判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分）
Q Q 'r
1． 库仑力F =表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q
4πε0r 3
把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为：
∇⋅j =∂ρ/∂t 。 （ ）
4． 在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B 法向分
量连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为：
24
W =P 2c 2+m 0c 。 （ ）
一． 简答题（每题5分，共15分）。
1．如果∇⋅E >0，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。
2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？
3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s 之间的关系。
二． 证明题（共15分）。
多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率
ω与它的静止角频率ω0的关系为：ω=
ω0
v
γ(1-cos θ)
c
，其中
γ=(-v 2/c 2) -1；v 为光源运动速度。（15分）
四. 综合题（共55分）。
1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求：
（1）导体内、外空间的B 、H ；
（2）体内磁化电流密度j M ；（15分）。
2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为E 0，求介质中球形空腔内的电势和电场（分离变量法）。（15分）
3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前π。求合成波的偏振。若
合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分） 4．在接地的导体平面有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，如图所示。点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （b >a ）。试用电像法求空间电势。（10分）
Q ∙ b
1、⨯ 2、√ 3、⨯ 4、√ 5、√
二、简答题 1、
2、由于电磁辐射的平均能流密度为S
=
2 P
22 sin θ，反比于，正比于sin θn 2
32π2ε0c 3R
R 2，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。
3由于 g =ε0E ⨯B S =E ⨯H 在真空中B =μ0H
且c =
所以g =
三、证明：
1 S 2c
设光源以速度v 运动，设与其连接坐标系为∑'，地面参照系∑，在洛伦兹变换下，k μ的变换式为
' k μ=a μνk ν (1)
00i βν⎫
⎪
100⎪
(2)
010⎪
⎪
00ν⎪⎭
v
ω (3) 2c
i ω
(4) c
⎛ν 0
a = 0
-i βν⎝
因此有
'=νk 1-ν k 1
i
ω'
c
=-i βνk 1+ν
设波矢量k 与x 轴方向的夹角为θ，则有
k 1=
ω
c
cos θ (5)
代入(4)式，整理得 ω'=ων(1-
v
cos θ) (6) c
∑'为光源静止参考系。设光源静止频率为ω0，则ω'=ω0，则有
ω=
ω0
v
ν(1-cos θ)
c
(7)
证毕。
四、综合题
一、 1、(1) 利用安培定理 H ⋅d l =I 由对称性，当r
>a 时，
I I
e θ B =μ0e θ 2πrH θ=I H =2πr 2πr
当r
I Ir Ir 2
⋅πr H =e B =μe H θ2πr = 22θ2θπa 2πa 2πa
I I ⨯r I ⨯r
e θ=μ0H =即 r >a B =μ0 2πr 2πr 22πr 2
Ir I ⨯r I ⨯r
e =μH = r
2πa 2πa 2πa
B (2) M =-H
μ0
μ r
μ0
μμI
j M =∇⨯M =(-1) ∇⨯H =(-1) 2
μ0μ0πa
r >a M =0，j M =0
(3) αμN =M 2t -M 1t =0-(
μ-1) Ir =a
=-(
μ02πa 2
r μ-1)
I
02πa
α
=-(μI
μ-1)
02πa
2、如图所示，选择E
0方向为z 轴方向，
球腔半径设为R 0，球腔内外均满足方程 ∇2
ϕ=0 (1)
解为 r
1=∑[a n r n P n (cosθ) +
r n +1
P n (cosθ)] (2) n
r >a ϕ2=∑[c n n r P n (cosθ) +
d n
r n +1
P n (cosθ)] n
当r
→∞ ϕ2→-E 0r cos θ ∴ c n =0 n ≠1 c 1=-E 0
ϕ=-E d n
2
0r cos θ+∑
n
r n +1
P n (cosθ) (3) 当r →0 ϕ1有限。 ∴ b n =0
ϕ1=∑a n r n P n (cosθ) (4)
n
在r
=R 0界面上有
ϕ1=ϕ2r =R 0
ε∂ϕ1∂0
∂r =εϕ2
∂r
r =R 0
(5)
因此有
-E d n 0R 0cos θ
+∑
R n +1P n
(cosθ) =R 0P n (cosθ) n ∑a n n 0n
∞
ε[-E ∑-(n +1) d n ∞P (cosθ)]=ε[na R n -1
0cos θ+P n n =0R n +2
n 0∑n 0(cosθ)] 0n =1
比较系数得
E 0
d 1⎧
-E R +=a 1R 0d 0⎧002⎪R 0⎪a 0=⎪
R 0 ⎨ ⎨
⎪d =0⎪ε(-E -2d 1) =εa
001⎩03
⎪R 0⎩
解得 a 0
=0，d 0=0，a n =0，d n =0 (n ≠0, 1)
-3εE 0ε0E 0R 02
a 1= d 1= (6)
2ε+ε02ε+ε0
-3εE 0⎧ϕ=⎪12ε+εr cos θ
0⎪
∴ ⎨ (7) 3
(ε-ε) E R 00⎪ϕ=-E r cos θ+0
cos θ202⎪(2ε+ε0) r ⎩
腔内电场
E 1=-∇ϕ1=
3ε
E 0 (8)
2ε+ε0
3、解：设沿x 轴和y 轴振荡的波分别为：
i k z -ω t )E 1=E 0e x e (
π⎫⎛
i k z -ω t +⎪ i (k z -ω t ) 2⎭⎝
E 2=E 0e e y =iE 0e y e
合成波为：
i (k z -ω t )E =E +E =E e +ie 120(x y )e
可见，合成波仍然为单色平面波，只是振幅变了，其实部为：
i (k z -ω t )
⎤E =E 0⎡cos k z -ω t e -sin k z -ω t e e ()()，上式表明，矢量E x y ⎦⎣
的末端为一圆周，称为圆偏振，振幅为E 0 磁场矢量：
B =⨯E
1 1 i (k z -ω t )
=e z ⨯E =e z ⨯E 0(e x +ie y )e
c c E
=0(e y -ie x )e i (k z -ω t )
c
1 * S =Re (E ⨯H )2
E 02 =Re (e x -ie y )⨯(
e y -ie x )
2c μ0 =
2 e 0z
4、由球面对称性，有一像电荷Q '满足
Q 'Q
+=0 (1) Q 'P QP
即
Q 'P Q '
=- QP Q
要求∆OP Q '~∆OQP 即
Q 'P a d Q '
===- QP b a Q
a a 2
Q '=-Q (2) ∴ d =
b b
再由面对称性，在-d 处有点像电荷-Q '，-b 处一像电荷-Q ，如图示。因此空间电势为
a
1Q b ϕ=[+4πε0b 2+R 2-2bR cos θd 2+R 2-2dR cos θ
-Q
z
Q b
P '
a
Q +-]
2222d +R +2dR cos θb +R +2bR cos θ
Q
(3)
a 2a Q 1-Q 2 F =[++]e z 222
4πε0(b -d ) (b +d ) 4b
-Q 2
Q '
O a -d -Q '
-b
θ
R P R
-Q
判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分）
Q Q 'r
1． 库仑力F =表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q
4πε0r 3
把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为：
∇⋅j =∂ρ/∂t 。 （ ）
4． 在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B 法向分
量连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为：
24
W =P 2c 2+m 0c 。 （ ）
一． 简答题（每题5分，共15分）。
1．如果∇⋅E >0，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。
2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？
3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s 之间的关系。
二． 证明题（共15分）。
多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率
ω与它的静止角频率ω0的关系为：ω=
ω0
v
γ(1-cos θ)
c
，其中
γ=(-v 2/c 2) -1；v 为光源运动速度。（15分）
四. 综合题（共55分）。
1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求：
（1）导体内、外空间的B 、H ；
（2）体内磁化电流密度j M ；（15分）。
2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为E 0，求介质中球形空腔内的电势和电场（分离变量法）。（15分）
3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前π。求合成波的偏振。若
合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分） 4．在接地的导体平面有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，如图所示。点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （b >a ）。试用电像法求空间电势。（10分）
Q ∙ b
1、⨯ 2、√ 3、⨯ 4、√ 5、√
二、简答题 1、
2、由于电磁辐射的平均能流密度为S
=
2 P
22 sin θ，反比于，正比于sin θn 2
32π2ε0c 3R
R 2，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。
3由于 g =ε0E ⨯B S =E ⨯H 在真空中B =μ0H
且c =
所以g =
三、证明：
1 S 2c
设光源以速度v 运动，设与其连接坐标系为∑'，地面参照系∑，在洛伦兹变换下，k μ的变换式为
' k μ=a μνk ν (1)
00i βν⎫
⎪
100⎪
(2)
010⎪
⎪
00ν⎪⎭
v
ω (3) 2c
i ω
(4) c
⎛ν 0
a = 0
-i βν⎝
因此有
'=νk 1-ν k 1
i
ω'
c
=-i βνk 1+ν
设波矢量k 与x 轴方向的夹角为θ，则有
k 1=
ω
c
cos θ (5)
代入(4)式，整理得 ω'=ων(1-
v
cos θ) (6) c
∑'为光源静止参考系。设光源静止频率为ω0，则ω'=ω0，则有
ω=
ω0
v
ν(1-cos θ)
c
(7)
证毕。
四、综合题
一、 1、(1) 利用安培定理 H ⋅d l =I 由对称性，当r
>a 时，
I I
e θ B =μ0e θ 2πrH θ=I H =2πr 2πr
当r
I Ir Ir 2
⋅πr H =e B =μe H θ2πr = 22θ2θπa 2πa 2πa
I I ⨯r I ⨯r
e θ=μ0H =即 r >a B =μ0 2πr 2πr 22πr 2
Ir I ⨯r I ⨯r
e =μH = r
2πa 2πa 2πa
B (2) M =-H
μ0
μ r
μ0
μμI
j M =∇⨯M =(-1) ∇⨯H =(-1) 2
μ0μ0πa
r >a M =0，j M =0
(3) αμN =M 2t -M 1t =0-(
μ-1) Ir =a
=-(
μ02πa 2
r μ-1)
I
02πa
α
=-(μI
μ-1)
02πa
2、如图所示，选择E
0方向为z 轴方向，
球腔半径设为R 0，球腔内外均满足方程 ∇2
ϕ=0 (1)
解为 r
1=∑[a n r n P n (cosθ) +
r n +1
P n (cosθ)] (2) n
r >a ϕ2=∑[c n n r P n (cosθ) +
d n
r n +1
P n (cosθ)] n
当r
→∞ ϕ2→-E 0r cos θ ∴ c n =0 n ≠1 c 1=-E 0
ϕ=-E d n
2
0r cos θ+∑
n
r n +1
P n (cosθ) (3) 当r →0 ϕ1有限。 ∴ b n =0
ϕ1=∑a n r n P n (cosθ) (4)
n
在r
=R 0界面上有
ϕ1=ϕ2r =R 0
ε∂ϕ1∂0
∂r =εϕ2
∂r
r =R 0
(5)
因此有
-E d n 0R 0cos θ
+∑
R n +1P n
(cosθ) =R 0P n (cosθ) n ∑a n n 0n
∞
ε[-E ∑-(n +1) d n ∞P (cosθ)]=ε[na R n -1
0cos θ+P n n =0R n +2
n 0∑n 0(cosθ)] 0n =1
比较系数得
E 0
d 1⎧
-E R +=a 1R 0d 0⎧002⎪R 0⎪a 0=⎪
R 0 ⎨ ⎨
⎪d =0⎪ε(-E -2d 1) =εa
001⎩03
⎪R 0⎩
解得 a 0
=0，d 0=0，a n =0，d n =0 (n ≠0, 1)
-3εE 0ε0E 0R 02
a 1= d 1= (6)
2ε+ε02ε+ε0
-3εE 0⎧ϕ=⎪12ε+εr cos θ
0⎪
∴ ⎨ (7) 3
(ε-ε) E R 00⎪ϕ=-E r cos θ+0
cos θ202⎪(2ε+ε0) r ⎩
腔内电场
E 1=-∇ϕ1=
3ε
E 0 (8)
2ε+ε0
3、解：设沿x 轴和y 轴振荡的波分别为：
i k z -ω t )E 1=E 0e x e (
π⎫⎛
i k z -ω t +⎪ i (k z -ω t ) 2⎭⎝
E 2=E 0e e y =iE 0e y e
合成波为：
i (k z -ω t )E =E +E =E e +ie 120(x y )e
可见，合成波仍然为单色平面波，只是振幅变了，其实部为：
i (k z -ω t )
⎤E =E 0⎡cos k z -ω t e -sin k z -ω t e e ()()，上式表明，矢量E x y ⎦⎣
的末端为一圆周，称为圆偏振，振幅为E 0 磁场矢量：
B =⨯E
1 1 i (k z -ω t )
=e z ⨯E =e z ⨯E 0(e x +ie y )e
c c E
=0(e y -ie x )e i (k z -ω t )
c
1 * S =Re (E ⨯H )2
E 02 =Re (e x -ie y )⨯(
e y -ie x )
2c μ0 =
2 e 0z
4、由球面对称性，有一像电荷Q '满足
Q 'Q
+=0 (1) Q 'P QP
即
Q 'P Q '
=- QP Q
要求∆OP Q '~∆OQP 即
Q 'P a d Q '
===- QP b a Q
a a 2
Q '=-Q (2) ∴ d =
b b
再由面对称性，在-d 处有点像电荷-Q '，-b 处一像电荷-Q ，如图示。因此空间电势为
a
1Q b ϕ=[+4πε0b 2+R 2-2bR cos θd 2+R 2-2dR cos θ
-Q
z
Q b
P '
a
Q +-]
2222d +R +2dR cos θb +R +2bR cos θ
Q
(3)
a 2a Q 1-Q 2 F =[++]e z 222
4πε0(b -d ) (b +d ) 4b
-Q 2
Q '
O a -d -Q '
-b
θ
R P R
-Q