初一数学竞赛讲座
第3讲 奇偶分析
我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。
例1 右表中有15个数，选出5个数，使它们
的和等于30，你能做到吗？为什么？
分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，
那就太费事了。因为无论你选择哪5个数，它们的
和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。
例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000？
解：不能。
由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。 说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。
例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
解：不能。
如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为
1+2+„+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。
例4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
请说明理由。
解：不可能。
如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五
条边，奇数个奇数之和为奇数，那么五条线上的红圈共
有奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于每个 圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因
此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。
说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出矛盾的。
例5 有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，„，20厘米水。允许由容器A 向容器B 倒进与B 容器内相同的水（在A 中的水不少于B 中水的条件下）。问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11厘米3的水？
解：不可能。
在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）来表示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数，奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中条件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍为（偶，偶）；而（偶，奇）会成为（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）却成为（偶，偶）。在任何情况下，盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。
因为开始时有10个容器里盛有奇数立方厘米的水，所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。
例6 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，
永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全
体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子
两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：
“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”
另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老
实人还是骗子？
分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等，也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。
说明：解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。
类似的问题是：
围棋盘上有19×19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上？
提示：仿例6。答：不能。
例7 某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？
解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165分，是奇数。如答错一题，就要从165分中减去6分，不管错几道，6的倍数都是偶数，165减去偶数，差还是奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去4分，并且不管有几道题不答，4的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数之和仍为奇数，故99名同学得分总和一定是奇数。
例8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水 果的个数都是偶数。
分析与解：当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：
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初一数学竞赛讲座
第3讲 奇偶分析
我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。
例1 右表中有15个数，选出5个数，使它们
的和等于30，你能做到吗？为什么？
分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，
那就太费事了。因为无论你选择哪5个数，它们的
和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。
例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000？
解：不能。
由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。 说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。
例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
解：不能。
如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为
1+2+„+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。
例4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
请说明理由。
解：不可能。
如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五
条边，奇数个奇数之和为奇数，那么五条线上的红圈共
有奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于每个 圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因
此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。
说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出矛盾的。
例5 有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，„，20厘米水。允许由容器A 向容器B 倒进与B 容器内相同的水（在A 中的水不少于B 中水的条件下）。问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11厘米3的水？
解：不可能。
在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）来表示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数，奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中条件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍为（偶，偶）；而（偶，奇）会成为（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）却成为（偶，偶）。在任何情况下，盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。
因为开始时有10个容器里盛有奇数立方厘米的水，所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。
例6 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，
永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全
体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子
两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：
“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”
另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老
实人还是骗子？
分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等，也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。
说明：解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。
类似的问题是：
围棋盘上有19×19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上？
提示：仿例6。答：不能。
例7 某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？
解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165分，是奇数。如答错一题，就要从165分中减去6分，不管错几道，6的倍数都是偶数，165减去偶数，差还是奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去4分，并且不管有几道题不答，4的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数之和仍为奇数，故99名同学得分总和一定是奇数。
例8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水 果的个数都是偶数。
分析与解：当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：
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