内容摘要
数学与我们日常生活密切相关，日常生活中的许多问题来源于数学思想的应用。在掌握一定的数学基础的前提下，结合日常当中可能出现的数学问题，通过适当的规划安排，运用数学原理求解出行之有效的最优化方案。
本文的主要研究方向是通过对日常生活中经常涉及到的若干最优化问题进行归纳总结，分析其所涉及的数学原理并将其推广应用到其他生活案例当中去。本文的主要贡献是通过对运输成本问题和效益分配问题的最优化分析，详细地介绍了表上作业法和Shapley值法的求解过程，指出了模型存在的缺陷和不足，并对模型进行修改以及推广应用。
关键词: 最优化；表上作业法；Shapley值；推广应用
Abstract
Mathematics to our daily lives are closely related to many of the problems in our daily life from the application of mathematical thinking. Master the mathematical basis of the premise of the mathematical problems that may arise in day-to-day which, through appropriate planning arrangements, the use of mathematical principles for solving optimization program effective.
The main research directions to daily life often related to certain optimization problem to summarize,analyze its mathematical principles involved and promote the application to which the case of other life to go.The main contribution of this paper is the optimization analysis on transportation costs and efficiency of the distribution of the mostdetailed description of the solution process of the tabular method and the Shapley Value,pointed out that the model defects and deficiencies,and to modify the model and application.
Keywords: Optimization; Tabular method; Shapley method; Application
目 录
1研究的意义与目的 ........................................... 1
2研究现状分析............................................... 1
2.1研究的方法 ................................................ 1
2.2研究现状 .................................................. 2
3本文研究方向............................................... 2
3.1运输调配方向 .............................................. 3
3.2 效益分配方向 .............................................. 3
4运输调配问题最优化研究 ..................................... 3
4.1初始方案的给定 ............................................ 4
4.2最优性检验与方案的调整 .................................... 6
4.3表上作业法的总结 .......................................... 8
4.4表上作业法的改进及其推广应用 .............................. 9
5效益分配问题最优化研究 .................................... 12
5.1 n人合作对策和Shapley值 .................................. 12
5.2 Shapley值的推广应用 ...................................... 14
5.3 Shapley值法存在的缺陷 .................................... 16
5.4 其他求解方法 ............................................. 17
5.4.1协商解 ................................................. 17
5.4.2 Raiffa解 ............................................... 18
6传统模型的改进设想 ........................................ 18
6.1最小元素法的改进设想 ..................................... 18
6.2效益分配的改进设想 ....................................... 20
7总结与展望 ............................................... 20
7.1本文的主要贡献 ........................................... 20
7.2本文主要的改进方案 ....................................... 21
7.3研究展望 ................................................. 21
参考文献 ................................................... 22
致谢 ....................................................... 23
生活中的一些最优化问题研究
1研究的意义与目的
最优化问题，是指在日常生活中通过适当的规划安排，使得完成一件事所用的费用最少、路线最短、时间最短、产值最高、容积最大等的效率与分配问题，也就是要在各种方案中，寻求一个最节约、合理的方案。解决这类问题要注意两点: 一是明确问题，即通过问题描述中已知的数量关系把生活问题转化为单纯的数学问题，我们称之为数学建模的过程；二是建模后的求解问题，即用相关的数学知识求解出最优的处理方案[1]。
数学与我们日常生活密切相关，日常生活中的许多问题来源于数学思想的应用。在掌握一定的数学基础的前提下，结合日常生活当中可能出现的数学问题，通过适当的规划安排，运用数学原理求解出行之有效的最优化方案。本文通过对日常生活中经常涉及到的若干最优化问题进行归纳总结，分析其所涉及的数学原理并将其推广应用到其他生活案例当中去[2]。因而，引导学生学习应用数学，从众多的解决方案中寻求到最优化的方案，使他们感受到数学的应用价值，是一种能够调动高校学生积极学习数学的办法[3]。
2研究现状分析
2.1研究的方法
不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。反之，某些最优化方法可适用于不同类型的模型。目前，最优化问题的求解方法大致可分成解析法、直接法、数值计算法。①解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称
间接法。②直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。③数值计算法：这种方法也是一种直接法。它以梯度法为基础，所以是一种解析与数值计算相结合的方法[4]。
2.2研究现状
最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制等四个方面。最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决[5]。最优计划:现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策。最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制[6]。
3本文研究方向
虽然现今最优化问题研究渐趋成熟，也应用到很多不同的领域，但对日常生活存在的最优化问题的研究仍存在一定的空缺。本文将通过对日常生活中经常涉及到的一些最优化问题进行归纳总结，分析其所涉及的数学原理并将其推广应用到其他生活案例当中去。因而，如何运用最优化原理解决生活中存在的实际问题将是本文研究的主要方向，主要针对生活中的运输成本问题和效益公平分配问题进行研究分析[7]。
3.1运输调配方向
运输成本问题涉及了很多生活领域，生产运输、物流运输、仓库调配等等，但其主要的数学模型都是相似的，因此掌握这种问题的解决方法有着重要的作用。文中通过对生产运输问题进行分析，运用表上作业法列出详细的求解过程，并进行推广应用[8]。
3.2 效益分配方向
在日常的社会生活中，若干实体相互合作结成联盟或集团，常能比个体单独行动获得更多的经济利益或社会效益。但是效益公平分配问题经常成为他们合作的阻碍，如何合理地分配这些效益是促进合作的前提，也能给合作带来更多的效益。文中通过对合作效益分配问题进行分析研究，运用Shapley法列出详细的求解过程，并对模型进行修改推广。
4运输调配问题最优化研究
运输问题是社会经济生活和军事活动中经常出现的优化问题，是特殊的线性规划问题，它是早期的线性网络最优化的一个例子。最早研究这类问题的Hitchcock以及后来的Koopmans独立地提出运输问题并详细地对该问题加以讨论；同时KahTopoBny也围绕着运输问题作了大量的研究，因此运输问题又称为Hitchcock问题或Kantorvich问题。运输问题不仅代表了物资合理调运、车辆合理调度等问题，有些其他类型的问题经过适当变换后也可以归结为运输问题，如指派问题、最短路问题、最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题[9]。
运输问题在运筹学教学过程中占有重要地位，并且得到了众多学者的广泛关注，取得了许多重要的研究成果。但就在常用的运筹学教材中仅仅介绍运输问题的基础知识，对于运输问题的前沿发展涉及甚少，这远远不能反映当前对运输问题的深入研究。为此，在介绍运输问题的基本理论和方法的基础上，运用表上作业法对类似问题进行推广运用[10]。
【例1】某食品加工公司经销的主要产品之一是酸奶。该公司下面设有三个加工厂，每天酸奶的生产量分别为：A1-7t，A2-4t，A3-9t。该公司把这些酸奶分别运往四个地区的门市部进行销售，各地区每天的销售量分别为：B1-3t，B2-6t，B3-5t，B4-6t。已知从每个加工厂到对应的各销售门市部每吨酸奶的
运价如表4-1所示，问该食品公司该如何调运，在满足各门市部销售需要的前提下，使得总运费支出达到最少。
表4-1
以下运用表上作业法求解运输问题，首先给出一个初始方案，一般来讲，这个方案不会是最好的。因此需要给出一个判别准则，并对初始方案通过不断地调整、改进，一直到求得最优方案为止[10]。
先列出这个问题的的产销平衡表和单位运价表，见表4-2和表4-3
表4-2 产销平衡表
4.1初始方案的给定
给定初始方案的方法有很多，一般希望方法简便易行，尽量能给出较好的方案，减少迭代的次数，这里采用最小元素法。最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，依此类推，一直到给出全部方案为止[10]。
第一步：从表4-3的单位运价表中找出最小运价为1（如果有两个最小运价时任选其一），即从错误！未找到引用源。生产的酸奶首先供应B1需求。由于错误！
未找到引用源。每天生产4t，B1每天需要3t,即错误！未找到引用源。每天生
产的除了要满足错误！未找到引用源。全部需求之外，还剩下1t。因此在表4-2中（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）的交叉格中填上数字3，表示错误！未找到引用源。调运3t酸奶给错误！未找到引用源。，再在表4-3中将错误！未找到引用源。所在的这一列运价划去，表示已经满足错误！未找到引用源。的需求，无需继续调运给它。第一步得到的结果如表4-4和表4-5所示。
表4-4
表4-5
第二步：从表4-5中未划去的元素之中找出最小的运价为2，即错误！未找到引用源。每天剩余的酸奶要供应给错误！未找到引用源。。错误！未找到引用源。每天需要5t，错误！未找到引用源。每天只能供应1t，因此在表4-4（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）交叉处填写1，划去表4-5 错误！未找到引用源。所在的这一行运价，表示错误！未找到引用源。生产的酸奶已分配完，其结果见表4-6和表4-7.
表4-6
表4-7
第三步：同理再从表4-7中未划去的元素之中找出最小的元素为3，即错误！未找到引用源。生产的酸奶应优先满足错误！未找到引用源。需求。错误！未找到引用源。每天生产7t，错误！未找到引用源。还缺4t。因此在表中（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）交叉格内填上4，由于错误！未找到引用源。的需求此时已经满足，在表4-7中划去错误！未找到引用源。所在列的元素。 这样一步一步地进行下去，直到单位运价表上所有元素都被划去为止，这时在产销平衡表上可以得到一个调动方案（见表4-8），这个调动方案总的运费为86元。
表4-8
4.2最优性检验与方案的调整
最小元素法给出的是运输问题的一个基可行解，需要通过最优性检验判别该解的目标函数值是否达到最优，当为否时，应进行调整得到优化。检验的方法常
用的有闭回路法和位势法，这里采用闭回路法。运输问题中的闭回路是指调运方
案中的一个空格和几个有数字格的水平和垂直之间的连线包围成的封闭回路[11]。
构建闭回路是为了计算解中各非基变量（对应空格）的检验数，方法是令某一非基变量取值为1，通过变动原基变量的值找出一个的可行解，将其与原来的基可行解进行比较。在表4-8中给出了一个调运方案中，（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）是空格，即错误！未找到引用源。为非基变量。令错误！未找到引用源。，相应地为了找到新的可行解，原有基变量中错误！未找到引用源。需减1，错误！未找到引用源。加1，x21减1，见表4-9。表中由（错误！
未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（A2，错误！未找到引用源。）4个格的水平和垂直连线围成的闭回路，该闭回路除（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）为空格之外，（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）均有数字的格。将新可行解与原来解费用比较：x11从0变成1，运费加3元，x13减1，运费减少3元，错误！未找到引用源。加1，运费加2元，错误！未找到引用源。减1，运费减少1元，由此新可行解较原来解运费增加了（3-3+2-1）=1元，称为检验数，将其填入检验数表中（表4-10）的（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）相应的交叉格位置。类似地（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）为空格，可通过该空格找出一条其余顶点都有数字格的闭回路，求得其相应的检验数为
（7-1+2-3+10-5）=10，将其填入检验数表4-10的（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）的交叉格位置，因为任意的非基向量均可表示为基向量的唯一线性组合，因此通过任一空格可以找到，并且只能找到唯一的闭回路，并计算得到对应表4-8中解全部非基变量的检验数[12]。
表4-9
内容摘要
数学与我们日常生活密切相关，日常生活中的许多问题来源于数学思想的应用。在掌握一定的数学基础的前提下，结合日常当中可能出现的数学问题，通过适当的规划安排，运用数学原理求解出行之有效的最优化方案。
本文的主要研究方向是通过对日常生活中经常涉及到的若干最优化问题进行归纳总结，分析其所涉及的数学原理并将其推广应用到其他生活案例当中去。本文的主要贡献是通过对运输成本问题和效益分配问题的最优化分析，详细地介绍了表上作业法和Shapley值法的求解过程，指出了模型存在的缺陷和不足，并对模型进行修改以及推广应用。
关键词: 最优化；表上作业法；Shapley值；推广应用
Abstract
Mathematics to our daily lives are closely related to many of the problems in our daily life from the application of mathematical thinking. Master the mathematical basis of the premise of the mathematical problems that may arise in day-to-day which, through appropriate planning arrangements, the use of mathematical principles for solving optimization program effective.
The main research directions to daily life often related to certain optimization problem to summarize,analyze its mathematical principles involved and promote the application to which the case of other life to go.The main contribution of this paper is the optimization analysis on transportation costs and efficiency of the distribution of the mostdetailed description of the solution process of the tabular method and the Shapley Value,pointed out that the model defects and deficiencies,and to modify the model and application.
Keywords: Optimization; Tabular method; Shapley method; Application
目 录
1研究的意义与目的 ........................................... 1
2研究现状分析............................................... 1
2.1研究的方法 ................................................ 1
2.2研究现状 .................................................. 2
3本文研究方向............................................... 2
3.1运输调配方向 .............................................. 3
3.2 效益分配方向 .............................................. 3
4运输调配问题最优化研究 ..................................... 3
4.1初始方案的给定 ............................................ 4
4.2最优性检验与方案的调整 .................................... 6
4.3表上作业法的总结 .......................................... 8
4.4表上作业法的改进及其推广应用 .............................. 9
5效益分配问题最优化研究 .................................... 12
5.1 n人合作对策和Shapley值 .................................. 12
5.2 Shapley值的推广应用 ...................................... 14
5.3 Shapley值法存在的缺陷 .................................... 16
5.4 其他求解方法 ............................................. 17
5.4.1协商解 ................................................. 17
5.4.2 Raiffa解 ............................................... 18
6传统模型的改进设想 ........................................ 18
6.1最小元素法的改进设想 ..................................... 18
6.2效益分配的改进设想 ....................................... 20
7总结与展望 ............................................... 20
7.1本文的主要贡献 ........................................... 20
7.2本文主要的改进方案 ....................................... 21
7.3研究展望 ................................................. 21
参考文献 ................................................... 22
致谢 ....................................................... 23
生活中的一些最优化问题研究
1研究的意义与目的
最优化问题，是指在日常生活中通过适当的规划安排，使得完成一件事所用的费用最少、路线最短、时间最短、产值最高、容积最大等的效率与分配问题，也就是要在各种方案中，寻求一个最节约、合理的方案。解决这类问题要注意两点: 一是明确问题，即通过问题描述中已知的数量关系把生活问题转化为单纯的数学问题，我们称之为数学建模的过程；二是建模后的求解问题，即用相关的数学知识求解出最优的处理方案[1]。
数学与我们日常生活密切相关，日常生活中的许多问题来源于数学思想的应用。在掌握一定的数学基础的前提下，结合日常生活当中可能出现的数学问题，通过适当的规划安排，运用数学原理求解出行之有效的最优化方案。本文通过对日常生活中经常涉及到的若干最优化问题进行归纳总结，分析其所涉及的数学原理并将其推广应用到其他生活案例当中去[2]。因而，引导学生学习应用数学，从众多的解决方案中寻求到最优化的方案，使他们感受到数学的应用价值，是一种能够调动高校学生积极学习数学的办法[3]。
2研究现状分析
2.1研究的方法
不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。反之，某些最优化方法可适用于不同类型的模型。目前，最优化问题的求解方法大致可分成解析法、直接法、数值计算法。①解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称
间接法。②直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。③数值计算法：这种方法也是一种直接法。它以梯度法为基础，所以是一种解析与数值计算相结合的方法[4]。
2.2研究现状
最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制等四个方面。最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决[5]。最优计划:现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策。最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制[6]。
3本文研究方向
虽然现今最优化问题研究渐趋成熟，也应用到很多不同的领域，但对日常生活存在的最优化问题的研究仍存在一定的空缺。本文将通过对日常生活中经常涉及到的一些最优化问题进行归纳总结，分析其所涉及的数学原理并将其推广应用到其他生活案例当中去。因而，如何运用最优化原理解决生活中存在的实际问题将是本文研究的主要方向，主要针对生活中的运输成本问题和效益公平分配问题进行研究分析[7]。
3.1运输调配方向
运输成本问题涉及了很多生活领域，生产运输、物流运输、仓库调配等等，但其主要的数学模型都是相似的，因此掌握这种问题的解决方法有着重要的作用。文中通过对生产运输问题进行分析，运用表上作业法列出详细的求解过程，并进行推广应用[8]。
3.2 效益分配方向
在日常的社会生活中，若干实体相互合作结成联盟或集团，常能比个体单独行动获得更多的经济利益或社会效益。但是效益公平分配问题经常成为他们合作的阻碍，如何合理地分配这些效益是促进合作的前提，也能给合作带来更多的效益。文中通过对合作效益分配问题进行分析研究，运用Shapley法列出详细的求解过程，并对模型进行修改推广。
4运输调配问题最优化研究
运输问题是社会经济生活和军事活动中经常出现的优化问题，是特殊的线性规划问题，它是早期的线性网络最优化的一个例子。最早研究这类问题的Hitchcock以及后来的Koopmans独立地提出运输问题并详细地对该问题加以讨论；同时KahTopoBny也围绕着运输问题作了大量的研究，因此运输问题又称为Hitchcock问题或Kantorvich问题。运输问题不仅代表了物资合理调运、车辆合理调度等问题，有些其他类型的问题经过适当变换后也可以归结为运输问题，如指派问题、最短路问题、最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题[9]。
运输问题在运筹学教学过程中占有重要地位，并且得到了众多学者的广泛关注，取得了许多重要的研究成果。但就在常用的运筹学教材中仅仅介绍运输问题的基础知识，对于运输问题的前沿发展涉及甚少，这远远不能反映当前对运输问题的深入研究。为此，在介绍运输问题的基本理论和方法的基础上，运用表上作业法对类似问题进行推广运用[10]。
【例1】某食品加工公司经销的主要产品之一是酸奶。该公司下面设有三个加工厂，每天酸奶的生产量分别为：A1-7t，A2-4t，A3-9t。该公司把这些酸奶分别运往四个地区的门市部进行销售，各地区每天的销售量分别为：B1-3t，B2-6t，B3-5t，B4-6t。已知从每个加工厂到对应的各销售门市部每吨酸奶的
运价如表4-1所示，问该食品公司该如何调运，在满足各门市部销售需要的前提下，使得总运费支出达到最少。
表4-1
以下运用表上作业法求解运输问题，首先给出一个初始方案，一般来讲，这个方案不会是最好的。因此需要给出一个判别准则，并对初始方案通过不断地调整、改进，一直到求得最优方案为止[10]。
先列出这个问题的的产销平衡表和单位运价表，见表4-2和表4-3
表4-2 产销平衡表
4.1初始方案的给定
给定初始方案的方法有很多，一般希望方法简便易行，尽量能给出较好的方案，减少迭代的次数，这里采用最小元素法。最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，依此类推，一直到给出全部方案为止[10]。
第一步：从表4-3的单位运价表中找出最小运价为1（如果有两个最小运价时任选其一），即从错误！未找到引用源。生产的酸奶首先供应B1需求。由于错误！
未找到引用源。每天生产4t，B1每天需要3t,即错误！未找到引用源。每天生
产的除了要满足错误！未找到引用源。全部需求之外，还剩下1t。因此在表4-2中（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）的交叉格中填上数字3，表示错误！未找到引用源。调运3t酸奶给错误！未找到引用源。，再在表4-3中将错误！未找到引用源。所在的这一列运价划去，表示已经满足错误！未找到引用源。的需求，无需继续调运给它。第一步得到的结果如表4-4和表4-5所示。
表4-4
表4-5
第二步：从表4-5中未划去的元素之中找出最小的运价为2，即错误！未找到引用源。每天剩余的酸奶要供应给错误！未找到引用源。。错误！未找到引用源。每天需要5t，错误！未找到引用源。每天只能供应1t，因此在表4-4（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）交叉处填写1，划去表4-5 错误！未找到引用源。所在的这一行运价，表示错误！未找到引用源。生产的酸奶已分配完，其结果见表4-6和表4-7.
表4-6
表4-7
第三步：同理再从表4-7中未划去的元素之中找出最小的元素为3，即错误！未找到引用源。生产的酸奶应优先满足错误！未找到引用源。需求。错误！未找到引用源。每天生产7t，错误！未找到引用源。还缺4t。因此在表中（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）交叉格内填上4，由于错误！未找到引用源。的需求此时已经满足，在表4-7中划去错误！未找到引用源。所在列的元素。 这样一步一步地进行下去，直到单位运价表上所有元素都被划去为止，这时在产销平衡表上可以得到一个调动方案（见表4-8），这个调动方案总的运费为86元。
表4-8
4.2最优性检验与方案的调整
最小元素法给出的是运输问题的一个基可行解，需要通过最优性检验判别该解的目标函数值是否达到最优，当为否时，应进行调整得到优化。检验的方法常
用的有闭回路法和位势法，这里采用闭回路法。运输问题中的闭回路是指调运方
案中的一个空格和几个有数字格的水平和垂直之间的连线包围成的封闭回路[11]。
构建闭回路是为了计算解中各非基变量（对应空格）的检验数，方法是令某一非基变量取值为1，通过变动原基变量的值找出一个的可行解，将其与原来的基可行解进行比较。在表4-8中给出了一个调运方案中，（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）是空格，即错误！未找到引用源。为非基变量。令错误！未找到引用源。，相应地为了找到新的可行解，原有基变量中错误！未找到引用源。需减1，错误！未找到引用源。加1，x21减1，见表4-9。表中由（错误！
未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（A2，错误！未找到引用源。）4个格的水平和垂直连线围成的闭回路，该闭回路除（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）为空格之外，（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）均有数字的格。将新可行解与原来解费用比较：x11从0变成1，运费加3元，x13减1，运费减少3元，错误！未找到引用源。加1，运费加2元，错误！未找到引用源。减1，运费减少1元，由此新可行解较原来解运费增加了（3-3+2-1）=1元，称为检验数，将其填入检验数表中（表4-10）的（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）相应的交叉格位置。类似地（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）为空格，可通过该空格找出一条其余顶点都有数字格的闭回路，求得其相应的检验数为
（7-1+2-3+10-5）=10，将其填入检验数表4-10的（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）的交叉格位置，因为任意的非基向量均可表示为基向量的唯一线性组合，因此通过任一空格可以找到，并且只能找到唯一的闭回路，并计算得到对应表4-8中解全部非基变量的检验数[12]。
表4-9