2011年初中数学教师基本功比赛
——解题比赛笔试试卷
本卷满分：100分 考试时间：150分钟
学校—— 姓名——
亲爱的老师：
你好！2011年江北区初中数学教师解题比赛今天在实验中学举行，相信你已经有了充分的准备。以下试题分为两大块，一是关于初中数学的基础知识和基本技能，二是关于教材中有关数学及其数学问题的探讨。我们举办解题比赛，不是为了决出大家能力的高低，而是希望通过这种方式引起大家对教材的关注，对数学思想方法的重视，逐步形成问题意识和反思问题的能力。
一、基础知识和基本技能（每小题4分，共40分）
1．已知锐角△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，则HD:HE:HF=（ ）
A ．a ：b ：c
B．cosA:cosB:cosC 111111::C ．:: D ． a b c cos A cos B cos C
2．若m =(2a +1+2b -2-4(a +b ) 2
(2a +1)(2b -1) ，则m (m +4) 的值为（ ） 111A.- B.0 C. D. 242
3. 已知矩形ABCD 中，AB=72，AD=56，若将AB 边72等分，过每个分点分别作AD 的平行线；将AD 边56等分，过每个分点分别作AB 的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形，于是，被对角线AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC 上的两个点）共有（ ）个。
A.130 B.129 C.121 D.120
4. 某中学从初一到高三年级学生中挑选学生会成员，至少要满足以下一个条件： ①初一年级至多选1人； ②初二年级至多选2人；
③初三年级至多选3人； ④高一年级至多选4人；
⑤高二年级至多选5人； ⑥高三年级至多选6人；
则至多要选出（ ）名同学才能做到。
A. 21 B. 22 C.26 D.28
5. 如图，函数y =mx -4m 的图象分别交x 轴，y 轴于
N 、M ，MN 上两点A 、B 在x 轴上的射影分别为A 1、
B 1，若OA 1+OB1＞4，则△OA 1A 的面积S 1与△OB 1B 的
面积S 2的大小关系是（ ）
A.S1＞S 2 B. S1=S2
C. S1＜S 2 D.无法确定
6. 在凸四边形ABCD 中，AD=BC，∠A=∠C=100°，则四边形ABCD 的形状是 。
7. 将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ，则由x ，y 所确定的点M （x,y ）在双曲线y =6上的概率为。 x
8. 在锐角△ABC 中，∠A=60°，AD ⊥BC 于点D ，BD=1，CD=2，则△ABC 的面积为 。
1a 9. 若不等式(x +y )(+) ≥16对任何正实数x ，y 均成立，则实数a 的最小值是 。 x y
2a 22b 22c 2
=b , =c , =a ，10. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足条件，2221+a 1+b 1+c
△ABC 的面积为 。
二、教材研究
11. 全等三角形是研究几何图形的基石。大家都知道两个三角形全等，只需要有
三个基本元素对应相等，且满足一定的顺序就可以判定两个三角形全等，在这里“对应”两个字是关键，那么现在有两个三角形5个基本元素分别相等，那么这两个三角形是否一定全等？请说明理由。（10分）
12. 我们知道，全等三角形对应边上的高线、中线、角平分线分别对应相等。请
问：如果两个三角形有两边和第三边上的高线（中线，角平分线）分别对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？请分别对上述三个命题作出判断，是真命题，请给出证明，是假命题，请举出反例。（15分）
三、数学文化
13. 黄金分割是普遍存在的自然现象，数学上最早接触的是毕达哥拉斯学派，毕
达哥拉斯学派是当时希腊的一个秘密团体。不过，当时毕达哥拉斯学派并没有提出黄金分割这一名称，他们的兴趣是在线段上作出这个点：即如图线段AB ，在线段上作出点P ，使AP BP 。 AB Ap
现在请你用尺规作出下面这条线段的黄金分割点。（10分）
四、数学研究
14. 将一个半径为γ的圆面积四等分，方法非常多。如作两条互相垂直的直线，
下面请你再用另外5种方法将一个半径为γ的圆面积四等分，并简单说明分割线是如何画的。（15分）
15. 数学上有一个很基本的定理：如果a 、b 是实数，那么a 2+b 2≥2ab ，其中“=”
号当且仅当a=b时取得，此定理等价于：a>0,b>0
时，a +b ≥=”2
当且仅为a=b时取得，这个定理在不同的学习阶段都会有不同的证法，利用非负数性质直接证明是有效而简单的证明方法，现在请你利用平面几何知识构
造一个几何图形来证明a +b ≥（10分）
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2011年初中数学教师基本功比赛
——解题比赛笔试试卷
本卷满分：100分 考试时间：150分钟
学校—— 姓名——
亲爱的老师：
你好！2011年江北区初中数学教师解题比赛今天在实验中学举行，相信你已经有了充分的准备。以下试题分为两大块，一是关于初中数学的基础知识和基本技能，二是关于教材中有关数学及其数学问题的探讨。我们举办解题比赛，不是为了决出大家能力的高低，而是希望通过这种方式引起大家对教材的关注，对数学思想方法的重视，逐步形成问题意识和反思问题的能力。
一、基础知识和基本技能（每小题4分，共40分）
1．已知锐角△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，则HD:HE:HF=（ ）
A ．a ：b ：c
B．cosA:cosB:cosC 111111::C ．:: D ． a b c cos A cos B cos C
2．若m =(2a +1+2b -2-4(a +b ) 2
(2a +1)(2b -1) ，则m (m +4) 的值为（ ） 111A.- B.0 C. D. 242
3. 已知矩形ABCD 中，AB=72，AD=56，若将AB 边72等分，过每个分点分别作AD 的平行线；将AD 边56等分，过每个分点分别作AB 的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形，于是，被对角线AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC 上的两个点）共有（ ）个。
A.130 B.129 C.121 D.120
4. 某中学从初一到高三年级学生中挑选学生会成员，至少要满足以下一个条件： ①初一年级至多选1人； ②初二年级至多选2人；
③初三年级至多选3人； ④高一年级至多选4人；
⑤高二年级至多选5人； ⑥高三年级至多选6人；
则至多要选出（ ）名同学才能做到。
A. 21 B. 22 C.26 D.28
5. 如图，函数y =mx -4m 的图象分别交x 轴，y 轴于
N 、M ，MN 上两点A 、B 在x 轴上的射影分别为A 1、
B 1，若OA 1+OB1＞4，则△OA 1A 的面积S 1与△OB 1B 的
面积S 2的大小关系是（ ）
A.S1＞S 2 B. S1=S2
C. S1＜S 2 D.无法确定
6. 在凸四边形ABCD 中，AD=BC，∠A=∠C=100°，则四边形ABCD 的形状是 。
7. 将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ，则由x ，y 所确定的点M （x,y ）在双曲线y =6上的概率为。 x
8. 在锐角△ABC 中，∠A=60°，AD ⊥BC 于点D ，BD=1，CD=2，则△ABC 的面积为 。
1a 9. 若不等式(x +y )(+) ≥16对任何正实数x ，y 均成立，则实数a 的最小值是 。 x y
2a 22b 22c 2
=b , =c , =a ，10. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足条件，2221+a 1+b 1+c
△ABC 的面积为 。
二、教材研究
11. 全等三角形是研究几何图形的基石。大家都知道两个三角形全等，只需要有
三个基本元素对应相等，且满足一定的顺序就可以判定两个三角形全等，在这里“对应”两个字是关键，那么现在有两个三角形5个基本元素分别相等，那么这两个三角形是否一定全等？请说明理由。（10分）
12. 我们知道，全等三角形对应边上的高线、中线、角平分线分别对应相等。请
问：如果两个三角形有两边和第三边上的高线（中线，角平分线）分别对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？请分别对上述三个命题作出判断，是真命题，请给出证明，是假命题，请举出反例。（15分）
三、数学文化
13. 黄金分割是普遍存在的自然现象，数学上最早接触的是毕达哥拉斯学派，毕
达哥拉斯学派是当时希腊的一个秘密团体。不过，当时毕达哥拉斯学派并没有提出黄金分割这一名称，他们的兴趣是在线段上作出这个点：即如图线段AB ，在线段上作出点P ，使AP BP 。 AB Ap
现在请你用尺规作出下面这条线段的黄金分割点。（10分）
四、数学研究
14. 将一个半径为γ的圆面积四等分，方法非常多。如作两条互相垂直的直线，
下面请你再用另外5种方法将一个半径为γ的圆面积四等分，并简单说明分割线是如何画的。（15分）
15. 数学上有一个很基本的定理：如果a 、b 是实数，那么a 2+b 2≥2ab ，其中“=”
号当且仅当a=b时取得，此定理等价于：a>0,b>0
时，a +b ≥=”2
当且仅为a=b时取得，这个定理在不同的学习阶段都会有不同的证法，利用非负数性质直接证明是有效而简单的证明方法，现在请你利用平面几何知识构
造一个几何图形来证明a +b ≥（10分）
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