1．向量的概念 ①向量
既有大小又有方向的量。向量一般用a , b , c „„来表示，或用有向线段的起点与终点的
大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；向量的大小即向量的模（长度），记作
|AB |a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量
长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0⇔｜a ｜
＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，
③单位向量
模为1个单位长度的向量，向量a 0为单位向量⇔｜a 0｜＝1。
④平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量) ，平行
向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 ⑤相反向量
方向相反且长度相等的两个非零向量叫做互为相反向量 ⑥相等向量
方向相同且长度相等的两个非零向量叫做互为相等向量. 记为a =b
2．向量的运算 （1）向量加法
定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB =a , BC =b ，则
a +b =AB +BC =AC 。
规定：（1）0+a =a +0=a ； （2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点
重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的
有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
3. 向量的减法
定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法
B
A
B
(1)
：
a +b
a +b
(2)
C (3)
已知向量a 、b ，求作向量
∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , = b , 则= a - b
即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 注意：
1) 表示a -
2) 用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )
a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b
a -b
O B A B’ O B
a -b
-b B O A （2）法则：____三角形法则_______
①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a
的相反向量。
记作-
a , 零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：
（i ）-(-a ) =a ； (ii) a +(-a )=(-a )+a =0；
(iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =-b , b =-a , a +b =0。
②向量减法
向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，
记作：a -b =a +(-b
③作图法：a -b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。
题型1：平面向量的概念
例1、 下列各量中哪些是向量？哪些是标量？ （1）体重；（2）年龄；（3）容积；（4）位移；（5）利润；（6）向心力；（7）风力；（8）人造卫星速度；
例2、P 、Q 为已知两点.
(1) P 、Q 两点间的距离为100米；
(2) 小明从点P 出发沿直线PQ ，向Q 前进100米；
(3) 小明从点P 出发，以每分钟100米的速度沿直线PQ ，向Q 前进。 以上述三个量，是向量的（ ） 例3．给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a =b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB =DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条
件；
③若a =b ，b =c ，则a =c ；
④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；
⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ；
其中正确的序号是 。
例4. 设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a =|a |·a 0;(2)若a 与a 0平行，则=||·0；（3）若与0平行且||=1，则=0。上述命题中，假命题个数是（ ） A ．0 B ．1 题型2：平面向量的运算法则
C ．2
D ．3
例5．如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将
向量OE ，BF ，BD ， FD 表示出来。
例6. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
E
--→--→--→--→--→--→--→--→--→--→→
A ．AB ＝DC B．AD ＋AB ＝AC C．AB －AD ＝BD D．AD ＋CB ＝0 例7. 如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=（ ）
A ．-+
12 B．--1
2 C ．-12 D．+1
2
例8．设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：
① AB + BC + CD ，② DB + AC + BD ，③- OA - OC + OB - CO 。
三、综合练习
1. 在四边形ABCD 中， AB = DC ，且| AB |=| BC
|，那么四边形ABCD 为（ ）
A ．平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
2. 在等腰梯ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E ，F 分别在两腰AB 、DC 上，EF 过点P 且EF//AD，则下列等式正确的（ ）
A. AD = BC B. AC = BD C. PE = PF D. EP = PF
3．判断下列命题的真假：
（1）向量可以比较大小：如 a >b
（ （2）如果两个向量的模相等且方向相反，则这两个向量平行 （ （3）如果| a |=|
b |，那么 a =b （ ）
（4）任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关（（5） AB = DC
，则
A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形
（ ） （6）凡模相等且平行的两向量均相等 （（7）向量 AB 与 BA 是两个平行向量 （（8）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 （ ）
4、如图，已知点O 是线段AB 、CD 、EF 的中点，
（1）写出与 OA 、 DE
相等的向量；
）））））
（2）写出与CD 、BD 互为相反的向量；
（3）写出向量OF 、BE 的平行向量。
5、计算：AB +DF +CD +BC +FA =_________.
6、如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB =a ，AD =b ，那么a +b _________.
7、在∆ABC
中，两边
AB 、AC
的中点分别为
D 、E ，则
D A +A =________-;E DB +BC +CE =________
8、如图，跑步爱好者小林从A 地以每小时6千米的速度向正东方向跑了40分钟后到达B
地。然后折向东偏北60方向又跑了半小时，到达C 地，求AC 两地的直线距离。
9、讨论|a +b |与a 、b 的和（差）的大小关系。
10、如图，平行四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交与O ，则
AB -AD =________; （1）
(2) BA -BC =__________;
(3) BC -BA =_________;
(4) OA -OB =________-
(5) OD -OA =_________
(6) CA -CD =__________
11、 判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)
=则= (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点, 则终点也相同 (6)若a =b ，b =c ，则a =c ；
(7)若a //b ，b //c ，则a //c (8)若四边形ABCD 是平行四边形, 则
A B =CD , BC =DA
(9) a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；
12、化简(AB -CD ) -(AC -BD )
13、在∆ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，则∆PBC 与∆ABC 的
面积之比是( )
A ．
1123 B ． C ． D ． 3234
实数与向量相乘
1. 实数与向量相乘的意义
表示n 个一般的，设n a 为向量，我们用n a 表示n 个a 相加；用-n a -相加. 又当m 为正整数时，要点诠释：
设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将的
长度进行放缩，但方向相反. 2. 向量数乘的定义
如下：
n n a 表示与同向且长度为a 的向量. m m
一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定
（1）如果k ≠0, 且a ≠0时，则：
①ka 的长度：|ka |=|k ||a |；
②ka 的方向：当k >0时，ka 与a 同方向；当k
（2）如果k =0, 或a=0时，则：ka =0，ka 的方向任意. 实数k 与向量a 相乘，叫做向量
的数乘. 要点诠释：
（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；
示向量的箭头写在数字上面；
（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.
（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表
3. 实数与向量相乘的运算律 设m 、n 为实数，则：
（1）m (na ) =(mn ) a （结合律）；
（2）(m +n ) a =ma +na （向量的数乘对于实数加法的分配律）；
（3）m （a +b）=ma +mb （向量的数乘对于向量加法的分配律）
4. 平行向量定理
（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：
1
任意非零向量a 与它同方向的单位向量a 0的关系：a =a a 0，a 0=a .
a
（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b =ma .
要点诠释：
b
（1）定理中，m =，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.
a
（2）定理中的“a ≠0”不能去掉，因为若a =0，必有b =0，此时m 可以取任意实数，
使得b =ma 成立.
（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b =ma ，则向量b
与非零向量a 平行.
（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b =ma .
（5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB =λBC .
要点五、向量的线性运算 1. 向量的线性运算定义
向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：
（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2. 向量的分解
平面向量基本定理：如果e 1, e 2是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于
这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1, λ2，使得a =λ1e 1+λ2e 2.
要点诠释：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量e 1, e 2叫做这一平面内所有向量的一组基底.
(2) 一个平面向量用一组基底e 1, e 2表示为a =λ1e 1+λ2e 2形式，叫做向量的分解，当e 1, e 2
相互垂直时，就称为向量的正分解.
每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。如图：
一组基底中，必不含有零向量．
从物理学的角度上面的现象是：将一个力分解为不同方向的两个力。
例：1如果向量，是同一平面内的两个不平行向量。已知向量是该平面内的一个非零向量，画出向量在向量，方向上的分向量吗？
练习：1. 已知向量，和，
求作：（1）向量分别在，方向上的分向量。 （2）向量分别在OA ，方向上的分向量。
训练题： 1、计算: (1). (3).
+=_______ (2). -=_______.
++=_________.(4). -=______.
(5) ++=______ (6). -+-=________.
))
2、计算:2-2-3+3=___________。
3、已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O, 设=, =, 写出向量关
于、的分解式____________. 4、如图，在□ABCD 中，点F 是AB 的中点， E 点在BC 上， 且BC=3BE，设BF =a ，BE =b ， 那么向量关于、的分解式为=________。
B
5、AD 是△ABC 的中线，G 是重心,
AC
，
)()
=____。
6、如图，点D 、E 在∆ABC 边AB 和AC 上, DE∥
BC,
AD 2
=，设，试用向量BC 表示向量E D :_________ AB 3
7、如图，AB ∥CD ，且OC :AO=3：4，设=，=，
那么用、的线性表示为=___________________
21a +4b -x =0, 8、已知向量、满足关系式32
用向量a 、b 表示向量.
练习： 一、填空题
()
1、 若a 是非零向量，则k a 的方向是k
λb (λ是非零实数) ，那么a 和b 一定是___________；
当λ=1时，它们是__________的向量；当λ=-1时，它们是___________的向量 3、 设k 是非零实数，a 、用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：b 是非零向量，
_______________________________________
b 是两个不平行的向量，那么-2a -5b 叫做a 、b 的______________________ 4、 如果a 、
5、 对于非零向量a ，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作a 0，那么向量a 可以
记作____________
6、 设e 是单位向量，若x 与e 方向相同，
=
3
，请用e 表示x ：________________
2
7、 如果2a +b =3c , a +
2b =0, =_____________________
8、 在四边形ABCD 中，设AB =a ，CD =b ，如果b =2a , 那么四边形一定是_________
（填四边形的名称）
9、 已知∆ABC 的重心是点G ，则GA +GB +GC =_______________
10、 设O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，点P 为平面内与O 不重合的任意一点，
设=，试用表示+++：________________________________ 二、选择题
11、 下列式子中，错误的是（ ）
A. a +a =2a B. +-= C. -+=-- D. a -b =b -a 12、 向量AB +MB +BO +BC +OM 化简后的结果等于( )
A. B. C. D.
13、 点C 在线段AB 上，且AC =
())
))
3
AB ，若AC =m BC ，则m 的值等于（ ） 5
A.
2323 B. C. - D. - 3232
14、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是( ) 个
（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15、 已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）
=
B. =
C. 三、解答题 16、 计算：-
=e
D.
=
21⎛1⎫2a +3b - -b -a ⎪。 33⎝2⎭
()
表示。 17、已知向量关系式2+6-=, 试用向量
)
18、已知非零向量a 、b ，请用作图方法验证2a +b =2a +2b （不写作图方法，保留作图痕迹，请写出验证过程）。
)
a
19、在∆ABC 中，G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 三等分点，=，=写出AB b 的线性组合。 、EF 、GH 关于a 、
20、如图，已知平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，AE 、CF 与对角线BD 分别交于点G 、H ，设AF =a ，AD =b （满分12分） （1） 试用a 、b 分别表示向量GH 、GE
（2） 作出向量DH 分别在a 、b 方向上的分向量
E
A
F
21、在∆ABC 中，D 是AB 边的在中点，E 是BC 延长线上的点，且. BE =2BC 。 （1） 用表示向量
（2） 用CA 、CB 表示向量DB
D
B
22、在四边形ABCD 中，AB =a +2b , BC =-4a -b , CD =-5a -3b , 请判断四边形的形状，并证明你的结论。
一、填空题:（36分）
1、已知三个数2、4、8，请再添一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可以是． 2、已知a ＝4，b ＝9，c 是a 、b 的比例中项，则c ＝ 3、若a =2，则a -2b = ；
b 3b +3b
4、在△ABC 中,AB=5,AC=4,E是AB 上一点,AE=2, 在AC 上取一点F, 使以A 、E 、F 为顶点的三角形与 △ABC 相似, 那么AF=________. 5、一本书的长与宽之比为黄金比，若它的长为20cm ，则它的宽是（保留根号）．
6、如图1，在ΔABC中，DE ∥BC ，且AD ∶BD ＝1∶2，则S ∆ADE : S 四边形DBCE = ．
图1 图2 图3
7、如图2，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是（只要写出一种） 8、．如图3，若两个多边形相似，则x ＝．
9、一公园占地面积约为800000m 2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 m 2． 10、如图4，点P 是RtΔABC斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，
使截得的三角形与RtΔABC相似，这样的直线可以作 条．
图4 图5 图6
11、如图5，四边形BDEF 是RtΔABC的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝ 12、如图6，ΔABC与ΔDEF是位似三角形，且AC ＝2DF ，则OE ∶OB ＝． 二、选择题:（30分）
13、下列各组数中，成比例的是（ ）
A ．－6，－8，3，4 B ．－7，－5，14，5 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 14、若
a +b b +c c +a
===k ，则k 的值为（ ） c a b
A 、2 B、-1 C、2或-1 D、不存在
15、如图7，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ）
A 、
1121
B、 C、
D、
3234
图7 图8 图9
16、如图8，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分，若BC=12cm，则FG
的长为（ ）
A 、8cm B、6cm C、46cm D、62cm 17、下列说法中不正确的是（ ）
A ．有一个角是30°的两个等腰三角形相似；B ．有一个角是60°的两个等腰三角形相似； C ．有一个角是90°的两个等腰三角形相似；D ．有一个角是120°的两个等腰三角形相似. 18、如图9，已知ΔABC和ΔABD都是⊙O 的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ΔADE相似的三角形是（ ）
A ．ΔBCE B ．ΔABC C ．ΔABD D ．ΔABE
B
P
A
C
图10 图11
19、如图10，RtΔABC中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC， 则CD ＝( ) ． A ．2 B ．
349
C ． D ． 234
20、两个相似多边形的面积之比为1∶3，则它们周长之比为（ ）
A ．1∶3 B
．1∶9 C ．1 D ．2∶3
21、如图11，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC
的有（ ）
PC AC AC AP
A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C、 D、 ==
AB AC BC AB 22、下列3个图形中是位似图形的有（ ）
A 、0个 B、1个 C、2个 D、3个 三、作图题:（4分）
23、已知：如图，RtΔABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，RtΔDEF中，∠F ＝90°，DF ＝EF ，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使ΔABC所分成的每个三角形与ΔDEF分成的每个三角形分别对应相似．若能，请设计出一种分割方案；若不能，请说明理由．
E
四、解答题（30分）
24、如图，已知AD 、BE 是△ABC 的两条高，试说明AD ·BC=BE·AC
A
25、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似, 并说明理由. B E F A
26、如图所示, 在离某建筑物4m 处有一棵树, 在某时刻,1.2m 长的竹竿垂直地面, 影长为2m,
此时, 树的影子有一部分映在地面上, 还有一部分影子映在建筑物的墙上, 墙上的影高为2m, 那么这棵树高约有多少米
?
27、如图所示, 小华在晚上由路灯A 走向路灯B, 当他走到点P 时, 发现他身后影子的顶部刚
好接触到路灯A 的底部, 当他向前再步行12m 到达点Q 时, 发现他身前影子的顶部刚好
接触到路灯B 的底部, 已知小华的身高是1.6m, 两个路灯的高度都是9.6m, 且AP=QB. (1)求两个路灯之间的距离;
(2)当小华走到路灯B 时, 他在路灯A 下的影长是多少?
28、如图所示, 梯形ABCD 中,AD ∥BC, ∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,
使得以P ,A,D
为顶点的三角形与以P ,B,C 为顶点的三角形相似.
（1）、1或4或16；（2）、±6；（3）、-
4
；（4）、1.6或2.5；（5）、10( 1) ； 9
（6）、1：8；（7）、∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC：AB ；（8）、31.5； （9）、0.2；（10）、3；（11）、2.4；（12）、1：2
二、选择题：
四、解答题：
24、证明：∵AD 、BE 是△ABC 的高 ∴∠ADC=∠BEC ∵∠C=∠C ∴△ADC ∽△BEC ∴AD ：BE=AC：BC ∴AD ×BC=BE×AC
25、解：由图得，AB=5，AC=25，BC=5，EF=2，ED=22，DF=， ∴AB ：EF=AC：ED=BC：DF=：2
∴△ABC ∽△DEF
26、解：过点C 作C E ∥AD 交AB 于点E ，则CD=AE=2m，△BCE ∽△B /BA / ∴A / B/：B /B=BE：BC 即，1.2：2= BE：4 ∴BE=2.4
∴AB=2.4+2=4.4
答：这棵树高4.4m 。 27、1.(1)18m. (2)3.6m.
28、解：(1)若点A,P ,D 分别与点B,C,P 对应, 即△APD ∽△BCP ,
∴
AD AP 2AP
==, ∴, BP BC 7-AP 3
∴AP 2-7AP+6=0, ∴AP=1或AP=6,
检测:当AP=1时, 由BC=3,AD=2,BP=6, ∴
AP AD
=, BC BP
又∵∠A=∠B= 90°, ∴△APD ∽△BCP . 当AP=6时, 由BC=3,AD=2,BP=1, 又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BCP .
(2)若点A,P ,D 分别与点B,P ,C 对应, 即△APD ∽△BPC.
AP AD AP 214
==, ∴AP=. , ∴
5BP BC 7-AP 3
1421
检验:当AP=时, 由BP=,AD=2,BC=3,
55
AP AD
=∴, BP BC
∴
又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BPC.
因此, 点P 的位置有三处, 即在线段AB 距离点A1、
14
、6 处. 5
1．向量的概念 ①向量
既有大小又有方向的量。向量一般用a , b , c „„来表示，或用有向线段的起点与终点的
大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；向量的大小即向量的模（长度），记作
|AB |a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量
长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0⇔｜a ｜
＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，
③单位向量
模为1个单位长度的向量，向量a 0为单位向量⇔｜a 0｜＝1。
④平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量) ，平行
向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 ⑤相反向量
方向相反且长度相等的两个非零向量叫做互为相反向量 ⑥相等向量
方向相同且长度相等的两个非零向量叫做互为相等向量. 记为a =b
2．向量的运算 （1）向量加法
定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB =a , BC =b ，则
a +b =AB +BC =AC 。
规定：（1）0+a =a +0=a ； （2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点
重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的
有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
3. 向量的减法
定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法
B
A
B
(1)
：
a +b
a +b
(2)
C (3)
已知向量a 、b ，求作向量
∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , = b , 则= a - b
即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 注意：
1) 表示a -
2) 用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )
a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b
a -b
O B A B’ O B
a -b
-b B O A （2）法则：____三角形法则_______
①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a
的相反向量。
记作-
a , 零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：
（i ）-(-a ) =a ； (ii) a +(-a )=(-a )+a =0；
(iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =-b , b =-a , a +b =0。
②向量减法
向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，
记作：a -b =a +(-b
③作图法：a -b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。
题型1：平面向量的概念
例1、 下列各量中哪些是向量？哪些是标量？ （1）体重；（2）年龄；（3）容积；（4）位移；（5）利润；（6）向心力；（7）风力；（8）人造卫星速度；
例2、P 、Q 为已知两点.
(1) P 、Q 两点间的距离为100米；
(2) 小明从点P 出发沿直线PQ ，向Q 前进100米；
(3) 小明从点P 出发，以每分钟100米的速度沿直线PQ ，向Q 前进。 以上述三个量，是向量的（ ） 例3．给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a =b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB =DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条
件；
③若a =b ，b =c ，则a =c ；
④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；
⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ；
其中正确的序号是 。
例4. 设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a =|a |·a 0;(2)若a 与a 0平行，则=||·0；（3）若与0平行且||=1，则=0。上述命题中，假命题个数是（ ） A ．0 B ．1 题型2：平面向量的运算法则
C ．2
D ．3
例5．如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将
向量OE ，BF ，BD ， FD 表示出来。
例6. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
E
--→--→--→--→--→--→--→--→--→--→→
A ．AB ＝DC B．AD ＋AB ＝AC C．AB －AD ＝BD D．AD ＋CB ＝0 例7. 如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=（ ）
A ．-+
12 B．--1
2 C ．-12 D．+1
2
例8．设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：
① AB + BC + CD ，② DB + AC + BD ，③- OA - OC + OB - CO 。
三、综合练习
1. 在四边形ABCD 中， AB = DC ，且| AB |=| BC
|，那么四边形ABCD 为（ ）
A ．平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
2. 在等腰梯ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E ，F 分别在两腰AB 、DC 上，EF 过点P 且EF//AD，则下列等式正确的（ ）
A. AD = BC B. AC = BD C. PE = PF D. EP = PF
3．判断下列命题的真假：
（1）向量可以比较大小：如 a >b
（ （2）如果两个向量的模相等且方向相反，则这两个向量平行 （ （3）如果| a |=|
b |，那么 a =b （ ）
（4）任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关（（5） AB = DC
，则
A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形
（ ） （6）凡模相等且平行的两向量均相等 （（7）向量 AB 与 BA 是两个平行向量 （（8）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 （ ）
4、如图，已知点O 是线段AB 、CD 、EF 的中点，
（1）写出与 OA 、 DE
相等的向量；
）））））
（2）写出与CD 、BD 互为相反的向量；
（3）写出向量OF 、BE 的平行向量。
5、计算：AB +DF +CD +BC +FA =_________.
6、如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB =a ，AD =b ，那么a +b _________.
7、在∆ABC
中，两边
AB 、AC
的中点分别为
D 、E ，则
D A +A =________-;E DB +BC +CE =________
8、如图，跑步爱好者小林从A 地以每小时6千米的速度向正东方向跑了40分钟后到达B
地。然后折向东偏北60方向又跑了半小时，到达C 地，求AC 两地的直线距离。
9、讨论|a +b |与a 、b 的和（差）的大小关系。
10、如图，平行四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交与O ，则
AB -AD =________; （1）
(2) BA -BC =__________;
(3) BC -BA =_________;
(4) OA -OB =________-
(5) OD -OA =_________
(6) CA -CD =__________
11、 判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)
=则= (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点, 则终点也相同 (6)若a =b ，b =c ，则a =c ；
(7)若a //b ，b //c ，则a //c (8)若四边形ABCD 是平行四边形, 则
A B =CD , BC =DA
(9) a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；
12、化简(AB -CD ) -(AC -BD )
13、在∆ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，则∆PBC 与∆ABC 的
面积之比是( )
A ．
1123 B ． C ． D ． 3234
实数与向量相乘
1. 实数与向量相乘的意义
表示n 个一般的，设n a 为向量，我们用n a 表示n 个a 相加；用-n a -相加. 又当m 为正整数时，要点诠释：
设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将的
长度进行放缩，但方向相反. 2. 向量数乘的定义
如下：
n n a 表示与同向且长度为a 的向量. m m
一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定
（1）如果k ≠0, 且a ≠0时，则：
①ka 的长度：|ka |=|k ||a |；
②ka 的方向：当k >0时，ka 与a 同方向；当k
（2）如果k =0, 或a=0时，则：ka =0，ka 的方向任意. 实数k 与向量a 相乘，叫做向量
的数乘. 要点诠释：
（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；
示向量的箭头写在数字上面；
（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.
（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表
3. 实数与向量相乘的运算律 设m 、n 为实数，则：
（1）m (na ) =(mn ) a （结合律）；
（2）(m +n ) a =ma +na （向量的数乘对于实数加法的分配律）；
（3）m （a +b）=ma +mb （向量的数乘对于向量加法的分配律）
4. 平行向量定理
（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：
1
任意非零向量a 与它同方向的单位向量a 0的关系：a =a a 0，a 0=a .
a
（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b =ma .
要点诠释：
b
（1）定理中，m =，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.
a
（2）定理中的“a ≠0”不能去掉，因为若a =0，必有b =0，此时m 可以取任意实数，
使得b =ma 成立.
（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b =ma ，则向量b
与非零向量a 平行.
（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b =ma .
（5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB =λBC .
要点五、向量的线性运算 1. 向量的线性运算定义
向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：
（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2. 向量的分解
平面向量基本定理：如果e 1, e 2是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于
这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1, λ2，使得a =λ1e 1+λ2e 2.
要点诠释：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量e 1, e 2叫做这一平面内所有向量的一组基底.
(2) 一个平面向量用一组基底e 1, e 2表示为a =λ1e 1+λ2e 2形式，叫做向量的分解，当e 1, e 2
相互垂直时，就称为向量的正分解.
每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。如图：
一组基底中，必不含有零向量．
从物理学的角度上面的现象是：将一个力分解为不同方向的两个力。
例：1如果向量，是同一平面内的两个不平行向量。已知向量是该平面内的一个非零向量，画出向量在向量，方向上的分向量吗？
练习：1. 已知向量，和，
求作：（1）向量分别在，方向上的分向量。 （2）向量分别在OA ，方向上的分向量。
训练题： 1、计算: (1). (3).
+=_______ (2). -=_______.
++=_________.(4). -=______.
(5) ++=______ (6). -+-=________.
))
2、计算:2-2-3+3=___________。
3、已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O, 设=, =, 写出向量关
于、的分解式____________. 4、如图，在□ABCD 中，点F 是AB 的中点， E 点在BC 上， 且BC=3BE，设BF =a ，BE =b ， 那么向量关于、的分解式为=________。
B
5、AD 是△ABC 的中线，G 是重心,
AC
，
)()
=____。
6、如图，点D 、E 在∆ABC 边AB 和AC 上, DE∥
BC,
AD 2
=，设，试用向量BC 表示向量E D :_________ AB 3
7、如图，AB ∥CD ，且OC :AO=3：4，设=，=，
那么用、的线性表示为=___________________
21a +4b -x =0, 8、已知向量、满足关系式32
用向量a 、b 表示向量.
练习： 一、填空题
()
1、 若a 是非零向量，则k a 的方向是k
λb (λ是非零实数) ，那么a 和b 一定是___________；
当λ=1时，它们是__________的向量；当λ=-1时，它们是___________的向量 3、 设k 是非零实数，a 、用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：b 是非零向量，
_______________________________________
b 是两个不平行的向量，那么-2a -5b 叫做a 、b 的______________________ 4、 如果a 、
5、 对于非零向量a ，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作a 0，那么向量a 可以
记作____________
6、 设e 是单位向量，若x 与e 方向相同，
=
3
，请用e 表示x ：________________
2
7、 如果2a +b =3c , a +
2b =0, =_____________________
8、 在四边形ABCD 中，设AB =a ，CD =b ，如果b =2a , 那么四边形一定是_________
（填四边形的名称）
9、 已知∆ABC 的重心是点G ，则GA +GB +GC =_______________
10、 设O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，点P 为平面内与O 不重合的任意一点，
设=，试用表示+++：________________________________ 二、选择题
11、 下列式子中，错误的是（ ）
A. a +a =2a B. +-= C. -+=-- D. a -b =b -a 12、 向量AB +MB +BO +BC +OM 化简后的结果等于( )
A. B. C. D.
13、 点C 在线段AB 上，且AC =
())
))
3
AB ，若AC =m BC ，则m 的值等于（ ） 5
A.
2323 B. C. - D. - 3232
14、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是( ) 个
（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15、 已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）
=
B. =
C. 三、解答题 16、 计算：-
=e
D.
=
21⎛1⎫2a +3b - -b -a ⎪。 33⎝2⎭
()
表示。 17、已知向量关系式2+6-=, 试用向量
)
18、已知非零向量a 、b ，请用作图方法验证2a +b =2a +2b （不写作图方法，保留作图痕迹，请写出验证过程）。
)
a
19、在∆ABC 中，G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 三等分点，=，=写出AB b 的线性组合。 、EF 、GH 关于a 、
20、如图，已知平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，AE 、CF 与对角线BD 分别交于点G 、H ，设AF =a ，AD =b （满分12分） （1） 试用a 、b 分别表示向量GH 、GE
（2） 作出向量DH 分别在a 、b 方向上的分向量
E
A
F
21、在∆ABC 中，D 是AB 边的在中点，E 是BC 延长线上的点，且. BE =2BC 。 （1） 用表示向量
（2） 用CA 、CB 表示向量DB
D
B
22、在四边形ABCD 中，AB =a +2b , BC =-4a -b , CD =-5a -3b , 请判断四边形的形状，并证明你的结论。
一、填空题:（36分）
1、已知三个数2、4、8，请再添一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可以是． 2、已知a ＝4，b ＝9，c 是a 、b 的比例中项，则c ＝ 3、若a =2，则a -2b = ；
b 3b +3b
4、在△ABC 中,AB=5,AC=4,E是AB 上一点,AE=2, 在AC 上取一点F, 使以A 、E 、F 为顶点的三角形与 △ABC 相似, 那么AF=________. 5、一本书的长与宽之比为黄金比，若它的长为20cm ，则它的宽是（保留根号）．
6、如图1，在ΔABC中，DE ∥BC ，且AD ∶BD ＝1∶2，则S ∆ADE : S 四边形DBCE = ．
图1 图2 图3
7、如图2，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是（只要写出一种） 8、．如图3，若两个多边形相似，则x ＝．
9、一公园占地面积约为800000m 2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 m 2． 10、如图4，点P 是RtΔABC斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，
使截得的三角形与RtΔABC相似，这样的直线可以作 条．
图4 图5 图6
11、如图5，四边形BDEF 是RtΔABC的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝ 12、如图6，ΔABC与ΔDEF是位似三角形，且AC ＝2DF ，则OE ∶OB ＝． 二、选择题:（30分）
13、下列各组数中，成比例的是（ ）
A ．－6，－8，3，4 B ．－7，－5，14，5 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 14、若
a +b b +c c +a
===k ，则k 的值为（ ） c a b
A 、2 B、-1 C、2或-1 D、不存在
15、如图7，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ）
A 、
1121
B、 C、
D、
3234
图7 图8 图9
16、如图8，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分，若BC=12cm，则FG
的长为（ ）
A 、8cm B、6cm C、46cm D、62cm 17、下列说法中不正确的是（ ）
A ．有一个角是30°的两个等腰三角形相似；B ．有一个角是60°的两个等腰三角形相似； C ．有一个角是90°的两个等腰三角形相似；D ．有一个角是120°的两个等腰三角形相似. 18、如图9，已知ΔABC和ΔABD都是⊙O 的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ΔADE相似的三角形是（ ）
A ．ΔBCE B ．ΔABC C ．ΔABD D ．ΔABE
B
P
A
C
图10 图11
19、如图10，RtΔABC中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC， 则CD ＝( ) ． A ．2 B ．
349
C ． D ． 234
20、两个相似多边形的面积之比为1∶3，则它们周长之比为（ ）
A ．1∶3 B
．1∶9 C ．1 D ．2∶3
21、如图11，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC
的有（ ）
PC AC AC AP
A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C、 D、 ==
AB AC BC AB 22、下列3个图形中是位似图形的有（ ）
A 、0个 B、1个 C、2个 D、3个 三、作图题:（4分）
23、已知：如图，RtΔABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，RtΔDEF中，∠F ＝90°，DF ＝EF ，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使ΔABC所分成的每个三角形与ΔDEF分成的每个三角形分别对应相似．若能，请设计出一种分割方案；若不能，请说明理由．
E
四、解答题（30分）
24、如图，已知AD 、BE 是△ABC 的两条高，试说明AD ·BC=BE·AC
A
25、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似, 并说明理由. B E F A
26、如图所示, 在离某建筑物4m 处有一棵树, 在某时刻,1.2m 长的竹竿垂直地面, 影长为2m,
此时, 树的影子有一部分映在地面上, 还有一部分影子映在建筑物的墙上, 墙上的影高为2m, 那么这棵树高约有多少米
?
27、如图所示, 小华在晚上由路灯A 走向路灯B, 当他走到点P 时, 发现他身后影子的顶部刚
好接触到路灯A 的底部, 当他向前再步行12m 到达点Q 时, 发现他身前影子的顶部刚好
接触到路灯B 的底部, 已知小华的身高是1.6m, 两个路灯的高度都是9.6m, 且AP=QB. (1)求两个路灯之间的距离;
(2)当小华走到路灯B 时, 他在路灯A 下的影长是多少?
28、如图所示, 梯形ABCD 中,AD ∥BC, ∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,
使得以P ,A,D
为顶点的三角形与以P ,B,C 为顶点的三角形相似.
（1）、1或4或16；（2）、±6；（3）、-
4
；（4）、1.6或2.5；（5）、10( 1) ； 9
（6）、1：8；（7）、∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC：AB ；（8）、31.5； （9）、0.2；（10）、3；（11）、2.4；（12）、1：2
二、选择题：
四、解答题：
24、证明：∵AD 、BE 是△ABC 的高 ∴∠ADC=∠BEC ∵∠C=∠C ∴△ADC ∽△BEC ∴AD ：BE=AC：BC ∴AD ×BC=BE×AC
25、解：由图得，AB=5，AC=25，BC=5，EF=2，ED=22，DF=， ∴AB ：EF=AC：ED=BC：DF=：2
∴△ABC ∽△DEF
26、解：过点C 作C E ∥AD 交AB 于点E ，则CD=AE=2m，△BCE ∽△B /BA / ∴A / B/：B /B=BE：BC 即，1.2：2= BE：4 ∴BE=2.4
∴AB=2.4+2=4.4
答：这棵树高4.4m 。 27、1.(1)18m. (2)3.6m.
28、解：(1)若点A,P ,D 分别与点B,C,P 对应, 即△APD ∽△BCP ,
∴
AD AP 2AP
==, ∴, BP BC 7-AP 3
∴AP 2-7AP+6=0, ∴AP=1或AP=6,
检测:当AP=1时, 由BC=3,AD=2,BP=6, ∴
AP AD
=, BC BP
又∵∠A=∠B= 90°, ∴△APD ∽△BCP . 当AP=6时, 由BC=3,AD=2,BP=1, 又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BCP .
(2)若点A,P ,D 分别与点B,P ,C 对应, 即△APD ∽△BPC.
AP AD AP 214
==, ∴AP=. , ∴
5BP BC 7-AP 3
1421
检验:当AP=时, 由BP=,AD=2,BC=3,
55
AP AD
=∴, BP BC
∴
又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BPC.
因此, 点P 的位置有三处, 即在线段AB 距离点A1、
14
、6 处. 5