北 京 四 中
编稿：苗金利 审稿：石小燕 责编:张杨
函数概念的巩固及函数的单调性、反函数学习目标：
1、巩固函数的概念，函数的两域，函数的解析式，了解反函数的求法及性质.
2、了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法；能够运用函数的单调性解决某些
简单的实际问题．
知识要点： 一、函数的单调性
定义：设函数 1、如果任意在区间
，
，对于区间，
时，都有
，
，那么就说，函数
内是增函数.
，
时，都有
，
那么就说，函数
2、如果任意在区间
内是减函数. 定义、若函数有单调性，该区间叫做
在某个区间内是增函数或减函数，则称的单调区间.
在这一区间内具
说明：
1、函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质.
2、因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点.
3、初等函数均可分段单调. 4、
是增(减) 函数
图象自左到右上升(下降).
图象的峰(谷) 函数增(减) 变减(增) 点函数的极大(小) 值点 注意：在函数的单调区间内去掉有限个点不影响函数的单调性．
二、反函数：由逆映射所确定的函数.
说明： (1)函数
存在反函数
是一一映射.
(2)求反函数数的步骤： ①判定(是否一一映射)
②反解 ③改写
(3)反函数的定义域、值域是原函数的值域、定义域. (4)原函数与反函数的图像关于间不一定相同).
对称，且具有相同的单调性(单调区
典型例题
1．用定义证明函数的单调性：
(1)证明在上增函数；
(2)证明函数
解：(1)任取0＜x 1＜x 2，
在区间上是减函数，在上是增函数.
∵x 1-x 2＜0，又x 1·x 2＞0，
∴f(x1)-f(x2) ＜0，即f(x1) ＜f(x2).
(2)设0＜x 1＜x 2，则
上为增函数；
∵ 0＜x 1＜x 2 ∴ x 1-x 2＜0，x l x 2＞0
当x 1x 2＞1时，x 1, x2∈[1,+∞], f(x1)-f(x2) ＜0 即 f(x1) ＜f(x2) ；
当0＜x 1x 2＜1时， x 1，x 2 ∈(0，1]， f(x1)-f(x2) ＞0 即f(x1) ＞f(x2) ；
所以，在[1，+∞) 上是增函数，在(0，1]上是减函数.
另解：数形结合，从
的图象入手.
可以看成是y ＝x ，两个函数的叠加，
在(0，1]上函数值起主要作用，
在[1，+∞) 上的函数值基本上不起作用，
因此图象是以y=x，及y 轴为渐近线的，先减后增， 当x=1时取最小值2.
试想
在(-∞,0) 上的单调性? 必是(-∞，-1]上是增函数，在[-1，0) 上是减
函数，有最大值，因为性是相同的.
的图像是关于原点对称的，在正负对称区间上的单调
2．已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a 的取值范围；
(2)当x ∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a ≤0或a ≥2
(2)1°当a ＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a
2°当-1≤a ≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1
3°当a ＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a
，如图
3．已知，都是上的增函数，试判断在上是增函数还是减函数？并证明你的结论.
分析：利用函数单调性定义判断该复合函数的单调性. 判断：f[g(x)]在(-∞，+∞) 上为增函数. 证明：设x 1，x 2为任意实数且x 1＜x 2
∵g(x)在(-∞，+∞) 上为增函数，∴g(x1) ＜g(x2)
又∵f(x)在(-∞，+∞) 上为增函数，∴f[g(x1)]＜f[g(x2)] 即x 1＜x 2时有f[g(x1)]＜f[g(x2)] ∴f[g(x)]在(-∞，+∞) 上为增函数. 说明：
注意归纳f(x)，g(x)的单调性对f[g(x)]单调性的影响，找出复合函数单调性的一般规律： (1)f(x)与g(x)一增一减时，复合函数f[g(x)]单调递减； (2)f(x)与g(x)同增同减时，复合函数f[g(x)]单调递增.
4．求下列函数的定义域
(3)
(1)
(2)
解：(1)据题意有：
∴所求定义域为：(-∞，-1) ∪(-1，0) ∪(0，+∞)
(2)据题意有： ∴所求定义域为： (3)据题意有：
说明：关于函数的定义域
，所求定义域为：{1}
(1)自然定义域：若对未加限制，则使 (2)复合函数的定义域：
有意义的集合.
中，
的范围，再解关于
中的范围，即为
不等式即得结 果.
(3)几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义.
5．(1)已知，求
是一次函数，且满足
；
，求
；
(2)已知
(3)已知满足，求.
解：(1)∵
∴
(2)设
(
或，
).
，
，
则
∴
∴
， .
(3) ①，
把①中的换成，得 ②，
①×②-②得，
∴
.
点评：第(1)题用配凑法；第(2)题已知一次函数，可用待定系数法；第(3)题用方程组法.
6．设点(4，1) 既在函数f(x)=ax2+b(a＜0，x ＞0) 的图象上，又在它的反函数f -1(x)的图象上，求f(x)的解析式.
[分析与解答]由反函数定理可知，点(4，1) 在函数f(x)的图象上，又在函数f -1(x)的图象上，则点(4，1) 关于直线y=x的对称点(1，4) 也必在f(x)的图象上 将点(4，1)(1，4) 坐标代入f(x)
本题也可以先求解反函数f -1(x).
函数f(x)=ax2+b(a＜0，x ＞0) 值域为(-∞，b)
由y=ax2+b反解得
由点(4，1) 在f(x)图象上，点(1，4) 在f -1(x)图象上
7．求值域：
.
(1)
(2)
解
：
(1)
令
.
(2)首先考察定义域，由分母，则函数定义域D=R
由
可得：(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0
当y=1时，上式变成2x=0，x=0∈D ，∴y=1是值域中的一个元素 当y ≠1时，上式可以看作是关于x 的二次方程，因其根x 为实数，
∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0，解之得
综上，y 的取值范围(也就是函数的值域) 为.
说明：函数的值域
(1)函数的值域受定义域和对应法则的限制；
(2)求值域的常见方法：配方法，反函数法，判别式法，换元法，函数的单调性等.
北 京 四 中
编稿：苗金利 审稿：石小燕 责编:张杨
函数概念的巩固及函数的单调性、反函数学习目标：
1、巩固函数的概念，函数的两域，函数的解析式，了解反函数的求法及性质.
2、了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法；能够运用函数的单调性解决某些
简单的实际问题．
知识要点： 一、函数的单调性
定义：设函数 1、如果任意在区间
，
，对于区间，
时，都有
，
，那么就说，函数
内是增函数.
，
时，都有
，
那么就说，函数
2、如果任意在区间
内是减函数. 定义、若函数有单调性，该区间叫做
在某个区间内是增函数或减函数，则称的单调区间.
在这一区间内具
说明：
1、函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质.
2、因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点.
3、初等函数均可分段单调. 4、
是增(减) 函数
图象自左到右上升(下降).
图象的峰(谷) 函数增(减) 变减(增) 点函数的极大(小) 值点 注意：在函数的单调区间内去掉有限个点不影响函数的单调性．
二、反函数：由逆映射所确定的函数.
说明： (1)函数
存在反函数
是一一映射.
(2)求反函数数的步骤： ①判定(是否一一映射)
②反解 ③改写
(3)反函数的定义域、值域是原函数的值域、定义域. (4)原函数与反函数的图像关于间不一定相同).
对称，且具有相同的单调性(单调区
典型例题
1．用定义证明函数的单调性：
(1)证明在上增函数；
(2)证明函数
解：(1)任取0＜x 1＜x 2，
在区间上是减函数，在上是增函数.
∵x 1-x 2＜0，又x 1·x 2＞0，
∴f(x1)-f(x2) ＜0，即f(x1) ＜f(x2).
(2)设0＜x 1＜x 2，则
上为增函数；
∵ 0＜x 1＜x 2 ∴ x 1-x 2＜0，x l x 2＞0
当x 1x 2＞1时，x 1, x2∈[1,+∞], f(x1)-f(x2) ＜0 即 f(x1) ＜f(x2) ；
当0＜x 1x 2＜1时， x 1，x 2 ∈(0，1]， f(x1)-f(x2) ＞0 即f(x1) ＞f(x2) ；
所以，在[1，+∞) 上是增函数，在(0，1]上是减函数.
另解：数形结合，从
的图象入手.
可以看成是y ＝x ，两个函数的叠加，
在(0，1]上函数值起主要作用，
在[1，+∞) 上的函数值基本上不起作用，
因此图象是以y=x，及y 轴为渐近线的，先减后增， 当x=1时取最小值2.
试想
在(-∞,0) 上的单调性? 必是(-∞，-1]上是增函数，在[-1，0) 上是减
函数，有最大值，因为性是相同的.
的图像是关于原点对称的，在正负对称区间上的单调
2．已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a 的取值范围；
(2)当x ∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a ≤0或a ≥2
(2)1°当a ＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a
2°当-1≤a ≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1
3°当a ＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a
，如图
3．已知，都是上的增函数，试判断在上是增函数还是减函数？并证明你的结论.
分析：利用函数单调性定义判断该复合函数的单调性. 判断：f[g(x)]在(-∞，+∞) 上为增函数. 证明：设x 1，x 2为任意实数且x 1＜x 2
∵g(x)在(-∞，+∞) 上为增函数，∴g(x1) ＜g(x2)
又∵f(x)在(-∞，+∞) 上为增函数，∴f[g(x1)]＜f[g(x2)] 即x 1＜x 2时有f[g(x1)]＜f[g(x2)] ∴f[g(x)]在(-∞，+∞) 上为增函数. 说明：
注意归纳f(x)，g(x)的单调性对f[g(x)]单调性的影响，找出复合函数单调性的一般规律： (1)f(x)与g(x)一增一减时，复合函数f[g(x)]单调递减； (2)f(x)与g(x)同增同减时，复合函数f[g(x)]单调递增.
4．求下列函数的定义域
(3)
(1)
(2)
解：(1)据题意有：
∴所求定义域为：(-∞，-1) ∪(-1，0) ∪(0，+∞)
(2)据题意有： ∴所求定义域为： (3)据题意有：
说明：关于函数的定义域
，所求定义域为：{1}
(1)自然定义域：若对未加限制，则使 (2)复合函数的定义域：
有意义的集合.
中，
的范围，再解关于
中的范围，即为
不等式即得结 果.
(3)几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义.
5．(1)已知，求
是一次函数，且满足
；
，求
；
(2)已知
(3)已知满足，求.
解：(1)∵
∴
(2)设
(
或，
).
，
，
则
∴
∴
， .
(3) ①，
把①中的换成，得 ②，
①×②-②得，
∴
.
点评：第(1)题用配凑法；第(2)题已知一次函数，可用待定系数法；第(3)题用方程组法.
6．设点(4，1) 既在函数f(x)=ax2+b(a＜0，x ＞0) 的图象上，又在它的反函数f -1(x)的图象上，求f(x)的解析式.
[分析与解答]由反函数定理可知，点(4，1) 在函数f(x)的图象上，又在函数f -1(x)的图象上，则点(4，1) 关于直线y=x的对称点(1，4) 也必在f(x)的图象上 将点(4，1)(1，4) 坐标代入f(x)
本题也可以先求解反函数f -1(x).
函数f(x)=ax2+b(a＜0，x ＞0) 值域为(-∞，b)
由y=ax2+b反解得
由点(4，1) 在f(x)图象上，点(1，4) 在f -1(x)图象上
7．求值域：
.
(1)
(2)
解
：
(1)
令
.
(2)首先考察定义域，由分母，则函数定义域D=R
由
可得：(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0
当y=1时，上式变成2x=0，x=0∈D ，∴y=1是值域中的一个元素 当y ≠1时，上式可以看作是关于x 的二次方程，因其根x 为实数，
∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0，解之得
综上，y 的取值范围(也就是函数的值域) 为.
说明：函数的值域
(1)函数的值域受定义域和对应法则的限制；
(2)求值域的常见方法：配方法，反函数法，判别式法，换元法，函数的单调性等.