六.平面向量的概念与线性运算
一、复习目标:
1、了解向量的实际背景,理解平面向量相等的含义,理解向量的几何表示;
2、掌握向量加、减法的运算并理解其几何意义;
3、掌握向量数乘的运算,理解其几何意义及两个向量共线的条件。
二、知识梳理:
1、向量的有关概念:(1)向量是即有
可以用或a的长度记为 。
(2)零向量是 的向量,它的方向 。
(3)单位向量是指 的向量,单位向量不唯一
(4)通过有向线段AB的直线叫做向量AB的 ,
平行向量(共线向量)是指 的向量
规定:0与任意向量 。
(5)相等向量是指 的向量。
(6)相反向量是指 的向量。
(7)用向量表示点的位置:任给一定点O和向量a,过点O作有向线段OA,则点A相
对于点O的位置被向量a唯一确定,这时向量OA叫做点A相对于点O的
2、向量加法遵循或
3、向量减法的三角形法则,方向指向
4、实数与向量的积a(1)是向量(2)模等于
(3)方向:当0时,当0时。
5、平行向量基本定理:a与b共线(b0)存在实数,使 。
6、向量a的单位向量是指 的向量,且a0
7、设轴上A(x1),B(x2)则AB=_______.
三、例题精讲:
类型一:向量的有关概念
例1、下列命题中,正确的有( )
(1)abab (2)aba//b
(3)a0a0 (4)a//b,b//ca//c
(5)若ABCD是不共线的四点,则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件。
(6)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同。
类型二、向量的加法与减法运算
例2、若非零向量,满足,则,所成的角大小为
类型三、实数与向量的积
例3、1、已知,R,则以下命题正确的有 个
(1)0,a0,则a与a的方向一定相反
(2)0,a0,则a与a是共线向量
(3)0,a0,则a与a的方向一定相反
12x-a)-(bc3x)b0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量2、若(321
x。
类型四、平行向量基本定理的应用
11
例4以向量OAa,OBb,BMBC CNCD,用a
,b表示33
OM,ON,MN。
(2)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足ABAC),[0,),则动点P的轨迹一定通过ABC的( ) OPOA(
ABAC
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
(3)设两个非零向量e1,e2不共线.
①如果ABe1e2,BC2e18e2,CD3e1e2,求证:A,B,D三点共线。
②试确定实数k的值,使ke1e2和e1ke2共线
四、巩固训练:
1.在△ABC中,ABc,ACb.若点D满足BD2DC,则AD( )
21A.bc 33
12D.bc 33 52B.cb 33 21C.bc 33
2、已知D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点,且BCa,CAb。给出1111下列命题:①ADab②BEab③CFab④ADBECF0。2222
其中正确的命题的个数是: ( )
A 1 B 2 C 3 D 4
AC5,则BC的取值范围是 ( ) 3、若AB8A 【3,8】 B (3,8) C 【3,13】D (3,13)
4、.若不共线的三个非零向量a,b,c满足a+b+c0,则向量a,b,c可组成 ( )
A 一条直线 B 一条线段 C 三个点 D 三角形
5、.命题p:ABC及点G满足GA+GB+GC=0;命题q:G是ABC的重心,则p是q的
( )条件
A 充分非必要 B 必要非充分
C 充要 D 既非充分又非必要
6、已知点A,B,C是不在同一直线上的三个点,O是平面ABC内一定点,P是ABC内的
1一动点,若OPOA(ABBC),[0,),则点P的轨迹一定过ABC的( ) 2
A外心 B 内心 C 重心 D 垂心
17、ABC中,已知D是AB边上一点,若AD2DB,CDCACB,则=( ) 3
2112 A B C D 3333
8、已知O是正△ABC内部一点,OA2OB3OC0,则△ABC的面积与△OAC的面
积之比是( )
35 B. C. 3 D. 5- 23
(-3,4)9、已知a是以点A(3,1)为起点,且与向量b 平行的单位向量,则向量aA. 的终点坐标是____________
10、若A,B,C是数轴上的三个点,且A点的坐标为4,AB=6,BC=4, 则点B,C的
坐标分别是 ,
11、化简下列各式,结果为零向量的个数是(1)ABBCCA (3) ABACBDCD
(3)OAODAD (4) NQQPMNMP
12、若a,b是两个不共线的非零向量tR
1(1)若a与b起点相同,t为何值时,a,tbab三向量的终点在一直线上? 30(2)若ab且a与b夹角为60,那么t为何值时,
atb的值最小?
六.平面向量的概念与线性运算
一、复习目标:
1、了解向量的实际背景,理解平面向量相等的含义,理解向量的几何表示;
2、掌握向量加、减法的运算并理解其几何意义;
3、掌握向量数乘的运算,理解其几何意义及两个向量共线的条件。
二、知识梳理:
1、向量的有关概念:(1)向量是即有
可以用或a的长度记为 。
(2)零向量是 的向量,它的方向 。
(3)单位向量是指 的向量,单位向量不唯一
(4)通过有向线段AB的直线叫做向量AB的 ,
平行向量(共线向量)是指 的向量
规定:0与任意向量 。
(5)相等向量是指 的向量。
(6)相反向量是指 的向量。
(7)用向量表示点的位置:任给一定点O和向量a,过点O作有向线段OA,则点A相
对于点O的位置被向量a唯一确定,这时向量OA叫做点A相对于点O的
2、向量加法遵循或
3、向量减法的三角形法则,方向指向
4、实数与向量的积a(1)是向量(2)模等于
(3)方向:当0时,当0时。
5、平行向量基本定理:a与b共线(b0)存在实数,使 。
6、向量a的单位向量是指 的向量,且a0
7、设轴上A(x1),B(x2)则AB=_______.
三、例题精讲:
类型一:向量的有关概念
例1、下列命题中,正确的有( )
(1)abab (2)aba//b
(3)a0a0 (4)a//b,b//ca//c
(5)若ABCD是不共线的四点,则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件。
(6)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同。
类型二、向量的加法与减法运算
例2、若非零向量,满足,则,所成的角大小为
类型三、实数与向量的积
例3、1、已知,R,则以下命题正确的有 个
(1)0,a0,则a与a的方向一定相反
(2)0,a0,则a与a是共线向量
(3)0,a0,则a与a的方向一定相反
12x-a)-(bc3x)b0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量2、若(321
x。
类型四、平行向量基本定理的应用
11
例4以向量OAa,OBb,BMBC CNCD,用a
,b表示33
OM,ON,MN。
(2)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足ABAC),[0,),则动点P的轨迹一定通过ABC的( ) OPOA(
ABAC
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
(3)设两个非零向量e1,e2不共线.
①如果ABe1e2,BC2e18e2,CD3e1e2,求证:A,B,D三点共线。
②试确定实数k的值,使ke1e2和e1ke2共线
四、巩固训练:
1.在△ABC中,ABc,ACb.若点D满足BD2DC,则AD( )
21A.bc 33
12D.bc 33 52B.cb 33 21C.bc 33
2、已知D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点,且BCa,CAb。给出1111下列命题:①ADab②BEab③CFab④ADBECF0。2222
其中正确的命题的个数是: ( )
A 1 B 2 C 3 D 4
AC5,则BC的取值范围是 ( ) 3、若AB8A 【3,8】 B (3,8) C 【3,13】D (3,13)
4、.若不共线的三个非零向量a,b,c满足a+b+c0,则向量a,b,c可组成 ( )
A 一条直线 B 一条线段 C 三个点 D 三角形
5、.命题p:ABC及点G满足GA+GB+GC=0;命题q:G是ABC的重心,则p是q的
( )条件
A 充分非必要 B 必要非充分
C 充要 D 既非充分又非必要
6、已知点A,B,C是不在同一直线上的三个点,O是平面ABC内一定点,P是ABC内的
1一动点,若OPOA(ABBC),[0,),则点P的轨迹一定过ABC的( ) 2
A外心 B 内心 C 重心 D 垂心
17、ABC中,已知D是AB边上一点,若AD2DB,CDCACB,则=( ) 3
2112 A B C D 3333
8、已知O是正△ABC内部一点,OA2OB3OC0,则△ABC的面积与△OAC的面
积之比是( )
35 B. C. 3 D. 5- 23
(-3,4)9、已知a是以点A(3,1)为起点,且与向量b 平行的单位向量,则向量aA. 的终点坐标是____________
10、若A,B,C是数轴上的三个点,且A点的坐标为4,AB=6,BC=4, 则点B,C的
坐标分别是 ,
11、化简下列各式,结果为零向量的个数是(1)ABBCCA (3) ABACBDCD
(3)OAODAD (4) NQQPMNMP
12、若a,b是两个不共线的非零向量tR
1(1)若a与b起点相同,t为何值时,a,tbab三向量的终点在一直线上? 30(2)若ab且a与b夹角为60,那么t为何值时,
atb的值最小?