“两线合一”构建且证明等腰三角形
学习了等腰三角形的三线合一后，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式：
①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．
③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.
因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．
简言之：两线合一，必等腰。
利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。 等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：
证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。
证明③：已知:如图2， △ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：
分析： “倍长中线法”，即延长AD到E点，使DE=AD，
由此问题就解决了。
方法二：
遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线。
注：这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。
二、 利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题
1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）
例1 如图4，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
2、逆命题②的应用
例2 已知：如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
求证：∠2=∠1+∠B
例3 在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6，在△ABC中，∠ BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，且CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：CD=BE
三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出。
3、逆命题③应用：
例4 已知：如图8，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE∥AC 、DF∥AB分别
与AB、AC相交于点E，F。求证：DE=DF
还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路。
例6 如图9，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AD=CD+AB
逆命题③的应用不是很多，所以在此就不过多的举例。
由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防与“三线合一”性质搞混淆。
“两线合一”构建且证明等腰三角形
学习了等腰三角形的三线合一后，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式：
①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．
③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.
因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．
简言之：两线合一，必等腰。
利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。 等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：
证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。
证明③：已知:如图2， △ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：
分析： “倍长中线法”，即延长AD到E点，使DE=AD，
由此问题就解决了。
方法二：
遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线。
注：这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。
二、 利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题
1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）
例1 如图4，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
2、逆命题②的应用
例2 已知：如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
求证：∠2=∠1+∠B
例3 在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6，在△ABC中，∠ BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，且CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：CD=BE
三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出。
3、逆命题③应用：
例4 已知：如图8，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE∥AC 、DF∥AB分别
与AB、AC相交于点E，F。求证：DE=DF
还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路。
例6 如图9，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AD=CD+AB
逆命题③的应用不是很多，所以在此就不过多的举例。
由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防与“三线合一”性质搞混淆。