统计学论文1

数学与统计学院

统计学相关课题的研究

姓名：

张宁学号： [1**********]2 专业：年级：指导教师：成绩：统计学 2009级易文德日期： 2011 年 6 月

摘要 .....................................................................................................1 引言 .....................................................................................................2

1. 方差分析 ............................................................................................2

1.1分析竞争者的数量对销售额是否有显著影响...........................................2 1.2分析超市的位置对销售额是否有显著影响......................................................2

1.3分析竞争者的数量和超市的位置对销售额是否有交互影响.......................................2

2. 多元线性回归 ......................................................................................3

2.1单目标规划 .................................................................................... 3

2.2级别相等的多目标规划 ...................................................................4

2.3 具有优先级别的多目标规划............................................................4

3. 时间序列分析 ......................................................................................5

3.1图解法求解目标规划……………………………………………………….5

3.2 单纯型表求解目标规划„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.11

3.3 LINGO软件求解目标规划………………………………………………………. 14 5 结论.......................................................................................................16 致谢 ................................................................................. ….…….. 16 参考文献………………………………………………………………..17

2009级统计学专业论文

基于统计学基础（第4版）的课程论文

-----统计学相关课题的研究

统计学专业1班张宁指导教师：易文德

摘要：统计学（statistics）是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。本文将针对统计学课题进行研究，以题目的方式来解答方差分析、多元线性规划、时间顺序分析。利用例题，我们可以更清楚的知道这三个问题。

关键词：（3-5个）统计学；课题；解析

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引言

由于现代经济管理的迅速发展，提出了许多发杂的、亟待人们去深入研究和解决的实际决策问题，同时也明显地暴露出传统线性规划的局限性，仅仅依赖传统线性规划已经无法解决如此复杂的决策问题。于是，应运而生，便开辟了多目标决策问题新的研究领域，其中，以多目标线性（ multiobjective linear programming）问题最引人注目。而在多目标线性规划问题的研究中，又以目标规划（goal programming）研究较为完善和成熟，这种方法是由美国著名运筹学家查恩斯和库柏于1961年最先提出来的，它一提出来就得到广泛的重视和迅速发展。这一方法与传统方法不同，它强调了系统性。目标规划方法在于寻找一个“尽可能”满足这些目标的解，而不是绝对满足这些目标的值。

方差分析问题

1.1 分析竞争者的数量对销售额是否有显著影响

应用线性规划，可以处理许多线性系统的最优化问题。但是，线性规划作为一种决策工具，在解决实际问题是，存在一定的局限性。现以例题1.1具体说明：

例1.1 某工厂生产两种产品，收到原料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制定一个获利最大的生产计划。具体数据见。

其数学模型应为：

Max z=6*x1+8*x2

s.t 5*x1+10*x2

4*x1+4*x2

x1,x2>=0.

其最优解，即最优生产计划为x1=8件，x2=2件，max z=64元。

从线性规划角度来看，问题似乎已经得到了圆满解决。但是，如果站在工厂计划人员的立场上对此进行平行评价的话，问题就没这么简单了。

第一，这是一个单目标最优化问题。如果用线性规划来处理，计划人员就不得不从众多目标中却行选择其一，作为线性规划的目标函数。但这样做的结果严重违背了某些部

17 设产品1和产品2的产量分别为x1和x2件，当用线性规划来描述和解决这个问题时，

门的愿望，因而使生产计划的实施受到影响，或者在一开始就由于多方面的矛盾而无法从多个目标中选出一个目标来。

第二，线性规划问题有最优解的必要条件是其克星解集非空，即各约束条件需彼此相容。但在实际生产者中，需受到储备资金的限制，原材料的最大供应量不能满足计划产量的需要时，从供给和需求两方面产生的约束条件就不相容了。

第三，线性规划问题解得可行性和最优性具有十分明确的意义，但那都是针对数学模型而言的。

这些情况表明，线性规划并不是完美无缺的。在处理实际问题时，线性规划存在着局限性。现代决策强调定量分析和定性分析相结合，强调硬技术和软技术相结合，强调矛盾和冲突的合理性，强调妥协和让步的必要性。线性规划无法胜任这些要求。于是，美国著名运筹学家查恩斯和库柏于1961年提出了目标规划。

1.2 目标规划的相关概念

目标规划数学模型涉及到下述基本概念。

1．）偏差变量

对每一个决策目标，引入正负偏差变量d+和d-，分别表示决策值超过或不足目标的部分。并定义d+》=0，d-》=0，d+*d-=0。

2．）绝对约束和目标约束

绝对约束是必须严格满足的约束条件，目标约束是一种软约束，目标约束中的决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。

3．）优先因子和权系数

不同的目标主次轻重有两种差别。一种差别是绝对的，可用优先因子P来表示， Pi>>Pi+1,即Pi对应的目标比Pi+1对应的目标有绝对的优先性，只有在实现了Pi级目标才能考虑Pi+1级目标。另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子，它们的重要程度可以用权系数Wij的不同来表示。

4. )目标规划的建模步骤

A. 列出全部的约束条件

B. 把要达到指标的约束不等式加上正负偏差变量后，化为目标约束等式。

C. 对目标赋予相应的优先因子优先等级。

D. 对同一级优先因子的各偏差变量，若重要程度不同时，可根据题意赋予不同的权系数。

E. 构造一个按优先因子及权系数和相应的目标偏差量所要实现最小化的目标函数。根据上述相关概念，即可列出目标规划数学模型，在建立目标规划模型时还应注意预期目标值、优先级和权系数的确定，并综合运用各种决策技术，尽可能的减少主观片面性。

2.目标规划的数学模型

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2.1 单目标规划

单目标规划与现行模型相似，都是单一目标。所不同的是，线性规划是在满足约束条件的前提下，使一个目标函数达到极大值或极小值，而单目标规划是招一个尽可能接近预期目标的解，下面通过例2.1说明单目标规划。

例2.1 在例1.1的基础上,规定要求实现的利润目标位140（千元），将问题改为求获得最大利润的生产方案。

这个问题即为单目标规划问题，则其数学模型为：

Max z= d- ;

s.t 8*x1 + 6*x2 - d+ + d- =140;

4*x1 + 2*x2

2*x1 + 4*x2

x1,x2,d+,d->=0.

2.2 级别相等的多目标规划

例2.2 在例2.1的基础上，假设工厂决策者根据市场调查，产品1的销量有下降趋势，故考虑实现下列两个目标：

1.) 实现利润目标122（千元）；

2.) 产品1的产来那个不多于10。

则其数学模型为： + d2+ ;

s.t 8*x1 + 6*x2 - d1+ + d1- =122;

x1 - d2+ + d2- =10;

4*x1 + 2*x2

2*x1 + 4*x2

x1,x2,d+,d->=0

2.3 具有优先级别的多目标规划

如果决策者根据目标在经营管理上的重要程度，给目标规定一个优先顺序，用优先因子P表示，对具有相同优先因子的各目标，再进行重要程度不同分别赋予不同的权值，从而强调不同的偏差量在同一优先级的相对重要程度，像这样的目标规划就是具有优先级别的目标规划。

例2.3 假设在例题1.1的基础上，计划人员还要求考虑如下的意见：

（1）由于产品2销售疲软，故希望产品2的产量不超过产品1的一半；

（2）原料严重短缺，生产中避免过量消耗；

（3）最好能节约4h设备工时；

（4）计划利润不少于48元。

针对这些意见，计划人员需要汇通有关方进一步的协调，最后达成了一种意见：原材料的使用限额不得突破；产品2 产量需要优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑利润的要求。

类似上述的多目标决策是典型的具有优先级别的多目标规划。其标规划数学模型如下：

Min z=P1d1- + P2d2+ + P3d3- ；

s.t 5*x1 + 10*x2

x1 - +2*x2 + d1- - d1+ =0;

4*x1 4*x2 + d2- - - d2+ =36;

6*x1 + 8*x2 + d3- d3+ =48;

x1,x2,di+,di->=0.

3.目标规划的解法

1.用图解法求解下列目标规划问题：

例3.1 minZP(d

11d1)P2d2

10x

112x2d1d162.5

 x 2x

12d2d210

 2x1 x2 8

x120,dldl0(l1.2)

如图：

B (0.6250 , 4.6875) C (0 , 5.2083) ， B、C 线段上的所有点均是该问题的解（无穷多最优解）。

2.用图单纯型表法解下列目标规划问题：

例3.2 已知一个生产计划的线性规划模型为:

2x1maxZ30x112x2x2140 (甲资源)乙资源) x1 60 ( 

 x2 100 (丙资源)

x012

其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现有下列目标：

1、要求总利润必须超过 2500 元；

2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过 60 件和 100 件；

3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。

试建立目标规划模型，并用图解法求解。

解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，模型如下：

minZP1d1P2(2.5d3d4)P3d2

 30x112x2d1d12500 2x1 x2 d2d2140  x1 d3d360

 x dd100244

x120,dl,dl0 (l1.2.3.4)

θ= min｛2500/30,140/2,60/1｝=60 ,故为换出变量。

θ= min｛700/30,20/2,－, －｝=10 ,故为换出变量。

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θ= min｛400/15,－,－, －｝=10 ,故为换出变量。

θ= min｛－,350/6,1250/6,100/1｝=75 ,故为换出变量。

表中α3＝115/3≠0，说明P3 优先等级目标没有实现，但已无法改进，得到满意解 x1 ＝

60， x2 ＝175/3， d2+ ＝115/3，d4- ＝125/3。结果分析：计算结果表明，工厂应生产A产品60件，B产品175/3件，2500元的利润目标刚好达到。＝125/3，表明产品比最高限额少125/3件，满足要求。＝115/3 表明甲资源超过库存115/3公斤，该目标没有达到。从表中还可以看到，P3 的检验数还有负数，但其高等级的检验数却是正数，要保证 P1目标实现，P3等级目标则无法实现。所以，按现有消耗水平和资源库存量，无法实现2500元的利润目标。可考虑如下措施：降低A、B产品对甲资源的消耗量，以满足现有甲资源库存量的目标；或改变P3等级目标的指标值，增加甲资源115/3公斤。若很难实现上述措施，则需改变现有目标的优先等级，以取得可行的满意解果。 3.用LINGO软件解目标规划问题：

例3.3 min Z=p1d31+p2d22+p3(d12+d11); s.t 6*x1+2*x2+d12-d11=24, x1+x2+d22-d21=5, 5*x2+d12-d31=15,

x1,x2>=0,di1,di2>=0

解：第一次线性规划：

minZ1=d31;

s.t 5*x2+d12-d31=15, x1,x2>=0,di1,di2>=0 第一次解答报告：

Global optimal solution found.

Objective value: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost D31 0.000000 1.000000 X2 0.000000 0.000000 D12 15.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 2 0.000000 0.000000

第二次线性规划：

minZ2=d22;

s.t 5*x2+d12-d31=15；

x1+x2+d22-d21=5；

d31=0;

x1,x2>=0,di1,di2>=0

第二次解答报告：

Global optimal solution found.

Objective value: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost D22 0.000000 1.000000 X2 3.000000 0.000000 D12 0.000000 0.000000 D31 0.000000 0.000000 X1 2.000000 0.000000 D21 0.000000 0.000000

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Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000

\第三次线性规划：

minZ3=d12+d11；

s.t 6*x1+2*x2+d12-d11=24； x1+x2+d22-d21=5； 5*x2+d12-d31=15； d31=0;

d22=1;

x1,x2>=0,di1,di2>=0 第三次解答报告：

Global optimal solution found.

Objective value: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost D12 0.000000 1.000000 D11 0.000000 1.000000 X1 3.000000 0.000000 X2 3.000000 0.000000 D22 1.000000 0.000000 D21 2.000000 0.000000 D31 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000

答案：满意解为由x1=(3,3)T和x2=(2,5,1,5)T所连得线段。

4.目标规划的应用

纺织厂生产规划

例4.1 利民纺织厂生产哔叽和华达呢两种产品，其主要设备生产能力及产品的利润、销售价等数据如表4.1：

（1）第一优先级：织布机害人细纱机的超市运转不要超过允许范围（即8.1%-10%）以保护设备；（2）第二优先级：按上级规定哔叽年产量达到1500万米以上，华达呢年产量达到1950万米以上；（3）第三优先级：年总利润不低于750万元；

（4）第四优先级：充分利用设备能力，但不要过分超额；（5）第五优先级：产值不低于2752.5万元。问：该如何让安排生产才能接近上述目标？

解：设每班生产哔叽x1百米，华达呢x2百米，得目标规划如下：

+ d2+) + p2(d3- + d4-) + p3d3- +p4(d6- +d7-) + p5d

s.t 23*x1 + 25*x2 - d1+ + d1- =8108;

462*x1 + 425*x2 + d2- - d2+ =152680; X1 + d3- = 200; X2 + d4- = 260;

32*x1 + 31*x2 + d5- - d5+ =7500;

462x1 + 425x2 - d7+ + d7- =138800; 110x1 + 105x2 - d8+ + d88 -=36700;

Min z=p1(d1+

x1,x2,di-,di+>=0 (i=1,…8)

5.总结

这次关于目标规划的课程研究，主要从目标规划问题的提出、相关概念的形成，目标规划的三种数学模型、三种不同的解题方法以及其相关应用这几个方面做了探讨。从20世纪60年代初的目标规划的提出开始，目标规划解决了很多线性规划所不能解决的问题。如今，目标规划已经成为了一种数学方法，广泛应用于经济规划、生产管理、财务分析等领域，它不仅是对线性规划的重大发展，也是对线性规划的有益补充，更是我们处理实际问题的好帮手。

致谢

本文的研究工作是在我的导师田大雄的指导下完成，我的学业和论文研究工作中无不

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倾注着导师辛勤的汗水和心血。导师的严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神使我深受的启迪。从尊敬的导师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理。在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。

在此，向所有关心和帮助过我的导师、老师、同学和朋友表示由衷的谢意！

参考文献

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版社,2001

[3] 高曙明.自动特征识别技术综述[J].计算机学报,1998,21(3)：281～288 [4] 专利文献书写格式：作者.专利名[P] .专利国别：专利号，出版日期 [5] 电子文献书写格式：作者.电子文献名.出版者或网址，发表时间