一道值得商榷的全国初中数学竞赛题
广东 刘启平
【摘要】本文通过充分暴露对2006年全国初中数学竞赛（广东卷）第12题的解题思路，逐步从直觉思维到理性分析，在得出一题多解后对解题过程及时验证并质疑，从而发现问题并解决问题.
【关键词】最值问题；构造；消参；验证；根与系数的关系.
最值问题特别是条件最值问题，是初中数学竞赛的热点之一，2006年全国初中数学竞赛（广东卷）第12题就是一道该类型的题目.
题目：设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：
222⎧⎪b +c =2a +16a +14，求a 的取值范围. ⎨2⎪⎩bc =a -4a -5
1．一般的解题思路
1.1思路一
见到该题后的第一反应就是先求出b ＋c ，结合bc 利用根与系数的关系构造一元二次方程，利用判别式求解. 解法如下：
解：∵b 2+c 2=2a 2+16a +14 ①，bc =a 2-4a -5 ②，（为了叙述方便，本文后面均用①、②表示题中方程组中的两个方程）
∴(b +c ) 2=2a 2+16a +14+2(a 2-4a -5) =4a 2+8a +4=4(a +1) 2，
∴b +c =±2(a +1) ，又bc =a 2-4a -5，
∴b ，c 为一元二次方程x 2±2(a +1) x +a 2-4a -5=0③的两个不相等实数根，
故∆=4(a +1) 2-4(a 2-4a -5) >0，解得a ＞－1．
当a ＞－1时，b 2+c 2=2a 2+16a +14＝2(a +1)(a +7) >0，满足题意.
但是，题中有“a ，b ，c 为互不相等的实数”这一条件，显然上面的解．．．．
题过程并没有体现出这一点，因此，此题不能轻易地认为上面解得的“a ＞－1”就是本题的解，必须继续深入挖掘. 一般的思路是：先讨论a ＝b 和a ＝c 时的情况，解出相应的a 的值，最后去掉这些a 的值. 具体解法如下：
当a =b 时，由③有a 2±2(a +1) a +a 2-4a -5=0，
即4a 2-2a -5=0 或 -6a -5=0，解得，a =
当a =c 时，同理可得a =-或a =
∵a ，b ，c 为互不相等的实数，
∴a 的取值范围为a ＞－1且a ≠-，a ≠
1.2思路二
解完此题后，对解题过程进行再分析，发现“a ＞－1”这一步可以直接利用基本不等式“b 2+c 2>2bc （b ≠c ）”推导出来，而且对a ＝b 和a ＝c 时的情况的讨论还可以通过消参的方法进行. 解法如下：
另解：由①－2×②得(b -c ) 2=24(a +1) >0，∴a ＞－1．
当a ＞－1时，b 2+c 2=2a 2+16a +14＝2(a +1)(a +7) >0．
又当a =b 时，由①，②得 c 2=a 2+16a +14， ④
ac =a 2-4a -5 ⑤ 1±215或a =-． 46561±21． 4561±21． 4
将⑤两边平方，结合④消去c 2得a 2(a 2+16a +14) =(a 2-4a -5) 2，
整理得 24a 3+8a 2-40a -25=0，将方程左边利用因式定理结合系数比法分解因式得(6a +5)(4a 2-2a -5) =0， 1±21． 4
1±215当a ＝c 时，同理可得a =-或a =． 46解得a =-，或a =56
∵a ，b ，c 为互不相等的实数，
∴a 的取值范围为a ＞－1且a ≠-，a ≠
561±21． 4
2．问题的发现
上面的解答过程看起来非常流畅，而且一题多解，尤其是对“a ，b ，c 为互不相等的实数”这一条件的验证，自我感觉良好. 上网找来的参考答．．．．
案以及教研室发下来参考答案与前面笔者得到的所谓的“流畅”的答案几乎完全一样，不禁有点得意. 但是，一直以来的解题习惯让笔者做了下面进一步的验证：
2.1初步验证
笔者将前面由a ＝b 时求出的a =-代回原方程组，于是
2⎧2537⎛⎫⎛5⎫2b +c =2⨯-+16⨯-+14=1 ⎪ ⎪⎧⎪2()b +c =18⎪⎪⎝6⎭⎝6⎭9， ， 整理，得⎨⎨235⎪(b -c )2=4⎛5⎫⎛5⎫⎪⎩bc =--4⨯--5=- ⎪ ⎪⎪36⎝6⎭⎝6⎭⎩
5775⎧⎧⎧⎧b =b =-b =b =-⎪⎪⎪⎪⎪16⎪2⎪36⎪466解得⎨，⎨，⎨，⎨.
⎪c =-7⎪c =5⎪c =-5⎪c =7
1234⎪⎪⎪⎪6666⎩⎩⎩⎩
575这里求得四组解，而第一组解b =、c =-和a =-，满足题中“a ，b ，66656
c 为互不相等的实数”这一条件，又能满足题中的方程组（由于b 、c 的对．．．．
称性，第二组解也满足题意）！这一结果充分说明a 是完全可以取到-的！这着实令笔者大吃一惊！
2.2再次验证 又仿照上面继续验证了a =1+21的情况如下： 456
2⎧⎛⎫⎛1+21⎫1+2183+1721⎪+16⨯ ⎪+14=⎪b 2+c 2=2⨯ 4⎪ 4⎪4⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎨2⎛1+21⎫⎛1+21⎫⎪37+721 ⎪ ⎪bc =-4⨯-5=-⎪ 4⎪ 4⎪8⎪⎝⎭⎝⎭⎩
2⎧⎛⎫46+10215+21⎪⎪(b +c )2== 42⎪⎪⎪⎝⎭整理，得 ⎨ 2⎪120+2421⎛6+221⎫2⎪= ⎪(b -c )= ⎪42⎪⎝⎭⎩
⎧⎧⎧⎧11+3211+211+2111+321b =b =-b =b =-⎪1⎪2⎪3⎪4⎪⎪⎪4444解得 ⎨，⎨，⎨，⎪. ⎨⎪c =-1+21⎪c =11+321⎪c =-11+321⎪c =1+21
1342⎪⎪⎪⎪4444⎩⎩⎩⎩
上面解得第一组和第二组解说明a 也是能够取到1+211-21的（a =44
的情况与上同，不再赘述）. 经过上面的验证，可以肯定的说这道竞赛题的最终答案应该是“a ＞－1”，完全不需要“a ≠-，a ≠5
61±21”的限制．至4
此，前面因为得到了“流畅”的解题过程的得意荡然无存. 不禁开始思考：难道说前面的解题过程存在漏洞？或者是命题者故意设计了这一陷阱？可为什么连参考答案也没有意识到这个问题呢？
2.3反思解法，发现问题
再次仔细研究了之前“流畅”的解答过程，发现只可能是在“一般的思路”那里出了问题. 原来当a ＝b 时求出的a ＝a ′，这仅仅只是说明了“a ．．＝b ”是“a ＝a ′”的充分条件，并没有说明“a ＝b ”是“a ＝a ′”的必要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．条件！也就是说当＝a ′ 时，完全有可能≠b ！显然参考答案也并不标．．．．．．．．a ．．．．．．．．．．．a ．．．
准！
然而，如果不要“一般的思路”，前面的解答过程显然是不完整的，那么这个问题究竟该如何解决呢？
3．问题的解决
通过前面的分析发现，其实解得a ＞－1后，就已经能保证对于任意的
(b ，c ) （b ≠c ），所有a 的取值为a ＞－1. 然而，对于某一特定的( b ′，c ′ ) （b ′≠c ′），是否一定存在a ′≠b ′，且a ′≠c ′的解？这是需要证明的，否则解答就不严谨了.
在a ＞－1的前提下，下面分两种情况进行证明：
（1）对于某一特定的( b ′，c ′ )（b ′≠c ′），若关于a 的方程组：
222⎧⎪b +c =2a +16a +14只存在两个相等的实根a ′，那么 ⎨2⎪⎩bc =a -4a -5
∵b 2+c 2=2a 2+16a +14=2(a +4) 2-18，
bc =a 2-4a -5=(a -2) 2-9，
∴a ′＝2（a ′＝－4不在a ＞－1的范围内，故舍去），
而对于a ′＝2，解得b ′，c ′显然都不等于2；
（2）对于某一特定的( b ′，c ′ )（b ′≠c ′），若关于a 的方程组：
222⎧⎪b +c =2a +16a +14存在两个不相等的实根a 1′，a 2′， ⎨2⎪⎩bc =a -4a -5
则只需去掉：b ′＝a 1′，c ′＝a 2′ 或c ′＝a 1′，b ′＝a 2′ 的情
况即可.
而当b ′＝a 1′，c ′＝a 2′ 或c ′＝a 1′，b ′＝a 2′时，
根据根与系数的关系：
由①得：b ′＋c ′＝a 1′＋a 2′＝－8，
由②得：b ′＋c ′＝a 1′＋a 2′＝4，
矛盾
∴b ′＝a 1′，c ′＝a 2′ 或c ′＝a 1′，b ′＝a 2′ 的情况均不存在.
综上可知：a 的取值范围为a ＞－1.
此题本来是一个很好的题材，很可能由于命题者的疏忽而并未意识到这一题材，一道原本上佳的精品给弄砸了. 笔者虽愚钝却因为不惧演算的繁琐脚踏实地的加以验证，从而发现问题并最终解决了问题，这一历程虽艰辛却使笔者获益良多. 问题虽然解决了，但新的问题又出现了，该题有没有更好的解决方法？另外，能否将此题的条件“a ，b ，c 为互不相等的实．．．．
数”修改为“|a |，|b |，|c |为互不相等的实数”，使得所给的“参考答案”．．．．
是标准的呢？限于水平与篇幅，不能继续深入研究，权当抛砖引玉，留待有心人去挖掘吧.
【参考文献】：
[1]单墫，熊斌. 奥数教程（初三年级）. 华东师范大学出版社.
[2]刘诗雄. 金牌之路竞赛辅导 初中数学. 陕西师范大学出版社.
[3]陈传理 张同君. 竞赛数学教程. 高等教育出版社.
[4]王林全. 中学数学思想方法概论. 暨南大学出版社.
[5]2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案. 东莞市中学数学教研网
附网址：http://zxsx.dgjy.net:8007/ShowArticle.asp?ArticleID=343
一道值得商榷的全国初中数学竞赛题
广东 刘启平
【摘要】本文通过充分暴露对2006年全国初中数学竞赛（广东卷）第12题的解题思路，逐步从直觉思维到理性分析，在得出一题多解后对解题过程及时验证并质疑，从而发现问题并解决问题.
【关键词】最值问题；构造；消参；验证；根与系数的关系.
最值问题特别是条件最值问题，是初中数学竞赛的热点之一，2006年全国初中数学竞赛（广东卷）第12题就是一道该类型的题目.
题目：设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：
222⎧⎪b +c =2a +16a +14，求a 的取值范围. ⎨2⎪⎩bc =a -4a -5
1．一般的解题思路
1.1思路一
见到该题后的第一反应就是先求出b ＋c ，结合bc 利用根与系数的关系构造一元二次方程，利用判别式求解. 解法如下：
解：∵b 2+c 2=2a 2+16a +14 ①，bc =a 2-4a -5 ②，（为了叙述方便，本文后面均用①、②表示题中方程组中的两个方程）
∴(b +c ) 2=2a 2+16a +14+2(a 2-4a -5) =4a 2+8a +4=4(a +1) 2，
∴b +c =±2(a +1) ，又bc =a 2-4a -5，
∴b ，c 为一元二次方程x 2±2(a +1) x +a 2-4a -5=0③的两个不相等实数根，
故∆=4(a +1) 2-4(a 2-4a -5) >0，解得a ＞－1．
当a ＞－1时，b 2+c 2=2a 2+16a +14＝2(a +1)(a +7) >0，满足题意.
但是，题中有“a ，b ，c 为互不相等的实数”这一条件，显然上面的解．．．．
题过程并没有体现出这一点，因此，此题不能轻易地认为上面解得的“a ＞－1”就是本题的解，必须继续深入挖掘. 一般的思路是：先讨论a ＝b 和a ＝c 时的情况，解出相应的a 的值，最后去掉这些a 的值. 具体解法如下：
当a =b 时，由③有a 2±2(a +1) a +a 2-4a -5=0，
即4a 2-2a -5=0 或 -6a -5=0，解得，a =
当a =c 时，同理可得a =-或a =
∵a ，b ，c 为互不相等的实数，
∴a 的取值范围为a ＞－1且a ≠-，a ≠
1.2思路二
解完此题后，对解题过程进行再分析，发现“a ＞－1”这一步可以直接利用基本不等式“b 2+c 2>2bc （b ≠c ）”推导出来，而且对a ＝b 和a ＝c 时的情况的讨论还可以通过消参的方法进行. 解法如下：
另解：由①－2×②得(b -c ) 2=24(a +1) >0，∴a ＞－1．
当a ＞－1时，b 2+c 2=2a 2+16a +14＝2(a +1)(a +7) >0．
又当a =b 时，由①，②得 c 2=a 2+16a +14， ④
ac =a 2-4a -5 ⑤ 1±215或a =-． 46561±21． 4561±21． 4
将⑤两边平方，结合④消去c 2得a 2(a 2+16a +14) =(a 2-4a -5) 2，
整理得 24a 3+8a 2-40a -25=0，将方程左边利用因式定理结合系数比法分解因式得(6a +5)(4a 2-2a -5) =0， 1±21． 4
1±215当a ＝c 时，同理可得a =-或a =． 46解得a =-，或a =56
∵a ，b ，c 为互不相等的实数，
∴a 的取值范围为a ＞－1且a ≠-，a ≠
561±21． 4
2．问题的发现
上面的解答过程看起来非常流畅，而且一题多解，尤其是对“a ，b ，c 为互不相等的实数”这一条件的验证，自我感觉良好. 上网找来的参考答．．．．
案以及教研室发下来参考答案与前面笔者得到的所谓的“流畅”的答案几乎完全一样，不禁有点得意. 但是，一直以来的解题习惯让笔者做了下面进一步的验证：
2.1初步验证
笔者将前面由a ＝b 时求出的a =-代回原方程组，于是
2⎧2537⎛⎫⎛5⎫2b +c =2⨯-+16⨯-+14=1 ⎪ ⎪⎧⎪2()b +c =18⎪⎪⎝6⎭⎝6⎭9， ， 整理，得⎨⎨235⎪(b -c )2=4⎛5⎫⎛5⎫⎪⎩bc =--4⨯--5=- ⎪ ⎪⎪36⎝6⎭⎝6⎭⎩
5775⎧⎧⎧⎧b =b =-b =b =-⎪⎪⎪⎪⎪16⎪2⎪36⎪466解得⎨，⎨，⎨，⎨.
⎪c =-7⎪c =5⎪c =-5⎪c =7
1234⎪⎪⎪⎪6666⎩⎩⎩⎩
575这里求得四组解，而第一组解b =、c =-和a =-，满足题中“a ，b ，66656
c 为互不相等的实数”这一条件，又能满足题中的方程组（由于b 、c 的对．．．．
称性，第二组解也满足题意）！这一结果充分说明a 是完全可以取到-的！这着实令笔者大吃一惊！
2.2再次验证 又仿照上面继续验证了a =1+21的情况如下： 456
2⎧⎛⎫⎛1+21⎫1+2183+1721⎪+16⨯ ⎪+14=⎪b 2+c 2=2⨯ 4⎪ 4⎪4⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎨2⎛1+21⎫⎛1+21⎫⎪37+721 ⎪ ⎪bc =-4⨯-5=-⎪ 4⎪ 4⎪8⎪⎝⎭⎝⎭⎩
2⎧⎛⎫46+10215+21⎪⎪(b +c )2== 42⎪⎪⎪⎝⎭整理，得 ⎨ 2⎪120+2421⎛6+221⎫2⎪= ⎪(b -c )= ⎪42⎪⎝⎭⎩
⎧⎧⎧⎧11+3211+211+2111+321b =b =-b =b =-⎪1⎪2⎪3⎪4⎪⎪⎪4444解得 ⎨，⎨，⎨，⎪. ⎨⎪c =-1+21⎪c =11+321⎪c =-11+321⎪c =1+21
1342⎪⎪⎪⎪4444⎩⎩⎩⎩
上面解得第一组和第二组解说明a 也是能够取到1+211-21的（a =44
的情况与上同，不再赘述）. 经过上面的验证，可以肯定的说这道竞赛题的最终答案应该是“a ＞－1”，完全不需要“a ≠-，a ≠5
61±21”的限制．至4
此，前面因为得到了“流畅”的解题过程的得意荡然无存. 不禁开始思考：难道说前面的解题过程存在漏洞？或者是命题者故意设计了这一陷阱？可为什么连参考答案也没有意识到这个问题呢？
2.3反思解法，发现问题
再次仔细研究了之前“流畅”的解答过程，发现只可能是在“一般的思路”那里出了问题. 原来当a ＝b 时求出的a ＝a ′，这仅仅只是说明了“a ．．＝b ”是“a ＝a ′”的充分条件，并没有说明“a ＝b ”是“a ＝a ′”的必要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．条件！也就是说当＝a ′ 时，完全有可能≠b ！显然参考答案也并不标．．．．．．．．a ．．．．．．．．．．．a ．．．
准！
然而，如果不要“一般的思路”，前面的解答过程显然是不完整的，那么这个问题究竟该如何解决呢？
3．问题的解决
通过前面的分析发现，其实解得a ＞－1后，就已经能保证对于任意的
(b ，c ) （b ≠c ），所有a 的取值为a ＞－1. 然而，对于某一特定的( b ′，c ′ ) （b ′≠c ′），是否一定存在a ′≠b ′，且a ′≠c ′的解？这是需要证明的，否则解答就不严谨了.
在a ＞－1的前提下，下面分两种情况进行证明：
（1）对于某一特定的( b ′，c ′ )（b ′≠c ′），若关于a 的方程组：
222⎧⎪b +c =2a +16a +14只存在两个相等的实根a ′，那么 ⎨2⎪⎩bc =a -4a -5
∵b 2+c 2=2a 2+16a +14=2(a +4) 2-18，
bc =a 2-4a -5=(a -2) 2-9，
∴a ′＝2（a ′＝－4不在a ＞－1的范围内，故舍去），
而对于a ′＝2，解得b ′，c ′显然都不等于2；
（2）对于某一特定的( b ′，c ′ )（b ′≠c ′），若关于a 的方程组：
222⎧⎪b +c =2a +16a +14存在两个不相等的实根a 1′，a 2′， ⎨2⎪⎩bc =a -4a -5
则只需去掉：b ′＝a 1′，c ′＝a 2′ 或c ′＝a 1′，b ′＝a 2′ 的情
况即可.
而当b ′＝a 1′，c ′＝a 2′ 或c ′＝a 1′，b ′＝a 2′时，
根据根与系数的关系：
由①得：b ′＋c ′＝a 1′＋a 2′＝－8，
由②得：b ′＋c ′＝a 1′＋a 2′＝4，
矛盾
∴b ′＝a 1′，c ′＝a 2′ 或c ′＝a 1′，b ′＝a 2′ 的情况均不存在.
综上可知：a 的取值范围为a ＞－1.
此题本来是一个很好的题材，很可能由于命题者的疏忽而并未意识到这一题材，一道原本上佳的精品给弄砸了. 笔者虽愚钝却因为不惧演算的繁琐脚踏实地的加以验证，从而发现问题并最终解决了问题，这一历程虽艰辛却使笔者获益良多. 问题虽然解决了，但新的问题又出现了，该题有没有更好的解决方法？另外，能否将此题的条件“a ，b ，c 为互不相等的实．．．．
数”修改为“|a |，|b |，|c |为互不相等的实数”，使得所给的“参考答案”．．．．
是标准的呢？限于水平与篇幅，不能继续深入研究，权当抛砖引玉，留待有心人去挖掘吧.
【参考文献】：
[1]单墫，熊斌. 奥数教程（初三年级）. 华东师范大学出版社.
[2]刘诗雄. 金牌之路竞赛辅导 初中数学. 陕西师范大学出版社.
[3]陈传理 张同君. 竞赛数学教程. 高等教育出版社.
[4]王林全. 中学数学思想方法概论. 暨南大学出版社.
[5]2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案. 东莞市中学数学教研网
附网址：http://zxsx.dgjy.net:8007/ShowArticle.asp?ArticleID=343