同滤波器同时捕捉高频和低频信号是没有必要的。

5.3用高斯滤波器量化粗糙度、波纹度和形状

滤波器的输出是粗糙度，波纹度还是形状（三者为专业术语），取决于滤波器的类型（高通或者低通）和截止波长的阈值。如之前第3章所述，因为粗糙度，波纹度还是形状都有自己明确定义的带宽范围，所以构造带宽的上限和下限截止波长要符合各自要求。ASME B46.1标准中定义截止波长λcw作为波纹度的长波截止波长，λsw作为波纹度的短波截止波长，λc作为粗糙度的长波截止波长，λs作为粗糙度的短波截止波长。λc的选择等于λsw。ASME B46.1与ISO 11562两者都已经给出了截止波长的推荐阈值。除此之外，他们也提供了进一步的指导对于截止比率的选择。例如，选择λc与一个适当的 λc/λs比率将限制探针的大小 (美国机械工程师协会2002)。

滤波器与截止波长λs相关联构成低通滤波器，与此相对应滤波器与截止波

长λc相关联，则构成一个高通滤波器。上述这对滤波器应用到轮廓上输出的是粗糙度。如果想获得波纹度需要调整到λsw(低通)λcw(高通)。形状通常包含了所有大尺寸波长，因此下端的截止波长为λf，通常来说这样就足够了。但值得注意的是在ASME B46.1标准中并没有定义λf。图5.2举例说明了上述滤波器的不同。

图5.2划分粗糙度轮廓、波纹度轮廓、形状轮廓的五种滤波器的传递特性

(λs=25um,λc=0.8mm,λsw=0.8mm, λcw=8mm, λf=8mm)

综上所述，很显然根据粗糙度或者波纹度的定义，我们需要两个滤波器同时操作来获得。然而事实上有些简单化的公共认可，这样通过一个信号的滤波操作也可以简单的获得粗糙度或者波纹度。首先，截止波长为λs的低通滤波器有时可以被忽略，或者用自动滤波器仪器的初始数据。其次一种情况是，轮廓长度通常并没有足够的长度去捕捉形状，因此截止波长λcw的高通滤波器并没有用到。最后一种状况是，在第5.2部分已经有所提及，利用高斯低通和高通滤波器的互补定义，可以用一个滤波器来评估粗糙度和波纹度(截止波长λc的高通或者低通)。

总的来说，粗糙度轮廓能够通过用一个截止波长为λc的高通滤波器去过滤原始轮廓来获得。波纹度轮廓与原始轮廓和粗糙度轮廓的区别是很简单的。在原始轮廓上应用高斯低通滤波器λsw就以获得波纹度的表面轮廓。同样的这也是粗糙度轮廓与波纹轮廓和原始轮廓之间的区别。无论怎么做，两者产生的结果是一样的。

5.4截止波长的影响

当λc增加，粗糙度轮廓的带宽将变大，因此应该增加振幅参数，例如Ra，来计算粗糙度轮廓。另一方面，同样的截止波长将导致波纹度轮廓中的一些波长被移除，作为这个结果应该在计算波纹度轮廓时，减小振幅参数Wa

5.5相位特性

我们已经非常详细的研究了高斯滤波器的振幅传递特性，但是对于相位特性我们还没有提及。高斯滤波器并不会使两个不同波长的正弦波产生相对的相位改变。换句话说，每一个进入滤波器的正弦波形都会复现它进入时的相位特性，并不会发生相位改变。这种相位不变的特性，也正是高斯滤波器的最大优点。

5.6总结

高斯滤波器可能是今天被用的最广泛的滤波器。我们本章复习了它的定义和实现方法。我也讨论了高通和低通滤波器的定义。而且我们还讨论了高斯高通和低通滤波器是如何互补的，因此用两个滤波器操作获得粗糙度和波纹度是多余的。高斯滤波器的相位不变性，使得它的输出不会扭曲变形。

练习

5.1通过对公式5.2的连续采样生成一个高斯低通滤波器曲线。假设λc=0.8mm，采样间隔∆x=1μm。和图5.1 b对比两者相同吗？

5.2生成一个如图5.2所示的图，假设轮廓长度是1,000mm，采样间隔为∆x=1μm，截止波长参考图5.2所示。

5.3写一个高斯函数文件 myGaussian.m，调用该函数需要给两个参数——间隔和截止波长（两者单位相同）,然后函数产生一个高斯低通滤波器，这个高斯函数是经过归一化的，为了使所有的权重统一。

5.4用截止波长0.8mm的高斯低通滤波器滤波2mm波长振幅为1μm的曲线z1, 利用高斯滤波器的振幅传递曲线观察振幅衰减情况。采样间隔参数为∆x=1μm。用同样的滤波器滤波0.5mm波长振幅为0.5μm的曲线z2,观察其振幅衰减状况。

5.5根据练习5.4和已知高斯滤波器的相位特性，计算并绘制滤波输出，高斯滤波器的滤波轮廓为练习5.4讨论的两个正弦波之和。

5.6用空间卷积验证练习5.4的结果。并用5.3制作的高斯滤波函数生成这个滤波器。

5.7用频域积分验证练习5.4的结果。为了这个窗口能均匀排放这8000长度的数组，需要在高斯滤波器的空间域填补零点。然后对滤波器和轮廓执行DFTs，进行逐项积分。用反向DFT 进行评估并提取相关部分补偿相位(看4.6的例子)。这个波纹度轮廓一定是和5.5与5.6中产生的轮廓相同，除了在边缘上可能有少许差别。

5.8用空间卷积方法过滤练习3.1中的轮廓z，用三种不同截止波长的低通高斯滤波器，分别是0.5mm,0.8mm和2mm。从波纹度轮廓w 上截取截止长度的一半。n w(i) 计算波纹度轮廓w中的Wa。其中Wa被定义为Wa=w(i)是波纹度数n组的第i个元素，n是数组w的长度。随着截止波长的增加是Wa增加还是减小，为什么？

参考文献

美国机械工程协会2002,ASME B46.1-2002,表面纹理(表面粗糙度，波纹度和花纹),ASME.美国.纽约

国际标准化组织1996,ISO11562:1996，几何产品规格(GPS)-表面纹理：轮廓方式-滤波器相位调整特性，ISO,瑞士,日内瓦

第6章 2RC滤波器

6.1引言

最早用于表面测量的滤波器是2RC滤波器。这种滤波器早期由硬件构成，现在已经可以方便使用软件执行。2RC滤波器并不是一个线性相位的滤波器，并且对粗糙度和波纹度两个滤波器需要区分来看待。尽管2RC滤波器很早就被应用于表面轮廓滤波，但是却在高斯滤波器之后来讨论它，是因为这种滤波器在执行时更具有挑战性的问题存在。ASME B46.1标准(美国机械工程协会2002)对2RC滤波器有所提及，但是国际标准中并没有涉及该滤波器。

6.2 2RC高通滤波器

从历史上来看，2RC滤波器仅仅被用于从原始轮廓中提取粗错度轮廓，因此文献报道中一般仅提供了2RC的粗糙度滤波器的权重函数。为了获取表面的波纹的轮廓，需要一个单独的波纹度权重函数(看练习6.1)。高通粗糙度滤波器的权重函数如下：

S x = 2−Aλc exp⁡(−Aλc 6.1 λcA x x 其中A=3.64，x是权重函数距离原点的位置，λc是粗糙度长波的截止波长。高通滤波器的传递特性可以通过对其连续传递函数S(x)做傅里叶变换可以获得： Sf λ =(1−jk−2) 6.2 λcλ其中k=1/ 并且j= 6.1的权重函数是很重要的。权重函数提供了一个轮廓的高频组成部分，但是空间卷积也是很重要的，它是一个平均处理的过程。对等式6.1的权重函数进行卷积，将得出一个“二等分线”。二等分线和粗糙度轮廓是有区别的。然而从公式6.1并不能很清楚的看出两者的区别，如果读者对此很感兴趣，可以看6.3节，此节将对这个问题作出解释。

2RC滤波器在截止波长处的振幅衰减是75%。从公式6.2推断此时λ=λc。并且滤波器不具有相位不变的特性。这意味的不同波长的正弦波其输出相位会有不同程度的偏移量。这将导致在输出轮廓上出现失真，因此这并不是一个有用的特性。尽管受此限制2RC滤波器仍然被用了许多年，因为那时候的数字滤波器不能识别表面轮廓的起点。下面的例子展示了2RC滤波器的这些方面。

例子6.1绘制权重函数，振幅传输图，高通2RC滤波器的相频特性图。假设截止波长λc=0.8mm。

2RC滤波器的权重函数被生成在−2λc≤x≤0，因为这个滤波器关于原点并不对称。事实上，滤波器在原点前沿是单边的。

传递特性能够用很多种方式生成，在这个例子中，我们将直接对公式6.2采样。图6.1 a-c分别展示了2RC滤波器的权重函数、振幅传输和相频特性。 lambdac = 0.8; % 截止波长单位 mm

dx = 0.001; % 间隔单位 mm

A = 2 pi/sqrt(3);

x = (-2 lambdac:dx:0)’;

for j=1:1:length(x) % 生成权重函数

S(j,1)=(A/lambdac) (2-(A/lambdac)*abs(x(j)))*

exp(-(A/lambdac) abs(x(j)));

end

S = S/sum(S); % 单位归一化处理

plot(x,S)

xlabel(’Distance (mm)’);

ylabel(’Weighting function’);

lamda = (0.002:0.001:8)’; % 生成波长轴

Sf = (1-i 1/sqrt(3). (lamda/lambdac)).^(-2);

% 对公式6.2连续采样

semilogx(lamda,100*abs(Sf)); % 取绝对值

% amplitude transmission

xlabel(’Wavelength (mm)’);

ylabel(’Amplitude (%)’); % 绘制振幅用“%”

semilogx(lamda, angle(Sf)); % 用角度绘制相位

xlabel(’Wavelength (mm)’);

ylabel(’Phase (radians)’); % 绘制相位单位弧度

图6.1 a 两电阻两电容(2RC)滤波器的权重函数 b 振幅传输特性 c相位特性

例子6.2 用截止波长为0.8mm高通2RC滤波器，按3.1范例中所述的空间卷积方法生成一个滤波轮廓z

2RC高通滤波器关于原点并不对称。因此这个滤波器不得不在卷积的时候做一个关于原点的镜像来完成卷积过程(回想一下卷积镜像操作的定义；用这个建立的镜像来做卷积和多项式相乘)。并且卷积后的轮廓长度为n+m-1，其中n是原始轮廓的长度，m是滤波器数组的长度。就对称的滤波器来说，

来自卷子阵列

中心的n个元素代表了波纹度轮廓，但是就2RC滤波器来说，n个元素代表二等分线。这是因为滤波器数组的原点占有的权重比例最大，并且它是滤波轮廓的起始点。在轮廓结束端，当滤波器从表面记录时，滤波器的前部是在轮廓表面外边的，这时已经不能评价一个真实的平均移动了。就高斯滤波器来说，权重最大的点是对称排列在中间的，并且卷积阵列的中心点在波纹度轮廓时，是被剔除的。图6.2 a展示了原始轮廓，并且和一个二等分线轮廓。图6.2 b展示了粗糙度轮廓。

图6.2 a用2RC高通滤波器生成的轮廓z和二等分线。b 用2RC高通滤波器生成的轮廓z和粗糙度轮廓

dx = 0.001;

l = 8;

n = l/dx;

x = (0:dx:l-dx)’;

z1 = 1 sin(2 pi. x/2); % amplitude 1 um, wavelength 2 mm

z2 = 0.5 sin(2 pi. x/0.5); % amplitude 0.5 um, wavelength 0.5 mm

z = z1 + z2;

S = flipud(S); % mirror the non-symmetric weighting

% function

C = conv(S, z); % conv performs a second flip before

% moving average

MeanLine = C(1:n); % extract the first n points

r = z-MeanLine;

plot(x,z,’r’,x,MeanLine,’b’);

xlabel(’Distance (mm)’);

ylabel(’Amplitude (\mum)’);

plot(x,z,’r’,x,r ,’b’);

xlabel(’Distance (mm)’);

ylabel(’Amplitude (\mum)’);

6.3 2RC滤波器的深入介绍

早期使用的2RC滤波器是实时性的。当仪器经过轮廓表面，轮廓上的点以电压信号(Vin)被输入到2RC电路网络。滤波后的信号通过电压(Vout)被输出，并且经过处理转变为高度单位。一个一介的RC滤波器的传递函数(Hf1=Vout/Vin)能够从任何标准的电气工程教科书上获得，其表达式如下：

Hf1=1+jRCw 6.3

其中ω是频率表达是ω=2π/λ，j= R和C分别是电阻和电容。这个传递函数表达了滤波器的传递特性，并且是在频域被定义的(因此，我们根据习惯把这里的f写成Hf)。图6.3展示了一个二介电路网络，其传递函数是一介电路网络函数的平方，因此其公式如下：

Hf2=VVinjRCw=Hf12=(1+jRCw2 6.4 jRCw

2RC滤波器定义了其截止频率λc处的传输为75%。RC的取值在满足这种情况下能够获得通过如下公式。将ω=2π/λ带入等式6.4中，推到得

Hf2 =展开化简并计算得：

RC=λc 2π2=3/4 6.5 6.6

为了在空间域实现这个滤波器，我们需要一个权重函数的表达式。我们能够通过对传递函数进行逆变换来得到这个权重函数。让我们改写这个传递函数：

Hf2=(1−1

jRCω2=1−2RC1jωRC+1(RC)(1jω)2RC 6.7

对其进行傅里叶变换得：

H t =δ t −RC 2−RC e 6.8 其中δ t 是单位脉冲。

H(t)是2RC滤波器的脉冲响应，其由两部分组成，一个部分是单位脉冲，另一部分是随时间变化的指数。时变部分产生直流部分，脉冲产生瞬时交流部分。DC部分的权重函数能够通过对上式的RC值取代来获得，其公式如下：

S x =λC 2−λC e

其中A

=AxA−xAλC1t−tRC, 0≤x

图6.3 RC电路网络 C是电容，R是电阻，Vin输入电压信号，Vout输出电压信号

脉冲响应回答了一个疑问，那就是早期为什么高通2RC滤波器只提供二等分线的权重函数。这是显而易见的，权重函数仅仅捕捉了脉冲响应的DC组成部分。但是瞬时AC响应的组成(粗糙度轮廓)与原始轮廓和DC二等分线相比是有区别的。

最后提及一下，在75%条件下取代RC值的传递函数如下：

Hf2=(jRCω

1+jRCω2=1

(12 6.10

6.4 2RC滤波器和高斯滤波器的比较

一个表面轮廓的例子(d_med-Type D roughness specimen)能够被下载，从美国国家标准技术研究所(NIST)基于表面测量测试系统算法的网站上(美国国家标准技术研究所；Bui 和 Vorburger 2007)。在载入MATLAB之前，要删除开头和结尾的信息(开始的15行和结尾的后2行)。这个轮廓被滤波用一个高斯低通滤波器，其截止波长在0.8mm。这个同样的轮廓被滤波用一个2RC高通滤波器在相同的截止波长。原始轮廓和高斯波纹度轮廓被展示在图6.4a。可以观察到，这个波纹度在波峰和波谷处是没有相位失真的。相应对俄粗糙度轮廓被展示在图6.4b。

原始轮廓和用2RC产生的二等分轮廓(不是波纹度轮廓)，在截止波长为

0.8mm时的图像被展示在图6.4c。可以观察到，二等分轮廓移动了一个相位。粗糙度轮廓被展示在图6.4d，因为相位偏移出现了失真(人为规定特性)。

并且应该注意到在图6.4d展示的粗糙度轮廓中，其振幅通常是大于图6.4b所展示的振幅的，尽管两者都是用同样的截止波长生成的。这是因为2RC滤波器截止波长的传输量是75%，对比2RC滤波器，高斯滤波器仅在截止波长处有50的传输量。因此在截止波长处或其附近的波长将被传递通过2RC滤波器，因此其振幅相对较大。

6.5 总结

2RC滤波器是最早用于表面测量的滤波器。最早它被用硬件电路来实现，但是现在它已经能够方便用数字化来实现。这个滤波器有一些缺陷：(a)在粗糙度轮廓中它有一个相位的失真(b)粗糙度滤波器和波纹度滤波器需要分开处理(c)最后它有边缘失真现象。在之后介绍的高斯滤波器相对的可以缓和2RC滤波器的这些缺陷。从第五章可以知道，高斯滤波器是被数字化实现的。它没用相位失真的影响，并且高通和低通具有互补性，因此可以仅用一个滤波器来获得粗糙度和波纹度两者轮廓表面。但是高斯滤波器也有边缘失真的问题。

练习

6.1 2RC低通滤波器的传递函数是Hf=(1+jRCω),j= 截止波长处的传输量为75%。RC=xA2λc1ω=2πλcS x =1(1+jRCω)e−xAλc0≤x≤∞,A=2π Hf==12。

6.2当用一个截止波长为0.8mm的高通2RC滤波器滤波一个波长2mm振幅1μm的正弦轮廓表面时，它的振幅衰减和相位角分别是多少？当滤波一个波长0.5mm振幅0.5μm的正弦轮廓时，其振幅衰减和相位角又是多少？用高斯滤波器和这些信心重建一个滤波轮廓，对比两者之间的差异。

参考文献

美国机械工程师协会2002，ASME B46.1-2002,表面纹理(表面粗糙度、波纹度和花纹),ASME.纽约,美国

Bui,S.H 和Vorburger,T.V.2007,表面测量算法实验系,精密测量

程,vol.31,no.3,pp.218-225

美国国家标准技术研究所NIST的网络资源：NIST基于网络表面测量算法试验系统网站，网址http://syseng.nist.gov/VSC/jsp/，使用权 日本25,2008.盖思宝,MD,USA 怀特斯特,DJ,和Reason,R.E.1965，用电磁波滤波器发现表面纹理二分法等式，特勒 霍布森.拉斯特,英国

生词和滤波专业词汇总结

Surface profile 表面轮廓

Filter 滤波器

Gaussian filter 高斯滤波器

Long-wavelength roughness cutoff 粗糙度的长波截止波长

Transmission characteristics 传递特性

Fourier transform 傅里叶变换

Amplitude attenuation 振幅衰减

Sinusoid 正弦曲线

Sampling Interval 间隔

High-Pass Filter 高通滤波器

Low-Pass Filter 低通滤波器

Phase characteristics 相频特性

Roughness 轮廓粗糙度

Waviness 轮廓波纹度

Form 轮廓形状度

Phase distortion 相位失真

Sinusoidal 正弦曲线

Surface texture 表面纹理