“三线合一”专题
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】
例题1 如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。 求证：BE=CE。
变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外
一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。
变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、
DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。
变式练习1-3 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=___________。
例题2 如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE的长度。
变式练习2—1
D C 如图，在
中，，
于点，则等于（ C ，点为 ） 的中点，A． B． C． D．
例题3 已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE
外，求证：∠ACE=∠B。
1BC，E在△ABC2
变式练习2—1 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点。
【巩固练习】
1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。
2、在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm， 则∠BAC＝________，∠DAC＝________，BD＝________cm。
3、在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝________。
4、已知△ABC中，∠A ＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（ ）
111（A）90°－n°（B）90°＋ n°（C）180°－n°（B）180°－n° 222
5、下列两个三角形中，一定全等的是（ ）
（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
（B）两个等边三角形
（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
6、已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC的平分线？
7、已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。
8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D
是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交
AC于E。求证：CD⊥BE。
D E C A
9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。
10、 如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂足。求证：MN∥CN。
11、如图4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？
图4
12、已知：如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：S四边形CEDF＝1。
S2△ABC
“三线合一”专题
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】
例题1 如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。 求证：BE=CE。
变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外
一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。
变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、
DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。
变式练习1-3 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=___________。
例题2 如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE的长度。
变式练习2—1
D C 如图，在
中，，
于点，则等于（ C ，点为 ） 的中点，A． B． C． D．
例题3 已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE
外，求证：∠ACE=∠B。
1BC，E在△ABC2
变式练习2—1 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点。
【巩固练习】
1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。
2、在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm， 则∠BAC＝________，∠DAC＝________，BD＝________cm。
3、在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝________。
4、已知△ABC中，∠A ＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（ ）
111（A）90°－n°（B）90°＋ n°（C）180°－n°（B）180°－n° 222
5、下列两个三角形中，一定全等的是（ ）
（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
（B）两个等边三角形
（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
6、已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC的平分线？
7、已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。
8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D
是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交
AC于E。求证：CD⊥BE。
D E C A
9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。
10、 如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂足。求证：MN∥CN。
11、如图4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？
图4
12、已知：如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：S四边形CEDF＝1。
S2△ABC