八年级数学知识点总结
八年级数学上册
第十一章 全等三角形
一．知识框架
二．知识概念
1. 全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
能够完全生命的两个图形叫做全等形。
把两个全等的三角形重合到一起，生命的顶点叫做对应顶点，生命的边叫做对应边，生命的角叫做对应角。
2．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3. 三角形全等的判定： 课本 P7
全等三角形的判定：
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS ”) ；
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）；
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
“ASA ”）；
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”简称“AAS ”）；
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）。
4. 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
5. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).
在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章 轴对称
一．知识框架
二．知识概念
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后生命的点是对应点，叫做对称点。
如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
角平分线上的点到角两边距离相等。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
作轴对称图形： P40
画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
用坐标表示轴对称：
点（x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x,-y ）
点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x,y ）
点（x,y ）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y ）
等腰三角形的性质：
性质1、等腰三角形的两个底角相等，（简写成“等边对等角”）
性质2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
等边三角形的判定： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
第十三章 实数第十三章 实数
1. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”， a叫做被开方数。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。
2. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a，那么数x 就叫做a 的平方根或二次方根。（一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根）。求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
3. 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4. 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。天津市一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
无限不循环小数又叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
⎧⎧自然数(0, 1, 2, 3 ) ⎧⎪整数⎨⎪⎩负整数(-1, -2, -3 ) ⎪⎪⎪12⎧ ⎪有理数⎨正分数(, ) (整数、有限小数、无限循环小数⎪⎪23⎪分数(小数) ⎪⎨实数⎨12⎪⎪负分数(-, - ) ⎪⎪
23⎩⎩⎪
⎪ ⎧正有理数⎪无理数(无限不循环小数
) ⎨⎪⎩⎩ )
正实数
实数
负实数
5. 数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 P85
a ⨯b =ab (a ≥0, b ≥0)a
b =a
b (a ≥
0, b >0) 的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。
第十四章 一次函数
一. 知识框架
二．知识概念
画函数图象的一般步骤：
一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值），二、描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点），三、连线（依次用平滑曲线连接各点）。
根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量关系，列出等式，既函数解析式。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。如果当x=a时y=b，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。
（自变量取a 时函数值为b ，则b 是自变量取a 的函数值）
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
我们看到用列表格、写式子和画图象表示一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法。
1、正比例函数：一般地，形如y=kx（k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。
一般地，正比例函数y=kx（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限, 从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k
在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y 随x 的增大而增大; 当k
2、一次函数：
一般地，形如y=kx+b(k，b 是常数 k≠0) 的函数，叫做一次函数。当b=0时, y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数y=kx+b(k，b 是常数 k≠0) 具有如下性质：
当k>0时，y 随着x 的增大而增大；
当k
若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0) 的形式, 则称y 是x 的一次函数(x为自变量,y 为因变量) 。特别地, 当b=0时, 称y 是x 的正比例函数。
⎧b . >0 ⎪k >0⎨b =0
⎪⎩b
⎧b . >0⎪k
2. 正比例函数一般式：y=kx（k ≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直线。
3. 已知两点坐标求函数解析式（待定系数法求函数解析式）：
把两点带入函数一般式列出方程组
求出待定系数
把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式
4．会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x 轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值） 解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x 轴交点的横坐标的值。
第十五章 整式的乘除与因式分解
1．同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（a-b ）= -（b-a ）（n 为奇数） （a-b ）=（b-a ）（n 为偶数） m n m +n a ⋅a =a (m,n 都是正数) 是幂的运算中最基本的法则, 在应用法则运算时,
要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
m n p m +n +p a ⋅a ⋅a =a ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其
中m 、n 、p 均为正数）；
m +n m n ⑤公式还可以逆用：a =a ⋅a （m 、n 均为正整数）
2．幂的乘方与积的乘方
※1. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a ) =a m n mn n n n n (m,n 都是正数) 是幂的乘法法则为基础推导出来的, 但两者不
n m 能混淆. (m , n 都为正数) ※2. .
※3. 底数有负号时, 运算时要注意, 底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利
用乘方法则化成同底，
如将（-a ）3化成-a 3 (a ) m n =(a ) =a mn
※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
※5．要注意区别（ab ）n 与（a+b）n 意义是不同的，不要误以为（a+b）n =an +bn
（a 、b 均不为零）。
※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得
⎧a n (当n 为偶数时), 一般地, (-a ) =⎨n ⎩-a (当n 为奇数时). n
n n n （n 为正整数）。
※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
3. 整式的乘法
※（1）. 单项式乘法法则:单项式相乘, 把它们的系数、相同字母分别相乘，
对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
※（2）．单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
※（3）．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘
(x +a )(x +b ) =x +(a +b ) x +ab 2的幂相乘，即(ab ) =a b ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得
(mx +a )(nx +b ) =mnx 2+(mb +ma ) x +ab
4．平方差公式
¤1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，
※即
¤其结构特征是：
(a +b )(a -b ) =a -b 22。
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
5．完全平方公式
¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，
¤即(a ±b ) =a ±2ab +b ；
¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
¤2．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现这样的错误。
添括号法则：
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。（添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样）
6. 同底数幂的除法
※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除, 底数不变, 指数相减,
m n m -n 即a ÷a =a (a≠0,m 、n 都是正数, 且m>n).
※2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数, 所以法则中a ≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1, 即=1(a ≠0) , 如10=1,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p 次幂(p是正整数), 等于这个数的p 的次幂的倒数, 0222(a ±b ) =a ±b 222a 0
a ( a≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的; 当a>0时,a -p 的值即
一定是正的; 当a
(-2)-2a -p =1p
8 ,
④运算要注意运算顺序. 4=1(-2) -3=-1
7．整式的除法
¤1．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在
被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； ¤2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。 8. 分解因式
※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. ※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘, 化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
分解因式的一般方法：
1. 提公共因式法
※1. 如果一个多项式的各项含有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来,
从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: ab +ac
=a (b +c )
※2. 概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式, 也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律, 即:
ma +mb -mc =m (a +b -c )
※3. 易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式, 提出后, 括号中这一项为+1,不漏掉.
2. 运用公式法
※1. 如果把乘法公式反过来, 就可以用来把某些多项式分解因式. 这种分解因式的方法叫做运用公式法. ※2. 主要公式:
(1)平方差公式: 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差
的积。 a 2-b 2
=(a +b )(a -b )
(2)完全平方公式:两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的各（或差）的平方。
a 2+2ab +b 2
=(a +b )
2
a 2-2ab +b 2
2
=(a -b )
2
2
¤3. 易错点点评:
因式分解要分解到底. 如x 4-y 4
※4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号) 都是一个单项式(或多项式) 的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式;
②其中两项同号, 且各为一整式的平方;
③还有一项可正负, 且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
=(x +y )(x -y )
2
2
就没有分解到底.
3. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式, 若有, 则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法, 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积, 否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
4． 分组分解法:
※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: am +an +bm +bn ※2. 概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组, 要尝试通过分组后是否有公因式可提, 并且可继续分解, 分组后是否可利用公式法继续分解因式. ※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.
=a (m +n ) +b (m +n ) =(a +b )(m +n )
5. 十字相乘法:
※1. 对于二次三项式ax 2+bx +c , 将a 和c 分别分解成两个因数的乘
a 1
c 1c 2
积, a =a 1⋅a 2 , c =c 1⋅c 2, 且满足b =a 1c 2+a 2c 1, 往往写成将二次三项式进行分解. 如: ax 2+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2) ※2. 二次三项式x 2+
p =a +b
px +q
a 2
的形式,
的分解:
x +px +q =(x +a )(x +b )
2
q =ab
11
b
※3. 规律内涵:
(1)理解:把x 2+
px +q
分解因式时, 如果常数项q 是正数, 那么把它分解
成两个同号因数, 它们的符号与一次项系数p 的符号相同. (2)如果常数项q 是负数, 那么把它分解成两个异号因数, 其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同, 对于分解的两个因数, 还要看它们的和是不是等于一次项系数p. ※4. 易错点点评:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等, 这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.
1. 同底数幂的乘法法则: a ⋅a =a (m,n 都是正数)
m n mn (a ) =a 2. 幂的乘方法则：(m,n 都是正数)
m
n
m +n
⎧a n (当n 为偶数时),
一般地, (-a ) =⎨n
⎩-a (当n 为奇数时).
n
3. 整式的乘法
（1） 单项式乘法法则:单项式相乘, 把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
22
(a +b )(a -b ) =a -b
4．平方差公式:
222
5．完全平方公式: (a ±b ) =a ±2ab +b
6. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除, 底数不变, 指数相减, 即m n m -n a ÷a =a (a≠0,m 、n 都是正数, 且m>n). 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数, 所以法则中a ≠0.
00
②任何不等于0的数的0次幂等于1, 即a =1(a ≠0) , 如10=1,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p 次幂(p是正整数), 等于这个数的p 的次幂的倒数, 即
a
-p
=
1
a
p
( a ≠0,p 是正整数), 而0,0都是无意义的; 当a>0时, a 的值
-1
-3
-p
一定是正的; 当a
(-2)
-2
=
14
,
(-2)
-3
=-
18
④运算要注意运算顺序.
7．整式的除法
单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； 多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
8. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式分解因式.
分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3. 十字相乘法 分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式, 若有, 则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法, 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积, 否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
八年级数学（下）知识点
人教版八年级下册主要包括了分式、反比例函数、勾股定理、四边形、数据的分析五章内容。
第十六章 分式 一．知识框架
二．知识概念 第十六章 分式
1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。 为零
2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，
A ⋅C A A ÷C ==分式的值不变。（C ≠0B B ⋅C B B ÷C
A
A B
2. 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不
）
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 4. 分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积
a c ac a c a d ad ⋅=; ÷=⋅=
的分母。 b d bd b d b c bc
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 (b ) 母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减
a c ±b c =
a ±b a c ad bc ad ±bc
, ±=±= c b d bd bd bd
a
n
=
a b
n n
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a 0时，a
-n
=1(a ≠0)
；当n 为正整数
=
1a
n
（a ≠0)
；(m,n是正整数)
6. 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：a m ⋅a n （2）幂的乘方：(a m ) n （3）积的乘方：(ab ) n
=a
mn
=a
m +n
;(m,n是正整数)
n
=a b
n
；(n是正整数)
n
（4）同底数的幂的除法：a m （5）商的乘方：(
a b ) =
n
÷a =a
m -n
( a≠0，m,n 是正整数，m ＞n) ；
a b
n n
( n是正整数) ；(b≠0)
0指数幂，当a ≠0 时，a 0=1 1纳米=10-9，即1纳米=1/109
7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 ：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母
后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静
水
-v 水．
8. 科学记数法：把一个数表示成a ⨯10n 的形式（其中1≤a
用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是n -1 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时, 其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)
第十七章 反比例函数
1. 定义：形如y ＝（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k y =kx
2. 图像：比较反比例函数的图象可以发现，它们都是由两条曲线组成，随着| x |的不断增大（或减小），曲线越来越接近x 轴（或y 轴），反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
3. 性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；
当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y
-1
k
y =k
1x
x
其中 x是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是
不等于0的一切实数。
值随x 值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 第十八章 勾股定理 1. 勾股定理：
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c2。
2. 勾股定理逆定理：
命题2：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
3. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 第十九章 四边形
平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定定理：1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条平行线间的任何两条平等线段都是相等的，像AB 、CD 这样的线段是这两条平行线间最短的线段，我们把这种线段的长度叫做两条平行线间的距
离。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3. 四条边相等的四边形是菱形。S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线） 正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。
正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。 2. 有一个角是直角的菱形是正方形。
梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对
角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 解梯形问题常用的辅助线：如图
线段的重心就是线段的中点。
平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。
三角形的重心：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心。 四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 宽和长的比是叫做黄金矩形。
第二十章 数据的分析
1. 加权平均数：加权平均数的计算公式。 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2. 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 3. 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。 4. 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 5. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 数据的收集与整理的步骤：1. 收集数据 2. 整理数据 3. 描述数据 4. 分析数据 5. 撰写调查报告 6. 交流
6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。
5-12
（约为0.618）的矩形
九年级数学（上）知识点
人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋转、圆和概率五个章节的内容。
第二十一章 二次根式 一．知识框架
二．知识概念
二次根式：一般地，形如√ā（a ≥0）的代数式叫做二次根式。当a ＞0时，√a 表示a 的算数平方根, 其中√0=0
对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：
1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由； 2. 了解最简二次根式的概念； 3. 理解并掌握下列结论： 1）
是非负数； （2）
； （3）
；
4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；
5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
第二十二章 一元二次根式
一．知识框架
二. 知识概念
一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n ≥0
）的方程；领会降次──转化
的数学思想．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p±√q ；如果q ＜0, 方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如化为更为简单的形如
的方程。这样的方程可以
的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的
的方程。然后举例说明一元二次
解。进而举例说明如何解形如方程可以化为形如
的方程，引出配方法。最后安排运用配方法
解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
（3）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子
2a
(公式所出
现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) 这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
第二十三章 旋转 一. 知识框架
二．知识概念
1. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）
2. 旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 3．中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 4. 中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心
平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
第二十四章 圆 一．知识框架
二．知识概念
1. 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2. 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3. 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4. 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 6. 圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。 7. 圆和点的位置关系：以点P 与圆O 的为例（设P 是一点，则PO 是点到圆心的距离），P 在⊙O 外，PO ＞r ；P 在⊙O 上，PO ＝r ；P 在⊙O 内，PO ＜r 。
8. 直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交, 这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
9. 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R 和r ，且R ≥r ，圆心距为P ：外离P ＞R+r；外切P=R+r；相交R-r ＜P ＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r 。
10. 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
11. 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
12. 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 13. 有关定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 14. 圆的计算公式 1. 圆的周长C=2πr=πd 2. 圆的面积S=πr^2; 3. 扇形弧长l=nπr/180
15. 扇形面积S=π（R^2-r^2） 5.圆锥侧面积S=πrl
第二十五章 概率 知识框架
本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。
九年级数学（下）知识点
人教版九年级数学下册主要包括了二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图四个章节的内容。
第二十六章 二次函数 一．知识框架
二．. 知识概念
1. 二次函数：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数) ，则称y 为x 的二次函数。2. 二次函数的解析式三种形式。 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y =a (x -h ) 2+k
y =a (x -b 2
+
4ac -b 2
2a
) 4a
交点式 y
=a (x -x 1)(x -x 2)
3. 二次函数图像与性质
对称轴：x =顶点坐标：(-
b 2a
, 4ac -b 4a
2
b 2a
)
与y 轴交点坐标（0，c ）
4. 增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大
当a
5. 二次函数图像画法：
勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点
6. 图像平移步骤 （1）配方 y =a (x -h ) 2
+k
，确定顶点（h,k ）
（2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减 7. 二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴x =
x 1+x 2
2
8. 根据图像判断a,b,c 的符号 （1）a ——开口方向
（2）b ——对称轴与a 左同右异 9. 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=0
b -4ac >0
2
时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有
两个交点；
b -4ac =0
2
时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一
个交点；
b -4ac
2
时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。
第二十七章 相似
二. 知识概念：
1. 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 2. 相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） ○1. 平行于三角形一边的直线(或两边的延长线) 和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似；
○2. 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；
○3. 如果两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；
4. 如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似； ○
3. 直角三角形相似判定定理:
1. 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○
一．知识框架
2. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形 ○
相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 4. 相似三角形的性质:
1. 相似三角形的一切对应线段(对应高、 ○对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2. 相似三角形周长的比等于相似比。 ○
3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ○
本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。
第二十八章 锐角三角函数 一．知识框架
二．知识概念 1.Rt△ABC 中
∠A 的对边(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝
斜边
∠A 的邻边
(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝
斜边∠A 的对边
(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝
∠A 的邻边∠A 的邻边
(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cota ＝
∠A 的对边2. 特殊值的三角函数：
本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。
第二十九章 投影与视图 知识框架
本章内容要求学生经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；会画事物的三视图，学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
八年级数学知识点总结
八年级数学上册
第十一章 全等三角形
一．知识框架
二．知识概念
1. 全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
能够完全生命的两个图形叫做全等形。
把两个全等的三角形重合到一起，生命的顶点叫做对应顶点，生命的边叫做对应边，生命的角叫做对应角。
2．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3. 三角形全等的判定： 课本 P7
全等三角形的判定：
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS ”) ；
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）；
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
“ASA ”）；
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”简称“AAS ”）；
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）。
4. 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
5. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).
在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章 轴对称
一．知识框架
二．知识概念
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后生命的点是对应点，叫做对称点。
如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
角平分线上的点到角两边距离相等。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
作轴对称图形： P40
画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
用坐标表示轴对称：
点（x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x,-y ）
点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x,y ）
点（x,y ）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y ）
等腰三角形的性质：
性质1、等腰三角形的两个底角相等，（简写成“等边对等角”）
性质2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
等边三角形的判定： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
第十三章 实数第十三章 实数
1. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”， a叫做被开方数。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。
2. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a，那么数x 就叫做a 的平方根或二次方根。（一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根）。求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
3. 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4. 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。天津市一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
无限不循环小数又叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
⎧⎧自然数(0, 1, 2, 3 ) ⎧⎪整数⎨⎪⎩负整数(-1, -2, -3 ) ⎪⎪⎪12⎧ ⎪有理数⎨正分数(, ) (整数、有限小数、无限循环小数⎪⎪23⎪分数(小数) ⎪⎨实数⎨12⎪⎪负分数(-, - ) ⎪⎪
23⎩⎩⎪
⎪ ⎧正有理数⎪无理数(无限不循环小数
) ⎨⎪⎩⎩ )
正实数
实数
负实数
5. 数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 P85
a ⨯b =ab (a ≥0, b ≥0)a
b =a
b (a ≥
0, b >0) 的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。
第十四章 一次函数
一. 知识框架
二．知识概念
画函数图象的一般步骤：
一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值），二、描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点），三、连线（依次用平滑曲线连接各点）。
根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量关系，列出等式，既函数解析式。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。如果当x=a时y=b，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。
（自变量取a 时函数值为b ，则b 是自变量取a 的函数值）
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
我们看到用列表格、写式子和画图象表示一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法。
1、正比例函数：一般地，形如y=kx（k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。
一般地，正比例函数y=kx（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限, 从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k
在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y 随x 的增大而增大; 当k
2、一次函数：
一般地，形如y=kx+b(k，b 是常数 k≠0) 的函数，叫做一次函数。当b=0时, y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数y=kx+b(k，b 是常数 k≠0) 具有如下性质：
当k>0时，y 随着x 的增大而增大；
当k
若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0) 的形式, 则称y 是x 的一次函数(x为自变量,y 为因变量) 。特别地, 当b=0时, 称y 是x 的正比例函数。
⎧b . >0 ⎪k >0⎨b =0
⎪⎩b
⎧b . >0⎪k
2. 正比例函数一般式：y=kx（k ≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直线。
3. 已知两点坐标求函数解析式（待定系数法求函数解析式）：
把两点带入函数一般式列出方程组
求出待定系数
把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式
4．会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x 轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值） 解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x 轴交点的横坐标的值。
第十五章 整式的乘除与因式分解
1．同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（a-b ）= -（b-a ）（n 为奇数） （a-b ）=（b-a ）（n 为偶数） m n m +n a ⋅a =a (m,n 都是正数) 是幂的运算中最基本的法则, 在应用法则运算时,
要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
m n p m +n +p a ⋅a ⋅a =a ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其
中m 、n 、p 均为正数）；
m +n m n ⑤公式还可以逆用：a =a ⋅a （m 、n 均为正整数）
2．幂的乘方与积的乘方
※1. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a ) =a m n mn n n n n (m,n 都是正数) 是幂的乘法法则为基础推导出来的, 但两者不
n m 能混淆. (m , n 都为正数) ※2. .
※3. 底数有负号时, 运算时要注意, 底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利
用乘方法则化成同底，
如将（-a ）3化成-a 3 (a ) m n =(a ) =a mn
※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
※5．要注意区别（ab ）n 与（a+b）n 意义是不同的，不要误以为（a+b）n =an +bn
（a 、b 均不为零）。
※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得
⎧a n (当n 为偶数时), 一般地, (-a ) =⎨n ⎩-a (当n 为奇数时). n
n n n （n 为正整数）。
※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
3. 整式的乘法
※（1）. 单项式乘法法则:单项式相乘, 把它们的系数、相同字母分别相乘，
对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
※（2）．单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
※（3）．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘
(x +a )(x +b ) =x +(a +b ) x +ab 2的幂相乘，即(ab ) =a b ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得
(mx +a )(nx +b ) =mnx 2+(mb +ma ) x +ab
4．平方差公式
¤1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，
※即
¤其结构特征是：
(a +b )(a -b ) =a -b 22。
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
5．完全平方公式
¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，
¤即(a ±b ) =a ±2ab +b ；
¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
¤2．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现这样的错误。
添括号法则：
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。（添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样）
6. 同底数幂的除法
※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除, 底数不变, 指数相减,
m n m -n 即a ÷a =a (a≠0,m 、n 都是正数, 且m>n).
※2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数, 所以法则中a ≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1, 即=1(a ≠0) , 如10=1,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p 次幂(p是正整数), 等于这个数的p 的次幂的倒数, 0222(a ±b ) =a ±b 222a 0
a ( a≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的; 当a>0时,a -p 的值即
一定是正的; 当a
(-2)-2a -p =1p
8 ,
④运算要注意运算顺序. 4=1(-2) -3=-1
7．整式的除法
¤1．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在
被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； ¤2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。 8. 分解因式
※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. ※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘, 化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
分解因式的一般方法：
1. 提公共因式法
※1. 如果一个多项式的各项含有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来,
从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: ab +ac
=a (b +c )
※2. 概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式, 也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律, 即:
ma +mb -mc =m (a +b -c )
※3. 易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式, 提出后, 括号中这一项为+1,不漏掉.
2. 运用公式法
※1. 如果把乘法公式反过来, 就可以用来把某些多项式分解因式. 这种分解因式的方法叫做运用公式法. ※2. 主要公式:
(1)平方差公式: 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差
的积。 a 2-b 2
=(a +b )(a -b )
(2)完全平方公式:两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的各（或差）的平方。
a 2+2ab +b 2
=(a +b )
2
a 2-2ab +b 2
2
=(a -b )
2
2
¤3. 易错点点评:
因式分解要分解到底. 如x 4-y 4
※4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号) 都是一个单项式(或多项式) 的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式;
②其中两项同号, 且各为一整式的平方;
③还有一项可正负, 且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
=(x +y )(x -y )
2
2
就没有分解到底.
3. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式, 若有, 则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法, 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积, 否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
4． 分组分解法:
※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: am +an +bm +bn ※2. 概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组, 要尝试通过分组后是否有公因式可提, 并且可继续分解, 分组后是否可利用公式法继续分解因式. ※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.
=a (m +n ) +b (m +n ) =(a +b )(m +n )
5. 十字相乘法:
※1. 对于二次三项式ax 2+bx +c , 将a 和c 分别分解成两个因数的乘
a 1
c 1c 2
积, a =a 1⋅a 2 , c =c 1⋅c 2, 且满足b =a 1c 2+a 2c 1, 往往写成将二次三项式进行分解. 如: ax 2+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2) ※2. 二次三项式x 2+
p =a +b
px +q
a 2
的形式,
的分解:
x +px +q =(x +a )(x +b )
2
q =ab
11
b
※3. 规律内涵:
(1)理解:把x 2+
px +q
分解因式时, 如果常数项q 是正数, 那么把它分解
成两个同号因数, 它们的符号与一次项系数p 的符号相同. (2)如果常数项q 是负数, 那么把它分解成两个异号因数, 其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同, 对于分解的两个因数, 还要看它们的和是不是等于一次项系数p. ※4. 易错点点评:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等, 这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.
1. 同底数幂的乘法法则: a ⋅a =a (m,n 都是正数)
m n mn (a ) =a 2. 幂的乘方法则：(m,n 都是正数)
m
n
m +n
⎧a n (当n 为偶数时),
一般地, (-a ) =⎨n
⎩-a (当n 为奇数时).
n
3. 整式的乘法
（1） 单项式乘法法则:单项式相乘, 把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
22
(a +b )(a -b ) =a -b
4．平方差公式:
222
5．完全平方公式: (a ±b ) =a ±2ab +b
6. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除, 底数不变, 指数相减, 即m n m -n a ÷a =a (a≠0,m 、n 都是正数, 且m>n). 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数, 所以法则中a ≠0.
00
②任何不等于0的数的0次幂等于1, 即a =1(a ≠0) , 如10=1,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p 次幂(p是正整数), 等于这个数的p 的次幂的倒数, 即
a
-p
=
1
a
p
( a ≠0,p 是正整数), 而0,0都是无意义的; 当a>0时, a 的值
-1
-3
-p
一定是正的; 当a
(-2)
-2
=
14
,
(-2)
-3
=-
18
④运算要注意运算顺序.
7．整式的除法
单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； 多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
8. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式分解因式.
分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3. 十字相乘法 分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式, 若有, 则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法, 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积, 否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
八年级数学（下）知识点
人教版八年级下册主要包括了分式、反比例函数、勾股定理、四边形、数据的分析五章内容。
第十六章 分式 一．知识框架
二．知识概念 第十六章 分式
1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。 为零
2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，
A ⋅C A A ÷C ==分式的值不变。（C ≠0B B ⋅C B B ÷C
A
A B
2. 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不
）
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 4. 分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积
a c ac a c a d ad ⋅=; ÷=⋅=
的分母。 b d bd b d b c bc
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 (b ) 母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减
a c ±b c =
a ±b a c ad bc ad ±bc
, ±=±= c b d bd bd bd
a
n
=
a b
n n
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a 0时，a
-n
=1(a ≠0)
；当n 为正整数
=
1a
n
（a ≠0)
；(m,n是正整数)
6. 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：a m ⋅a n （2）幂的乘方：(a m ) n （3）积的乘方：(ab ) n
=a
mn
=a
m +n
;(m,n是正整数)
n
=a b
n
；(n是正整数)
n
（4）同底数的幂的除法：a m （5）商的乘方：(
a b ) =
n
÷a =a
m -n
( a≠0，m,n 是正整数，m ＞n) ；
a b
n n
( n是正整数) ；(b≠0)
0指数幂，当a ≠0 时，a 0=1 1纳米=10-9，即1纳米=1/109
7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 ：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母
后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静
水
-v 水．
8. 科学记数法：把一个数表示成a ⨯10n 的形式（其中1≤a
用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是n -1 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时, 其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)
第十七章 反比例函数
1. 定义：形如y ＝（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k y =kx
2. 图像：比较反比例函数的图象可以发现，它们都是由两条曲线组成，随着| x |的不断增大（或减小），曲线越来越接近x 轴（或y 轴），反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
3. 性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；
当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y
-1
k
y =k
1x
x
其中 x是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是
不等于0的一切实数。
值随x 值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 第十八章 勾股定理 1. 勾股定理：
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c2。
2. 勾股定理逆定理：
命题2：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
3. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 第十九章 四边形
平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定定理：1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条平行线间的任何两条平等线段都是相等的，像AB 、CD 这样的线段是这两条平行线间最短的线段，我们把这种线段的长度叫做两条平行线间的距
离。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3. 四条边相等的四边形是菱形。S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线） 正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。
正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。 2. 有一个角是直角的菱形是正方形。
梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对
角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 解梯形问题常用的辅助线：如图
线段的重心就是线段的中点。
平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。
三角形的重心：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心。 四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 宽和长的比是叫做黄金矩形。
第二十章 数据的分析
1. 加权平均数：加权平均数的计算公式。 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2. 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 3. 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。 4. 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 5. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 数据的收集与整理的步骤：1. 收集数据 2. 整理数据 3. 描述数据 4. 分析数据 5. 撰写调查报告 6. 交流
6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。
5-12
（约为0.618）的矩形
九年级数学（上）知识点
人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋转、圆和概率五个章节的内容。
第二十一章 二次根式 一．知识框架
二．知识概念
二次根式：一般地，形如√ā（a ≥0）的代数式叫做二次根式。当a ＞0时，√a 表示a 的算数平方根, 其中√0=0
对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：
1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由； 2. 了解最简二次根式的概念； 3. 理解并掌握下列结论： 1）
是非负数； （2）
； （3）
；
4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；
5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
第二十二章 一元二次根式
一．知识框架
二. 知识概念
一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n ≥0
）的方程；领会降次──转化
的数学思想．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p±√q ；如果q ＜0, 方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如化为更为简单的形如
的方程。这样的方程可以
的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的
的方程。然后举例说明一元二次
解。进而举例说明如何解形如方程可以化为形如
的方程，引出配方法。最后安排运用配方法
解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
（3）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子
2a
(公式所出
现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) 这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
第二十三章 旋转 一. 知识框架
二．知识概念
1. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）
2. 旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 3．中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 4. 中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心
平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
第二十四章 圆 一．知识框架
二．知识概念
1. 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2. 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3. 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4. 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 6. 圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。 7. 圆和点的位置关系：以点P 与圆O 的为例（设P 是一点，则PO 是点到圆心的距离），P 在⊙O 外，PO ＞r ；P 在⊙O 上，PO ＝r ；P 在⊙O 内，PO ＜r 。
8. 直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交, 这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
9. 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R 和r ，且R ≥r ，圆心距为P ：外离P ＞R+r；外切P=R+r；相交R-r ＜P ＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r 。
10. 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
11. 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
12. 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 13. 有关定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 14. 圆的计算公式 1. 圆的周长C=2πr=πd 2. 圆的面积S=πr^2; 3. 扇形弧长l=nπr/180
15. 扇形面积S=π（R^2-r^2） 5.圆锥侧面积S=πrl
第二十五章 概率 知识框架
本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。
九年级数学（下）知识点
人教版九年级数学下册主要包括了二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图四个章节的内容。
第二十六章 二次函数 一．知识框架
二．. 知识概念
1. 二次函数：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数) ，则称y 为x 的二次函数。2. 二次函数的解析式三种形式。 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y =a (x -h ) 2+k
y =a (x -b 2
+
4ac -b 2
2a
) 4a
交点式 y
=a (x -x 1)(x -x 2)
3. 二次函数图像与性质
对称轴：x =顶点坐标：(-
b 2a
, 4ac -b 4a
2
b 2a
)
与y 轴交点坐标（0，c ）
4. 增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大
当a
5. 二次函数图像画法：
勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点
6. 图像平移步骤 （1）配方 y =a (x -h ) 2
+k
，确定顶点（h,k ）
（2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减 7. 二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴x =
x 1+x 2
2
8. 根据图像判断a,b,c 的符号 （1）a ——开口方向
（2）b ——对称轴与a 左同右异 9. 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=0
b -4ac >0
2
时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有
两个交点；
b -4ac =0
2
时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一
个交点；
b -4ac
2
时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。
第二十七章 相似
二. 知识概念：
1. 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 2. 相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） ○1. 平行于三角形一边的直线(或两边的延长线) 和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似；
○2. 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；
○3. 如果两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；
4. 如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似； ○
3. 直角三角形相似判定定理:
1. 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○
一．知识框架
2. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形 ○
相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 4. 相似三角形的性质:
1. 相似三角形的一切对应线段(对应高、 ○对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2. 相似三角形周长的比等于相似比。 ○
3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ○
本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。
第二十八章 锐角三角函数 一．知识框架
二．知识概念 1.Rt△ABC 中
∠A 的对边(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝
斜边
∠A 的邻边
(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝
斜边∠A 的对边
(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝
∠A 的邻边∠A 的邻边
(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cota ＝
∠A 的对边2. 特殊值的三角函数：
本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。
第二十九章 投影与视图 知识框架
本章内容要求学生经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；会画事物的三视图，学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。