透视数学中考题中的勾股定理应用
勾股定理是几何学中的明珠，是解直角三角形重要的定理与依据. 它在生活中有着重要的应用，也是中考必考的知识点. 它揭示的是直角三角形三边的数量关系，是典型的数形结合思想的体现. 下面选取中考题中的几例作简单的阐述，希望对同学们的学习有所帮助.
一、 直接用勾股定理计算
例1 （2015·吉林长春）如图1，点E 在正方形ABCD 的边CD 上. 若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为_______.
【分析】本题根据△ABE 的面积为8可求出正方形边长为4，再根据勾股定理即可求出BE 的长.
解：过E 作EM ⊥AB 于M ，如图2，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE 的面积为8，
∴AB×EM=8，得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，由勾股定理得：BC2+CE2=BE2，
∴BE2=42+32=25，
∴BE=5.
【点评】本题求出正方形边长是关键，求出边长后直接利用勾股定理进行计算.
二、 勾股定理和逆定理并用证垂直
例2 （2013·内蒙古包头）如图3，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置. 若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=_______度.
【分析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，从而得出答案.
解：连接EE′，如图4，
∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′，
∴∠EBE′是直角，
∴△EBE′是直角三角形，
∵△ABE 与△CBE′全等，
∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C，
∴∠BEE′=∠BE′E=45°，
∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，
∴EC2=E′C2+EE′2，
∴△EE′C是直角三角形，
∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=90°+45°=135°.
【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△EE′C是直角三角形是解题关键.
三、 利用勾股定理解决实际问题
例3 （2015·福建厦门）已知A ，B ，C 三地位置如图5所示，∠C=90°，A ，C 两地的距离是4 km，B ，C 两地的距离是3 km，则A ，B 两地的距离是_______km;若A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的_______方向.
【分析】根据勾股定理来求AB 的长度. 由于∠C=90°，A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的正北方向.
解：∵∠C=90°，A ，C 两地的距离是4 km，B ，C 两地的距离是3 km，
∴AB2=AC2+BC2，∴AB2=42+32=25，
∴AB=5（km ）.
又∵A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的正北方向.
【点评】本题考查了勾股定理的应用和方向角. 这类问题的解决策略是运用勾股定理建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
四、 利用勾股定理经典图创设问题
例4 （2015·湖南株洲）如图6是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形. 如果AB=10，EF=2，那么AH 等于_______.
【分析】一方面根据图形特征得出线段之间的关系AE-DE=2，另一方面利用面积关系：正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积=四个全等直角三角形面积和，得出AE×DE=48，再利用勾股定理得出AE2+DE2=AD2=AB2=100推出AE+DE=14，最后解二元一次方程组即可算出DE 长，即AH 的长.
解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100-4=96，
设AE 为a ，DE 为b ，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，∵a-b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，∴AH=DE=6.
【点评】勾股定理有着悠久的历史，它曾经引起很多人的兴趣. 本题就是在我国汉代数学家赵爽创制的弦图的基础上改编得到的. 本题考查的就是弦图中的各线段之间、图形面积之间的关系和勾股定理.
透视数学中考题中的勾股定理应用
勾股定理是几何学中的明珠，是解直角三角形重要的定理与依据. 它在生活中有着重要的应用，也是中考必考的知识点. 它揭示的是直角三角形三边的数量关系，是典型的数形结合思想的体现. 下面选取中考题中的几例作简单的阐述，希望对同学们的学习有所帮助.
一、 直接用勾股定理计算
例1 （2015·吉林长春）如图1，点E 在正方形ABCD 的边CD 上. 若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为_______.
【分析】本题根据△ABE 的面积为8可求出正方形边长为4，再根据勾股定理即可求出BE 的长.
解：过E 作EM ⊥AB 于M ，如图2，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE 的面积为8，
∴AB×EM=8，得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，由勾股定理得：BC2+CE2=BE2，
∴BE2=42+32=25，
∴BE=5.
【点评】本题求出正方形边长是关键，求出边长后直接利用勾股定理进行计算.
二、 勾股定理和逆定理并用证垂直
例2 （2013·内蒙古包头）如图3，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置. 若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=_______度.
【分析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，从而得出答案.
解：连接EE′，如图4，
∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′，
∴∠EBE′是直角，
∴△EBE′是直角三角形，
∵△ABE 与△CBE′全等，
∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C，
∴∠BEE′=∠BE′E=45°，
∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，
∴EC2=E′C2+EE′2，
∴△EE′C是直角三角形，
∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=90°+45°=135°.
【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△EE′C是直角三角形是解题关键.
三、 利用勾股定理解决实际问题
例3 （2015·福建厦门）已知A ，B ，C 三地位置如图5所示，∠C=90°，A ，C 两地的距离是4 km，B ，C 两地的距离是3 km，则A ，B 两地的距离是_______km;若A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的_______方向.
【分析】根据勾股定理来求AB 的长度. 由于∠C=90°，A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的正北方向.
解：∵∠C=90°，A ，C 两地的距离是4 km，B ，C 两地的距离是3 km，
∴AB2=AC2+BC2，∴AB2=42+32=25，
∴AB=5（km ）.
又∵A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的正北方向.
【点评】本题考查了勾股定理的应用和方向角. 这类问题的解决策略是运用勾股定理建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
四、 利用勾股定理经典图创设问题
例4 （2015·湖南株洲）如图6是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形. 如果AB=10，EF=2，那么AH 等于_______.
【分析】一方面根据图形特征得出线段之间的关系AE-DE=2，另一方面利用面积关系：正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积=四个全等直角三角形面积和，得出AE×DE=48，再利用勾股定理得出AE2+DE2=AD2=AB2=100推出AE+DE=14，最后解二元一次方程组即可算出DE 长，即AH 的长.
解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100-4=96，
设AE 为a ，DE 为b ，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，∵a-b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，∴AH=DE=6.
【点评】勾股定理有着悠久的历史，它曾经引起很多人的兴趣. 本题就是在我国汉代数学家赵爽创制的弦图的基础上改编得到的. 本题考查的就是弦图中的各线段之间、图形面积之间的关系和勾股定理.