§5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则
教学目的：通过讲授，使学生掌握多元复合函数及隐函数的求导法则 教学重点：多元复合函数的求导
教学难点：隐函数的求导
课堂安排：
复习 1.偏导数及高阶偏导数
2.全微分
一 复合函数的求导法则
1．定义 设函数z =f (u , v ) ，而u 、v 均为x 、y 的函数，即u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) ，则函数z =f [u (x , y ), v (x , y )]叫做x 、y 的复合函数. 其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量.
2. 定理 如果函数u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 在点(x , y ) 处都具有对x 及对y 的偏导数，函数z =f (u , v ) 在对应点(u , v ) 处具有连续偏导数，则复合函数z =f [u (x , y ), v (x , y )]在点(x , y ) 处存在两个偏导数，且具有下列公式
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
多元复合函数的求导法则可以叙述为：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于函数对各个中间变量的偏导数与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积之和. 这一法则也称为锁链法则或链法则.
注：一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘. 例1 设z =sin (u +2v ), u =e x +y , v =x 2-y 2，求
解 因为∂z ∂z =cos (u +2v )；=2cos (u +2v ) ∂u ∂v ∂z ∂z , ∂x ∂y
∂u ∂u ∂v ∂v =e x +y , =e x +y , =2x , =2y ∂x ∂y ∂x ∂y
所以
∂z =e x +y cos (u +2v )+4x cos (u +2v )=cos e x +y +2x 2-2y 2e x +y +4x ∂x
∂z =e x +y cos (u +2v )+4y cos (u +2v )=cos e x +y +2x 2-2y 2e x +y +4y ∂y ()()()()
3.半抽象复合函数的偏导数
例2 设z =f (u , v )的偏导数存在，又u =sin x , v =x 2y 3，求
du ∂v ∂v =cos x , =2xy 3, =3x 2y 2 dx ∂x ∂y ∂z ∂z , . ∂x ∂y 解 因为
所以∂z ∂z du ∂z ∂v ∂z ∂z =+=cos x +2xy 3 ∂x ∂u dx ∂v ∂x ∂u ∂v
∂z ∂z ∂v ∂z 22==3x y ∂y ∂v ∂y ∂v
例3 设z =f (u , v )可导，又u =ln x 2+1, v =cos x ，求
解 dz ∂z du ∂z dv ∂z 2x ∂z (-sin x ) =+=+dx ∂u dx ∂v dx ∂u x 2+1∂v ()dz . dx
x ∂z ∂z 例4 设z =f (x , u )的偏导数存在，又u =，求, . y ∂x ∂y
解 ∂z ∂f ∂f ∂u ∂f y =+=f x +∂x ∂x ∂u ∂x ∂u x 2+y 2
∂z ∂z ∂u ∂z -x ==22∂y ∂u ∂y ∂u x +y
通过上面的例题我们可以看到，在利用复合函数的求导法则对复合函数求导数时，搞清楚变量之间的关系是关键.
练习P 183 A 1
4.复合函数的高阶偏导数
复合函数的偏导数仍然为复合函数，所以求高阶偏导时让按复合函数的求导
法则求得.
例如 函数z =f (u , v ) ， u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) ，则∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂2z ⎛∂z ∂u ∂z ∂v ⎫∂2z ∂u ∂z ∂2u ∂2z ∂v ∂z ∂2v 所以 2= ++++⎪=22∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂x ∂x ∂u ∂v ∂x ∂x ∂v ∂x ∂x ∂x ⎝⎭x
二 隐函数求导公式
1. 定理 设函数F (x , y , z ) 在点P (x 0, y 0, z 0) 的某一邻域内有连续的偏导数，且
F (x 0, y 0, z 0) =0，F z '(x 0, y 0, z 0) ≠0
则方程F (x , y , z ) =0在(x 0, y 0) 的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ) ，它满足方程F (x , y , z ) =0及条件z 0=f (x 0, y 0) ，其偏导数可由
∂F ∂F ∂z ∂F ∂F ∂z +=0和+=0 ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y
即
∂F ∂F
∂z ∂y ∂z =-∂x 和=-∂F ∂F ∂y ∂x
∂z ∂z
来确定.
2. 这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去. 由F (x , y ) =0所确定的一元隐函数y =f (x ) 的导数是
F dy =-x (F y ≠0) dx F y
由F (x , y , z , u ) =0所确定的三元隐函数u =f (x , y , z ) 的偏导数是
F y F F ∂u ∂u ∂u =-x =-x (F u '≠0) =-∂x F u ∂z F u ∂y F u
例5 求由方程sin y +x 2-y 2=0所确定的隐函数y =f (x )的导数. 解 令F (x , y )=sin y +x 2-y 2
则F x =2x ，F y =cos y -2y
所以F dy 2x =-x =-dx F y cos y -2y
例6求由方程x 2+2y 2-z 2+xyz =2所确定的隐函数z =f (x , y )的偏导数
∂z ∂2z 和2 ∂x ∂x
解 令F (x , y , z )=x 2+2y 2-z 2+xyz -2
则F x =2x +yz ，F y =4y +xz ，F z =xy -2z
所以F ∂z 2x +yz 2x +yz =-x =-=∂x F z xy -2z 2z -xy
(2x +yz )x (2z -xy )-(2x +yz )(2z -xy )x ∂2z ⎛2x +yz ⎫⎪ 2= =2 ⎪∂x 2z -xy ⎝2z -xy ⎭x
∂z ⎫⎛⎛∂z ⎫()()2+y 2z -xy -2x +yz ⎪ 2-y ⎪∂x ⎭⎝⎝∂x ⎭x = 22z -xy ⎛⎛2x +yz ⎫2x +yz ⎫ ⎪ ⎪()()2+y 2z -xy -2x +yz 2-y ⎪ ⎪2z -xy ⎭⎝⎝2z -xy ⎭x = 2z -xy 2
例7求由2x +y +z =f (x +2z )所确定的隐函数z =f (x , y )的偏导数. 解 令F (x , y , z )=2x +y +z -f (x +2z )，u =x +2z
则F x =2-f u ，F y =1，F z =1-2f u
所以 F 2-f u 2-f u ∂z =-x =-=∂x F z 1-2f u 2f u -1
F y ∂z 11 =-=-=∂y F z 1-2f u 2f u -1
练习P 183 A 2
三 小结
1.复合函数的求导法则
2.隐函数的求导公式
四 作业 P 183 A 1 、2
§5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则
教学目的：通过讲授，使学生掌握多元复合函数及隐函数的求导法则 教学重点：多元复合函数的求导
教学难点：隐函数的求导
课堂安排：
复习 1.偏导数及高阶偏导数
2.全微分
一 复合函数的求导法则
1．定义 设函数z =f (u , v ) ，而u 、v 均为x 、y 的函数，即u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) ，则函数z =f [u (x , y ), v (x , y )]叫做x 、y 的复合函数. 其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量.
2. 定理 如果函数u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 在点(x , y ) 处都具有对x 及对y 的偏导数，函数z =f (u , v ) 在对应点(u , v ) 处具有连续偏导数，则复合函数z =f [u (x , y ), v (x , y )]在点(x , y ) 处存在两个偏导数，且具有下列公式
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
多元复合函数的求导法则可以叙述为：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于函数对各个中间变量的偏导数与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积之和. 这一法则也称为锁链法则或链法则.
注：一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘. 例1 设z =sin (u +2v ), u =e x +y , v =x 2-y 2，求
解 因为∂z ∂z =cos (u +2v )；=2cos (u +2v ) ∂u ∂v ∂z ∂z , ∂x ∂y
∂u ∂u ∂v ∂v =e x +y , =e x +y , =2x , =2y ∂x ∂y ∂x ∂y
所以
∂z =e x +y cos (u +2v )+4x cos (u +2v )=cos e x +y +2x 2-2y 2e x +y +4x ∂x
∂z =e x +y cos (u +2v )+4y cos (u +2v )=cos e x +y +2x 2-2y 2e x +y +4y ∂y ()()()()
3.半抽象复合函数的偏导数
例2 设z =f (u , v )的偏导数存在，又u =sin x , v =x 2y 3，求
du ∂v ∂v =cos x , =2xy 3, =3x 2y 2 dx ∂x ∂y ∂z ∂z , . ∂x ∂y 解 因为
所以∂z ∂z du ∂z ∂v ∂z ∂z =+=cos x +2xy 3 ∂x ∂u dx ∂v ∂x ∂u ∂v
∂z ∂z ∂v ∂z 22==3x y ∂y ∂v ∂y ∂v
例3 设z =f (u , v )可导，又u =ln x 2+1, v =cos x ，求
解 dz ∂z du ∂z dv ∂z 2x ∂z (-sin x ) =+=+dx ∂u dx ∂v dx ∂u x 2+1∂v ()dz . dx
x ∂z ∂z 例4 设z =f (x , u )的偏导数存在，又u =，求, . y ∂x ∂y
解 ∂z ∂f ∂f ∂u ∂f y =+=f x +∂x ∂x ∂u ∂x ∂u x 2+y 2
∂z ∂z ∂u ∂z -x ==22∂y ∂u ∂y ∂u x +y
通过上面的例题我们可以看到，在利用复合函数的求导法则对复合函数求导数时，搞清楚变量之间的关系是关键.
练习P 183 A 1
4.复合函数的高阶偏导数
复合函数的偏导数仍然为复合函数，所以求高阶偏导时让按复合函数的求导
法则求得.
例如 函数z =f (u , v ) ， u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) ，则∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂2z ⎛∂z ∂u ∂z ∂v ⎫∂2z ∂u ∂z ∂2u ∂2z ∂v ∂z ∂2v 所以 2= ++++⎪=22∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂x ∂x ∂u ∂v ∂x ∂x ∂v ∂x ∂x ∂x ⎝⎭x
二 隐函数求导公式
1. 定理 设函数F (x , y , z ) 在点P (x 0, y 0, z 0) 的某一邻域内有连续的偏导数，且
F (x 0, y 0, z 0) =0，F z '(x 0, y 0, z 0) ≠0
则方程F (x , y , z ) =0在(x 0, y 0) 的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ) ，它满足方程F (x , y , z ) =0及条件z 0=f (x 0, y 0) ，其偏导数可由
∂F ∂F ∂z ∂F ∂F ∂z +=0和+=0 ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y
即
∂F ∂F
∂z ∂y ∂z =-∂x 和=-∂F ∂F ∂y ∂x
∂z ∂z
来确定.
2. 这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去. 由F (x , y ) =0所确定的一元隐函数y =f (x ) 的导数是
F dy =-x (F y ≠0) dx F y
由F (x , y , z , u ) =0所确定的三元隐函数u =f (x , y , z ) 的偏导数是
F y F F ∂u ∂u ∂u =-x =-x (F u '≠0) =-∂x F u ∂z F u ∂y F u
例5 求由方程sin y +x 2-y 2=0所确定的隐函数y =f (x )的导数. 解 令F (x , y )=sin y +x 2-y 2
则F x =2x ，F y =cos y -2y
所以F dy 2x =-x =-dx F y cos y -2y
例6求由方程x 2+2y 2-z 2+xyz =2所确定的隐函数z =f (x , y )的偏导数
∂z ∂2z 和2 ∂x ∂x
解 令F (x , y , z )=x 2+2y 2-z 2+xyz -2
则F x =2x +yz ，F y =4y +xz ，F z =xy -2z
所以F ∂z 2x +yz 2x +yz =-x =-=∂x F z xy -2z 2z -xy
(2x +yz )x (2z -xy )-(2x +yz )(2z -xy )x ∂2z ⎛2x +yz ⎫⎪ 2= =2 ⎪∂x 2z -xy ⎝2z -xy ⎭x
∂z ⎫⎛⎛∂z ⎫()()2+y 2z -xy -2x +yz ⎪ 2-y ⎪∂x ⎭⎝⎝∂x ⎭x = 22z -xy ⎛⎛2x +yz ⎫2x +yz ⎫ ⎪ ⎪()()2+y 2z -xy -2x +yz 2-y ⎪ ⎪2z -xy ⎭⎝⎝2z -xy ⎭x = 2z -xy 2
例7求由2x +y +z =f (x +2z )所确定的隐函数z =f (x , y )的偏导数. 解 令F (x , y , z )=2x +y +z -f (x +2z )，u =x +2z
则F x =2-f u ，F y =1，F z =1-2f u
所以 F 2-f u 2-f u ∂z =-x =-=∂x F z 1-2f u 2f u -1
F y ∂z 11 =-=-=∂y F z 1-2f u 2f u -1
练习P 183 A 2
三 小结
1.复合函数的求导法则
2.隐函数的求导公式
四 作业 P 183 A 1 、2