几何经典难题
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．
求证：CD ＝GF ．（初三）
E
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， ∠PAD ＝∠PDA ＝15．
求证：△PBC 是正三角形．（初二）
C
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） A
的中点．
D
D
O
F D
B
A 1
B 2 2
C
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交
MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
B
5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点）
（1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三）
6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A
，
直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三）
7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
求证：AP ＝AQ ．（初三 ）
N
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．
8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P
是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
F
9、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
求证：CE ＝CF ．（初二）
10、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．
11、设P 是正方形ABCD 一边BC
求证：PA ＝PF ．（初二）
E
E
12、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求
证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）
P
13、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．
求：∠APB 的度数．（初二）
14、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．
求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
C
15、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD
16、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、
AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且
AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．
D
17、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：
≤L ＜2．
18、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
D
C
C
19、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．
20、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝80，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝30，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．
解答
1. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE, 可得
EO G F
G O G H
C O C D
==, 又CO=EO，所以CD=GF得证。
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△，从而可得
△DGC ≌△APD ≌△CGP , 得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝15所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形
3. 如下图连接BC 1和AB 1分别找其中点F,E. 连接C 2F 与A 2E 并延长相交于Q 点， 连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点，连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点， 由A 2E=1A 1B 1=1B 1C 1= FB2 ，EB 2=1AB=1BC=FC 1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 2222
∠GE B 2+∠Q=900, 所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 ， 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ，所以A 2B 2=B2C 2 ， 又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从而可得∠A 2B 2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。
4. 如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。
5.(1)延长AD 到F 连BF ，做OG ⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD ，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB ，OC, 既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
6. 证明：作E 点关于GA 的对称点F ，连FQ 、FA ，FC ， ∵OA ⊥MN ，EF ⊥OA ，
则有∠FAP=∠EAQ ，∠EAP=∠FAQ ，FA=EA， ∵∠PAF=∠AFE=∠AEF=180-∠FCD ， ∵∠PAF=180-∠FAQ ， ∴∠FCD=∠FAQ ， ∴FCAQ 四点共圆，
∠AFQ=∠ACQ=∠BED ， 在△EPA 和△FQA 中
∠PEA=∠QFA AF=AE ∠PAE=∠QAF
，
∴△EPA ≌△FQA ， ∴AP=AQ．
7. 作OF ⊥CD ，OG ⊥BE ，连接OP ，OA
，OF ，AF ，OG ，AG ，OQ 。
由于
A D A B
=A C A E
=C D B E
=2F D 2B G
=F D B G
，
由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ， ∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ。
8. 过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。可得PQ=
AI +BI
2
AB 2
E G +F H
2
。
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI。 从而可得PQ=
=
，从而得证。
9. 顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG . 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC 为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。
10. 连接BD 作CH ⊥DE ，可得四边形CGDH 是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=30，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=15，
0000
又∠FAE=90+45+15=150，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
11. 作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan ∠BAP=tan∠EPF=
X Y
=
Z Y -X +Z
，可得YZ=XY-X 2+XZ，
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ， 得到PA ＝PF ，得证 。
12. 证明：作CQ ⊥PD 于Q ，连接EO ，EQ ，EC ，OF ，QF ，CF ，
所以PC 2=PQ•PO（射影定理）， 又PC 2=PE•PF，
所以EFOQ 四点共圆， ∠EQF=∠EOF=2∠BAD ，
又∠PQE=
∠OFE=
∠
OEF=∠OQF ， 而CQ ⊥PD ，所以∠EQC=∠FQC ，因为∠AEC=∠PQC=90°，
故B 、E 、C 、Q 四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EOF=∠BAD ， ∴CB ∥AD ，
所以BO=DO，即四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC，BC=AD．
13. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ 是正三角形。
可得△PQC 是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
14. 作过P 点平行于AD 的直线，并选一点E ，使AE ∥DC ，BE ∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP ，可得：
AEBP 共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP ，得证。
15. 在BD 取一点E ，使∠BCE=∠ACD ，既得△BEC ∽△ADC ，可得：
BE
BC A C
又∠ACB=∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，既得
=
A D
，即AD •BC=BE•AC ， ①
A B
A C D C
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
=
D E
，即AB •CD=DE•AC ， ②
16. 过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由S AD E =
S ABC D
2
=S D FC ，可得：
A E P Q AE PQ
=，由AE=FC。 22
可得DQ=DG，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。
17. （1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小L=
；
（2）过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D ，F 。 由于∠APD>∠A TP=∠ADP ，
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L
≤L ＜2 。
18. 顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得
=
=
=
2
1)
=
2
。
19. 顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长
L = a
= a 。
20. 在AB 上找一点F ，使∠BCF=600 ，
连接EF ，DG ，既得△BGC 为等边三角形，
可得∠DCF=10 , ∠FCE=20 ,推出△ABE ≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE 为等边三角形 ，可得∠AFE=80 ，
既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=80 ，既得∠DGF=40 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE ≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。
00
几何经典难题
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．
求证：CD ＝GF ．（初三）
E
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， ∠PAD ＝∠PDA ＝15．
求证：△PBC 是正三角形．（初二）
C
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） A
的中点．
D
D
O
F D
B
A 1
B 2 2
C
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交
MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
B
5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点）
（1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三）
6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A
，
直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三）
7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
求证：AP ＝AQ ．（初三 ）
N
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．
8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P
是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
F
9、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
求证：CE ＝CF ．（初二）
10、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．
11、设P 是正方形ABCD 一边BC
求证：PA ＝PF ．（初二）
E
E
12、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求
证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）
P
13、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．
求：∠APB 的度数．（初二）
14、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．
求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
C
15、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD
16、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、
AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且
AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．
D
17、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：
≤L ＜2．
18、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
D
C
C
19、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．
20、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝80，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝30，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．
解答
1. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE, 可得
EO G F
G O G H
C O C D
==, 又CO=EO，所以CD=GF得证。
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△，从而可得
△DGC ≌△APD ≌△CGP , 得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝15所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形
3. 如下图连接BC 1和AB 1分别找其中点F,E. 连接C 2F 与A 2E 并延长相交于Q 点， 连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点，连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点， 由A 2E=1A 1B 1=1B 1C 1= FB2 ，EB 2=1AB=1BC=FC 1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 2222
∠GE B 2+∠Q=900, 所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 ， 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ，所以A 2B 2=B2C 2 ， 又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从而可得∠A 2B 2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。
4. 如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。
5.(1)延长AD 到F 连BF ，做OG ⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD ，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB ，OC, 既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
6. 证明：作E 点关于GA 的对称点F ，连FQ 、FA ，FC ， ∵OA ⊥MN ，EF ⊥OA ，
则有∠FAP=∠EAQ ，∠EAP=∠FAQ ，FA=EA， ∵∠PAF=∠AFE=∠AEF=180-∠FCD ， ∵∠PAF=180-∠FAQ ， ∴∠FCD=∠FAQ ， ∴FCAQ 四点共圆，
∠AFQ=∠ACQ=∠BED ， 在△EPA 和△FQA 中
∠PEA=∠QFA AF=AE ∠PAE=∠QAF
，
∴△EPA ≌△FQA ， ∴AP=AQ．
7. 作OF ⊥CD ，OG ⊥BE ，连接OP ，OA
，OF ，AF ，OG ，AG ，OQ 。
由于
A D A B
=A C A E
=C D B E
=2F D 2B G
=F D B G
，
由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ， ∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ。
8. 过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。可得PQ=
AI +BI
2
AB 2
E G +F H
2
。
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI。 从而可得PQ=
=
，从而得证。
9. 顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG . 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC 为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。
10. 连接BD 作CH ⊥DE ，可得四边形CGDH 是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=30，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=15，
0000
又∠FAE=90+45+15=150，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
11. 作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan ∠BAP=tan∠EPF=
X Y
=
Z Y -X +Z
，可得YZ=XY-X 2+XZ，
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ， 得到PA ＝PF ，得证 。
12. 证明：作CQ ⊥PD 于Q ，连接EO ，EQ ，EC ，OF ，QF ，CF ，
所以PC 2=PQ•PO（射影定理）， 又PC 2=PE•PF，
所以EFOQ 四点共圆， ∠EQF=∠EOF=2∠BAD ，
又∠PQE=
∠OFE=
∠
OEF=∠OQF ， 而CQ ⊥PD ，所以∠EQC=∠FQC ，因为∠AEC=∠PQC=90°，
故B 、E 、C 、Q 四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EOF=∠BAD ， ∴CB ∥AD ，
所以BO=DO，即四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC，BC=AD．
13. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ 是正三角形。
可得△PQC 是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
14. 作过P 点平行于AD 的直线，并选一点E ，使AE ∥DC ，BE ∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP ，可得：
AEBP 共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP ，得证。
15. 在BD 取一点E ，使∠BCE=∠ACD ，既得△BEC ∽△ADC ，可得：
BE
BC A C
又∠ACB=∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，既得
=
A D
，即AD •BC=BE•AC ， ①
A B
A C D C
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
=
D E
，即AB •CD=DE•AC ， ②
16. 过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由S AD E =
S ABC D
2
=S D FC ，可得：
A E P Q AE PQ
=，由AE=FC。 22
可得DQ=DG，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。
17. （1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小L=
；
（2）过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D ，F 。 由于∠APD>∠A TP=∠ADP ，
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L
≤L ＜2 。
18. 顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得
=
=
=
2
1)
=
2
。
19. 顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长
L = a
= a 。
20. 在AB 上找一点F ，使∠BCF=600 ，
连接EF ，DG ，既得△BGC 为等边三角形，
可得∠DCF=10 , ∠FCE=20 ,推出△ABE ≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE 为等边三角形 ，可得∠AFE=80 ，
既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=80 ，既得∠DGF=40 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE ≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。
00