第四单元 比
一、教学目标
1．使学生理解比的意义，知道比与分数、除法的关系。
2．使学生理解并掌握比的基本性质，会求比值、化简比，能解答按比分配的实际问题。
3．使学生在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系以及比的基本性质的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间的内在联系，把握数学知识的本质。
4．使学生经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程，感受数学知识在日常生活中的应用价值。
二、内容安排及其特点
1．教学内容和作用。
由于比与除法有着天然的联系，这部分内容过去一直编排在“分数除法”单元内。此次修订，把这部分内容分拆出来，另成单元，主要是为了突出“比和比例”的独立性、重要性，比不仅与分数除法有联系，还与分数、除法等知识有更重要的联系。比的知识是学习比例相关知识的必要基础，把比单独设单元，有利于学生从量与量之间的关系这一角度去认识比，而不仅仅从运算的角度去理解比，有助于培养学生的代数思想。
这部分教学内容主要有：比的意义，比的读、写方法，比与分数、除法的关系，比的基本性质，求比值，化简比，按比分配（即为过去习惯中所说的“按比例分配”，由于这类问题实质上是按“比”分配的，学生又尚未接触“比例”，所以称为“按比分配”更妥）。学生在学习这些内容之前已经掌握了除法的意义与商不变的性质、分数的意义与基本性质、分数与除法的关系等知识，会进行分数乘、除法计算，会解答有关分数乘、除法的实际问题。比与除法、分数有着密切联系，求比值、化简比和按比分配等知识的学习与分数乘、除法的计算密不可分，因此将比的认识安排在分数乘法和除法之后进行教学，既加强了知识间的内在联系，又可以为后面学习比例的相关知识打下良好的基础。虽然比和除法、分数有着密切联系，但又不完全等同，比更强调的是量与量之间的倍比关系的直接描述，有时并不关注具体比值是多少，而除法、分数更多的是强调两个量之间的
一种运算关系，通常也会同时关注运算的结果。此外，我们可以用比同时表示两个、三个乃至更多的量之间的倍比关系，而除法、分数一般只能表示两个量之间的倍比关系。教材在讲比的意义时，既强调比的一种情况——两个同类量的比，例如长和宽的比，又强调在实际应用中经常要用到比的另一种情况——不同类量的比，如路程和时间的比，质量和体积的比，等等。这样，将来进入中学后就便于理解物理、化学等学科中经常出现的不同类量的比。有关联的不同类量相比，产生了新的量，例如，路程和时间的比就是速度，质量和体积的比就是密度。
具体编排结构如下。
从上图可以看出，本单元的教学内容分为三个层次。
一是认识比的意义。
教材选取学生感兴趣的素材——我国第一艘载人飞船的有关内容作为载体引入比，通过这一富有时代性的现实内容，引出同类量的比、不同类量的比。在此基础上概括比的意义，介绍比的读、写法及各部分名称，然后引导学生思考比与除法、分数的联系。
二是理解比的基本性质。
教材联系比和除法、分数的关系，启发学生概括比的基本性质。接着，应用这个性质，通过例1学习化简比。化简整数比常用的方法是前、后项同时除以它们的最大公因数；化简分数、小数比常用的方法是把分数比、小数比先转化为整数比，再化简。把分数比、小数比转化为整数比的方法，思路比较统一，易于理解和掌握。但化简方法也可以灵活多样，只要化成最简单的整数比，都是允许的。
三是应用比解决实际问题。
教材中涉及的比的应用，主要是按比分配。所谓按比分配就是把一个量按照一定的比进行分配。“平均分”是按比分配的一种特殊情况。例如，把12张画片
分给甲、乙两个小朋友，如果按1:1分，就是平均分。如果按2:1分，就是通常所说的按比分配。同时，“平均分”的方法也是解决按比分配的问题的主要方法，例如，按2:1分，实际上就是把总量平均分成 (2＋1) 份。
解决按比分配的问题，主要有三种方法：一是把比的前、后项看作分得的份数，先求出每一份；二是求出前、后项分别占总数的几分之几，用分数乘法来解答；三是用比例知识来解答：较早的算术课本通常采用第三种方法，因此，习惯上也经常把“按比分配”叫做“按比例分配”。现在的小学数学教材，一般以第二种方法为主，因为学生理解了比和分数的关系，并会利用分数乘法解决实际问题，对这种方法比较容易理解和接受，也有利于加强知识间的前后联系。
2．教材编排特点。
本单元教材在编排上有以下几个特点。
(1)引导学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程。
比是小学数学中的一个重要概念，让学生真正理解比的意义，具有一定的难度。教材借助学生的生活经验和学习经验，通过情境设计，引发学生思考和讨论，在已有的“长方形长和宽之间的关系”描述的基础上，引出同类量的比，结合“路程与时间的关系”认识不同类量的比。在理解了比的现实背景的基础上逐步抽象出比的概念，理解比的意义。
(2)引导学生利用比与分数、除法的关系自主探索比的基本性质。
教材注意引导学生结合比的意义，主动联系以前所学过的分数和除法的知识，自主探索比的基本性质。这一过程可以帮助学生梳理相关知识间的关系，引导学生利用旧知探索新知，通过自主学习建立起新的知识结构，对分数、除法和比三者关系以及比的基本性质也有了更本质和深刻的理解。
(3)引导学生应用旧知解决按比分配的实际问题。
教材安排了按照一定的比进行分配的实际问题，这实际上是“平均分”方法的延伸和发展。教材引导学生利用比的意义，把新问题转化为已经学过的平均分问题和分数乘法问题，通过独立思考、合作交流，自主探索按比分配问题的解决办法，感受解决问题策略的多样化。
三、教学建议
1．联系已学知识，引导学生自主学习。
比与除法、分数有着密切的内在联系，例如，比的后项不能为0与除数、分母不能为0是一致的，比的基本性质与商不变性质、分数的基本性质是一致的，求比值与求商、化简比与约分、按比分配与求一个数的几分之几是多少的方法是一致的，等等。因此，教学这部分内容时，应当充分利用原有的学习基础，引导学生联系相关知识，进行类比和推理，尽可能让学生自主学习，通过自己的思考，解决新问题，得到新结论。教材在例题、“做一做”以及练习的设计和编排上非常注重为学生提供自主探索、合作交流的机会。在探索的过程中，不仅要求学生知道“怎么做”，也要求学生思考“为什么要这样做”。
2. 让学生感悟相关知识的联系与区别，使新旧知识融会贯通。
在这部分内容的学习过程中，新旧知识的联系，不仅有利于生成新知识，也能加深对旧知识的理解，使新旧知识融会贯通。为此，教学时应当采用适当的方式，让学生知道并理解相关知识之间的联系与区别。同时也应注意，揭示知识的联系与区别，要考虑学生的理解水平，不宜求全、求深。
3．建议用4课时教学。
第四单元 比
一、教学目标
1．使学生理解比的意义，知道比与分数、除法的关系。
2．使学生理解并掌握比的基本性质，会求比值、化简比，能解答按比分配的实际问题。
3．使学生在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系以及比的基本性质的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间的内在联系，把握数学知识的本质。
4．使学生经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程，感受数学知识在日常生活中的应用价值。
二、内容安排及其特点
1．教学内容和作用。
由于比与除法有着天然的联系，这部分内容过去一直编排在“分数除法”单元内。此次修订，把这部分内容分拆出来，另成单元，主要是为了突出“比和比例”的独立性、重要性，比不仅与分数除法有联系，还与分数、除法等知识有更重要的联系。比的知识是学习比例相关知识的必要基础，把比单独设单元，有利于学生从量与量之间的关系这一角度去认识比，而不仅仅从运算的角度去理解比，有助于培养学生的代数思想。
这部分教学内容主要有：比的意义，比的读、写方法，比与分数、除法的关系，比的基本性质，求比值，化简比，按比分配（即为过去习惯中所说的“按比例分配”，由于这类问题实质上是按“比”分配的，学生又尚未接触“比例”，所以称为“按比分配”更妥）。学生在学习这些内容之前已经掌握了除法的意义与商不变的性质、分数的意义与基本性质、分数与除法的关系等知识，会进行分数乘、除法计算，会解答有关分数乘、除法的实际问题。比与除法、分数有着密切联系，求比值、化简比和按比分配等知识的学习与分数乘、除法的计算密不可分，因此将比的认识安排在分数乘法和除法之后进行教学，既加强了知识间的内在联系，又可以为后面学习比例的相关知识打下良好的基础。虽然比和除法、分数有着密切联系，但又不完全等同，比更强调的是量与量之间的倍比关系的直接描述，有时并不关注具体比值是多少，而除法、分数更多的是强调两个量之间的
一种运算关系，通常也会同时关注运算的结果。此外，我们可以用比同时表示两个、三个乃至更多的量之间的倍比关系，而除法、分数一般只能表示两个量之间的倍比关系。教材在讲比的意义时，既强调比的一种情况——两个同类量的比，例如长和宽的比，又强调在实际应用中经常要用到比的另一种情况——不同类量的比，如路程和时间的比，质量和体积的比，等等。这样，将来进入中学后就便于理解物理、化学等学科中经常出现的不同类量的比。有关联的不同类量相比，产生了新的量，例如，路程和时间的比就是速度，质量和体积的比就是密度。
具体编排结构如下。
从上图可以看出，本单元的教学内容分为三个层次。
一是认识比的意义。
教材选取学生感兴趣的素材——我国第一艘载人飞船的有关内容作为载体引入比，通过这一富有时代性的现实内容，引出同类量的比、不同类量的比。在此基础上概括比的意义，介绍比的读、写法及各部分名称，然后引导学生思考比与除法、分数的联系。
二是理解比的基本性质。
教材联系比和除法、分数的关系，启发学生概括比的基本性质。接着，应用这个性质，通过例1学习化简比。化简整数比常用的方法是前、后项同时除以它们的最大公因数；化简分数、小数比常用的方法是把分数比、小数比先转化为整数比，再化简。把分数比、小数比转化为整数比的方法，思路比较统一，易于理解和掌握。但化简方法也可以灵活多样，只要化成最简单的整数比，都是允许的。
三是应用比解决实际问题。
教材中涉及的比的应用，主要是按比分配。所谓按比分配就是把一个量按照一定的比进行分配。“平均分”是按比分配的一种特殊情况。例如，把12张画片
分给甲、乙两个小朋友，如果按1:1分，就是平均分。如果按2:1分，就是通常所说的按比分配。同时，“平均分”的方法也是解决按比分配的问题的主要方法，例如，按2:1分，实际上就是把总量平均分成 (2＋1) 份。
解决按比分配的问题，主要有三种方法：一是把比的前、后项看作分得的份数，先求出每一份；二是求出前、后项分别占总数的几分之几，用分数乘法来解答；三是用比例知识来解答：较早的算术课本通常采用第三种方法，因此，习惯上也经常把“按比分配”叫做“按比例分配”。现在的小学数学教材，一般以第二种方法为主，因为学生理解了比和分数的关系，并会利用分数乘法解决实际问题，对这种方法比较容易理解和接受，也有利于加强知识间的前后联系。
2．教材编排特点。
本单元教材在编排上有以下几个特点。
(1)引导学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程。
比是小学数学中的一个重要概念，让学生真正理解比的意义，具有一定的难度。教材借助学生的生活经验和学习经验，通过情境设计，引发学生思考和讨论，在已有的“长方形长和宽之间的关系”描述的基础上，引出同类量的比，结合“路程与时间的关系”认识不同类量的比。在理解了比的现实背景的基础上逐步抽象出比的概念，理解比的意义。
(2)引导学生利用比与分数、除法的关系自主探索比的基本性质。
教材注意引导学生结合比的意义，主动联系以前所学过的分数和除法的知识，自主探索比的基本性质。这一过程可以帮助学生梳理相关知识间的关系，引导学生利用旧知探索新知，通过自主学习建立起新的知识结构，对分数、除法和比三者关系以及比的基本性质也有了更本质和深刻的理解。
(3)引导学生应用旧知解决按比分配的实际问题。
教材安排了按照一定的比进行分配的实际问题，这实际上是“平均分”方法的延伸和发展。教材引导学生利用比的意义，把新问题转化为已经学过的平均分问题和分数乘法问题，通过独立思考、合作交流，自主探索按比分配问题的解决办法，感受解决问题策略的多样化。
三、教学建议
1．联系已学知识，引导学生自主学习。
比与除法、分数有着密切的内在联系，例如，比的后项不能为0与除数、分母不能为0是一致的，比的基本性质与商不变性质、分数的基本性质是一致的，求比值与求商、化简比与约分、按比分配与求一个数的几分之几是多少的方法是一致的，等等。因此，教学这部分内容时，应当充分利用原有的学习基础，引导学生联系相关知识，进行类比和推理，尽可能让学生自主学习，通过自己的思考，解决新问题，得到新结论。教材在例题、“做一做”以及练习的设计和编排上非常注重为学生提供自主探索、合作交流的机会。在探索的过程中，不仅要求学生知道“怎么做”，也要求学生思考“为什么要这样做”。
2. 让学生感悟相关知识的联系与区别，使新旧知识融会贯通。
在这部分内容的学习过程中，新旧知识的联系，不仅有利于生成新知识，也能加深对旧知识的理解，使新旧知识融会贯通。为此，教学时应当采用适当的方式，让学生知道并理解相关知识之间的联系与区别。同时也应注意，揭示知识的联系与区别，要考虑学生的理解水平，不宜求全、求深。
3．建议用4课时教学。