基本公式·排列组合二项式定理及概率统计
：A n =n (n -1) (n -m +1) m
n ！
m
m -1
*
n ，m ∈N ，且m ≤n ) ．规定0! =:(1)C n =C n
m n -m
;(2) C n +C n =C n +1C n =1m 0
（3）C
m n
=
n m
r
n
C
m -1n -1
; （4）
r
∑C
r =0r
r n
=2;
r +1
n
（5）C r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1r
(6)C n +C n +C n + +C n + +C n =2
1
3
5
2
4
012r n n
n -1
(7)C n +C n +C n + =C n +C n +C n + =2 (8)C n +2C n +3C n + +nC
r
r -1
1
0r
1
2
3
n n
=n 2
r
n -1
(9)C m C n +C m C n + +C m C n =C m +n r
(10)(C n )
02
+(C n ) +(C n ) + +(C n )
m
m
1222n 2
=C 2n n
⋅C n :A n =m ！
157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列）
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有A n -1种；②某（特）元不在某位有A n -A n -1（补集思想）=A n -1A n -1（着眼位置）=A n -1+A m -1A n -1m -1m m -11m -1
m 1m -1
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k (k ≤m ≤n ) 个元在固定位的排列有A k A n -k k m -k
②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有A n -k +1A k n -k +1k
注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k 、h 个（k ≤h +1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有A h A h +1h k
（3）两组元素各相同的插空
m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当n >m +1时，无解；当n ≤m +1时，有
A m +1A
n n
n
=C m +1n
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为C m +n n
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题) 将相异的mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有
N =C mn ⋅C mn -n ⋅C mn -2n ⋅ ⋅C 2n ⋅C n =
n n n n n
（2）(平均分组无归属问题) 将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有
N =
C mn ⋅C mn -n ⋅C mn -2n ... ⋅C 2n ⋅C n
m !
n n n n n
=
(mn )! m ! (n ! )
m
（3）(非平均分组有归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得
到n 1，n 2，„，n m 件，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有
m
N =C p 1⋅C p 2-n 1... C n m ⋅m ! =
n n n
12m （4）(非完全平均分组有归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到n 1，n 2，„，n m 件，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数中分别有a 、b 、c 、„个相等，则其分配方法数有
N =
m
C p 1⋅C p 2-n 1... C n m ⋅m !
n n n
a ! b ! c !...
=
p ! m !
n 1! n 2!... n m !(a ! b ! c !...)
（5）(非平均分组无归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分为任意的n 1，n 2，„，n m 件无记号的m 堆，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有N =
12m （6）(非完全平均分组无归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分为任意的n 1，n 2，„，n m 件无记号的m 堆，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数中分别有a 、b 、c 、„个相等，则其分配方法数有
N =
12m （7）(限定分组有归属问题) 将相异的p （p =n 1+n 2+ +n m ）个物体分给甲、乙、丙，„„等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得n 1件，乙得n 2件，丙得n 3件，„时，则无论n 1，n 2，„，n m 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
m N =C p 1⋅C p 2-n 1... C n m =
n n n
12m 159．“错位问题”及其推广
①信2封信与2个信封全部错位有1种排法； ②信3封信与3个信封全部错位有2种排法； ③信4封信与4个信封全部错位有9种排法； ④信5封信与5个信封全部错位有44种排法； 160．不定方程x 1+x 2+ +x n =m 的解的个数
(1)方程x 1+x 2+ +x n =m （n , m ∈N ）的正整数解有C
***
n -1
m -1
(2) 方程x 1+x 2+ +x n =m （n , m ∈N ）的非负整数解有 C
n -1
n +m -1
(3) 方程x 1+x 2+ +x n =m （n , m ∈N ）满足条件x i ≥k (k ∈N , 2≤i ≤n -1) 的非负整数解有C m +1-(n -2)(k -1) *
n -1
二项展开式的通项公式T r +1=C n a
r n -r
b (r =0，1，2 ，n ) r
f (x ) =(ax +b ) =a 0+a 1x +a 2x + +a n x 的展开式的系数关系：
n 2n
a 0+a 1+a 2+ +a n =f (1)；a 0-a 1+a 2+ +(-1) a n =f (-1) ；a 0=f (0)n
次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：P n (k ) =C n P (1-P )
k k n -k
.
f (x ) 在x 0处的导数（或变化率或微商）
f '(x 0) =y '
x =x 0
=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim ∆s ∆t
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x →0
υ=s '(t ) =lim
∆t →0
=lim
∆x
∆t →0
f (x ) 在(a , b ) 的导数：f '(x ) =y '=
dy dx
=
df dx
=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
∆x →0
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0
(1) C '=0（C (x n ) '=nx
n -1
(n ∈Q ) (sinx ) '=cos x (4) (cosx ) '=-sin x (5) (lnx ) '=
1x
；(loga ) '=
x
1x
log a e (6) (e ) '=e ; (a ) '=a ln a
x x x x
（1）(u ±v ) =u ±v 2）(uv ) =u v +uv 3）() =
' ' ' ' u v
'
u v -uv v
2
' '
(v ≠0)
设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u x '=ϕ'(x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点U 处有导数y u '=f '(u ) ，
'⋅u '=y u 则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处有导数，且y '，或写作f x '(ϕ(x )) =f '(u ) ϕ'(x ) x x
x
充分小时）
(1)+x ≈1+
x
12
x ; n +x ≈1+
1n
x ；(2)(1+x ) ≈1+αx (α∈R ) ；
α
11+x
≈1-x ；
(3)e ≈1+x ；(4)l n (1+x ) ≈x ；(5)sin x ≈x （x 为弧度）； (6)tan x ≈x （x 为弧度）；(7)arctan x ≈x （x 为弧度） f (x 0) 是极大（小）值的方法
当函数f (x ) 在点x 0处连续时，
（1）如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x ) 0，则f (x 0) ∆A B C 中，∠A 的平分线交边BC 于D ，则
B D D C
=
B A
（三角形的外角平分线也有同样的性质）
基本公式·排列组合二项式定理及概率统计
：A n =n (n -1) (n -m +1) m
n ！
m
m -1
*
n ，m ∈N ，且m ≤n ) ．规定0! =:(1)C n =C n
m n -m
;(2) C n +C n =C n +1C n =1m 0
（3）C
m n
=
n m
r
n
C
m -1n -1
; （4）
r
∑C
r =0r
r n
=2;
r +1
n
（5）C r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1r
(6)C n +C n +C n + +C n + +C n =2
1
3
5
2
4
012r n n
n -1
(7)C n +C n +C n + =C n +C n +C n + =2 (8)C n +2C n +3C n + +nC
r
r -1
1
0r
1
2
3
n n
=n 2
r
n -1
(9)C m C n +C m C n + +C m C n =C m +n r
(10)(C n )
02
+(C n ) +(C n ) + +(C n )
m
m
1222n 2
=C 2n n
⋅C n :A n =m ！
157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列）
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有A n -1种；②某（特）元不在某位有A n -A n -1（补集思想）=A n -1A n -1（着眼位置）=A n -1+A m -1A n -1m -1m m -11m -1
m 1m -1
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k (k ≤m ≤n ) 个元在固定位的排列有A k A n -k k m -k
②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有A n -k +1A k n -k +1k
注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k 、h 个（k ≤h +1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有A h A h +1h k
（3）两组元素各相同的插空
m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当n >m +1时，无解；当n ≤m +1时，有
A m +1A
n n
n
=C m +1n
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为C m +n n
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题) 将相异的mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有
N =C mn ⋅C mn -n ⋅C mn -2n ⋅ ⋅C 2n ⋅C n =
n n n n n
（2）(平均分组无归属问题) 将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有
N =
C mn ⋅C mn -n ⋅C mn -2n ... ⋅C 2n ⋅C n
m !
n n n n n
=
(mn )! m ! (n ! )
m
（3）(非平均分组有归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得
到n 1，n 2，„，n m 件，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有
m
N =C p 1⋅C p 2-n 1... C n m ⋅m ! =
n n n
12m （4）(非完全平均分组有归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到n 1，n 2，„，n m 件，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数中分别有a 、b 、c 、„个相等，则其分配方法数有
N =
m
C p 1⋅C p 2-n 1... C n m ⋅m !
n n n
a ! b ! c !...
=
p ! m !
n 1! n 2!... n m !(a ! b ! c !...)
（5）(非平均分组无归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分为任意的n 1，n 2，„，n m 件无记号的m 堆，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有N =
12m （6）(非完全平均分组无归属问题) 将相异的P(P=n1+n2+ +nm ) 个物体分为任意的n 1，n 2，„，n m 件无记号的m 堆，且n 1，n 2，„，n m 这m 个数中分别有a 、b 、c 、„个相等，则其分配方法数有
N =
12m （7）(限定分组有归属问题) 将相异的p （p =n 1+n 2+ +n m ）个物体分给甲、乙、丙，„„等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得n 1件，乙得n 2件，丙得n 3件，„时，则无论n 1，n 2，„，n m 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
m N =C p 1⋅C p 2-n 1... C n m =
n n n
12m 159．“错位问题”及其推广
①信2封信与2个信封全部错位有1种排法； ②信3封信与3个信封全部错位有2种排法； ③信4封信与4个信封全部错位有9种排法； ④信5封信与5个信封全部错位有44种排法； 160．不定方程x 1+x 2+ +x n =m 的解的个数
(1)方程x 1+x 2+ +x n =m （n , m ∈N ）的正整数解有C
***
n -1
m -1
(2) 方程x 1+x 2+ +x n =m （n , m ∈N ）的非负整数解有 C
n -1
n +m -1
(3) 方程x 1+x 2+ +x n =m （n , m ∈N ）满足条件x i ≥k (k ∈N , 2≤i ≤n -1) 的非负整数解有C m +1-(n -2)(k -1) *
n -1
二项展开式的通项公式T r +1=C n a
r n -r
b (r =0，1，2 ，n ) r
f (x ) =(ax +b ) =a 0+a 1x +a 2x + +a n x 的展开式的系数关系：
n 2n
a 0+a 1+a 2+ +a n =f (1)；a 0-a 1+a 2+ +(-1) a n =f (-1) ；a 0=f (0)n
次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：P n (k ) =C n P (1-P )
k k n -k
.
f (x ) 在x 0处的导数（或变化率或微商）
f '(x 0) =y '
x =x 0
=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim ∆s ∆t
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x →0
υ=s '(t ) =lim
∆t →0
=lim
∆x
∆t →0
f (x ) 在(a , b ) 的导数：f '(x ) =y '=
dy dx
=
df dx
=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
∆x →0
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0
(1) C '=0（C (x n ) '=nx
n -1
(n ∈Q ) (sinx ) '=cos x (4) (cosx ) '=-sin x (5) (lnx ) '=
1x
；(loga ) '=
x
1x
log a e (6) (e ) '=e ; (a ) '=a ln a
x x x x
（1）(u ±v ) =u ±v 2）(uv ) =u v +uv 3）() =
' ' ' ' u v
'
u v -uv v
2
' '
(v ≠0)
设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u x '=ϕ'(x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点U 处有导数y u '=f '(u ) ，
'⋅u '=y u 则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x 处有导数，且y '，或写作f x '(ϕ(x )) =f '(u ) ϕ'(x ) x x
x
充分小时）
(1)+x ≈1+
x
12
x ; n +x ≈1+
1n
x ；(2)(1+x ) ≈1+αx (α∈R ) ；
α
11+x
≈1-x ；
(3)e ≈1+x ；(4)l n (1+x ) ≈x ；(5)sin x ≈x （x 为弧度）； (6)tan x ≈x （x 为弧度）；(7)arctan x ≈x （x 为弧度） f (x 0) 是极大（小）值的方法
当函数f (x ) 在点x 0处连续时，
（1）如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x ) 0，则f (x 0) ∆A B C 中，∠A 的平分线交边BC 于D ，则
B D D C
=
B A
（三角形的外角平分线也有同样的性质）