“高观点”下的初等数学
许高峰11数本一班
摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。
关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件
例一：设实数x ，y 满足4x 2+4y 2+5xy =5，设S =x 2+y 2，则S 的最小值为
. （浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为
0=4x 2+4y 2+5xy −5
5≤4x 2+4y 2+(x 2+y 2) −52
13=(x 2+y 2) −52
所以有1321010(x +y 2) −5≥0成立，即x 2+y 2≥，所以S 的最小值为，当21313
=y 时成立. 且仅当x
说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。
如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值. 考虑化成如下形式：
(Ax 2+Ay 2) +(Bx +By ) 2=5
⇔Ax 2+Ay 2=5−(Bx +By ) 2
用待定系数法求得A =322，B =. 不难发现当y =−x 时，Ax +Ay 取得最大值，22
最大值S 为10. 3
同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式化成另一种形式，即：
(A ' x 2+A ' y 2) −(B ' x −B ' y ) 2=5；按照上述的方法也可以求出最小值为10. 13
例二：设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是
（2011年浙江理科数学高考试题）证明：因为.
31=4x 2+y 2+xy =(2x +y ) 2−(2x ) ⋅y 2
32x +y 2≥(2x +y ) 2−(22
5≥(2x +y ) 2
8
从而解得2x +y 的最大值为22，且最小值为−. 55
说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作用在这两个例子中并没有充分的体现，但是，拉格朗日乘数法是一种解决这类问题的普遍方法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任”，而这时，我们就可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。
拉格朗日乘数法：在求条件ϕ(x , y )=0下z =f (x , y ) 的极值. 构造拉格朗日函数L (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) ，称f (x , y ) 为目标函数，λ为拉格朗日常数，ϕ(x , y ) 是对于两个非独立x , y 的约束. 由：
⎧L ' x (x , y , λ) =0⎪⎨L ' y (x , y , λ) =0⎪⎩L ' λ(x , y , λ) =0
解得的(x , y ) 为可能的极值点. 下面从一些例题来说明拉格朗日乘数法的优越性. 例一：已知a , b , c ∈R +，且a +2b +3c =6，求a 2+2b 2+3c 2的最小值.
解:记
件：f (a , b , c ) =a 2+2b 2+3c 2，g (a , b , c ) =a +2b +3c −6，由取得极值的条f ' a (a , b , c ) f ' a (a , b , c ) f ' c (a , b , c ) ，可得a =b =c . 又a +2b +3c =6，==g ' a (a , b , c ) g ' b (a , b , c ) g ' c (a , b , c )
所以a =b =c =1，即a =b =c =1时，a 2+2b 2+3c 2的最小值为6.
说明：虽然本题也可以找到初等方法，即用柯西不等式求解，这里是为了说明拉格朗日的具体应用，另外前两个例题都可以用该种方法进行求解，这里不作具体展开.
例二：已知三角形的周长为2p ，将它绕其一边旋转构成一个立体，求使立体体积最大的那个三角形.
解：设三角形的三边长为a , b , c ，并设以AC 边为旋转轴（如图所示）
1V =π
h 2b . 3
又设三角形的面积为S ，于是有
2S 2h ==p (p −a )(p −b )(p −c ) . b b
所以有V =4πp (p −a )(p −b )(p −c ). 3b
=0下的最大值点，等价于求问题就化成V (a , b , c ) 在条件a +b +c −2p
1V 0(a , b , c ) =ln (p −a )(p −b )(p −c ) =ln(p −a ) +ln(p −b ) +ln(p −c ) −ln b b
在条件：a +b +c −2p =0下的最大值点. 应用拉格朗日乘数法. 令：
F (a , b , c , λ) =V 0(a , b , c ) +λ(a +b +c −2p ) ，求解方程组
⎧∂F ⎪∂a ⎪⎪∂F ⎪⎪∂b ⎨⎪∂F
⎪∂c ⎪⎪∂F
⎪⎩∂λ1+λ=0, p −a 11=−(+) +λ=0, p −b b 1=−+λ=0, p −c =−=a +b +c −2p =0.
=c ，再由(4) 得b =2(p −a ). (1) (2) (3) (4) (5)
(6) 比较(1), (3) 得a 比较(1), (2) 得b (p −b ) =(p −a ) p .
由(5), (6) 解出b =p 3p 3p , a =, c =. 244
由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解，因而也是条件最大值点. p 3p 3p p 所以当三角形的边长分别为, 绕边长为的边旋转时，所得立体的体积最大. , 时，2442
总结用拉格朗日乘数法解决有些最值问题非常简便容易，许多问题直接或间接地体现了拉格朗日乘数法的巨大作用，这是一种非常值得学习并推广的求二元极值得好方法，这种方法法对拓宽学生思路，提高学生分析问题、解决问题的
能力有很大帮助.
由以上数例可知，求条件极（最）值时，可以化为无条件极（最）值去解决，或用拉格朗日乘数法求解. 条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题. 我们在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断. 有时对某些有约束条件的二元函数求极值，用常规方法解决确实十分困难，但运用拉格朗日乘数法求解可以化难为易，化繁为简，它是一种值得学生了解的好方法. 事实证明利用拉格朗日乘数法求解二元函数条件极（最）值，对提高学生学习数学的兴趣，树立学生学习数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，拓宽学生的数学视野，提升学生的数学文化，起到了较好的促进作用.
“高观点”下的初等数学
许高峰11数本一班
摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。
关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件
例一：设实数x ，y 满足4x 2+4y 2+5xy =5，设S =x 2+y 2，则S 的最小值为
. （浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为
0=4x 2+4y 2+5xy −5
5≤4x 2+4y 2+(x 2+y 2) −52
13=(x 2+y 2) −52
所以有1321010(x +y 2) −5≥0成立，即x 2+y 2≥，所以S 的最小值为，当21313
=y 时成立. 且仅当x
说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。
如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值. 考虑化成如下形式：
(Ax 2+Ay 2) +(Bx +By ) 2=5
⇔Ax 2+Ay 2=5−(Bx +By ) 2
用待定系数法求得A =322，B =. 不难发现当y =−x 时，Ax +Ay 取得最大值，22
最大值S 为10. 3
同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式化成另一种形式，即：
(A ' x 2+A ' y 2) −(B ' x −B ' y ) 2=5；按照上述的方法也可以求出最小值为10. 13
例二：设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是
（2011年浙江理科数学高考试题）证明：因为.
31=4x 2+y 2+xy =(2x +y ) 2−(2x ) ⋅y 2
32x +y 2≥(2x +y ) 2−(22
5≥(2x +y ) 2
8
从而解得2x +y 的最大值为22，且最小值为−. 55
说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作用在这两个例子中并没有充分的体现，但是，拉格朗日乘数法是一种解决这类问题的普遍方法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任”，而这时，我们就可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。
拉格朗日乘数法：在求条件ϕ(x , y )=0下z =f (x , y ) 的极值. 构造拉格朗日函数L (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) ，称f (x , y ) 为目标函数，λ为拉格朗日常数，ϕ(x , y ) 是对于两个非独立x , y 的约束. 由：
⎧L ' x (x , y , λ) =0⎪⎨L ' y (x , y , λ) =0⎪⎩L ' λ(x , y , λ) =0
解得的(x , y ) 为可能的极值点. 下面从一些例题来说明拉格朗日乘数法的优越性. 例一：已知a , b , c ∈R +，且a +2b +3c =6，求a 2+2b 2+3c 2的最小值.
解:记
件：f (a , b , c ) =a 2+2b 2+3c 2，g (a , b , c ) =a +2b +3c −6，由取得极值的条f ' a (a , b , c ) f ' a (a , b , c ) f ' c (a , b , c ) ，可得a =b =c . 又a +2b +3c =6，==g ' a (a , b , c ) g ' b (a , b , c ) g ' c (a , b , c )
所以a =b =c =1，即a =b =c =1时，a 2+2b 2+3c 2的最小值为6.
说明：虽然本题也可以找到初等方法，即用柯西不等式求解，这里是为了说明拉格朗日的具体应用，另外前两个例题都可以用该种方法进行求解，这里不作具体展开.
例二：已知三角形的周长为2p ，将它绕其一边旋转构成一个立体，求使立体体积最大的那个三角形.
解：设三角形的三边长为a , b , c ，并设以AC 边为旋转轴（如图所示）
1V =π
h 2b . 3
又设三角形的面积为S ，于是有
2S 2h ==p (p −a )(p −b )(p −c ) . b b
所以有V =4πp (p −a )(p −b )(p −c ). 3b
=0下的最大值点，等价于求问题就化成V (a , b , c ) 在条件a +b +c −2p
1V 0(a , b , c ) =ln (p −a )(p −b )(p −c ) =ln(p −a ) +ln(p −b ) +ln(p −c ) −ln b b
在条件：a +b +c −2p =0下的最大值点. 应用拉格朗日乘数法. 令：
F (a , b , c , λ) =V 0(a , b , c ) +λ(a +b +c −2p ) ，求解方程组
⎧∂F ⎪∂a ⎪⎪∂F ⎪⎪∂b ⎨⎪∂F
⎪∂c ⎪⎪∂F
⎪⎩∂λ1+λ=0, p −a 11=−(+) +λ=0, p −b b 1=−+λ=0, p −c =−=a +b +c −2p =0.
=c ，再由(4) 得b =2(p −a ). (1) (2) (3) (4) (5)
(6) 比较(1), (3) 得a 比较(1), (2) 得b (p −b ) =(p −a ) p .
由(5), (6) 解出b =p 3p 3p , a =, c =. 244
由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解，因而也是条件最大值点. p 3p 3p p 所以当三角形的边长分别为, 绕边长为的边旋转时，所得立体的体积最大. , 时，2442
总结用拉格朗日乘数法解决有些最值问题非常简便容易，许多问题直接或间接地体现了拉格朗日乘数法的巨大作用，这是一种非常值得学习并推广的求二元极值得好方法，这种方法法对拓宽学生思路，提高学生分析问题、解决问题的
能力有很大帮助.
由以上数例可知，求条件极（最）值时，可以化为无条件极（最）值去解决，或用拉格朗日乘数法求解. 条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题. 我们在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断. 有时对某些有约束条件的二元函数求极值，用常规方法解决确实十分困难，但运用拉格朗日乘数法求解可以化难为易，化繁为简，它是一种值得学生了解的好方法. 事实证明利用拉格朗日乘数法求解二元函数条件极（最）值，对提高学生学习数学的兴趣，树立学生学习数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，拓宽学生的数学视野，提升学生的数学文化，起到了较好的促进作用.