一、数式运算、因式分解、分式、数的开方
张晓东 太仓市沙溪实验中学
【近四年江苏省十三大市中考数式运算、因式分解、分式、数的开方的分值与比率】(仅供
参考)
【新课标要求】 1．有理数
(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．
(2)从代数意义、几何意义两方面理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法(绝对值内不含字母) ．
(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主) ． (4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算． (5)运用有理数的运算解决简单的问题． 2．实数
(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．
(2)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根．
(3)了解无理数和实数的概念、实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值． (4)掌握用有理数估计一个无理数的大致范围．
(5)了解实际问题中的近似计算，会按问题的要求对结果取近似值．
(6)了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，掌握实数的简单四则运算． 3．代数式
(1)理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示． (2)对一些简单代数式的实际背景或几何意义进行解释．
(3)掌握求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，选择所需要的公式，并会代入具体的值进行计算． 4．整式与分式
(1)了解整数指数幂的意义和基本性质；掌握用科学记数法表示数．
(2)理解整式及相关概念，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算． (3)能推导乘法公式：(a +b )(a -b ) =a 2-b 2；(a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算．
(4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次) 、十字相乘法、分组分解法进行因式分解．
(5)了解分式及相关概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算． 【课时分布】
【基础知识专题讲解】
专题1： 实数的概念与分类 1．无理数的概念及实数的分类：
⎧⎧⎧正整数⎪⎪⎪
整数⎨0⎪⎪
⎪负整数⎪有理数⎪
⎪⎨⎩实数⎨——有限小数或无限循环小数 ⎪
⎪⎪分数⎧正分数
⎨⎪⎪⎩负分数⎩⎪
⎪⎩无理数——无限不循环小数
2．研究实数的工具―数轴：明确实数与数轴上的点一一对应(数形结合) ．
3．相反数：若a , b 互为相反数，则a +b =0．
4．绝对值：它的几何意义：在数轴上表示数a 对应的点与原点的距离．
⎧a (a >0) ⎪
它的代数意义：a =⎨0(a =0)
⎪-a (a
5．倒数：若a , b 互为倒数，则ab =1．(注意互逆运用) 6
．三种非负数：a a ≥0)；a 2n (n 为整数) ．
例1 -2，0，1，-3四个数中，最小的数是( )
A ．-2 B ．0 C ．1 D ．-3 【考点】有理数大小比较
【分析】根据有理数比较法则或利用数轴解决 【解】选D
例2 设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④ 【考点】无理数的概念、无理数大小估计、数的开方运算、勾股定理．
【分析】由勾股定理，得：a =≈4.2，所以③错误，其它都正确． 【解】选C ．
例3
的值在两个整数a 与a +1之间，则a = ． 【考点】估计无理数的大小．
【分析】∵4＜5＜9
23．
a 与a +1之间，得a =2．
【解】a =2．
【说明】实数概念复习注意以下几点：
22
这样的有理数； 7
2. 初中遇到的无理数有三种形式：①特定结构的数，如5.020 020 002…；②开方开不尽的数，
1. 对于有理数和无理数的理解认识要从数的表示形式入手，特别是对于
③特定意义的数，如π，sin 45°等．它们的本质特征都是无限不循环小数； 3.
判断一个实数是有理数还是无理数，不能只看表面，要经过化简后才能下结论．例如：
0化简后等于1
，因此0不是无理数；
4. 要会用有理数估计一个无理数的大小，体现数学中的转化思想，培养估算意识．
专题2：实数的运算 【基本知识】 1．运算法则(略) ．
2．运算律：交换律、结合律、分配律．
3．运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的． 例4
计算：(-1) 3+1) 0
【考点】实数的运算，算术平方根，零指数幂，乘方．
【分析】按乘方、零指数幂、算术平方根3个考点分别进行计算，然后根据实数运算法则求
得计算结果． 【解】原式＝−1+1+3=3．
例5 某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额.
注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400⨯(1-80%)+30=110(元) 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ 【考点】运用有理数运算解决简单的问题． 【分析】按实际问题列出式子计算．
【解】购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元， 顾客获得的优惠额为1000⨯(1-80%)+150=350(元) ．
【说明】
实数运算复习注意点：
1. 乘方运算注意事项：注意分清底数；注意书写格式，若底数为负数或分数，书写时一定要加括号，注意运算顺序，运算时要先算乘方；
2. 有理数运算的合理性：几个分数、小数相加，尽量化成小数相加；几个分数、小数相乘，尽量化成分数相乘；能“整”不“分”、能“正”不“负”．
专题3：近似数与有效数字、科学记数法
1．近似数的表示方法：①精确到哪一位或者精确到小数点后第几位；②保留几个有效数字． 2．确定有效数字的方法：找出左边第一个非零的数字和精确到数位上的数字，两者及两者之间的所有数字都是这个数的有效数字． 3．把一个数表示成a ⨯10n (1≤a
例6 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13 000名青少年志愿者提供服务，将13 000用科学记数法表示为.
【考点】科学记数法．
【分析】根据科学记数法的定义，13 000一共5位整数位，从而13 000=1.3⨯104． 【解】13 000=1.3⨯104
【说明】
科学记数法的规律：①原数的绝对值大于10时，原数利用科学记数法写成a ⨯10n 形式，注意1≤a
专题4：整式的有关概念
1．定义：单项式和多项式统称整式． 2．单项式：数字与字母的积所组成的代数式叫单项式，单独一个数字或字母也是单项式．单项式的属性有系数和次数．
3．多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的属性有次数和项数．
例7 (3m -2) xy n -1是关于x ，y 的5次单项式，且系数为1，则m ，n 【考点】单项式相关概念．
【分析】从单项式的次数和系数概念入手列出方程解决． 【解】m =1，n =5．
【说明】
113
1. 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：-4a 2b ，应写成-a 2b ；
33
2. 圆周率π是一个无理数，在判断某一项的系数时，应将π作为系数，如2πx 2的系数是2π，
次数2；
55x 2y
3．计算单项式的次数时，要把所有字母的指数相加． 如单项式-的系数是-，次数
33
是3；
4. 多项式中的项若不含字母，只是一个数字，则此项为常数项，写项时不要漏掉．
专题5：整式的化简与求值
1．整式的加减 有括号先去括号，再合并同类项．
2．整式的乘法(1)幂的运算法则；(2)整式乘法常见类型；(3)乘法公式． 3．整式的除法
例8 化简：(x +1) 2-2x ．
【考点】整式的加减、完全平方公式．
【分析】应用完全平方公式公式展开后合并同类项． 【解】原式=x 2+2x +1−2x =x 2+1．
例9 下列计算中，正确的是( )
A ．(a 3b ) 2=a 6b 2 B ．a •a 4=a 4 C ．a 6÷a 2=a 3 D ．3a +2b =5ab
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，
底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法求解．． 【解】A . (a 3b ) 2=a 6b 2，故本选项正确；
B . a •a 4=a 5，故本选项错误； C . a 6÷a 2=a 62=a 4，故本选项错误；
﹣
D . 3a 与2b 不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选A ．
【说明】
1．在中考中，直接考查整式乘法的题目并不多，而是在很多其它问题的解决中用到乘法公式，这就要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a 、b ，准确进行计算； 2．要准确认识平方差和完全平方公式，必须结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；
3．在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应加上括号，另外字母是分数时，遇到乘方也要加括号．
专题6：因式分解
1．因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式乘积形式，叫做因式分解，也叫做分解因式；
2．因式分解法常用方法
(1)提公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c )
(2)公式法：a 2-b 2=(a +b )(a -b ) ；a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2；
a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2) ；a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2) ；
(3)十字相乘法：x 2+(p +q ) x +pq =(x +p )(x +q ) 例10 分解因式：2x 3-8x 2y +8xy 2 【考点】提公因式法和应用公式法因式分解．
【分析】因式分解的一般思考方法是：先看是否有公因式可提，再看能否用公式，二次三项
式一般可以考虑用十字相乘法，对于项数为四项或四项以上的，考虑用分组分解法． 【解】原式=2x (x 2-4xy +4y 2) =2x (x -2y ) 2．
例11 当m +n =3时，式子m 2+2mn +n 2的值为 ．
【考点】利用因式分解方法解决问题．
【分析】将代数式化为完全平方公式的形式，代入即可得出答案． 【解】m 2+2mn +n 2=(m +n ) 2=9．
故答案为：9． 【说明】
1．分解因式是研究代数式的一种手段，不是目的．分解因式的思路和方法始终贯穿在数学变换中，通过分解因式将多项式合理变形，是求代数式的值的常用的解题方法，许多有关整式、分式以及二次根式的化简与计算都离不开分解因式公因式；
2．因式分解的思考方法是：先提公因式，再由项数定方法(二项考虑平方差公式、三项考虑完全平方公式或十字相乘法、四项以上考虑分组分解法) ，最后考虑分解到不能分解为止； 3．提取公因式后所得结果应为：n 项式=公因式×新的n 项式；公因式可能是单项式也可能是多项式．对多项式在教学中要注意下述变形：a +b =b +a ，b -a =-(a -b ) ，
(b -a ) 2=(a -b ) 2，(b -a ) 3=-(a -b ) 3，(1-a )(2-a ) =(a -1)(a -2) ；
4．运用公式的关键是熟悉公式的结构特点，了解公式中a 、b 的广泛含义，才能准确、迅速解题．
专题7：分式的概念
A
形如 (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0) 的式子叫做分式；整式和分式统称为有
B
理式．
A A
1. 若分式有意义，则B ≠0； 2. 若分式无意义，则B =0；
B B A A
3. 若分式=0，则A =0, B ≠0； 4. 若分式＞0，则A ，B 同号；
B B A
5. 若分式＜0，则A ，B 异号．
B
1
例12 使式子1+有意义的x 的取值范围是 ．
x +1【考点】分式有意义的条件．
【分析】要使分式有意义，则满足分母不为0． 【解】x ≠1．
x +1
的值为零的条件是x = ． 2x -1
【考点】分式值为零的条件． 例13 使分式
【分析】要使分式值为零，则满足分子等于0且分母不为0． 【解】x +1=0且2x -1≠0得x =-1． 【说明】
1. 分式的分母不能为零、二次根式被开方数大于等于零、零指数底数不为零是考虑一个代数式有意义及函数自变量取值范围三个重要方面； 2. 看到一个分式就要反应出分母不为零这个要求；
3. 对分式的处理有时需要看成一个整体分式，有时需要把分子分母分开看成为两个整式相除．
专题8：分式性质及运算
1．分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以) 同一个不为零的整式，分式的值不
A A ⨯M A A ÷M
, = (其中M 是不为零的整式) ． =
B B ⨯M B B ÷M
2．分式的运算与分数的运算相仿．
变．
ab
(a 、b 均为正数) 中的a 、b 都扩大为原来的2倍，则分式的值等于
a +b
例14 若所分式【分析】本题实质是在分子上乘上4、分母上同乘上2，亦可用特殊值代入方法解决。对此
题可以做一个变式，让学生真正认识到题目的本质是分式的基本性质．
【解】分式的值等于原来的2倍． 例15 先化简，再求值：
x -23
÷(x +1-) ，其中x =2． x -1x -
1
【考点】分式的化简求值．
【分析】将原式括号中各项通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后再利用平方差公
式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，即可得到原式的值． x -23x -2⎡(x +1)(x -1) 3⎤
÷(x +1-) =÷⎢-【解】 x -1x -1x -1⎣x -1x -1⎥⎦
x -2x 2-4x -2x -11=÷=⨯=
x -1x -1x -1(x +2)(x -2) x +2
当x 2时，原式
【说明】
=
． 1. 在分式约分时，分子分母公因式的判断方法：(1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数；(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式；(3)如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母因式分解，然后判断公因式； 2. 在分式的运算中要注意负号及括号的处理，分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加减，一定要添加括号；
3. 分式的计算(或化简) 主要依据分式的约分和通分，运算时要注意观察式子的特点，灵活运用运算法则，防止盲目繁琐的运算；若分式的分子、分母是多项式时，可考虑先进行因
式分解．分式的计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是中考的重要题型之一，复习中要重视．
专题9：二次根式的有关概念及二次根式的性质 1.
a ≥0) 的式子叫做二次根式；
2. 可以从以下三个方面理解最简二次根式：
(1)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；
(3)分母中不含有根号．
3. 判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须把它们化为最简二次根式，然后看它们的被开方数是否相同． 4. 二次根式的性质：
a ≥0)；
＝a (a ≥0)；a 2＝a ；
2
(a ≥0，b ≥0)
(a ≥0，b ＞0) ．
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ． x >1 B ．x
C ．x ≥1 D ．
x ≤
1
例16
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数．
【解】x -1≥0，得：x ≥1． 例17 下列计算正确的是
( )
A
．
1 B
C
． D
．3+
【考点】二次根式化简、同类二次根式．
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断． 【解】A
. B
C . = D . 3+≠.
【说明】
1．二次根式的复习要紧紧抓住被开方数大于等于0及二次根式本身大于等于0这两点展开问题的分析；
2．二次根式的复习要从运算角度，沿着整数(式) 、分数(式) 这样一条线来认识二次根式的运算．
专题10：二次根式的运算 1. 运算：
二次根式的加减运算与整式的加减运算类似，只需对同类二次根式进行合并； 二次根式的乘除法是二次根式性质的逆向运用；
二次根式运算结果中的每一项都应该是最简二次根式． 【考点】分母有理化、二次根式化简．
例18 计算
-
的结果是 ． 2化简．
例19
= 【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可．
【解】原式==4+． 1. 二次根式相乘(除) ，将被开方数相乘(除) ，所得的积(商) 仍作积(商) 的被开方数，并将运算
结果化为最简二次根式；
2. 实数运算中的运算律、运算法则及所有的乘法公式，在二次根式的运算中仍适用．
【基本思想方法专题讲解】
专题1：数形结合思想——数轴的应用
1．数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过数形转化，提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体．数形结合是连接“数”与“形”的“桥梁”，它是一种重要的数学思想方法． 2．数轴形象地反映了数与点之间的关系，借助于数与形的相互转化来解决数学问题，数轴具有如下作用：
(1)利用数轴可以用点直观地表示数； (2)利用数轴可以比较数的大小；
(3)利用数轴可以进行有理数的加减运算； (4)利用数轴解决绝对值问题． 例20 已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：b +c -a +c -b -a
【考点】数轴和数，绝对值的化简．
【分析】从数轴得到的信息是：c 式子值的正负．
【解】原式=-b -c +a +c +b -a =0．
专题2：特殊到一般
1．当某个数学问题涉及到相当多乃至无穷多的情形，头绪纷乱，难以下手时，行之有效的方法就是通过对若干简单情形进行考察，可以从特殊入手，发现其内在变与不变的规律，从而解决问题．
例21 有一列数列a 1，a 2，a 3„„a n ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a 1=2，则a 2009【考点】找规律、实数的运算．
【分析】寻找规律，由a 1=2，可推算出a 2=
的规律2009÷3=669„„2．
【解】11，a 3=-1，a 4=2，a 5=„„可得出循环221． 2
专题3：整体代入法
在求代数式的值时，如果题目中所求的代数式是已知代数式的一部分(或全部) ，各同类项的系数对应成比例，就可以把这一部分看作一个整体，再把要求值的代数式变形后整体代入，这种求代数式值的方法称为整体代入法．
例22 计算：
[***********](1----)(++++) -(1-----)(+++) 的结果[***********]
是 .
【考点】实数计算．
【分析】本题不可能直接计算，发现
把算式简化．
【解】设x =11111111可用整体方法设x =+++，+++多次出现，[**************]+++，则原式=(1−x )(x +)−(1−x −) x =． 2345666
113例23 已知x -=3，则4-x 2+x 的值为( ) x 22
357 C ． D ． 222
【考点】代数式求值；分式的混合运算．
【分析】
所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值． A ．1 B ．
1117=3，即x 2-3x =1，∴原式=4-(x 2-3x ) =4-=． x 222
故选D ．
专题4：转化思想
“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．在初中的数学中，转化思想始终贯穿于整个问题的解决中．
例24
已知a =，b =，求代数式a 3b +ab 3的值．
【考点】分母有理化、因式分解、配方法．
【分析】
运用数学思想是：转化思想、整体思想．教师在复习时要适量地进行有关数学思想和数学方法的渗透． 【解】∵x -
【解】
∵a
=-1，b =-1
∴a +b =-2，ab =-1.
2∴a 3b +ab 3=ab (a 2+b 2) =⎡(a +b ) -2ab ⎤⎣⎦=-(4+2) =-6．
【复习建议】
1. 要让学生掌握这部分内容，不是让学生死记概念，而是要全面理解概念，不仅要对概念的内含(概念中的关键词) 及概念的外延(概念的来龙去脉) ，灵活把握概念的不同表达形式，而且要对为什么要学习这个知识，这个知识在数学研究及解决问题中起什么作用给学生一个明白的交待；
2. 此部分复习的重点是握实数的四则运算，计算则仍控制在简单两个有理数或无理数加减乘除、乘方、开方(求平方根、算术平方根、立方根) 运算．计算过程要规范，要注意计算的合理性；
3. 复习性质、公式、法则时，要注意运用的条件，并重视对典型例题的变式训练，熟练掌握运算方法，培养学生的观察能力，提高运算能力和解题技巧；并注意知识间的联系，如二次根式的计算化简与整式、分式的计算化简的对比应用；
4. 解题时要注意抓住已知条件中出现的数学知识点的属性，如：出现含字母的绝对值问题的分类讨论、出现二次根式的被开方数大于等于0的考虑等；
5. 整式部分主要考查运算的基础——合并同类项、幂的运算性质，分式部分主要是分式的意义和化简求值(最稳定的题型) ．因式分解由直接考查到间接考查；
6. 对于补充的立方和(差) 公式、十字相乘法、分母有理化等内容，要区别对待．对于立方和(差) 公式、分母有理化要求学生掌握和简单应用，但不必加深；对于十字相乘法等要求学生熟练掌握，并灵活运用；
7. 数式运算、因式分解、分式、数的开方是整个初中数学中最基础的内容，中考中出现的题目也并不难，主要以考查这些知识点为主，不必加入过多过繁的问题；
8. 这部分内容必须深钻教材，绝不能脱离课本，要以教材为基础，把学过的知识进行归纳梳理，系统分类，形成网络，融会贯通，重视在这些问题中的数学方法、思想的归纳总结．
一、数式运算、因式分解、分式、数的开方
张晓东 太仓市沙溪实验中学
【近四年江苏省十三大市中考数式运算、因式分解、分式、数的开方的分值与比率】(仅供
参考)
【新课标要求】 1．有理数
(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．
(2)从代数意义、几何意义两方面理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法(绝对值内不含字母) ．
(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主) ． (4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算． (5)运用有理数的运算解决简单的问题． 2．实数
(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．
(2)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根．
(3)了解无理数和实数的概念、实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值． (4)掌握用有理数估计一个无理数的大致范围．
(5)了解实际问题中的近似计算，会按问题的要求对结果取近似值．
(6)了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，掌握实数的简单四则运算． 3．代数式
(1)理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示． (2)对一些简单代数式的实际背景或几何意义进行解释．
(3)掌握求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，选择所需要的公式，并会代入具体的值进行计算． 4．整式与分式
(1)了解整数指数幂的意义和基本性质；掌握用科学记数法表示数．
(2)理解整式及相关概念，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算． (3)能推导乘法公式：(a +b )(a -b ) =a 2-b 2；(a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算．
(4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次) 、十字相乘法、分组分解法进行因式分解．
(5)了解分式及相关概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算． 【课时分布】
【基础知识专题讲解】
专题1： 实数的概念与分类 1．无理数的概念及实数的分类：
⎧⎧⎧正整数⎪⎪⎪
整数⎨0⎪⎪
⎪负整数⎪有理数⎪
⎪⎨⎩实数⎨——有限小数或无限循环小数 ⎪
⎪⎪分数⎧正分数
⎨⎪⎪⎩负分数⎩⎪
⎪⎩无理数——无限不循环小数
2．研究实数的工具―数轴：明确实数与数轴上的点一一对应(数形结合) ．
3．相反数：若a , b 互为相反数，则a +b =0．
4．绝对值：它的几何意义：在数轴上表示数a 对应的点与原点的距离．
⎧a (a >0) ⎪
它的代数意义：a =⎨0(a =0)
⎪-a (a
5．倒数：若a , b 互为倒数，则ab =1．(注意互逆运用) 6
．三种非负数：a a ≥0)；a 2n (n 为整数) ．
例1 -2，0，1，-3四个数中，最小的数是( )
A ．-2 B ．0 C ．1 D ．-3 【考点】有理数大小比较
【分析】根据有理数比较法则或利用数轴解决 【解】选D
例2 设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④ 【考点】无理数的概念、无理数大小估计、数的开方运算、勾股定理．
【分析】由勾股定理，得：a =≈4.2，所以③错误，其它都正确． 【解】选C ．
例3
的值在两个整数a 与a +1之间，则a = ． 【考点】估计无理数的大小．
【分析】∵4＜5＜9
23．
a 与a +1之间，得a =2．
【解】a =2．
【说明】实数概念复习注意以下几点：
22
这样的有理数； 7
2. 初中遇到的无理数有三种形式：①特定结构的数，如5.020 020 002…；②开方开不尽的数，
1. 对于有理数和无理数的理解认识要从数的表示形式入手，特别是对于
③特定意义的数，如π，sin 45°等．它们的本质特征都是无限不循环小数； 3.
判断一个实数是有理数还是无理数，不能只看表面，要经过化简后才能下结论．例如：
0化简后等于1
，因此0不是无理数；
4. 要会用有理数估计一个无理数的大小，体现数学中的转化思想，培养估算意识．
专题2：实数的运算 【基本知识】 1．运算法则(略) ．
2．运算律：交换律、结合律、分配律．
3．运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的． 例4
计算：(-1) 3+1) 0
【考点】实数的运算，算术平方根，零指数幂，乘方．
【分析】按乘方、零指数幂、算术平方根3个考点分别进行计算，然后根据实数运算法则求
得计算结果． 【解】原式＝−1+1+3=3．
例5 某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额.
注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400⨯(1-80%)+30=110(元) 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ 【考点】运用有理数运算解决简单的问题． 【分析】按实际问题列出式子计算．
【解】购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元， 顾客获得的优惠额为1000⨯(1-80%)+150=350(元) ．
【说明】
实数运算复习注意点：
1. 乘方运算注意事项：注意分清底数；注意书写格式，若底数为负数或分数，书写时一定要加括号，注意运算顺序，运算时要先算乘方；
2. 有理数运算的合理性：几个分数、小数相加，尽量化成小数相加；几个分数、小数相乘，尽量化成分数相乘；能“整”不“分”、能“正”不“负”．
专题3：近似数与有效数字、科学记数法
1．近似数的表示方法：①精确到哪一位或者精确到小数点后第几位；②保留几个有效数字． 2．确定有效数字的方法：找出左边第一个非零的数字和精确到数位上的数字，两者及两者之间的所有数字都是这个数的有效数字． 3．把一个数表示成a ⨯10n (1≤a
例6 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13 000名青少年志愿者提供服务，将13 000用科学记数法表示为.
【考点】科学记数法．
【分析】根据科学记数法的定义，13 000一共5位整数位，从而13 000=1.3⨯104． 【解】13 000=1.3⨯104
【说明】
科学记数法的规律：①原数的绝对值大于10时，原数利用科学记数法写成a ⨯10n 形式，注意1≤a
专题4：整式的有关概念
1．定义：单项式和多项式统称整式． 2．单项式：数字与字母的积所组成的代数式叫单项式，单独一个数字或字母也是单项式．单项式的属性有系数和次数．
3．多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的属性有次数和项数．
例7 (3m -2) xy n -1是关于x ，y 的5次单项式，且系数为1，则m ，n 【考点】单项式相关概念．
【分析】从单项式的次数和系数概念入手列出方程解决． 【解】m =1，n =5．
【说明】
113
1. 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：-4a 2b ，应写成-a 2b ；
33
2. 圆周率π是一个无理数，在判断某一项的系数时，应将π作为系数，如2πx 2的系数是2π，
次数2；
55x 2y
3．计算单项式的次数时，要把所有字母的指数相加． 如单项式-的系数是-，次数
33
是3；
4. 多项式中的项若不含字母，只是一个数字，则此项为常数项，写项时不要漏掉．
专题5：整式的化简与求值
1．整式的加减 有括号先去括号，再合并同类项．
2．整式的乘法(1)幂的运算法则；(2)整式乘法常见类型；(3)乘法公式． 3．整式的除法
例8 化简：(x +1) 2-2x ．
【考点】整式的加减、完全平方公式．
【分析】应用完全平方公式公式展开后合并同类项． 【解】原式=x 2+2x +1−2x =x 2+1．
例9 下列计算中，正确的是( )
A ．(a 3b ) 2=a 6b 2 B ．a •a 4=a 4 C ．a 6÷a 2=a 3 D ．3a +2b =5ab
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，
底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法求解．． 【解】A . (a 3b ) 2=a 6b 2，故本选项正确；
B . a •a 4=a 5，故本选项错误； C . a 6÷a 2=a 62=a 4，故本选项错误；
﹣
D . 3a 与2b 不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选A ．
【说明】
1．在中考中，直接考查整式乘法的题目并不多，而是在很多其它问题的解决中用到乘法公式，这就要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a 、b ，准确进行计算； 2．要准确认识平方差和完全平方公式，必须结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；
3．在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应加上括号，另外字母是分数时，遇到乘方也要加括号．
专题6：因式分解
1．因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式乘积形式，叫做因式分解，也叫做分解因式；
2．因式分解法常用方法
(1)提公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c )
(2)公式法：a 2-b 2=(a +b )(a -b ) ；a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2；
a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2) ；a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2) ；
(3)十字相乘法：x 2+(p +q ) x +pq =(x +p )(x +q ) 例10 分解因式：2x 3-8x 2y +8xy 2 【考点】提公因式法和应用公式法因式分解．
【分析】因式分解的一般思考方法是：先看是否有公因式可提，再看能否用公式，二次三项
式一般可以考虑用十字相乘法，对于项数为四项或四项以上的，考虑用分组分解法． 【解】原式=2x (x 2-4xy +4y 2) =2x (x -2y ) 2．
例11 当m +n =3时，式子m 2+2mn +n 2的值为 ．
【考点】利用因式分解方法解决问题．
【分析】将代数式化为完全平方公式的形式，代入即可得出答案． 【解】m 2+2mn +n 2=(m +n ) 2=9．
故答案为：9． 【说明】
1．分解因式是研究代数式的一种手段，不是目的．分解因式的思路和方法始终贯穿在数学变换中，通过分解因式将多项式合理变形，是求代数式的值的常用的解题方法，许多有关整式、分式以及二次根式的化简与计算都离不开分解因式公因式；
2．因式分解的思考方法是：先提公因式，再由项数定方法(二项考虑平方差公式、三项考虑完全平方公式或十字相乘法、四项以上考虑分组分解法) ，最后考虑分解到不能分解为止； 3．提取公因式后所得结果应为：n 项式=公因式×新的n 项式；公因式可能是单项式也可能是多项式．对多项式在教学中要注意下述变形：a +b =b +a ，b -a =-(a -b ) ，
(b -a ) 2=(a -b ) 2，(b -a ) 3=-(a -b ) 3，(1-a )(2-a ) =(a -1)(a -2) ；
4．运用公式的关键是熟悉公式的结构特点，了解公式中a 、b 的广泛含义，才能准确、迅速解题．
专题7：分式的概念
A
形如 (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0) 的式子叫做分式；整式和分式统称为有
B
理式．
A A
1. 若分式有意义，则B ≠0； 2. 若分式无意义，则B =0；
B B A A
3. 若分式=0，则A =0, B ≠0； 4. 若分式＞0，则A ，B 同号；
B B A
5. 若分式＜0，则A ，B 异号．
B
1
例12 使式子1+有意义的x 的取值范围是 ．
x +1【考点】分式有意义的条件．
【分析】要使分式有意义，则满足分母不为0． 【解】x ≠1．
x +1
的值为零的条件是x = ． 2x -1
【考点】分式值为零的条件． 例13 使分式
【分析】要使分式值为零，则满足分子等于0且分母不为0． 【解】x +1=0且2x -1≠0得x =-1． 【说明】
1. 分式的分母不能为零、二次根式被开方数大于等于零、零指数底数不为零是考虑一个代数式有意义及函数自变量取值范围三个重要方面； 2. 看到一个分式就要反应出分母不为零这个要求；
3. 对分式的处理有时需要看成一个整体分式，有时需要把分子分母分开看成为两个整式相除．
专题8：分式性质及运算
1．分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以) 同一个不为零的整式，分式的值不
A A ⨯M A A ÷M
, = (其中M 是不为零的整式) ． =
B B ⨯M B B ÷M
2．分式的运算与分数的运算相仿．
变．
ab
(a 、b 均为正数) 中的a 、b 都扩大为原来的2倍，则分式的值等于
a +b
例14 若所分式【分析】本题实质是在分子上乘上4、分母上同乘上2，亦可用特殊值代入方法解决。对此
题可以做一个变式，让学生真正认识到题目的本质是分式的基本性质．
【解】分式的值等于原来的2倍． 例15 先化简，再求值：
x -23
÷(x +1-) ，其中x =2． x -1x -
1
【考点】分式的化简求值．
【分析】将原式括号中各项通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后再利用平方差公
式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，即可得到原式的值． x -23x -2⎡(x +1)(x -1) 3⎤
÷(x +1-) =÷⎢-【解】 x -1x -1x -1⎣x -1x -1⎥⎦
x -2x 2-4x -2x -11=÷=⨯=
x -1x -1x -1(x +2)(x -2) x +2
当x 2时，原式
【说明】
=
． 1. 在分式约分时，分子分母公因式的判断方法：(1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数；(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式；(3)如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母因式分解，然后判断公因式； 2. 在分式的运算中要注意负号及括号的处理，分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加减，一定要添加括号；
3. 分式的计算(或化简) 主要依据分式的约分和通分，运算时要注意观察式子的特点，灵活运用运算法则，防止盲目繁琐的运算；若分式的分子、分母是多项式时，可考虑先进行因
式分解．分式的计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是中考的重要题型之一，复习中要重视．
专题9：二次根式的有关概念及二次根式的性质 1.
a ≥0) 的式子叫做二次根式；
2. 可以从以下三个方面理解最简二次根式：
(1)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；
(3)分母中不含有根号．
3. 判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须把它们化为最简二次根式，然后看它们的被开方数是否相同． 4. 二次根式的性质：
a ≥0)；
＝a (a ≥0)；a 2＝a ；
2
(a ≥0，b ≥0)
(a ≥0，b ＞0) ．
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ． x >1 B ．x
C ．x ≥1 D ．
x ≤
1
例16
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数．
【解】x -1≥0，得：x ≥1． 例17 下列计算正确的是
( )
A
．
1 B
C
． D
．3+
【考点】二次根式化简、同类二次根式．
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断． 【解】A
. B
C . = D . 3+≠.
【说明】
1．二次根式的复习要紧紧抓住被开方数大于等于0及二次根式本身大于等于0这两点展开问题的分析；
2．二次根式的复习要从运算角度，沿着整数(式) 、分数(式) 这样一条线来认识二次根式的运算．
专题10：二次根式的运算 1. 运算：
二次根式的加减运算与整式的加减运算类似，只需对同类二次根式进行合并； 二次根式的乘除法是二次根式性质的逆向运用；
二次根式运算结果中的每一项都应该是最简二次根式． 【考点】分母有理化、二次根式化简．
例18 计算
-
的结果是 ． 2化简．
例19
= 【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可．
【解】原式==4+． 1. 二次根式相乘(除) ，将被开方数相乘(除) ，所得的积(商) 仍作积(商) 的被开方数，并将运算
结果化为最简二次根式；
2. 实数运算中的运算律、运算法则及所有的乘法公式，在二次根式的运算中仍适用．
【基本思想方法专题讲解】
专题1：数形结合思想——数轴的应用
1．数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过数形转化，提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体．数形结合是连接“数”与“形”的“桥梁”，它是一种重要的数学思想方法． 2．数轴形象地反映了数与点之间的关系，借助于数与形的相互转化来解决数学问题，数轴具有如下作用：
(1)利用数轴可以用点直观地表示数； (2)利用数轴可以比较数的大小；
(3)利用数轴可以进行有理数的加减运算； (4)利用数轴解决绝对值问题． 例20 已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：b +c -a +c -b -a
【考点】数轴和数，绝对值的化简．
【分析】从数轴得到的信息是：c 式子值的正负．
【解】原式=-b -c +a +c +b -a =0．
专题2：特殊到一般
1．当某个数学问题涉及到相当多乃至无穷多的情形，头绪纷乱，难以下手时，行之有效的方法就是通过对若干简单情形进行考察，可以从特殊入手，发现其内在变与不变的规律，从而解决问题．
例21 有一列数列a 1，a 2，a 3„„a n ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a 1=2，则a 2009【考点】找规律、实数的运算．
【分析】寻找规律，由a 1=2，可推算出a 2=
的规律2009÷3=669„„2．
【解】11，a 3=-1，a 4=2，a 5=„„可得出循环221． 2
专题3：整体代入法
在求代数式的值时，如果题目中所求的代数式是已知代数式的一部分(或全部) ，各同类项的系数对应成比例，就可以把这一部分看作一个整体，再把要求值的代数式变形后整体代入，这种求代数式值的方法称为整体代入法．
例22 计算：
[***********](1----)(++++) -(1-----)(+++) 的结果[***********]
是 .
【考点】实数计算．
【分析】本题不可能直接计算，发现
把算式简化．
【解】设x =11111111可用整体方法设x =+++，+++多次出现，[**************]+++，则原式=(1−x )(x +)−(1−x −) x =． 2345666
113例23 已知x -=3，则4-x 2+x 的值为( ) x 22
357 C ． D ． 222
【考点】代数式求值；分式的混合运算．
【分析】
所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值． A ．1 B ．
1117=3，即x 2-3x =1，∴原式=4-(x 2-3x ) =4-=． x 222
故选D ．
专题4：转化思想
“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．在初中的数学中，转化思想始终贯穿于整个问题的解决中．
例24
已知a =，b =，求代数式a 3b +ab 3的值．
【考点】分母有理化、因式分解、配方法．
【分析】
运用数学思想是：转化思想、整体思想．教师在复习时要适量地进行有关数学思想和数学方法的渗透． 【解】∵x -
【解】
∵a
=-1，b =-1
∴a +b =-2，ab =-1.
2∴a 3b +ab 3=ab (a 2+b 2) =⎡(a +b ) -2ab ⎤⎣⎦=-(4+2) =-6．
【复习建议】
1. 要让学生掌握这部分内容，不是让学生死记概念，而是要全面理解概念，不仅要对概念的内含(概念中的关键词) 及概念的外延(概念的来龙去脉) ，灵活把握概念的不同表达形式，而且要对为什么要学习这个知识，这个知识在数学研究及解决问题中起什么作用给学生一个明白的交待；
2. 此部分复习的重点是握实数的四则运算，计算则仍控制在简单两个有理数或无理数加减乘除、乘方、开方(求平方根、算术平方根、立方根) 运算．计算过程要规范，要注意计算的合理性；
3. 复习性质、公式、法则时，要注意运用的条件，并重视对典型例题的变式训练，熟练掌握运算方法，培养学生的观察能力，提高运算能力和解题技巧；并注意知识间的联系，如二次根式的计算化简与整式、分式的计算化简的对比应用；
4. 解题时要注意抓住已知条件中出现的数学知识点的属性，如：出现含字母的绝对值问题的分类讨论、出现二次根式的被开方数大于等于0的考虑等；
5. 整式部分主要考查运算的基础——合并同类项、幂的运算性质，分式部分主要是分式的意义和化简求值(最稳定的题型) ．因式分解由直接考查到间接考查；
6. 对于补充的立方和(差) 公式、十字相乘法、分母有理化等内容，要区别对待．对于立方和(差) 公式、分母有理化要求学生掌握和简单应用，但不必加深；对于十字相乘法等要求学生熟练掌握，并灵活运用；
7. 数式运算、因式分解、分式、数的开方是整个初中数学中最基础的内容，中考中出现的题目也并不难，主要以考查这些知识点为主，不必加入过多过繁的问题；
8. 这部分内容必须深钻教材，绝不能脱离课本，要以教材为基础，把学过的知识进行归纳梳理，系统分类，形成网络，融会贯通，重视在这些问题中的数学方法、思想的归纳总结．