第22课 平行四边形及特殊平行四边形
〖知识点〗四边形、四边形的内角和与外角和、多边形、多边形的内角和与外角和、平行四边形、平行四边形的性质和判定、两条平行线间的距离、矩形、菱形、正方形的性质和判定。 〖大纲要求〗
1． 理解多边形，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念，理解多边形的理解 和定理，掌握四边形的理解和和外角和都是360°的性质；
2． 了解两点间的距离。点到直线的距离与两条平行线之间的距离及三者之间的联系， 了解平行四边形不稳定性的应用，理解两条平行线间的距离概念；
3． 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形等概念，掌握平行四边形、矩形、菱形、正 方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法，进一步提高分析问题，解决问题的能力。
〖考查重点与常见题型〗
1． 考查特殊四边形的判定、性质及从属关系，此类问题在中考中常以填空题或选择题
出现，也常以证明题的形式出现。如：
下列命题正确的是（ ）
（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
（B ） 对角线相等的四边形一定是矩形
（C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2． 求菱形、矩形等的面积，线段的长，线段的比及面积的比等，此类问题以不同种题
型常以如选择题, 填空题出现，也常以论证题型和求解题型出现。如：
若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）
（A ） 43 cm （B ）83 cm （C ）3 cm （D ）3 cm
3． 三角形和四边形与代数中的函数综合在一起
4． 求多边形的边数、内角和、外角和及正多边形的角、边长及半径、边心距，以正五
边形、正六边形为常见，多见于填空题和选择题，如：
(1)正五边形的每一个内角都等于 度
(2)若正多边形的边心距与边长的比是1：2，则这个正多边形的边数是
(3)已知正六边形的边长是23 ，那么它的边心距是
〖预习练习〗
在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方
形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中，既是中心
对称图形又是轴对称图形的是
考点训练
1． 已知：平行四边形ABCD 的周长是30cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，⊿AOB 的周长比⊿
BOC 的周长在5cm ，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。
2． 已知：平行四边形ABCD 中，AC ＝2cm ，BD ＝6cm ，CA ⊥AB ，则平行四边形的周长是＿＿
＿＿＿，面积＿＿＿＿＿＿。
3． 已知：平行四边形ABCD 中， AE⊥BC 交CB 的延长线于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于
3点F ，AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝32cm ，BC ＝ AB，∠EAF ＝2∠C ，则BE 长为＿＿＿＿，则∠C 5
＿＿＿＿。
4． 已知：如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，
AB ＝2cm ，BD ＝4cm, 则AC 长为＿＿＿＿BE 长为＿＿＿＿，
∠ADB 度数为＿＿＿＿∠BAD 度数＿＿＿＿＿。
F D 5． 如图：平行四边形ABCD 中AB ＞AD ，
AE ，BF ，CG ，DH 是各内角的角平分线，
P 分别交于CD ，AB 于E ，F ，G ，H ，DH 与AE ，
M CG 交于P ，M ，BF 与AE ，CG 交于N ，G ，
A G H 求证：AB ＝AD ＋PQ
6． 已知：如图，⊿ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 平分
∠ABC 交AD 于M ，AN 平分∠DAC ，求证：平行四边形AMNE 是菱形。
A D O E B C E C E
解题指导：
1． 已知：平行四边形ABCD 是，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AF ，DE 交于G ，BF ，CE 交于
点H ，求证：平行四边形EHFG 是平形四边形。
2． 已知：⊿ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝30°，⊿ABD ，⊿BCE 均是在⊿ABC 外的等边三
角形，DE 交AB 于点F ，求证：DF ＝EF 。
3． 已知：⊿ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于G ，P
是AC 的中点，求证：PE ＝PF 。 D A 4． 已知：如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 上的点。 N
（1） 若∠MAN ＝45°，求证：MB ＋ND ＝MN 。
（2） 若MB ＋ND ＝MN ，求证：∠MAN ＝45°。
B C M
独立训练（一）
1． 一个多边形内角和等于它的外角和的二倍，遇这个多边形的边数为＿＿＿。
2． 若多边形的边数增加2，则该多边形的内角和增加＿＿＿＿。
3． 若一个多边形的每个内角都为钝角，则边数最少是＿＿＿＿。
4． 四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四个角中最小的一个为＿＿＿＿度。
5． 在平形四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，点E 为BC 的中点，则∠AED 的度数为＿＿＿。
6． 若平形四边形两邻边长为6,8，夹角为30°，则这外平形四边形面积是＿
7． 若正方形的对角线长为2 cm，则正方形的面积为＿＿＿。
8． 若菱形的边长是它的高的2倍，则它的一个较小内角的度数是＿＿＿。
9． 矩形两条对角线的交角是60°，一条对角线与较短边的和是15，则对角线长＿＿＿。
10． 若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm 两部分，遇这个矩形周长是＿＿＿
11． 已知：正方形ABCD 的边长的12，点P 在BC 上，BP ＝5，PE ⊥AP ，交CD 于点E ，则DE 的
M D A 长为＿＿＿＿。
12． 如图：在平形四边形ABCD 中，BM 平分∠ABC ，且M 为AD 的中点，
13． 求证：CM 平分∠BCD 。
B C
A
14． 如图，ABCD 是正方形，CE ∥BD ，BE ＝BD ，BE 交DC 于点F ，
求证：（1）∠BEC ＝30° （2）DE ＝DF E F 独立训练（二）
B C 1．两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°，∠CFE ＝135°，AB ＝1，则AC 的长为（ ）
（A ）1 （B ）1.2 （C ）3 （D ）1.5 2D
3．若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BC 的长是（ ）
（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm
4. 若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线( )
（A ） 互相垂直 （B ）相等 （C ）互相平分 （D ）互相垂直且相等
5．正方形ABCD 的边长为1，M 是AB 的中点，N 是BC 中点，AN 和CM 相交于点O ，则四边形AOCD 的面积是（ ）
1323 （A （B ） （C ） （D ）6434
6．下列结论中错误的是（ ） D
（A ） 五边形最少有两个钝角。 （D ）立边形共有九条对角线。
E （B ） 任意四边形一组对边中点的边线长不大于另一组对边长度和的一半。C
（C ） 平行四边形即是轴对称图形又是中心对称图形。
7. 如图，已知⊿DAB ，⊿EAC, ⊿FBC 都是等边三角形， A A
求证：四边形DECF 为平等四边形。
8. 如图，E 是矩形ABCD 边CB 延长线上一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点。 F
求证：BF ⊥FD
E B
D F 独立训练（三）
1. 如图，平形四边形ABCD 周长这32cm ，AB ：BC ＝5：3，AE ⊥CD
A 于F 且∠EAF ＝2∠C 求AE 和AF 的长
A
2. 如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，
∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数。
B 3. 如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点，BF ，CG C
A 相交于点M ，求证：AM ＝AB
E 4. 如图，BF ，BE 分别是∠ABC 及它的邻补角的平分线，AE ⊥BE
于E ，AF ⊥BF 于F ，EF 分别交AB ，AC 于 M，N D A F D C C B E D F B C F
1 求证：（1）AEBF 为矩形 （2）MN ＝ BC 2M
E N F
B C
第22课 平行四边形及特殊平行四边形
〖知识点〗四边形、四边形的内角和与外角和、多边形、多边形的内角和与外角和、平行四边形、平行四边形的性质和判定、两条平行线间的距离、矩形、菱形、正方形的性质和判定。 〖大纲要求〗
1． 理解多边形，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念，理解多边形的理解 和定理，掌握四边形的理解和和外角和都是360°的性质；
2． 了解两点间的距离。点到直线的距离与两条平行线之间的距离及三者之间的联系， 了解平行四边形不稳定性的应用，理解两条平行线间的距离概念；
3． 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形等概念，掌握平行四边形、矩形、菱形、正 方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法，进一步提高分析问题，解决问题的能力。
〖考查重点与常见题型〗
1． 考查特殊四边形的判定、性质及从属关系，此类问题在中考中常以填空题或选择题
出现，也常以证明题的形式出现。如：
下列命题正确的是（ ）
（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
（B ） 对角线相等的四边形一定是矩形
（C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2． 求菱形、矩形等的面积，线段的长，线段的比及面积的比等，此类问题以不同种题
型常以如选择题, 填空题出现，也常以论证题型和求解题型出现。如：
若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）
（A ） 43 cm （B ）83 cm （C ）3 cm （D ）3 cm
3． 三角形和四边形与代数中的函数综合在一起
4． 求多边形的边数、内角和、外角和及正多边形的角、边长及半径、边心距，以正五
边形、正六边形为常见，多见于填空题和选择题，如：
(1)正五边形的每一个内角都等于 度
(2)若正多边形的边心距与边长的比是1：2，则这个正多边形的边数是
(3)已知正六边形的边长是23 ，那么它的边心距是
〖预习练习〗
在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方
形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中，既是中心
对称图形又是轴对称图形的是
考点训练
1． 已知：平行四边形ABCD 的周长是30cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，⊿AOB 的周长比⊿
BOC 的周长在5cm ，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。
2． 已知：平行四边形ABCD 中，AC ＝2cm ，BD ＝6cm ，CA ⊥AB ，则平行四边形的周长是＿＿
＿＿＿，面积＿＿＿＿＿＿。
3． 已知：平行四边形ABCD 中， AE⊥BC 交CB 的延长线于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于
3点F ，AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝32cm ，BC ＝ AB，∠EAF ＝2∠C ，则BE 长为＿＿＿＿，则∠C 5
＿＿＿＿。
4． 已知：如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，
AB ＝2cm ，BD ＝4cm, 则AC 长为＿＿＿＿BE 长为＿＿＿＿，
∠ADB 度数为＿＿＿＿∠BAD 度数＿＿＿＿＿。
F D 5． 如图：平行四边形ABCD 中AB ＞AD ，
AE ，BF ，CG ，DH 是各内角的角平分线，
P 分别交于CD ，AB 于E ，F ，G ，H ，DH 与AE ，
M CG 交于P ，M ，BF 与AE ，CG 交于N ，G ，
A G H 求证：AB ＝AD ＋PQ
6． 已知：如图，⊿ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 平分
∠ABC 交AD 于M ，AN 平分∠DAC ，求证：平行四边形AMNE 是菱形。
A D O E B C E C E
解题指导：
1． 已知：平行四边形ABCD 是，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AF ，DE 交于G ，BF ，CE 交于
点H ，求证：平行四边形EHFG 是平形四边形。
2． 已知：⊿ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝30°，⊿ABD ，⊿BCE 均是在⊿ABC 外的等边三
角形，DE 交AB 于点F ，求证：DF ＝EF 。
3． 已知：⊿ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于G ，P
是AC 的中点，求证：PE ＝PF 。 D A 4． 已知：如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 上的点。 N
（1） 若∠MAN ＝45°，求证：MB ＋ND ＝MN 。
（2） 若MB ＋ND ＝MN ，求证：∠MAN ＝45°。
B C M
独立训练（一）
1． 一个多边形内角和等于它的外角和的二倍，遇这个多边形的边数为＿＿＿。
2． 若多边形的边数增加2，则该多边形的内角和增加＿＿＿＿。
3． 若一个多边形的每个内角都为钝角，则边数最少是＿＿＿＿。
4． 四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四个角中最小的一个为＿＿＿＿度。
5． 在平形四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，点E 为BC 的中点，则∠AED 的度数为＿＿＿。
6． 若平形四边形两邻边长为6,8，夹角为30°，则这外平形四边形面积是＿
7． 若正方形的对角线长为2 cm，则正方形的面积为＿＿＿。
8． 若菱形的边长是它的高的2倍，则它的一个较小内角的度数是＿＿＿。
9． 矩形两条对角线的交角是60°，一条对角线与较短边的和是15，则对角线长＿＿＿。
10． 若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm 两部分，遇这个矩形周长是＿＿＿
11． 已知：正方形ABCD 的边长的12，点P 在BC 上，BP ＝5，PE ⊥AP ，交CD 于点E ，则DE 的
M D A 长为＿＿＿＿。
12． 如图：在平形四边形ABCD 中，BM 平分∠ABC ，且M 为AD 的中点，
13． 求证：CM 平分∠BCD 。
B C
A
14． 如图，ABCD 是正方形，CE ∥BD ，BE ＝BD ，BE 交DC 于点F ，
求证：（1）∠BEC ＝30° （2）DE ＝DF E F 独立训练（二）
B C 1．两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°，∠CFE ＝135°，AB ＝1，则AC 的长为（ ）
（A ）1 （B ）1.2 （C ）3 （D ）1.5 2D
3．若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BC 的长是（ ）
（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm
4. 若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线( )
（A ） 互相垂直 （B ）相等 （C ）互相平分 （D ）互相垂直且相等
5．正方形ABCD 的边长为1，M 是AB 的中点，N 是BC 中点，AN 和CM 相交于点O ，则四边形AOCD 的面积是（ ）
1323 （A （B ） （C ） （D ）6434
6．下列结论中错误的是（ ） D
（A ） 五边形最少有两个钝角。 （D ）立边形共有九条对角线。
E （B ） 任意四边形一组对边中点的边线长不大于另一组对边长度和的一半。C
（C ） 平行四边形即是轴对称图形又是中心对称图形。
7. 如图，已知⊿DAB ，⊿EAC, ⊿FBC 都是等边三角形， A A
求证：四边形DECF 为平等四边形。
8. 如图，E 是矩形ABCD 边CB 延长线上一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点。 F
求证：BF ⊥FD
E B
D F 独立训练（三）
1. 如图，平形四边形ABCD 周长这32cm ，AB ：BC ＝5：3，AE ⊥CD
A 于F 且∠EAF ＝2∠C 求AE 和AF 的长
A
2. 如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，
∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数。
B 3. 如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点，BF ，CG C
A 相交于点M ，求证：AM ＝AB
E 4. 如图，BF ，BE 分别是∠ABC 及它的邻补角的平分线，AE ⊥BE
于E ，AF ⊥BF 于F ，EF 分别交AB ，AC 于 M，N D A F D C C B E D F B C F
1 求证：（1）AEBF 为矩形 （2）MN ＝ BC 2M
E N F
B C