1. 直线与圆的位置关系：
设直线为l ，圆的半径为R ，圆心为O ，O 点到直线l 的距离为d ，那么有： 直线l 与圆O 相交⇔d ＜R ⇔ 直线l 与圆O 相切⇔d ＝R ⇔ 直线l 与圆O 相离⇔d ＞R ⇔ 2. 圆的切线的判定：
（1 （2（3
O A
1 2 3
5
A
4. 切线长定理：过圆O 外点OP 平分这两条切线所夹的角。
应用：圆外切四边形对边的和相等，反之，对边和相等的四边形一定有内切圆。
B E
C D
5.
弦切角等于同弧所对的圆周角。
D
A
P
6. 圆幂定理：
相交弦定理、割线定理和切割线定理统称圆幂定理。
（1）相交弦定理：圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，P 为弦AB 、CD 的内分点，结论：PA ⋅PB =PC ⋅PD
C
O
B
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线（与圆交点的距离）的积相等。
如图，P 为弦AB 、CD 的外分点，结论：PA ⋅PB
PC ⋅PD
（3条线段长的比例中项。
如图，PT TP 于点P ，则PA ⋅PB =2
O T
4
PA ⋅PB =PC ⋅PD =PT 2=OP 2-R 2
22
我们把OP -R 称为点P 关于圆的幂，因此相交弦定理、割线定理和切割线定理总称
为圆幂定理。
能力提升类
例1 如图，已知：⊙O 的割线PAB 交⊙O 于点A 和B ，PA ＝6cm ，AB ＝8cm ，PO ＝
10.9cm 。求⊙O 的半径。
一点通：此题要通过计算得到⊙O 的半径，必须使半径进入一个数量关系式，观察图形，可知只要延长PO 与圆交于另一点，则可产生割线定理，而其中一条割线恰好经过圆心，在线段中自然可以参与进半径，结合图形，正确使用和圆有关的比例线段，只要解关于半径的一元二次方程即可。
解：设⊙O 的半径为r ，PO
C
D
r ）（10.9＋r ）＝6×14
r ＝5.9（负值舍去） 答：⊙O 的半径为5.9。
点评：它反映的是圆的切线和割线所只有使学生弄清前提，才能正确运用定理。
例2 如图，PA 切⊙O 于A ，PFE 交⊙O 于F 、E ，AC 平分∠EAF ，交PE 于C ，PB 平分∠APE ，分别交AE 、AF 于B 、D 。求证：四边形ABCD 为菱形。
F
C
E
一点通：
A 证明：如图，
E
∵PA 切⊙ ∴∠3E ∵AC 平分∠ 2。
23E 1 。 E ＋∠1， 。 PB APE ， ∴∠4＝∠5。
∴PB 垂直平分AC 。 ∴
AC 垂直平分DB 。 ∴四边形ABCD
综合运用类
例3 如图，MN O 的延长线上一点，AD 交⊙O 于C ，MN 交BC 于G ，直径AB ⊥MN 于E 2＝ED·EG 。
一点通：由于EM 、ED 、EG 三线段在同一直线上，要证EM 2＝ED·EG ，则一定要找中间比或中间积来过渡。考虑到题中条件EM 2＝EB·EA ，故需证EB·EA ＝ED·EG ，为此需证Rt △AED ∽Rt △GEB 。
证明：连结AM 、MB 。
一点通：连结CP 并延长交AB 于M ，交DA 的延长线于F ，再连结BP 并延长交AD 于D 。用切割线定理，求出BN ，NC ，即可求出它们的比值。
解：连结CP 并延长交AB 于M 、交DA 延长线于F ，连结BP 并延长交AD 于E 。
A
B
E
D
C
一点通：要证明待证结论，可考虑找出一角的平分线和此角的两边的关系。 证明：作△ABC 的外接圆，延长AD 交圆于G ，连结CG 。
A
B
∵∠BAD ＝∠CAD ，∠ABD ＝∠ ∴△BAD ∽△GAC 。
∴AB ：AD ＝AG ：AC ，即AG ∵AD ＜AG ， ∴AB·AC ＝AD·AG ＞2即t a 2
同理可得t b 2
即t a t b t c
E C
1. 4. 5.
弦切角度数定理 6. 圆幂定理
处理关于圆的切线关系，
问题：怎样在三角形内作一个圆呢？这样的圆中，半径最大的在哪个位置？
解答：通过实际作图，可以发现，在三角形内可以作无数个圆，在这些圆中，和三角形各边都相切的圆的半径最大。
A
O
C
B
（答题时间：60分钟）
一、选择题：
1. 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AC ＝5，若以A 为圆心，以5为半径作圆，则斜边BC 与⊙A 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定
2. 等腰△ABC 的腰AB ＝AC ＝4cm ，若以A 为圆心，2cm 为半径的圆与BC 相切，则∠BAC 的度数为（ ）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切⊙O 于点C ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，若AM ＝6，BN ＝4，则⊙O 的半径为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6 D. 10
5. 已知：如图，CD 切⊙O 于D ，CD ＝6cm ，∠C ＝30°，则⊙O 的面积＝_________cm2。
三、解答题：
1. 如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD//BC，E 为AB 上的一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，以AB 为直径的圆与边CD 有怎样的关系？
一、选择题：
1. A
二、填空题：
1. 2. D 3. B 4. C 5cm 22. 0
又OD 为⊙O 半径
3. （1）∵OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝∠OCA 。
∴∠COB ＝2∠OCA 。
∵∠COB =2∠PCB ∴DE 是⊙O 的切线
∴∠OCA ＝∠PCB 。
∵AB 是⊙O 的直径，
A N B P
M
∴∠ACB ＝90°，
∵OD ＝ OB ，
∴∠B ＝∠ODB 。
∵AB =AC ，
∴∠B =∠C 。
∴∠ODB ＝∠C 。
∴OD ∥AC 。
∵DE ⊥ AC ，
∴OD ⊥DE 。
∴DE 是⊙O 的切线。
（2）解：连结AD ，
∵ AB 为直径，
∴∠ADB ＝90°。
1. 直线与圆的位置关系：
设直线为l ，圆的半径为R ，圆心为O ，O 点到直线l 的距离为d ，那么有： 直线l 与圆O 相交⇔d ＜R ⇔ 直线l 与圆O 相切⇔d ＝R ⇔ 直线l 与圆O 相离⇔d ＞R ⇔ 2. 圆的切线的判定：
（1 （2（3
O A
1 2 3
5
A
4. 切线长定理：过圆O 外点OP 平分这两条切线所夹的角。
应用：圆外切四边形对边的和相等，反之，对边和相等的四边形一定有内切圆。
B E
C D
5.
弦切角等于同弧所对的圆周角。
D
A
P
6. 圆幂定理：
相交弦定理、割线定理和切割线定理统称圆幂定理。
（1）相交弦定理：圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，P 为弦AB 、CD 的内分点，结论：PA ⋅PB =PC ⋅PD
C
O
B
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线（与圆交点的距离）的积相等。
如图，P 为弦AB 、CD 的外分点，结论：PA ⋅PB
PC ⋅PD
（3条线段长的比例中项。
如图，PT TP 于点P ，则PA ⋅PB =2
O T
4
PA ⋅PB =PC ⋅PD =PT 2=OP 2-R 2
22
我们把OP -R 称为点P 关于圆的幂，因此相交弦定理、割线定理和切割线定理总称
为圆幂定理。
能力提升类
例1 如图，已知：⊙O 的割线PAB 交⊙O 于点A 和B ，PA ＝6cm ，AB ＝8cm ，PO ＝
10.9cm 。求⊙O 的半径。
一点通：此题要通过计算得到⊙O 的半径，必须使半径进入一个数量关系式，观察图形，可知只要延长PO 与圆交于另一点，则可产生割线定理，而其中一条割线恰好经过圆心，在线段中自然可以参与进半径，结合图形，正确使用和圆有关的比例线段，只要解关于半径的一元二次方程即可。
解：设⊙O 的半径为r ，PO
C
D
r ）（10.9＋r ）＝6×14
r ＝5.9（负值舍去） 答：⊙O 的半径为5.9。
点评：它反映的是圆的切线和割线所只有使学生弄清前提，才能正确运用定理。
例2 如图，PA 切⊙O 于A ，PFE 交⊙O 于F 、E ，AC 平分∠EAF ，交PE 于C ，PB 平分∠APE ，分别交AE 、AF 于B 、D 。求证：四边形ABCD 为菱形。
F
C
E
一点通：
A 证明：如图，
E
∵PA 切⊙ ∴∠3E ∵AC 平分∠ 2。
23E 1 。 E ＋∠1， 。 PB APE ， ∴∠4＝∠5。
∴PB 垂直平分AC 。 ∴
AC 垂直平分DB 。 ∴四边形ABCD
综合运用类
例3 如图，MN O 的延长线上一点，AD 交⊙O 于C ，MN 交BC 于G ，直径AB ⊥MN 于E 2＝ED·EG 。
一点通：由于EM 、ED 、EG 三线段在同一直线上，要证EM 2＝ED·EG ，则一定要找中间比或中间积来过渡。考虑到题中条件EM 2＝EB·EA ，故需证EB·EA ＝ED·EG ，为此需证Rt △AED ∽Rt △GEB 。
证明：连结AM 、MB 。
一点通：连结CP 并延长交AB 于M ，交DA 的延长线于F ，再连结BP 并延长交AD 于D 。用切割线定理，求出BN ，NC ，即可求出它们的比值。
解：连结CP 并延长交AB 于M 、交DA 延长线于F ，连结BP 并延长交AD 于E 。
A
B
E
D
C
一点通：要证明待证结论，可考虑找出一角的平分线和此角的两边的关系。 证明：作△ABC 的外接圆，延长AD 交圆于G ，连结CG 。
A
B
∵∠BAD ＝∠CAD ，∠ABD ＝∠ ∴△BAD ∽△GAC 。
∴AB ：AD ＝AG ：AC ，即AG ∵AD ＜AG ， ∴AB·AC ＝AD·AG ＞2即t a 2
同理可得t b 2
即t a t b t c
E C
1. 4. 5.
弦切角度数定理 6. 圆幂定理
处理关于圆的切线关系，
问题：怎样在三角形内作一个圆呢？这样的圆中，半径最大的在哪个位置？
解答：通过实际作图，可以发现，在三角形内可以作无数个圆，在这些圆中，和三角形各边都相切的圆的半径最大。
A
O
C
B
（答题时间：60分钟）
一、选择题：
1. 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AC ＝5，若以A 为圆心，以5为半径作圆，则斜边BC 与⊙A 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定
2. 等腰△ABC 的腰AB ＝AC ＝4cm ，若以A 为圆心，2cm 为半径的圆与BC 相切，则∠BAC 的度数为（ ）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切⊙O 于点C ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，若AM ＝6，BN ＝4，则⊙O 的半径为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6 D. 10
5. 已知：如图，CD 切⊙O 于D ，CD ＝6cm ，∠C ＝30°，则⊙O 的面积＝_________cm2。
三、解答题：
1. 如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD//BC，E 为AB 上的一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，以AB 为直径的圆与边CD 有怎样的关系？
一、选择题：
1. A
二、填空题：
1. 2. D 3. B 4. C 5cm 22. 0
又OD 为⊙O 半径
3. （1）∵OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝∠OCA 。
∴∠COB ＝2∠OCA 。
∵∠COB =2∠PCB ∴DE 是⊙O 的切线
∴∠OCA ＝∠PCB 。
∵AB 是⊙O 的直径，
A N B P
M
∴∠ACB ＝90°，
∵OD ＝ OB ，
∴∠B ＝∠ODB 。
∵AB =AC ，
∴∠B =∠C 。
∴∠ODB ＝∠C 。
∴OD ∥AC 。
∵DE ⊥ AC ，
∴OD ⊥DE 。
∴DE 是⊙O 的切线。
（2）解：连结AD ，
∵ AB 为直径，
∴∠ADB ＝90°。