一阶隐式微分方程

隐式微分方程的解法讨论

摘要：隐式微分方程是常微分方程中的一个重要课题，但是在大学时期，我们学习讨论的一般是一阶隐式微分方程，而本文主要就是研究讨论关于一阶隐式微分方程的几种比较常见的解法.

关键词：参数；微分法；包络；奇解；克莱罗方程.

引言：若要讨论一阶隐式微分方程的解法，首先应该了解隐式方程显示方程之间的联系，然后总结好解析一阶隐式微分方程问题的大致思路.下面，我们首先来了解几种常见的一阶隐式微分方程类型.

一阶隐式微分方程的概念与求解思路

1. 定义

没有就y'解出的形如

F（x,y,y'）=0

的方程我们称为一阶隐式微分方程.

2. 求解思路

如果能从方程F（x,y,y'）=0中解出y'那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程F（x,y,y'）=0的解.

dy

例 1 解微分方程 y2ex

dx

2

xdyx

xye0 ydx

解：将此微分方程的左端分解因式得

xdy2xdyye=0 

dxdxy

分别解两个微分方程

dydyx

y2ex和=，得到的解分别是 dxdxy

ex+

1

C10和y2x2C20 y

于是我们得到所求微分方程的通解为

x122

yxC20 eC1

y

应当说，例1当中的一阶方程的通解只有一个任意常数，但是在这个通解的表达式中有两个常数C1和C2。对于给定两个常数C1，C2,要么只有通解表达式两个因子之一为0确定积分曲线，要么两个因子同时为零，这时，两个常数C1和

C2就不是独立的了.总之，决定积分曲线时，总是只有一个常数起作用.

一般来说，很难从方程F（x,y,y'）=0中解出y'，或者即使解出y'，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出y'，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：

1）yf(x,y') 2）xf(y,y') 3）F(x,y')0 4）F(y,y')0

二、可解出y或x的方程的解法

1.可解出y的隐式方程yf(x,y')

如果从方程F（x,y,y'）=0中可以解出y，那么就可以得到第一种类型

yf(x,y')

在这里假设函数yf(x,y')有关于x、y'有连续的偏导数.

引入参数p=y'，则原方程变为

yf(x,p) 将上式两边对x求导数，并以p代替y'，这样可以得到

fx,pfx,pdp P 

xpdx该方程是关于x，p的一阶显方程 如果求的该方程的通解为

p=（x,C）

将它代入y=f（x,p），这样得到原方程的通解为

yf（x,（x,C）） （C为任意常数）

fx,pfx,pdp

如果，方程P还有解 

xpdx

p=u（x）

把上式代入到y=f（x,p），那么就得到原方程的相应解

y=f（x,u（x））

如果能求得方程P

fx,pfx,pdp

的通解 

xpdx

F=（x,p,C）=0

将它和y=f（x,p）结合，就能得到原方程参数形式的通解



F(x,p,C)0,

y(x,p),

fx,pfx,pdp

其中p是参数，C是任意常数，如果方程P还有解 

xpdx

G(x,p)0

将它和y=f（x,p）结合，这样得到方程相应的参数形式的解



其中p为参数.

G(x,p)0,

yf(x,p),

根据上面讨论，为了求解方程yf(x,y'),我们引进参数py'，通过对x进行求导数，从而消去y，把问题简化成求解关于x与p的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.

dy

xy1 例2．解方程：dxdy

解：原方程是就解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以

dx把它当作可就y解出的方程来求解.

原方程就y解出可得

y

dy

x1 dx

令

dy

=p，则可得：ypx1 dx

dy

对上式两边关于x求导，用p代入则可得

dxdpdpp1 也就是p1

dxdx

1）当p10时，分离变量，可得

dp

dx p1

两边同时积分可得

lnpxlnc （c为不等于0的常数）

或 lpxc （c为任意常数）

即pcex1或xlnp1c

将上面两个式子代入到ypx1可得

ycex(x2) （c为不等于0的任意常数） 或yplnpc1 （c为任意实数） 2）当p10有：p1

把它代入到ypx1可得：y(x2) 根据1）、2）即可知，原方程通解为：

ycex(x2)（c为任意常数）

其参数形式的通解可表示为：



xlnp1c

yplnp1c1

（p1，参数；c为任意常数）

及y(x2)

x2

例3. 解方程y(y)xy.

2

'2

'

解：令y'p，原方程可化为

x2

ypxp，

2

2

两边同时对x求导，可得

p2p

dpdp

pxx, dxdx

dp

1)0 dx

化简整理之后可得

(2px)(

对

dp

10积分就可以得到上式的通解 dx

pxC （C为任意常数）

x2

把它代入到ypxp，便可以得到原方程通解

2

2

x2

yCxC2 （C为任意常数）

2

xx22

又从2px0，便可得原方程一个解p，把它代入ypxp

22

x2

又可以得到方程一个特解： y

4

x2x22

应该注意到方程的通解yCxC和这个特解y它们同时经

24

过点P(2C,C2)，并且在改点斜率为C.

x2

做出特解和通解的图形，从下图我们可以知道，在积分曲线y上每一点

4x2

处，都有积分曲线族yCxC2中的某一条积分曲线在该点与之相切.在几

2x2x2

何中，我们称y是曲线族yCxC2的包络.在微分方程中我们称积分

42x2

曲线y对应的解为原解的奇解，奇解对应的曲线上的每一点，至少有方程的

4

两条积分曲线通过.

而作为yf(x,y')的一种重要类型，一般我们把形如：

yxy'(y')

的方程称为克莱罗方程，它是关于y可以解出的一阶隐式方程，其中(z)二阶连续可微，且

ppx

当

dpdpdp'(p)0 即(x'(p))dxdxdx

dp

0时，有pC，因此通解为 dx

yCX(C)

当x'(p)0时，可得克莱罗方程一个特解



特解

x'(p)

y'(p)p(p)

通解yCX(C)是一族直线



x'(p)

y'(p)p(p)是该直线的包络.

例 4 求解方程yxy'

1 'y

'

1p'

解：该方程克莱罗方程，0xp2，p'0，x2

pp

1x2p11

yp所以该方程有通解：yCx 以及特解：

pC消去参数p，得到原方程的奇解：y24x 所以该方程通解是直线族：yCx2.可解出x的隐式方程xf（y,y'） 对于可解出x的方程的第二种类型

1

，而奇解是通解的包络：y24x. C

xf（y,y'）

该方程的求解方法和方程yf（x,y'）的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数xf(y,y')有关于y、y'的连续偏导数. 引进参数y'p ，则原式可变为

x(y,p)

将上式两边对y求导数， 并以

dx1

代入，可得 dyp1ffdp pypdy

该方程是联系y、p，并且可以根据前面的方法来求解. 如果求的方程

dp

解出的一阶微分方程，因此可以按照dy

1ffdp的通解形式： pypdy

pw(y,c) （c为任意常数）

则原方程xf（y,y'）的通解为：

xf(y,w(y,c)) （c为任意常数）

如果求的方程

1ffdp

的通解形式为：· 

pypdy

yv(p,c)（p为参数，c为常数）

则原方程xf（y,y'）的通解为：



如果求的方程

xf(v(p,c),p)yv(p,c)（p为参数，c为常数）

1ffdp的通解形式为： pypdy

(y,p,c)0

则方程x(y,p)的参数形式的通解为：



xf(y,p)(y,p,c)0

（p为参数，c为任意常数）

例5．解方程：y2y'32xy'y0

解：在这里我们可以把原方程当作可就x解出的方程来求解，因此就有.

yy2y'2

x'

2y2

令y'=p，则可得：

yy2p2

x

2p2

对上式两边关于y求导，用

dy11

'代入整理可得 dxyp

dpp(12yp3)0

dyy

由

dpp

0，可以求得上式的通解 dyy

p

C， y

yy2p2

将它代入到方程x，整理后可得原方程通解 

2p2

y22CxC3

dpp

再由12yp3=0可得(12yp3)0的特解

dyy

y

1 2p3

原方程的参数表示的特解为

3x48py12p3

三、不显含x或y的方程的解法 1. 不显含y的隐式方程

如果从几何的观点来看，微分方程F(x,y,y')0的解是平面xOy的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可

以用参数坐标来表示。

对于方程F(x,y,y')0，若其左端不显含y，即第三种类型

F(x,y')0

在方程F（x,y'）=0中，记py'

dy

.由于不显含y，我们不妨把方程看作dx

代表平面xOy'上的一条曲线，这样就可以用某种适当的参数来表示该曲线：



x(t)y'(t)

这里t为参数. 而沿方程F(x,y')0的任意一条积分曲线上均满足积分的基

本关系dyy'dx，将



x(t)

y'(t)代入该基本关系式可得

dy(t)'(t)dt

两边积分可以得到

y(t)'(t)dtC

于是可以得到F(x,y')0的参数形式通解为



从而可得

x(t)

y(t)'(t)dtC



例6. 求解方程x3y'33xy'0.

解：令y'tx，则代入原方程可得

x

3t

1t3

3t2

y3

1t

'

由dyy'dx，可得

9(12t3)t2

dydt 33

(1t)

对其积分，可得

9(12t3)t2314t3

yC

(1t3)32(1t3)2

因此方程的通解的参数形式为

3tx1t3

314t3 yC322(1t)

2．不显含x的隐式方程

对于不含x的隐式方程

F(y,y')0

其求解方法和F(x,y')0的方法基本类似，在这里记py'，

引入参数t，将方程表为适当的参数形式



根据关系式dypdx可得

由此得

y(t)p(t)

'(t)dt(t)dx

'(t)'(t)dxdt,xdtC,

(t)(t)

这样就可以得到方程F(y,y')0的参数形式通解



例7．求解隐式方程

'(t)xdtC

(t)y(t)

此外，容易验证，若F(y,0)0有实根yk,则yk也是方程的解.

dy2y11 dx

2

解法 1 由原方程可解出y'，有

dy

dx

若y210，分离变量可得

dx 对它进行积分，则

xC

可得原方程通解为

y(x2C)21

同时根据y210，可知y1也是原方程的解.

解法 2 方程是不显含x的隐式方程，可令y'cost，将其代入到原方程中可解出ycsct，这样在y'0的情况下，由dx

dy

可得： 'y

dxsect(csccot)dtcsc2tdt.

积分可得xcottC,原方程通解的参数形式为



xcottCycsct

消去参数t，则可得方程的隐式解y(xC)21.另外，当y'=0是，由原方程可得y21，因此方程的解还有y1.

解法 3 令y'p，代入原方程可得

ydy

可得 'y

若y'0，由dx

dx

1(1p)

2dp.

积分可得xC,可知原方程同通解的参数方程为

xy

C

消去参数可得隐式解y(x2C)21，此外根据y'0也可得到解y1.

解法 4 令1y'2

1t

代入原方程可得y

并且同时可以得到y'.,，

ty

若y'0，由dx

dy

可得

y'

dx

对其积分可得xC，则原方程通解为

xy1t

y'0时，有解y1.

C.

消去参数，则可得到和前面相同两种方法所得到的相同的隐式解.另外，当

由例题7的几种解法，我们可以知道，根据入参数的方法差异，得到的解的形式一般也有所不同，但他们包含的解却是相同的.通常说来，只需消去参数

t或p，就可以转化为方法1得到的通解的参数形式.

致谢：本文在王世球老师的悉心指导下完成！

参考文献：

1李荣华，冯果忱.微分方程数值解法.北京:人民教育出版社，1980

2周尚仁，权宏顺.常微分方程习题集.北京:人民教育出版社，1980 3王高雄.常微分方程.北京:人民教育出版社，1983

4秦化淑，林正国.常微分方程及其应用.北京:国防工业出版社，1985 5蔡燧林. 常微分方程.杭州:浙江大学出版社，1988

6 东北师范大学数学系微分方程研究室.常微分方程.高等教育出版社，1995 7周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用——方法、理论、建模、计算机.

北京:科学出版社，2003

8庄万. 常微分方程习题解.济南:山东科学技术出版社，2004

9石瑞青.常微分方程全程导学及习题全解.中国时代经济出版社(第3版)2007

隐式微分方程的解法讨论

摘要：隐式微分方程是常微分方程中的一个重要课题，但是在大学时期，我们学习讨论的一般是一阶隐式微分方程，而本文主要就是研究讨论关于一阶隐式微分方程的几种比较常见的解法.

关键词：参数；微分法；包络；奇解；克莱罗方程.

引言：若要讨论一阶隐式微分方程的解法，首先应该了解隐式方程显示方程之间的联系，然后总结好解析一阶隐式微分方程问题的大致思路.下面，我们首先来了解几种常见的一阶隐式微分方程类型.

一阶隐式微分方程的概念与求解思路

1. 定义

没有就y'解出的形如

F（x,y,y'）=0

的方程我们称为一阶隐式微分方程.

2. 求解思路

如果能从方程F（x,y,y'）=0中解出y'那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程F（x,y,y'）=0的解.

dy

例 1 解微分方程 y2ex

dx

2

xdyx

xye0 ydx

解：将此微分方程的左端分解因式得

xdy2xdyye=0 

dxdxy

分别解两个微分方程

dydyx

y2ex和=，得到的解分别是 dxdxy

ex+

1

C10和y2x2C20 y

于是我们得到所求微分方程的通解为

x122

yxC20 eC1

y

应当说，例1当中的一阶方程的通解只有一个任意常数，但是在这个通解的表达式中有两个常数C1和C2。对于给定两个常数C1，C2,要么只有通解表达式两个因子之一为0确定积分曲线，要么两个因子同时为零，这时，两个常数C1和

C2就不是独立的了.总之，决定积分曲线时，总是只有一个常数起作用.

一般来说，很难从方程F（x,y,y'）=0中解出y'，或者即使解出y'，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出y'，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：

1）yf(x,y') 2）xf(y,y') 3）F(x,y')0 4）F(y,y')0

二、可解出y或x的方程的解法

1.可解出y的隐式方程yf(x,y')

如果从方程F（x,y,y'）=0中可以解出y，那么就可以得到第一种类型

yf(x,y')

在这里假设函数yf(x,y')有关于x、y'有连续的偏导数.

引入参数p=y'，则原方程变为

yf(x,p) 将上式两边对x求导数，并以p代替y'，这样可以得到

fx,pfx,pdp P 

xpdx该方程是关于x，p的一阶显方程 如果求的该方程的通解为

p=（x,C）

将它代入y=f（x,p），这样得到原方程的通解为

yf（x,（x,C）） （C为任意常数）

fx,pfx,pdp

如果，方程P还有解 

xpdx

p=u（x）

把上式代入到y=f（x,p），那么就得到原方程的相应解

y=f（x,u（x））

如果能求得方程P

fx,pfx,pdp

的通解 

xpdx

F=（x,p,C）=0

将它和y=f（x,p）结合，就能得到原方程参数形式的通解



F(x,p,C)0,

y(x,p),

fx,pfx,pdp

其中p是参数，C是任意常数，如果方程P还有解 

xpdx

G(x,p)0

将它和y=f（x,p）结合，这样得到方程相应的参数形式的解



其中p为参数.

G(x,p)0,

yf(x,p),

根据上面讨论，为了求解方程yf(x,y'),我们引进参数py'，通过对x进行求导数，从而消去y，把问题简化成求解关于x与p的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.

dy

xy1 例2．解方程：dxdy

解：原方程是就解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以

dx把它当作可就y解出的方程来求解.

原方程就y解出可得

y

dy

x1 dx

令

dy

=p，则可得：ypx1 dx

dy

对上式两边关于x求导，用p代入则可得

dxdpdpp1 也就是p1

dxdx

1）当p10时，分离变量，可得

dp

dx p1

两边同时积分可得

lnpxlnc （c为不等于0的常数）

或 lpxc （c为任意常数）

即pcex1或xlnp1c

将上面两个式子代入到ypx1可得

ycex(x2) （c为不等于0的任意常数） 或yplnpc1 （c为任意实数） 2）当p10有：p1

把它代入到ypx1可得：y(x2) 根据1）、2）即可知，原方程通解为：

ycex(x2)（c为任意常数）

其参数形式的通解可表示为：



xlnp1c

yplnp1c1

（p1，参数；c为任意常数）

及y(x2)

x2

例3. 解方程y(y)xy.

2

'2

'

解：令y'p，原方程可化为

x2

ypxp，

2

2

两边同时对x求导，可得

p2p

dpdp

pxx, dxdx

dp

1)0 dx

化简整理之后可得

(2px)(

对

dp

10积分就可以得到上式的通解 dx

pxC （C为任意常数）

x2

把它代入到ypxp，便可以得到原方程通解

2

2

x2

yCxC2 （C为任意常数）

2

xx22

又从2px0，便可得原方程一个解p，把它代入ypxp

22

x2

又可以得到方程一个特解： y

4

x2x22

应该注意到方程的通解yCxC和这个特解y它们同时经

24

过点P(2C,C2)，并且在改点斜率为C.

x2

做出特解和通解的图形，从下图我们可以知道，在积分曲线y上每一点

4x2

处，都有积分曲线族yCxC2中的某一条积分曲线在该点与之相切.在几

2x2x2

何中，我们称y是曲线族yCxC2的包络.在微分方程中我们称积分

42x2

曲线y对应的解为原解的奇解，奇解对应的曲线上的每一点，至少有方程的

4

两条积分曲线通过.

而作为yf(x,y')的一种重要类型，一般我们把形如：

yxy'(y')

的方程称为克莱罗方程，它是关于y可以解出的一阶隐式方程，其中(z)二阶连续可微，且

ppx

当

dpdpdp'(p)0 即(x'(p))dxdxdx

dp

0时，有pC，因此通解为 dx

yCX(C)

当x'(p)0时，可得克莱罗方程一个特解



特解

x'(p)

y'(p)p(p)

通解yCX(C)是一族直线



x'(p)

y'(p)p(p)是该直线的包络.

例 4 求解方程yxy'

1 'y

'

1p'

解：该方程克莱罗方程，0xp2，p'0，x2

pp

1x2p11

yp所以该方程有通解：yCx 以及特解：

pC消去参数p，得到原方程的奇解：y24x 所以该方程通解是直线族：yCx2.可解出x的隐式方程xf（y,y'） 对于可解出x的方程的第二种类型

1

，而奇解是通解的包络：y24x. C

xf（y,y'）

该方程的求解方法和方程yf（x,y'）的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数xf(y,y')有关于y、y'的连续偏导数. 引进参数y'p ，则原式可变为

x(y,p)

将上式两边对y求导数， 并以

dx1

代入，可得 dyp1ffdp pypdy

该方程是联系y、p，并且可以根据前面的方法来求解. 如果求的方程

dp

解出的一阶微分方程，因此可以按照dy

1ffdp的通解形式： pypdy

pw(y,c) （c为任意常数）

则原方程xf（y,y'）的通解为：

xf(y,w(y,c)) （c为任意常数）

如果求的方程

1ffdp

的通解形式为：· 

pypdy

yv(p,c)（p为参数，c为常数）

则原方程xf（y,y'）的通解为：



如果求的方程

xf(v(p,c),p)yv(p,c)（p为参数，c为常数）

1ffdp的通解形式为： pypdy

(y,p,c)0

则方程x(y,p)的参数形式的通解为：



xf(y,p)(y,p,c)0

（p为参数，c为任意常数）

例5．解方程：y2y'32xy'y0

解：在这里我们可以把原方程当作可就x解出的方程来求解，因此就有.

yy2y'2

x'

2y2

令y'=p，则可得：

yy2p2

x

2p2

对上式两边关于y求导，用

dy11

'代入整理可得 dxyp

dpp(12yp3)0

dyy

由

dpp

0，可以求得上式的通解 dyy

p

C， y

yy2p2

将它代入到方程x，整理后可得原方程通解 

2p2

y22CxC3

dpp

再由12yp3=0可得(12yp3)0的特解

dyy

y

1 2p3

原方程的参数表示的特解为

3x48py12p3

三、不显含x或y的方程的解法 1. 不显含y的隐式方程

如果从几何的观点来看，微分方程F(x,y,y')0的解是平面xOy的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可

以用参数坐标来表示。

对于方程F(x,y,y')0，若其左端不显含y，即第三种类型

F(x,y')0

在方程F（x,y'）=0中，记py'

dy

.由于不显含y，我们不妨把方程看作dx

代表平面xOy'上的一条曲线，这样就可以用某种适当的参数来表示该曲线：



x(t)y'(t)

这里t为参数. 而沿方程F(x,y')0的任意一条积分曲线上均满足积分的基

本关系dyy'dx，将



x(t)

y'(t)代入该基本关系式可得

dy(t)'(t)dt

两边积分可以得到

y(t)'(t)dtC

于是可以得到F(x,y')0的参数形式通解为



从而可得

x(t)

y(t)'(t)dtC



例6. 求解方程x3y'33xy'0.

解：令y'tx，则代入原方程可得

x

3t

1t3

3t2

y3

1t

'

由dyy'dx，可得

9(12t3)t2

dydt 33

(1t)

对其积分，可得

9(12t3)t2314t3

yC

(1t3)32(1t3)2

因此方程的通解的参数形式为

3tx1t3

314t3 yC322(1t)

2．不显含x的隐式方程

对于不含x的隐式方程

F(y,y')0

其求解方法和F(x,y')0的方法基本类似，在这里记py'，

引入参数t，将方程表为适当的参数形式



根据关系式dypdx可得

由此得

y(t)p(t)

'(t)dt(t)dx

'(t)'(t)dxdt,xdtC,

(t)(t)

这样就可以得到方程F(y,y')0的参数形式通解



例7．求解隐式方程

'(t)xdtC

(t)y(t)

此外，容易验证，若F(y,0)0有实根yk,则yk也是方程的解.

dy2y11 dx

2

解法 1 由原方程可解出y'，有

dy

dx

若y210，分离变量可得

dx 对它进行积分，则

xC

可得原方程通解为

y(x2C)21

同时根据y210，可知y1也是原方程的解.

解法 2 方程是不显含x的隐式方程，可令y'cost，将其代入到原方程中可解出ycsct，这样在y'0的情况下，由dx

dy

可得： 'y

dxsect(csccot)dtcsc2tdt.

积分可得xcottC,原方程通解的参数形式为



xcottCycsct

消去参数t，则可得方程的隐式解y(xC)21.另外，当y'=0是，由原方程可得y21，因此方程的解还有y1.

解法 3 令y'p，代入原方程可得

ydy

可得 'y

若y'0，由dx

dx

1(1p)

2dp.

积分可得xC,可知原方程同通解的参数方程为

xy

C

消去参数可得隐式解y(x2C)21，此外根据y'0也可得到解y1.

解法 4 令1y'2

1t

代入原方程可得y

并且同时可以得到y'.,，

ty

若y'0，由dx

dy

可得

y'

dx

对其积分可得xC，则原方程通解为

xy1t

y'0时，有解y1.

C.

消去参数，则可得到和前面相同两种方法所得到的相同的隐式解.另外，当

由例题7的几种解法，我们可以知道，根据入参数的方法差异，得到的解的形式一般也有所不同，但他们包含的解却是相同的.通常说来，只需消去参数

t或p，就可以转化为方法1得到的通解的参数形式.

致谢：本文在王世球老师的悉心指导下完成！

参考文献：

1李荣华，冯果忱.微分方程数值解法.北京:人民教育出版社，1980

2周尚仁，权宏顺.常微分方程习题集.北京:人民教育出版社，1980 3王高雄.常微分方程.北京:人民教育出版社，1983

4秦化淑，林正国.常微分方程及其应用.北京:国防工业出版社，1985 5蔡燧林. 常微分方程.杭州:浙江大学出版社，1988

6 东北师范大学数学系微分方程研究室.常微分方程.高等教育出版社，1995 7周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用——方法、理论、建模、计算机.

北京:科学出版社，2003

8庄万. 常微分方程习题解.济南:山东科学技术出版社，2004

9石瑞青.常微分方程全程导学及习题全解.中国时代经济出版社(第3版)2007