2014-2015相似三角形专题复习
【知识点梳理】
1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。 2．相似三角形的判定： ①平行法
②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)
③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”) ④两角对应相等(AA) ⑤直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。
相似三角形的基本图形
3．相似三角形的性质：①对应角相等 ②对应边的比相等 ③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比 ④对应的面积之比等于相似比的平方。
4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。 【例题精讲】
考点一：平行线分线段成比例 1、（2012广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）
A． 7
B． 7.5
C． 8
D． 8.5
2、（2013乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．
m n
B a
D b
c
考点二：相似三角形的判定
1、（2013南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与
B，C重合），过点P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若CE＝3,求BP的长.
A
D B
P
C
2、（2014•山东潍坊）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点 E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（ ）
考点三：相似三角形的性质
1．（2013青海西宁）如图6，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°，
BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ） A．9 B．12 C．16 D．18
2．（2013四川雅安）如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）
A．△ADE∽△ABC B．S△ABF=S△AFC C．S△ADE=
1
S△ABC D．DF=EF 4
3．（2013四川内江）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积= ．
E
F C B
考点四: 位似 1、（2013南宁）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．
1112 B． C． D． 6323
考点五: 相似三角形的应用
A．
知识点1：物高与影长问题：
1、为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长 （B‘C‘
）为1.8米,求路灯离地面的高度.
ShO
BC
A
'B'
C'
2、如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=1.125m，蹲下来，则身影AC=0.5m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH.
（第2题）
.知识点2.三角形中截出矩形问题： 1、（2013娄底）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H． （1）求证：
；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
2、（2013孝感）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0)．
（1）△ABC中边BC上高AD= ；
（2）当x= 时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），
求y关于x的函数关系式
D
B P D Q （第2题图1） （第2题图2）
知识点3:动态中的相似问题：
1、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间 （0≤ t ≤6），那么：
（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？
DC
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ Q
2、如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，当点C与点R重合时等腰△PQR就停止运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm，解答下列问题： （1）求S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，S的值最大？并求S的最大值。
2
【巩固练习】 1、（2013巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 ．
第1题图 第2题图
2、（2013厦门）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=
第3题图 第4题图 第5题图
3、（2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ．
4、（2013湘西）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF
5、（2013温州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥
BC，已知AE=6，
，则EC
第6题图 第7题图
第8题图 6、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△
3
（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
7、2013自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长
8、（2013黔东南）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则
的值是
9、（2013莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D. 正五边形与正五边形 10.（2013宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为
第10题图 第11题图 第12题图
11、（2013重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为
(
)
A
．5cm B．6cm。 C．7cm D．8cm
第13题图 第14题图 第16题图
12、（2013荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=
13、（2013天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为． 14、（2013恩施）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并
为
1
，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ） 2
A．（﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 16、（2013泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为 ． 17
、（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） 18．（2014•四川遂宁）已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为
．
17题图
19、（2014•四川巴中）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA； （2）求证：直线MN是⊙O的切线．
20、（2013绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G， 点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
21、 (2014•山东东营)【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．
2014-2015相似三角形专题复习
【知识点梳理】
1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。 2．相似三角形的判定： ①平行法
②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)
③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”) ④两角对应相等(AA) ⑤直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。
相似三角形的基本图形
3．相似三角形的性质：①对应角相等 ②对应边的比相等 ③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比 ④对应的面积之比等于相似比的平方。
4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。 【例题精讲】
考点一：平行线分线段成比例 1、（2012广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）
A． 7
B． 7.5
C． 8
D． 8.5
2、（2013乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．
m n
B a
D b
c
考点二：相似三角形的判定
1、（2013南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与
B，C重合），过点P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若CE＝3,求BP的长.
A
D B
P
C
2、（2014•山东潍坊）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点 E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（ ）
考点三：相似三角形的性质
1．（2013青海西宁）如图6，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°，
BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ） A．9 B．12 C．16 D．18
2．（2013四川雅安）如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）
A．△ADE∽△ABC B．S△ABF=S△AFC C．S△ADE=
1
S△ABC D．DF=EF 4
3．（2013四川内江）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积= ．
E
F C B
考点四: 位似 1、（2013南宁）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．
1112 B． C． D． 6323
考点五: 相似三角形的应用
A．
知识点1：物高与影长问题：
1、为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长 （B‘C‘
）为1.8米,求路灯离地面的高度.
ShO
BC
A
'B'
C'
2、如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=1.125m，蹲下来，则身影AC=0.5m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH.
（第2题）
.知识点2.三角形中截出矩形问题： 1、（2013娄底）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H． （1）求证：
；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
2、（2013孝感）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0)．
（1）△ABC中边BC上高AD= ；
（2）当x= 时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），
求y关于x的函数关系式
D
B P D Q （第2题图1） （第2题图2）
知识点3:动态中的相似问题：
1、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间 （0≤ t ≤6），那么：
（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？
DC
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ Q
2、如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，当点C与点R重合时等腰△PQR就停止运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm，解答下列问题： （1）求S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，S的值最大？并求S的最大值。
2
【巩固练习】 1、（2013巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 ．
第1题图 第2题图
2、（2013厦门）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=
第3题图 第4题图 第5题图
3、（2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ．
4、（2013湘西）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF
5、（2013温州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥
BC，已知AE=6，
，则EC
第6题图 第7题图
第8题图 6、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△
3
（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
7、2013自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长
8、（2013黔东南）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则
的值是
9、（2013莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D. 正五边形与正五边形 10.（2013宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为
第10题图 第11题图 第12题图
11、（2013重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为
(
)
A
．5cm B．6cm。 C．7cm D．8cm
第13题图 第14题图 第16题图
12、（2013荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=
13、（2013天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为． 14、（2013恩施）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并
为
1
，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ） 2
A．（﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 16、（2013泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为 ． 17
、（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） 18．（2014•四川遂宁）已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为
．
17题图
19、（2014•四川巴中）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA； （2）求证：直线MN是⊙O的切线．
20、（2013绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G， 点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
21、 (2014•山东东营)【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．