例1 如图,E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点,AM⊥EF,垂足为M,若AM=AB,求证:EF=BE+CF
例2 已知:如图,正方形ABCD中,延长AD到E,使DE=AD,再延长DE到F,使DF=BD,连接BF交CD于Q,交CE于P。求证PD=PQ
例3 如图,在◇ABCD中,∠ABC=75°,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,求∠AED
例4 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,以AC、AD为边作◇ACED,DC的延长线交BE于F,求证:EF=FB
证明 如图所示,连接AE交DC于O.
∵四边形ACED是平行四边形. ∴O是AE的中点. ∵在梯形ABCD中, DC∥AB,在△EAB中, OF∥AB,
又∵O是AE的中点, ∴F是EB的中点, ∴EF=BF.
例5 如图,以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG,AM是△ABC的中线,连接EG。求证EG=2AM
延长BA至点H ,使得BA=AH
对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC ,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH
又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM 所以得AM=二分之一EG
多边形
一、选择题
1. (安徽)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是( ) A.7 B.9 C.10 D.
11
B
9
题图
2. (山东威海)在□ABCD中,点E为AD的中点,连接BE,交AC于点F,则AF:CF=( )
A.1:2
B.1:3
C.2:3
D.2:5
3. (江苏泰州)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 4. (重庆市潼南)如图,在平行四边形 ABCD中(AB≠BC),直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、 N,交BA、DC的延长线于点E、F,下列结论: ①AO=BO;②OE=OF; ③△EAM∽△EBN; ④△EAO≌△CNO,其中正确的是
A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④ 5. (广东东莞,)正八边形的每个内角为( )
A.120°
B.135°
C.140°
D.144°
6. (浙江省,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( )
A. 100° B.110° C. 120° D. 130°
多边形
一、选择题
1. (安徽)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是( )
A.7 B.9 C.10 D.
11
B 9
题图
2. (山东威海)在□ABCD中,点E为AD的中点,连接BE,交AC于点F,则AF:CF=( )
A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5
3. (江苏泰州)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4. (重庆市潼南)如图,在平行四边形 ABCD中(AB≠BC),直线EF
经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、
N,交BA、DC的延长线于点E、F,下列结论:
①AO=BO;②OE=OF; ③△EAM∽△EBN;
④△EAO≌△CNO,其中正确的是
A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④
5. (广东东莞,)正八边形的每个内角为( )
A.120° B.135° C.140° D.144°
6. (浙江省,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( )
A. 100° B.110° C. 120° D. 130°
7. (浙江省舟山)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD面积是11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( )
(A)48cm
(C)24cm (B)36cm (D)
18cm
⑤ HF
C(第10题)
8. (山东德州)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),……,则第n个图形的周长是
……
图1
n图2
n图3
n1 (A)2 (B)4 (C)2 (D)2n2
9. (山东泰安)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为
A.17 B.17 C.18 D.19
10. (浙江杭州)在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段AB,CD上),
记它们的面积分别 为SABCD和SBFDE.现给出下列命题:( )
①若
则:
A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题 SABCD,则tanEDF.②若DE2BDEF,则DF2AD.
SBFDE
C.①是假命题,②是真命题 D,①是假命题,②是假命题
11. (浙江温州)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知∠AOB= 60°,AC=16,则图中长度为8的线段有( )
A.2条 B.4条 A 3 C.5条 1 D DA.6
条2 1 D第10题图 BC(第12题图)
12. (山东聊城,7,3分)已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4∶3,则这个
菱形的面积是( )
A.12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2
13. (重庆江津, 10,4分)如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长abab; ④四边形AnBnCnDn的面积是n1 42
A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
14. (四川乐山9,3分)如图(5),在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD的中点,AE交BF于点H,CG∥AE交BF于点G。下列结论:①tan∠HBE=cot∠HEB ②
BC2BGCGBFBCCF ③BH=FG .其中正确的序号是 2CFGF
A.①②③ B.②③④ C. ①③④ D.①②④
15. (湖北襄阳,10,3分)顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边
形ABCD一定是
A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形
16. (山东滨州,12,3分)如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
17. (浙江金华,15,4分)如图,在□ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是
18. (山东聊城,14,3分)如图,在□ABCD中,AC、BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=3cm,则AD的长是__________cm.
19. (山东临沂,18,3分)如图,□ ABCD中,E是BA延长线上一点,AB=AE,连结
CE交AD于点F,若CF平分∠BCD,AB=3,则BC的长为
20. (四川广安,16,3分)若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是____
21. (山东德州16,4分)长为1,宽为a的矩形纸片(1a1),如图那样折一下,剪2
下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为________.
A D
第一次操作
第二次操作
B 第5题图 C
22. (湖北鄂州,5,3分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形
的周长之和为_______.
23. (山东烟台,17,4分)如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 .
24. (江苏泰州,18,3分)如图,平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上,其中点A、C分别在直线L1和L4上,该正方形的面积是 平
方单位.
1
1
12
13
14
25. (山东潍坊,16,3分)已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.
取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,则AE的长为_________.
26.(山东日照,16,4分)正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当BM= 时,四边形ABCN的面积最大.
27. (湖北孝感,16,3分)已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是 .
28. (江苏连云港,16,3分)一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8,则这个等腰梯形的对角线长为_______.
29. (江苏宿迁,15,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分线与∠BDC的
平分线的交点E恰在AB上.若AD=7cm,BC=8cm,则AB的长度是 ▲ cm.
B图4
⑴ ⑵ ⑶
30. (山东临沂,19,3分)如图,上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形,则
在第10个这样的图形中,共有 个等腰梯形.
31. (湖北襄阳,17,3分)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=16,E是
BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间t= 秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.
32. (浙江义乌)如图,已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点,
且BE⊥AC,DF⊥AC.
A
E D
F
B
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等
三角形(不再添加辅助线).
33. (安徽芜)如图,在梯形ABCD中,DC‖AB,AD=BC, BD平分ABC,A60.过点D作DEAB,过点C作CFBD,垂足分别为E、F,连接EF,求证:△DEF为等边三角形.
34. (四川南充市)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。
(1)求证:⊿MDC是等边三角形;
(2)将⊿MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出⊿AEF周长的最小值.
A
DC'BMC
35. (浙江杭州)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线
AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F.
(1)求证:△FOE≌ △DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求ABCD的值.
GH
36. (湖南益阳,21,12分)图10是小红设计的钻石形商标,△ABC是边长为2的等边三
角形,四边形ACDE是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=1.
(1)证明:△ABE≌△CBD;
(2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进行证明,并求出其相似比(不添加辅助线,不找全等的相似三角形);
(3)小红发现AM=MN=NC,请证明此结论;
(4)求线段BD的长.
E D
A M N C
B
图10
37. (山东枣庄)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,ABAD6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连结EF.
(1)证明:EFCF;
(2)当tanADE
1时,求EF的长. 3D
B
F
38. (四川成都) 如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点.
(1)若BK=5CDKC,求的值; 2AB
1AD时,猜想线段AB、BC、CD三者之间2
1有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=AD (n2),而其余n (2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=
条件不变时,线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.
例1 如图,E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点,AM⊥EF,垂足为M,若AM=AB,求证:EF=BE+CF
例2 已知:如图,正方形ABCD中,延长AD到E,使DE=AD,再延长DE到F,使DF=BD,连接BF交CD于Q,交CE于P。求证PD=PQ
例3 如图,在◇ABCD中,∠ABC=75°,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,求∠AED
例4 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,以AC、AD为边作◇ACED,DC的延长线交BE于F,求证:EF=FB
证明 如图所示,连接AE交DC于O.
∵四边形ACED是平行四边形. ∴O是AE的中点. ∵在梯形ABCD中, DC∥AB,在△EAB中, OF∥AB,
又∵O是AE的中点, ∴F是EB的中点, ∴EF=BF.
例5 如图,以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG,AM是△ABC的中线,连接EG。求证EG=2AM
延长BA至点H ,使得BA=AH
对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC ,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH
又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM 所以得AM=二分之一EG
多边形
一、选择题
1. (安徽)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是( ) A.7 B.9 C.10 D.
11
B
9
题图
2. (山东威海)在□ABCD中,点E为AD的中点,连接BE,交AC于点F,则AF:CF=( )
A.1:2
B.1:3
C.2:3
D.2:5
3. (江苏泰州)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 4. (重庆市潼南)如图,在平行四边形 ABCD中(AB≠BC),直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、 N,交BA、DC的延长线于点E、F,下列结论: ①AO=BO;②OE=OF; ③△EAM∽△EBN; ④△EAO≌△CNO,其中正确的是
A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④ 5. (广东东莞,)正八边形的每个内角为( )
A.120°
B.135°
C.140°
D.144°
6. (浙江省,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( )
A. 100° B.110° C. 120° D. 130°
多边形
一、选择题
1. (安徽)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是( )
A.7 B.9 C.10 D.
11
B 9
题图
2. (山东威海)在□ABCD中,点E为AD的中点,连接BE,交AC于点F,则AF:CF=( )
A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5
3. (江苏泰州)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4. (重庆市潼南)如图,在平行四边形 ABCD中(AB≠BC),直线EF
经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、
N,交BA、DC的延长线于点E、F,下列结论:
①AO=BO;②OE=OF; ③△EAM∽△EBN;
④△EAO≌△CNO,其中正确的是
A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④
5. (广东东莞,)正八边形的每个内角为( )
A.120° B.135° C.140° D.144°
6. (浙江省,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( )
A. 100° B.110° C. 120° D. 130°
7. (浙江省舟山)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD面积是11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( )
(A)48cm
(C)24cm (B)36cm (D)
18cm
⑤ HF
C(第10题)
8. (山东德州)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),……,则第n个图形的周长是
……
图1
n图2
n图3
n1 (A)2 (B)4 (C)2 (D)2n2
9. (山东泰安)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为
A.17 B.17 C.18 D.19
10. (浙江杭州)在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段AB,CD上),
记它们的面积分别 为SABCD和SBFDE.现给出下列命题:( )
①若
则:
A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题 SABCD,则tanEDF.②若DE2BDEF,则DF2AD.
SBFDE
C.①是假命题,②是真命题 D,①是假命题,②是假命题
11. (浙江温州)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知∠AOB= 60°,AC=16,则图中长度为8的线段有( )
A.2条 B.4条 A 3 C.5条 1 D DA.6
条2 1 D第10题图 BC(第12题图)
12. (山东聊城,7,3分)已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4∶3,则这个
菱形的面积是( )
A.12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2
13. (重庆江津, 10,4分)如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长abab; ④四边形AnBnCnDn的面积是n1 42
A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
14. (四川乐山9,3分)如图(5),在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD的中点,AE交BF于点H,CG∥AE交BF于点G。下列结论:①tan∠HBE=cot∠HEB ②
BC2BGCGBFBCCF ③BH=FG .其中正确的序号是 2CFGF
A.①②③ B.②③④ C. ①③④ D.①②④
15. (湖北襄阳,10,3分)顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边
形ABCD一定是
A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形
16. (山东滨州,12,3分)如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
17. (浙江金华,15,4分)如图,在□ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是
18. (山东聊城,14,3分)如图,在□ABCD中,AC、BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=3cm,则AD的长是__________cm.
19. (山东临沂,18,3分)如图,□ ABCD中,E是BA延长线上一点,AB=AE,连结
CE交AD于点F,若CF平分∠BCD,AB=3,则BC的长为
20. (四川广安,16,3分)若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是____
21. (山东德州16,4分)长为1,宽为a的矩形纸片(1a1),如图那样折一下,剪2
下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为________.
A D
第一次操作
第二次操作
B 第5题图 C
22. (湖北鄂州,5,3分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形
的周长之和为_______.
23. (山东烟台,17,4分)如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 .
24. (江苏泰州,18,3分)如图,平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上,其中点A、C分别在直线L1和L4上,该正方形的面积是 平
方单位.
1
1
12
13
14
25. (山东潍坊,16,3分)已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.
取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,则AE的长为_________.
26.(山东日照,16,4分)正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当BM= 时,四边形ABCN的面积最大.
27. (湖北孝感,16,3分)已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是 .
28. (江苏连云港,16,3分)一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8,则这个等腰梯形的对角线长为_______.
29. (江苏宿迁,15,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分线与∠BDC的
平分线的交点E恰在AB上.若AD=7cm,BC=8cm,则AB的长度是 ▲ cm.
B图4
⑴ ⑵ ⑶
30. (山东临沂,19,3分)如图,上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形,则
在第10个这样的图形中,共有 个等腰梯形.
31. (湖北襄阳,17,3分)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=16,E是
BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间t= 秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.
32. (浙江义乌)如图,已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点,
且BE⊥AC,DF⊥AC.
A
E D
F
B
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等
三角形(不再添加辅助线).
33. (安徽芜)如图,在梯形ABCD中,DC‖AB,AD=BC, BD平分ABC,A60.过点D作DEAB,过点C作CFBD,垂足分别为E、F,连接EF,求证:△DEF为等边三角形.
34. (四川南充市)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。
(1)求证:⊿MDC是等边三角形;
(2)将⊿MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出⊿AEF周长的最小值.
A
DC'BMC
35. (浙江杭州)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线
AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F.
(1)求证:△FOE≌ △DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求ABCD的值.
GH
36. (湖南益阳,21,12分)图10是小红设计的钻石形商标,△ABC是边长为2的等边三
角形,四边形ACDE是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=1.
(1)证明:△ABE≌△CBD;
(2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进行证明,并求出其相似比(不添加辅助线,不找全等的相似三角形);
(3)小红发现AM=MN=NC,请证明此结论;
(4)求线段BD的长.
E D
A M N C
B
图10
37. (山东枣庄)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,ABAD6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连结EF.
(1)证明:EFCF;
(2)当tanADE
1时,求EF的长. 3D
B
F
38. (四川成都) 如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点.
(1)若BK=5CDKC,求的值; 2AB
1AD时,猜想线段AB、BC、CD三者之间2
1有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=AD (n2),而其余n (2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=
条件不变时,线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.