2016中考真题之二次函数
一．选择题（共12小题）
2
1．（2016•衢州）二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如
A ．直线x=﹣3 B ．直线x=﹣2 C ．直线x=﹣1 D ．直线x=0
2
2．（2016•绍兴）抛物线y=x+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 3．（2016•泸州）已知二次函数y=ax﹣bx ﹣2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．或1
B ．或1
C ．或
2
2
D ．或
2
4．（2016•荆门）若二次函数y=x+mx 的对称轴是x=3，则关于x 的方程x +mx=7的解为（ ） A ．x 1=0，x 2=6 B ．x 1=1，x 2=7 C ．x 1=1，x 2=﹣7 D ．x 1=﹣1，x 2=7
2
5．（2016•宁波）已知函数y=ax﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（ ） A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点
C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大
2
6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc ＞0②4a +2b +c ＞0③4ac ﹣b ＜8a ④＜a ＜⑤b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A ．①③ B ．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 7．（2016•玉林）抛物线y=
，y=x，y=﹣x 的共同性质是：
2
2
2
①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称． 其中正确的个数有（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
8．（2016•成都）二次函数y=2x﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）
A ．抛物线开口向下 B ．抛物线经过点（2，3）
C ．抛物线的对称轴是直线x=1 D ．抛物线与x 轴有两个交点
2
9．（2016•随州）二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a +b=0；（2）9a +c ＞3b ；（3）8a +7b +2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点
2
C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x +1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）
A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 10．（2016•桂林）已知直线y=﹣
2
x +3与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线y=﹣（x
﹣）+4上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 11．（2016•贵港）如图，抛物线y=﹣
x +x +与x 轴交于A ，
2
B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）
A ．（4，3） B ．（5，
）
C ．（4，
）
D ．（5，3）
12．（2016•新泰市二模）已知Y 1，Y 2，Y 3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A （﹣1，﹣2）、B （2，1）和C （，3），规定M={Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值}，则下列结论：
①当x ＜﹣1时，M=Y1；②当﹣1＜x ＜0时，Y 2＜Y 3＜Y 1；
③当0≤x ≤2时，M 的最大值是1，无最小值；④当x ≥2时，M 最大值是1，无最小值．其中正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二．填空题（共8小题）
2
13．（2016•来宾）已知函数y=﹣x ﹣2x ，当 时，函数值y 随x 的增大而增大．
14．（2016•大庆）直线y=kx+b 与抛物线
y=x 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为 ．
2
15．（2016•泰州）二次函数y=x﹣2x ﹣3的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为2个单位长度，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为．
2
16．（2016•营口）如图，二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=﹣1，点B 的坐标为（1，0）．下面的四个结论：
2
①AB=4；②b ﹣4ac ＞0；③ab ＜0；④a ﹣b +c ＜0， 其中正确的结论是 （填写序号）．
2
17．（2016•泸州）若二次函数y=2x﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则
+
的值为 ．
2
2
18．（2016•淮阴）对于二次函数y=x﹣2mx ﹣3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；
②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m=﹣1；
④如果当x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为﹣3． 其中正确的说法有 ．（填写序号）
2
与自变量x 的部分对应值如表：
①该函数开口向下．②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y 轴
2
的直线．③当x=2时，y=3．④方程ax +bx +c=﹣2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为 ．（只需写出序号） 20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x +6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 ． 三．解答题（共8小题）
2
21．（2016•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx +c 经过点（﹣1，8）并与x 轴交于点A ，B 两点，且点B 坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y 轴交于点C ，顶点为点P ，求△CPB 的面积． 注：抛物线y=ax+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（﹣
22．（2016•龙东地区）如图，二次函数y=（x +2）+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B ． （1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x +2）+m ≥kx +b 的x 的取值范围． 23．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）； （2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ （3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
2
2
2
2
，）
24．（2016•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x +bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0）． （1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标； （2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ． ①求S 的最大值；
②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．
2
2
25．（2016•六盘水）如图，抛物线y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（2016•新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A （6，0）和B （0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．
27．（2016•甘孜州）如图，顶点为M 的抛物线y=a（x +1）﹣4分别与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由． （3）抛物线上是否存在点N （点N 与点M 不重合），使得以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
28．（2016•青海）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x +bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2中探索）．
2
初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2016•衢州）二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如
A ．直线x=﹣3 B ．直线x=﹣2 C ．直线x=﹣1 D ．直线x=0 【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2． 故选：B ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
2
2．（2016•绍兴）抛物线y=x+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【考点】二次函数的性质． 【专题】探究型．
2
【分析】根据抛物线y=x+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，可以得到c 的取值范围，从而可以解答本题．
2
【解答】解：∵抛物线y=x+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点， ∴
2
解得6≤c ≤14， 故选A ．
【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式．
3．（2016•泸州）已知二次函数y=ax﹣bx ﹣2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．或1
B ．或1
C ．或
2
D ．或
【考点】二次函数的性质． 【专题】函数及其图象．
【分析】首先根据题意确定a 、b 的符号，然后进一步确定a 的取值范围，根据a ﹣b 为整数确定a 、b 的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a ＞0，﹣＞0，a +b ﹣2=0，
故b ＞0，且b=2﹣a ，a ﹣b=a﹣（2﹣a ）=2a﹣2， 于是0＜a ＜2， ∴﹣2＜2a ﹣2＜2， 又a ﹣b 为整数，
∴2a ﹣2=﹣1，0，1， 故a=，1，， b=，1，， ∴ab=或1，
故选A ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a +b +c 的值和a 、b 的符号，难度中等．
4．（2016•荆门）若二次函数y=x+mx 的对称轴是x=3，则关于x 的方程x +mx=7的解为（ ） A ．x 1=0，x 2=6 B ．x 1=1，x 2=7 C ．x 1=1，x 2=﹣7 D ．x 1=﹣1，x 2=7 【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法．
22
【分析】先根据二次函数y=x+mx 的对称轴是x=3求出m 的值，再把m 的值代入方程2
x +mx=7，求出x 的值即可．
2
【解答】解：∵二次函数y=x+mx 的对称轴是x=3， ∴﹣=3，解得m=﹣6，
∴关于x 的方程x +mx=7可化为x ﹣6x ﹣7=0，即（x +1）（x ﹣7）=0，解得x 1=﹣1，x 2=7． 故选D ．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
5．（2016•宁波）已知函数y=ax﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（ ） A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点
C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 【考点】二次函数的性质．
2
22
2
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax﹣2ax ﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x 轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1判断
2
二次函数的增减性．
【解答】解：A 、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
2
B 、当a=﹣2时，∵△=4﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故错误；
C 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣大，故错误；
D 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1，∴若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增
=1，∴若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增
大，故正确； 故选D ．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc ＞0 ②4a +2b +c ＞0
2
③4ac ﹣b ＜8a ④＜a ＜
⑤b ＞c ．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
2
A ．①③ B ．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c 的大小得出④的正误． 【解答】解：①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；
∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确；
②∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0，
∴4a +2b +c ＜0， 故②错误；
③∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），
2
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）a +b ×（﹣1）+c=0， ∴a ﹣b +c=0，即a=b﹣c ，c=b﹣a ， ∵对称轴为直线x=1 ∴
=1，即b=﹣2a ，
∴c=b﹣a=（﹣2a ）﹣a=﹣3a ，
222
∴4ac ﹣b =4•a •（﹣3a ）﹣（﹣2a ）=﹣16a ＜0 ∵8a ＞0
∴4ac ﹣b ＜8a 故③正确
④∵图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c ＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a ＜﹣1， ∴＞a ＞；
故④正确 ⑤∵a ＞0，
∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ； 故⑤正确； 故选：D ． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2016•玉林）抛物线y=
，y=x，y=﹣x 的共同性质是：
2
2
2
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点； ③都以y 轴为对称轴； ④都关于x 轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【考点】二次函数的性质．
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．
【解答】解：抛物线
y=抛物线
y=
2
，y=x的开口向上，y=﹣x 的开口向下，①错误；
2
22
，y=x，y=﹣x 的顶点为（0，0），对称轴为y 轴，②③正确；④错误；
故选：B ．
【点评】本题考查了二次函数的图形与性质；熟记抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标是解决问题的关键．
8．（2016•成都）二次函数y=2x﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）
A ．抛物线开口向下 B ．抛物线经过点（2，3）
C ．抛物线的对称轴是直线x=1 D ．抛物线与x 轴有两个交点 【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B
2
进行判断；利用方程2x ﹣3=0解的情况对D 进行判断．
2
【解答】解：A 、a=2，则抛物线y=2x﹣3的开口向上，所以A 选项错误； B 、当x=2时，y=2×4﹣3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B 选项错误； C 、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C 选项错误；
2
D 、当y=0时，2x ﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D 选项正确． 故选D ．
【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax+bx +c （a ≠0），它的顶点坐标是（﹣
，
），对称轴为直线x=﹣
2
2
2
，二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象具有
时，y 随x 的增
2
2
如下性质：当a ＞0时，抛物线y=ax+bx +c （a ≠0）的开口向上，x ＜﹣大而减小；x ＞﹣开口向下，x ＜﹣
时，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，抛物线y=ax+bx +c （a ≠0）的时，y 随x 的增大而增大；x ＞﹣
时，y 随x 的增大而减小．
9．（2016•随州）二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a +b=0；（2）9a +c ＞3b ；（3）8a +7b +2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x +1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）
2
A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可． （2）错误，利用x=﹣3时，y ＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a 、b 即可判断． （4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【解答】解：（1）正确．∵﹣=2，
∴4a +b=0．故正确．
（2）错误．∵x=﹣3时，y ＜0， ∴9a ﹣3b +c ＜0，
∴9a +c ＜3b ，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0）， ∴
解得
，
∴8a +7b +2c=8a﹣28a ﹣10a=﹣30a ， ∵a ＜0，
∴8a +7b=2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）， ∵﹣2=，2﹣（﹣）=， ∴＜
∴点C 离对称轴的距离近， ∴y 3＞y 2，
∵a ＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y 1＜y 2
∴y 1＜y 2＜y 3，故（4）错误． （5）正确．∵a ＜0， ∴（x +1）（x ﹣5）=﹣3/a＞0， 即（x +1）（x ﹣5）＞0，
故x ＜﹣1或x ＞5，故（5）正确． ∴正确的有三个， 故选B ．
【点评】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
10．（2016•桂林）已知直线y=﹣
2
x +3与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线y=﹣（x
﹣）+4上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．
【分析】以点B 为圆心线段AB 长为半径做圆，交抛物线于点C 、M 、N 点，连接AC 、BC ，由直线y=﹣x +3可求出点A 、B 的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC 等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x 轴的两交点的坐标，发现该两点与M 、N 重合，结合图形分三种情况研究△ABP 为等腰三角形，由此即可得出结论．
【解答】解：以点B 为圆心线段AB 长为半径做圆，交抛物线于点C 、M 、N 点，连接AC 、BC ，如图所示．
令一次函数y=﹣x +3中x=0，则y=3， ∴点A 的坐标为（0，3）；
令一次函数y=﹣x +3中y=0，则﹣x +3， 解得：x=，
∴点B 的坐标为（，0）． ∴AB=2．
∵抛物线的对称轴为x=， ∴点C 的坐标为（2，3）， ∴AC=2=AB=BC， ∴△ABC 为等边三角形． 令y=﹣（x ﹣
）+4中y=0，则﹣（x ﹣
2
）+4=0，
2
解得：x=﹣，或x=3． ∴点E 的坐标为（﹣，0），点F 的坐标为（3，0）． △ABP 为等腰三角形分三种情况：
①当AB=BP时，以B 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于C 、M 、N 三点； ②当AB=AP时，以A 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于C 、M 两点，； ③当AP=BP时，作线段AB 的垂直平分线，交抛物线交于C 、M 两点； ∴能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有3个． 故选A ．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与坐标轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理，解题的关键是依照题意画出图形，利用数形结合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出P 点坐标，但在寻找点P 的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．
11．（2016•贵港）如图，抛物线y=﹣
x +x +与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若
2
点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）
A ．（4，3） B ．（5，
）
C ．（4，
）
D ．（5，3）
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的最值． 【分析】连接PC 、PO 、PA ，设点P 坐标（m ，﹣
﹣S △AOC 构建二次函数，利用函数性质即可解决问题． 【解答】解：连接PC 、PO 、PA ，设点P 坐标（m ，﹣令x=0，则
y=，点C 坐标（0，）， 令y=0则﹣
x +x +=0，解得x=﹣2或10，
2
），根据S △PAC =S△PCO +S △POA
）
∴点A 坐标（10，0），点B 坐标（﹣2，0），
∴S △PAC =S△PCO +S △POA ﹣S △AOC =××m +×10×（﹣﹣
（m ﹣5）+
2
）﹣××10=
，
，
∴x=5时，△PAC 面积最大值为此时点P 坐标（5，故点P 坐标为（5，
）． ）．
【点评】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴交点，解题的关键是构建二次函数，利用二次函数性质解决问题，属于中考常考题型．
12．（2016•新泰市二模）已知Y 1，Y 2，Y 3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A （﹣1，﹣2）、B （2，1）和C （，3），规定M={Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值}，则下列结论： ①当x ＜﹣1时，M=Y1；
②当﹣1＜x ＜0时，Y 2＜Y 3＜Y 1；
③当0≤x ≤2时，M 的最大值是1，无最小值； ④当x ≥2时，M 最大值是1，无最小值． 其中正确结论的个数为（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】首先要明确M={Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值}，观察图象可以判断四个选项的正误．
【解答】解：一次函数Y 3过点A （﹣1，﹣2）、B （2，1），则解析式为：Y 3=x﹣1； ①当x ＜﹣1时，Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值为Y 1，所以M=Y1，故①正确； ②当﹣1＜x ＜0时，Y 2＜Y 3＜Y 1，故②正确；
③当0≤x ≤2时，Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值为Y 3，M 的最小值是﹣1，最大值是1；故③错误；
④当x ≥2时，Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值为Y 1，则M 最大值是1，无最小值，故④正确． 故选C ．
【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，同时此类题考查了学生能根据图象求最值问题，这在学生中是一个难点，原则是：在一定范围内，最下边是最小，最上边是最大．
二．填空题（共8小题）
13．（2016•来宾）已知函数y=﹣x ﹣2x ，当 x ≤﹣1 时，函数值y 随x 的增大而增大． 【考点】二次函数的性质．
2
【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y=﹣（x +1）+1，由于a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，根据抛物线的性质可知当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，即可求出．
22
【解答】解：∵y=﹣x ﹣2x=﹣（x +1）+1，
a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1， ∴当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而增大， 故答案为：x ≤﹣1．
2
【点评】本题考查了二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的性质，确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，a ＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小；a ＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大．
14．（2016•大庆）直线y=kx+b 与抛物线y=x 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为 （0，4） ． 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质． 【专题】推理填空题．
2
2
【分析】根据直线y=kx+b 与抛物线
y=x 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，可以联立在一起，得到关于x 的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA ⊥OB ，可以求得b 的值，从而可以得到直线AB 恒过的定点的坐标．
【解答】解：∵直线y=kx+b 与抛物线
y=x 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点， ∴kx +b=
，
2
2
2
化简，得 x ﹣4kx ﹣4b=0， ∴x 1+x 2=4k，x 1x 2=﹣4b ， 又∵OA ⊥OB ， ∴
=
，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4）， 故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k 的乘积为﹣1．
15．（2016•泰州）二次函数y=x﹣2x ﹣3的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为2个单位长度，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为 （1+，3）或（2，﹣3） ．
2
【考点】二次函数的性质．
【分析】△ABC 是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C 在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x 的值．由因为使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，所以x ＞0．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，且AB=2， ∴AB 边上的高为3，
又∵点C 在二次函数图象上， ∴C 的纵坐标为±3，
2
令y=±3代入y=x﹣2x ﹣3， ∴x=1或0或2
∵使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上， ∴x ＞0，
∴x=1+或x=2
∴C （1+，3）或（2，﹣3） 故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）
【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C 的纵坐标为±3．
16．（2016•营口）如图，二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=﹣1，点B 的坐标为（1，0）．下面的四个结论： ①AB=4；
2
②b ﹣4ac ＞0； ③ab ＜0； ④a ﹣b +c ＜0，
其中正确的结论是 ①②③④ （填写序号）．
2
【考点】二次函数图象与系数的关系．
2
【分析】利用二次函数对称性以及结合b ﹣4ac 的符号与x 轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．
【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，点B 的坐标为（1，0）， ∴A （﹣3，0），
∴AB=4，故选项①正确；
2
∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b ﹣4ac ＞0，故选项②正确； ∵抛物线开口向上，∴a ＞0，
∵抛物线对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号， ∴ab ＞0，故选项③正确；
当x=﹣1时，y=a﹣b +c 此时最小，为负数，故选项④正确； 故答案为：①②③④．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a ﹣b +c 的符号是解题关键．
17．（2016•泸州）若二次函数y=2x﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则
+
的值为 ﹣4 ．
2
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，利用根与系数的关系即可求出
+
的值．
【解答】解：
2
设y=0，则2x ﹣4x ﹣1=0，
∴一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，即x 1，x 2， ∴x 1+x 2=﹣∴
+
=
=2，x 1，•x 2=﹣，
=﹣4，
故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与x 轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．
18．（2016•淮阴区校级二模）对于二次函数y=x﹣2mx ﹣3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；
②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m=﹣1；
④如果当x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为﹣3． 其中正确的说法有 ①④ ．（填写序号） 【考点】二次函数的性质．
【分析】①根据函数与方程的关系解答；
②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；
③将m=﹣1代入解析式，求出和x 轴的交点坐标，即可判断；
④根据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将m=2016代入解析式即可．
22
【解答】解：解：①∵△=4m﹣4×（﹣3）=4m+12＞0，∴它的图象与x 轴有两个公共点，故本选项正确；
②∵当x ≤1时y 随x 的增大而减小，
2
∴函数的对称轴x=﹣则﹣
≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），
≥1，即m ≥1，故本选项错误；
2
2
③将m=﹣1代入解析式，得y=x+2x ﹣3，当y=0时，得x +2x ﹣3=0，即（x ﹣1）（x +3）
=0，解得，x 1=1，x 2=﹣3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误； ④∵当x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，∴对称轴为x=
2
=1008
，则﹣
2
=1008，m=1008，原函数可化为y=x﹣2016x ﹣3，当x=2016时，y=2016﹣2016×2016﹣3=﹣3，故本选项正确． 故答案为①④．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x 轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．
与自变量x 的部分对应值如表：
①该函数开口向下．
②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y 轴的直线． ③当x=2时，y=3．
④方程ax +bx +c=﹣2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为 ①③④ ．（只需写出序号） 【考点】二次函数的性质．
【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对①进行判断；利用x=0和x=3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得x=1和x=2的函数值相等，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性可得x=﹣1和x=4的函数值相等，则可对④进行判断．
【解答】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小， ∴抛物线的开口向下，所以①正确； ∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
2
2
∴抛物线的对称轴为直线x=，所以②错误；
点（1，3）和点（2，3）为对称点，所以③正确； ∵x=﹣1时，y=﹣3， ∴x=4时，y=﹣3，
2
∴二次函数y=ax+bx +c 的函数值为﹣2时，﹣1＜x ＜0或
3＜x ＜4，
2
即方程ax +bx +c=﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，所以④正确． 故答案为①③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（﹣
2
，
），对称轴直线x=﹣．熟练掌握二次函数的性质和抛物线的对称性是解决此题
的关键．
20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶
2
点C 的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x +6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 15 ．
【考点】二次函数的性质；菱形的性质．
【分析】设D （x ，﹣x +6x ），根据勾股定理求得OC ，根据菱形的性质得出BC ，然后根据三角形面积公式得出∴S △BCD =×5×（﹣x +6x ﹣3）=﹣（x ﹣3）+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
2
【解答】解：∵D 是抛物线y=﹣x +6x 上一点，
2
∴设D （x ，﹣x +6x ）， ∵顶点C 的坐标为（4，3）， ∴OC=
=5，
2
2
2
∵四边形OABC 是菱形， ∴BC=OC=5，BC ∥x 轴，
∴S △BCD =×5×（﹣x +6x ﹣3）=﹣（x ﹣3）+15， ∵﹣＜0，
∴S △BCD 有最大值，最大值为15， 故答案为15．
【点评】本题库存了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．
三．解答题（共8小题）
2
21．（2016•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx +c 经过点（﹣1，8）并与x 轴交于点A ，B 两点，且点B 坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y 轴交于点C ，顶点为点P ，求△CPB 的面积． 注：抛物线y=ax+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（﹣
2
2
2
，）
【考点】抛物线与x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】压轴题． 【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式，解关于b 、c 的二元一次方程组即可； （2）过点P 作PH ⊥Y 轴于点H ，过点B 作BM ∥y 轴交直线PH 于点M ，过点C 作CN ⊥y
轴叫直线BM 于点N ，则S △CPB =S矩形CHMN ﹣S △CHP ﹣S △PMB ﹣S △CNB
2
【解答】i 解：（1）∵抛物线y=x+bx +c 经过点（﹣1，8）与点B （3，0）， ∴
解得：
2
∴抛物线的解析式为：y=x﹣4x +3
22
（2）∵y=x﹣4x +3=（x ﹣2）﹣1， ∴P （2，﹣1）
过点P 作PH ⊥Y 轴于点H ，过点B 作BM ∥y 轴交直线PH 于点M ，过点C 作CN ⊥y 轴叫直线BM 于点N ，如下图所示：
S △CPB =S矩形CHMN ﹣S △CHP ﹣S △PMB ﹣S △CNB =3×4﹣×2×4﹣
﹣
=3
即：△CPB 的面积为3
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x 轴的交点，解题的关键是理解函数的图象与图象上点的坐标之间的关系，难点是如何构造规则图形利用已知点的坐标求△CPB 的面积．
22．（2016•龙东地区）如图，二次函数y=（x +2）+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B ．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x +2）+m ≥kx +b 的x 的取值范围．
2
2
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）先利用待定系数法先求出m ，再求出点B 坐标，利用方程组求出一次函数解析式．
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x 的取值范围．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=（x +2）+m 经过点A （﹣1，0），
∴0=1+m ， ∴m=﹣1，
22
∴抛物线解析式为y=（x +2）﹣1=x+4x +3， ∴点C 坐标（0，3），
∵对称轴x=﹣2，B 、C 关于对称轴对称， ∴点B 坐标（﹣4，3）， ∵y=kx+b 经过点A 、B ， ∴
，解得
，
∴一次函数解析式为y=﹣x ﹣1，
（2）由图象可知，写出满足（x +2）+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．
2
【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型． 23．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）； （2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ （3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y 关于x 的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W ，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W 关于x 的函数关系式，代入W=840求出x 的值，由此即可得出结论；
2
（3）利用配方法将W 关于x 的函数关系式变形为W=﹣10（x ﹣20）+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个， 根据题意可知：y=180﹣10（x ﹣12）=﹣10x +300（12≤x ≤30）．
2
（2）设王大伯获得的利润为W ，则W=（x ﹣10）y=﹣10x +400x ﹣3000，
2
令W=840，则﹣10x +400x ﹣3000=840， 解得：x 1=16，x 2=24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W=﹣10x +400x ﹣3000=﹣10（x ﹣20）+1000， ∵a=﹣10＜0，
22
∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y 关于x 的函数关系式；（2）根据数量关系找出W 关于x 的函数关系式；（3）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系式是关键．
24．（2016•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x +bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0）． （1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标； （2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ． ①求S 的最大值；
②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．
2
【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题．
【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y=﹣x +bx +c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C 点坐标
（2）①连结OF ，如图，设F （t ，﹣t +t +8），利用S 四边形OCFD =S△CDF +S △OCD =S△ODF +S △OCF ，利用三角形面积公式得到S △CDF =﹣t +6t +16，再利用二次函数的性质得到△CDF 的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S 的最大值；
②由于四边形CDEF 为平行四边形，则CD ∥EF ，CD=EF，利用C 点和D 的坐标特征可判断点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，则点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E （t ﹣8，﹣t +t +12），然后把E （t ﹣8，﹣t +t +12）代入抛物线解析式得到关于t 的方程，再解方程求出t 后计算△CDF 的面积，从而得到S 的值． 【解答】解：（1）把A （0，8），B （﹣4，0）代入y=﹣x +bx +c 得得
，
2
2
2
22
2
，解
所以抛物线的解析式为y=﹣x +x +8； 当y=0时，﹣x +x +8=0，解得x 1=﹣4，x 2=8， 所以C 点坐标为（8，0）；
（2）①连结OF ，如图，设F （t ，﹣t +t +8）， ∵S 四边形OCFD =S△CDF +S △OCD =S△ODF +S △OCF ，
∴S △CDF =S△ODF +S △OCF ﹣S △OCD =•4•t +•8•（﹣t +t +8）﹣•4•8 =﹣t +6t +16
2
=﹣（t ﹣3）+25，
当t=3时，△CDF 的面积有最大值，最大值为25， ∵四边形CDEF 为平行四边形， ∴S 的最大值为50；
②∵四边形CDEF 为平行四边形， ∴CD ∥EF ，CD=EF，
∵点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，
∴点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E （t ﹣8，﹣t +t +12）， ∵E （t ﹣8，﹣t +t +12）在抛物线上，
∴﹣（t ﹣8）+t ﹣8+8=﹣t +t +12，解得t=7， 当t=7时，S △CDF =﹣（7﹣3）+25=9， ∴此时S=2S△CDF =18．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．
25．（2016•六盘水）如图，抛物线y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴．
2
（3）探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】函数及其图象．
2
【分析】（1）根据抛物线y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D 的坐标和对称轴；
（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P 的坐标即可．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），
∴，
解得，，
2
即此抛物线的解析式是y=x﹣2x ﹣3；
22
（2）∵y=x﹣2x ﹣3=（x ﹣1）﹣4， ∴此抛物线顶点D 的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形， 设点P 的坐标为（1，y ）， 当PA=PD时，
=
解得，y=﹣，
即点P 的坐标为（1，﹣）； 当DA=DP时，
=
，
，
解得，y=﹣4±，
即点P 的坐标为（1，﹣4﹣2当AD=AP时，
=
）或（1，﹣4+）；
，
解得，y=±4，
即点P 的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P 为（1，﹣4）时与点D 重合，故不符合题意，
由上可得，以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形时，点P 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）或（1，4）．
【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
26．（2016•新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A （6，0）和B （0，﹣4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据对称轴、A 、B 点的坐标，可得方程，根据解方程，可得答案； （2）根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；
（3）根据函数值，可得E 点坐标，根据菱形的判定，可得答案．
2
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx +c ， 将A 、B 点的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=﹣x +配方，得
y=
﹣（x ﹣）+顶点坐标为（
，
2
2
x ﹣4，
， ）；
2
（2）E 点坐标为（x ，﹣x +S=2×OA •y E =6（﹣x +
2
2
x ﹣4）， x ﹣4）
即S=﹣4x +28x ﹣24；
（3）平行四边形OEAF 的面积为24时，平行四边形OEAF 不能为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF 的面积为24时，即
2
﹣4x +28x ﹣24=24， 化简，得 2
x ﹣7x +12=0，解得x=3或4，
当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF 为菱形． 当x=4时，EO ≠EA ，平行四边形OEAF 不为菱形．
∴平行四边形OEAF 的面积为24时，平行四边形OEAF 可能为菱形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，配方法求函数的顶点坐标；利用平行四边形性质是解题关键；利用方程的判别式是解题关键．
27．（2016•甘孜州）如图，顶点为M 的抛物线y=a（x +1）﹣4分别与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由． （3）抛物线上是否存在点N （点N 与点M 不重合），使得以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x 轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；
（3）根据题意判断出点N 只能在x 轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S △ABN =S△BCM ，然后求出三角形BCM 的面积，再建立关于点N 的坐标的方程求解即可．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x +1）﹣4与y 轴相交于点C （0，﹣3）． ∴﹣3=a﹣4， ∴a=1，
22
∴抛物线解析式为y=（x +1）﹣4=x+2x ﹣3， （2）△BCM 是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x +1）﹣4，
2
∵顶点为M 的抛物线y=a（x +1）﹣4， ∴M （﹣1，﹣4），
2
由（1）抛物线解析式为y=x+2x ﹣3， 令y=0，
∴x +2x ﹣3=0， ∴x 1=﹣3，x 2=1， ∴A （1，0），B （﹣3，0），
222
∴BC =9+9=18，CM =1+1=2，BM =4+14=20，
222
∴BC +CM =BM，
∴△BCM 是直角三角形， （3）存在，N （﹣1+
，）或N （﹣1﹣
，），
2
2
∵以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等，且点M 是抛物
线的顶点，
∴①点N 在x 轴上方的抛物线上， 如图，
由（2）有△BCM 是直角三角形，BC =18，CM =2， ∴BC=3，CM=， ∴S △BCM =BC ×CM=×3
×
=3，
2
2
设N （m ，n ），
∵以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等， ∴S △ABN +S △ABC =S△BCM +S △ABC ， ∴S △ABN =S△BCM =3， ∵A （1，0），B （﹣3，0）， ∴AB=4，
∴S △ABN =×AB ×n=×4×n=2n=3， ∴n=，
∵N 在抛物线解析式为y=x+2x ﹣3的图象上， ∴m +2m ﹣3=， ∴m 1=﹣1+∴N （﹣1+②如图2，
，m 2=﹣1﹣
，
，）．
2
2
，）或N （﹣1﹣
②点N 在x 轴下方的抛物线上， ∵点C 在对称轴的右侧，
∴点N 在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧， 过点M 作MN ∥BC ，交抛物线于点N ， ∵B （﹣3，0），C （0，﹣3）， ∴直线BC 解析式为y=﹣x ﹣3， 设MN 的解析式为y=﹣x +b
2
∵抛物线解析式为y=（x +1）﹣4①， ∴M （﹣1，﹣4），
∴直线MN 解析式为y=﹣x ﹣5②， 联立①②得∴N （﹣2，﹣3）， 即：N （﹣1+
，）或N （﹣1﹣
，）或N （﹣2，﹣3）．
（舍），
，
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM 是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N 分在x 轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决（3）的关键，也是初中阶段常用的方法．
28．（2016•青海）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x +bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2中探索）．
2
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A ，B 点坐标代入函数y=x +bx +c 中，求得b 、c ，进而可求解析式； （2）由解析式先求得点D 、C 坐标，再根据S △ACD =S梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC ，列式计算即可；
（3）注意到P ，Q 运动速度相同，则△APQ 运动时都为等腰三角形，又由A 、E 对称，则AP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t 表示E 点坐标，又E 在E 函数上，所以代入即可求t ，进而E 可表示．
【解答】解：（1）∵二次函数y=x +bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），
2
2
∴，
解得：
2
，
∴
y=x ﹣x ﹣4；
（2）过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，
∵
y=x ﹣x ﹣4=（x ﹣1）﹣∴点D （1，﹣
2
2
，
）、点C （0，﹣4），
则S △ACD =S梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC =×（1+3）×=4；
（3）四边形APEQ 为菱形，E 点坐标为（﹣，﹣
）．理由如下
﹣×（
﹣4）×1﹣×3×4
如图2，E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作，QF ⊥AP 于F ，
∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ ∴AP=AQ=QE=EP，
∴四边形AQEP 为菱形， ∵FQ ∥OC ， ∴∴
==
==
，
∴
AF=t ，FQ=t • ∴Q （3﹣t ，﹣t ），
∵EQ=AP=t，
∴E （3﹣t ﹣t ，﹣t ），
∵E 在二次函数
y=x ﹣x ﹣4上， ∴﹣
t=（3﹣t ）﹣（3﹣t ）﹣4，
∴t=，或t=0（与A 重合，舍去），
）． 22∴E （﹣，﹣
【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，熟练地运用数形结合是解决问题的关键．
第31页（共31页）
2016中考真题之二次函数
一．选择题（共12小题）
2
1．（2016•衢州）二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如
A ．直线x=﹣3 B ．直线x=﹣2 C ．直线x=﹣1 D ．直线x=0
2
2．（2016•绍兴）抛物线y=x+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 3．（2016•泸州）已知二次函数y=ax﹣bx ﹣2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．或1
B ．或1
C ．或
2
2
D ．或
2
4．（2016•荆门）若二次函数y=x+mx 的对称轴是x=3，则关于x 的方程x +mx=7的解为（ ） A ．x 1=0，x 2=6 B ．x 1=1，x 2=7 C ．x 1=1，x 2=﹣7 D ．x 1=﹣1，x 2=7
2
5．（2016•宁波）已知函数y=ax﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（ ） A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点
C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大
2
6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc ＞0②4a +2b +c ＞0③4ac ﹣b ＜8a ④＜a ＜⑤b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A ．①③ B ．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 7．（2016•玉林）抛物线y=
，y=x，y=﹣x 的共同性质是：
2
2
2
①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称． 其中正确的个数有（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
8．（2016•成都）二次函数y=2x﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）
A ．抛物线开口向下 B ．抛物线经过点（2，3）
C ．抛物线的对称轴是直线x=1 D ．抛物线与x 轴有两个交点
2
9．（2016•随州）二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a +b=0；（2）9a +c ＞3b ；（3）8a +7b +2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点
2
C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x +1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）
A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 10．（2016•桂林）已知直线y=﹣
2
x +3与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线y=﹣（x
﹣）+4上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 11．（2016•贵港）如图，抛物线y=﹣
x +x +与x 轴交于A ，
2
B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）
A ．（4，3） B ．（5，
）
C ．（4，
）
D ．（5，3）
12．（2016•新泰市二模）已知Y 1，Y 2，Y 3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A （﹣1，﹣2）、B （2，1）和C （，3），规定M={Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值}，则下列结论：
①当x ＜﹣1时，M=Y1；②当﹣1＜x ＜0时，Y 2＜Y 3＜Y 1；
③当0≤x ≤2时，M 的最大值是1，无最小值；④当x ≥2时，M 最大值是1，无最小值．其中正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二．填空题（共8小题）
2
13．（2016•来宾）已知函数y=﹣x ﹣2x ，当 时，函数值y 随x 的增大而增大．
14．（2016•大庆）直线y=kx+b 与抛物线
y=x 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为 ．
2
15．（2016•泰州）二次函数y=x﹣2x ﹣3的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为2个单位长度，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为．
2
16．（2016•营口）如图，二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=﹣1，点B 的坐标为（1，0）．下面的四个结论：
2
①AB=4；②b ﹣4ac ＞0；③ab ＜0；④a ﹣b +c ＜0， 其中正确的结论是 （填写序号）．
2
17．（2016•泸州）若二次函数y=2x﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则
+
的值为 ．
2
2
18．（2016•淮阴）对于二次函数y=x﹣2mx ﹣3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；
②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m=﹣1；
④如果当x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为﹣3． 其中正确的说法有 ．（填写序号）
2
与自变量x 的部分对应值如表：
①该函数开口向下．②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y 轴
2
的直线．③当x=2时，y=3．④方程ax +bx +c=﹣2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为 ．（只需写出序号） 20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x +6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 ． 三．解答题（共8小题）
2
21．（2016•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx +c 经过点（﹣1，8）并与x 轴交于点A ，B 两点，且点B 坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y 轴交于点C ，顶点为点P ，求△CPB 的面积． 注：抛物线y=ax+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（﹣
22．（2016•龙东地区）如图，二次函数y=（x +2）+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B ． （1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x +2）+m ≥kx +b 的x 的取值范围． 23．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）； （2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ （3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
2
2
2
2
，）
24．（2016•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x +bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0）． （1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标； （2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ． ①求S 的最大值；
②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．
2
2
25．（2016•六盘水）如图，抛物线y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（2016•新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A （6，0）和B （0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．
27．（2016•甘孜州）如图，顶点为M 的抛物线y=a（x +1）﹣4分别与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由． （3）抛物线上是否存在点N （点N 与点M 不重合），使得以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
28．（2016•青海）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x +bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2中探索）．
2
初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2016•衢州）二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如
A ．直线x=﹣3 B ．直线x=﹣2 C ．直线x=﹣1 D ．直线x=0 【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2． 故选：B ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
2
2．（2016•绍兴）抛物线y=x+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【考点】二次函数的性质． 【专题】探究型．
2
【分析】根据抛物线y=x+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，可以得到c 的取值范围，从而可以解答本题．
2
【解答】解：∵抛物线y=x+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点， ∴
2
解得6≤c ≤14， 故选A ．
【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式．
3．（2016•泸州）已知二次函数y=ax﹣bx ﹣2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．或1
B ．或1
C ．或
2
D ．或
【考点】二次函数的性质． 【专题】函数及其图象．
【分析】首先根据题意确定a 、b 的符号，然后进一步确定a 的取值范围，根据a ﹣b 为整数确定a 、b 的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a ＞0，﹣＞0，a +b ﹣2=0，
故b ＞0，且b=2﹣a ，a ﹣b=a﹣（2﹣a ）=2a﹣2， 于是0＜a ＜2， ∴﹣2＜2a ﹣2＜2， 又a ﹣b 为整数，
∴2a ﹣2=﹣1，0，1， 故a=，1，， b=，1，， ∴ab=或1，
故选A ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a +b +c 的值和a 、b 的符号，难度中等．
4．（2016•荆门）若二次函数y=x+mx 的对称轴是x=3，则关于x 的方程x +mx=7的解为（ ） A ．x 1=0，x 2=6 B ．x 1=1，x 2=7 C ．x 1=1，x 2=﹣7 D ．x 1=﹣1，x 2=7 【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法．
22
【分析】先根据二次函数y=x+mx 的对称轴是x=3求出m 的值，再把m 的值代入方程2
x +mx=7，求出x 的值即可．
2
【解答】解：∵二次函数y=x+mx 的对称轴是x=3， ∴﹣=3，解得m=﹣6，
∴关于x 的方程x +mx=7可化为x ﹣6x ﹣7=0，即（x +1）（x ﹣7）=0，解得x 1=﹣1，x 2=7． 故选D ．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
5．（2016•宁波）已知函数y=ax﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（ ） A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点
C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 【考点】二次函数的性质．
2
22
2
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax﹣2ax ﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x 轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1判断
2
二次函数的增减性．
【解答】解：A 、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
2
B 、当a=﹣2时，∵△=4﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故错误；
C 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣大，故错误；
D 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1，∴若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增
=1，∴若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增
大，故正确； 故选D ．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc ＞0 ②4a +2b +c ＞0
2
③4ac ﹣b ＜8a ④＜a ＜
⑤b ＞c ．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
2
A ．①③ B ．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c 的大小得出④的正误． 【解答】解：①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；
∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确；
②∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0，
∴4a +2b +c ＜0， 故②错误；
③∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），
2
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）a +b ×（﹣1）+c=0， ∴a ﹣b +c=0，即a=b﹣c ，c=b﹣a ， ∵对称轴为直线x=1 ∴
=1，即b=﹣2a ，
∴c=b﹣a=（﹣2a ）﹣a=﹣3a ，
222
∴4ac ﹣b =4•a •（﹣3a ）﹣（﹣2a ）=﹣16a ＜0 ∵8a ＞0
∴4ac ﹣b ＜8a 故③正确
④∵图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c ＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a ＜﹣1， ∴＞a ＞；
故④正确 ⑤∵a ＞0，
∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ； 故⑤正确； 故选：D ． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2016•玉林）抛物线y=
，y=x，y=﹣x 的共同性质是：
2
2
2
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点； ③都以y 轴为对称轴； ④都关于x 轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【考点】二次函数的性质．
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．
【解答】解：抛物线
y=抛物线
y=
2
，y=x的开口向上，y=﹣x 的开口向下，①错误；
2
22
，y=x，y=﹣x 的顶点为（0，0），对称轴为y 轴，②③正确；④错误；
故选：B ．
【点评】本题考查了二次函数的图形与性质；熟记抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标是解决问题的关键．
8．（2016•成都）二次函数y=2x﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）
A ．抛物线开口向下 B ．抛物线经过点（2，3）
C ．抛物线的对称轴是直线x=1 D ．抛物线与x 轴有两个交点 【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B
2
进行判断；利用方程2x ﹣3=0解的情况对D 进行判断．
2
【解答】解：A 、a=2，则抛物线y=2x﹣3的开口向上，所以A 选项错误； B 、当x=2时，y=2×4﹣3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B 选项错误； C 、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C 选项错误；
2
D 、当y=0时，2x ﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D 选项正确． 故选D ．
【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax+bx +c （a ≠0），它的顶点坐标是（﹣
，
），对称轴为直线x=﹣
2
2
2
，二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象具有
时，y 随x 的增
2
2
如下性质：当a ＞0时，抛物线y=ax+bx +c （a ≠0）的开口向上，x ＜﹣大而减小；x ＞﹣开口向下，x ＜﹣
时，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，抛物线y=ax+bx +c （a ≠0）的时，y 随x 的增大而增大；x ＞﹣
时，y 随x 的增大而减小．
9．（2016•随州）二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a +b=0；（2）9a +c ＞3b ；（3）8a +7b +2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x +1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）
2
A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可． （2）错误，利用x=﹣3时，y ＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a 、b 即可判断． （4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【解答】解：（1）正确．∵﹣=2，
∴4a +b=0．故正确．
（2）错误．∵x=﹣3时，y ＜0， ∴9a ﹣3b +c ＜0，
∴9a +c ＜3b ，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0）， ∴
解得
，
∴8a +7b +2c=8a﹣28a ﹣10a=﹣30a ， ∵a ＜0，
∴8a +7b=2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）， ∵﹣2=，2﹣（﹣）=， ∴＜
∴点C 离对称轴的距离近， ∴y 3＞y 2，
∵a ＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y 1＜y 2
∴y 1＜y 2＜y 3，故（4）错误． （5）正确．∵a ＜0， ∴（x +1）（x ﹣5）=﹣3/a＞0， 即（x +1）（x ﹣5）＞0，
故x ＜﹣1或x ＞5，故（5）正确． ∴正确的有三个， 故选B ．
【点评】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
10．（2016•桂林）已知直线y=﹣
2
x +3与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线y=﹣（x
﹣）+4上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．
【分析】以点B 为圆心线段AB 长为半径做圆，交抛物线于点C 、M 、N 点，连接AC 、BC ，由直线y=﹣x +3可求出点A 、B 的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC 等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x 轴的两交点的坐标，发现该两点与M 、N 重合，结合图形分三种情况研究△ABP 为等腰三角形，由此即可得出结论．
【解答】解：以点B 为圆心线段AB 长为半径做圆，交抛物线于点C 、M 、N 点，连接AC 、BC ，如图所示．
令一次函数y=﹣x +3中x=0，则y=3， ∴点A 的坐标为（0，3）；
令一次函数y=﹣x +3中y=0，则﹣x +3， 解得：x=，
∴点B 的坐标为（，0）． ∴AB=2．
∵抛物线的对称轴为x=， ∴点C 的坐标为（2，3）， ∴AC=2=AB=BC， ∴△ABC 为等边三角形． 令y=﹣（x ﹣
）+4中y=0，则﹣（x ﹣
2
）+4=0，
2
解得：x=﹣，或x=3． ∴点E 的坐标为（﹣，0），点F 的坐标为（3，0）． △ABP 为等腰三角形分三种情况：
①当AB=BP时，以B 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于C 、M 、N 三点； ②当AB=AP时，以A 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于C 、M 两点，； ③当AP=BP时，作线段AB 的垂直平分线，交抛物线交于C 、M 两点； ∴能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有3个． 故选A ．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与坐标轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理，解题的关键是依照题意画出图形，利用数形结合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出P 点坐标，但在寻找点P 的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．
11．（2016•贵港）如图，抛物线y=﹣
x +x +与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若
2
点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）
A ．（4，3） B ．（5，
）
C ．（4，
）
D ．（5，3）
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的最值． 【分析】连接PC 、PO 、PA ，设点P 坐标（m ，﹣
﹣S △AOC 构建二次函数，利用函数性质即可解决问题． 【解答】解：连接PC 、PO 、PA ，设点P 坐标（m ，﹣令x=0，则
y=，点C 坐标（0，）， 令y=0则﹣
x +x +=0，解得x=﹣2或10，
2
），根据S △PAC =S△PCO +S △POA
）
∴点A 坐标（10，0），点B 坐标（﹣2，0），
∴S △PAC =S△PCO +S △POA ﹣S △AOC =××m +×10×（﹣﹣
（m ﹣5）+
2
）﹣××10=
，
，
∴x=5时，△PAC 面积最大值为此时点P 坐标（5，故点P 坐标为（5，
）． ）．
【点评】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴交点，解题的关键是构建二次函数，利用二次函数性质解决问题，属于中考常考题型．
12．（2016•新泰市二模）已知Y 1，Y 2，Y 3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A （﹣1，﹣2）、B （2，1）和C （，3），规定M={Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值}，则下列结论： ①当x ＜﹣1时，M=Y1；
②当﹣1＜x ＜0时，Y 2＜Y 3＜Y 1；
③当0≤x ≤2时，M 的最大值是1，无最小值； ④当x ≥2时，M 最大值是1，无最小值． 其中正确结论的个数为（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】首先要明确M={Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值}，观察图象可以判断四个选项的正误．
【解答】解：一次函数Y 3过点A （﹣1，﹣2）、B （2，1），则解析式为：Y 3=x﹣1； ①当x ＜﹣1时，Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值为Y 1，所以M=Y1，故①正确； ②当﹣1＜x ＜0时，Y 2＜Y 3＜Y 1，故②正确；
③当0≤x ≤2时，Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值为Y 3，M 的最小值是﹣1，最大值是1；故③错误；
④当x ≥2时，Y 1，Y 2，Y 3中最小的函数值为Y 1，则M 最大值是1，无最小值，故④正确． 故选C ．
【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，同时此类题考查了学生能根据图象求最值问题，这在学生中是一个难点，原则是：在一定范围内，最下边是最小，最上边是最大．
二．填空题（共8小题）
13．（2016•来宾）已知函数y=﹣x ﹣2x ，当 x ≤﹣1 时，函数值y 随x 的增大而增大． 【考点】二次函数的性质．
2
【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y=﹣（x +1）+1，由于a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，根据抛物线的性质可知当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，即可求出．
22
【解答】解：∵y=﹣x ﹣2x=﹣（x +1）+1，
a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1， ∴当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而增大， 故答案为：x ≤﹣1．
2
【点评】本题考查了二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的性质，确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，a ＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小；a ＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大．
14．（2016•大庆）直线y=kx+b 与抛物线y=x 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为 （0，4） ． 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质． 【专题】推理填空题．
2
2
【分析】根据直线y=kx+b 与抛物线
y=x 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，可以联立在一起，得到关于x 的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA ⊥OB ，可以求得b 的值，从而可以得到直线AB 恒过的定点的坐标．
【解答】解：∵直线y=kx+b 与抛物线
y=x 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点， ∴kx +b=
，
2
2
2
化简，得 x ﹣4kx ﹣4b=0， ∴x 1+x 2=4k，x 1x 2=﹣4b ， 又∵OA ⊥OB ， ∴
=
，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4）， 故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k 的乘积为﹣1．
15．（2016•泰州）二次函数y=x﹣2x ﹣3的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为2个单位长度，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为 （1+，3）或（2，﹣3） ．
2
【考点】二次函数的性质．
【分析】△ABC 是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C 在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x 的值．由因为使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，所以x ＞0．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，且AB=2， ∴AB 边上的高为3，
又∵点C 在二次函数图象上， ∴C 的纵坐标为±3，
2
令y=±3代入y=x﹣2x ﹣3， ∴x=1或0或2
∵使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上， ∴x ＞0，
∴x=1+或x=2
∴C （1+，3）或（2，﹣3） 故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）
【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C 的纵坐标为±3．
16．（2016•营口）如图，二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=﹣1，点B 的坐标为（1，0）．下面的四个结论： ①AB=4；
2
②b ﹣4ac ＞0； ③ab ＜0； ④a ﹣b +c ＜0，
其中正确的结论是 ①②③④ （填写序号）．
2
【考点】二次函数图象与系数的关系．
2
【分析】利用二次函数对称性以及结合b ﹣4ac 的符号与x 轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．
【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，点B 的坐标为（1，0）， ∴A （﹣3，0），
∴AB=4，故选项①正确；
2
∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b ﹣4ac ＞0，故选项②正确； ∵抛物线开口向上，∴a ＞0，
∵抛物线对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号， ∴ab ＞0，故选项③正确；
当x=﹣1时，y=a﹣b +c 此时最小，为负数，故选项④正确； 故答案为：①②③④．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a ﹣b +c 的符号是解题关键．
17．（2016•泸州）若二次函数y=2x﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则
+
的值为 ﹣4 ．
2
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，利用根与系数的关系即可求出
+
的值．
【解答】解：
2
设y=0，则2x ﹣4x ﹣1=0，
∴一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，即x 1，x 2， ∴x 1+x 2=﹣∴
+
=
=2，x 1，•x 2=﹣，
=﹣4，
故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与x 轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．
18．（2016•淮阴区校级二模）对于二次函数y=x﹣2mx ﹣3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；
②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m=﹣1；
④如果当x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为﹣3． 其中正确的说法有 ①④ ．（填写序号） 【考点】二次函数的性质．
【分析】①根据函数与方程的关系解答；
②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；
③将m=﹣1代入解析式，求出和x 轴的交点坐标，即可判断；
④根据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将m=2016代入解析式即可．
22
【解答】解：解：①∵△=4m﹣4×（﹣3）=4m+12＞0，∴它的图象与x 轴有两个公共点，故本选项正确；
②∵当x ≤1时y 随x 的增大而减小，
2
∴函数的对称轴x=﹣则﹣
≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），
≥1，即m ≥1，故本选项错误；
2
2
③将m=﹣1代入解析式，得y=x+2x ﹣3，当y=0时，得x +2x ﹣3=0，即（x ﹣1）（x +3）
=0，解得，x 1=1，x 2=﹣3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误； ④∵当x=3时的函数值与x=2013时的函数值相等，∴对称轴为x=
2
=1008
，则﹣
2
=1008，m=1008，原函数可化为y=x﹣2016x ﹣3，当x=2016时，y=2016﹣2016×2016﹣3=﹣3，故本选项正确． 故答案为①④．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x 轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．
与自变量x 的部分对应值如表：
①该函数开口向下．
②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y 轴的直线． ③当x=2时，y=3．
④方程ax +bx +c=﹣2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为 ①③④ ．（只需写出序号） 【考点】二次函数的性质．
【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对①进行判断；利用x=0和x=3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得x=1和x=2的函数值相等，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性可得x=﹣1和x=4的函数值相等，则可对④进行判断．
【解答】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小， ∴抛物线的开口向下，所以①正确； ∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
2
2
∴抛物线的对称轴为直线x=，所以②错误；
点（1，3）和点（2，3）为对称点，所以③正确； ∵x=﹣1时，y=﹣3， ∴x=4时，y=﹣3，
2
∴二次函数y=ax+bx +c 的函数值为﹣2时，﹣1＜x ＜0或
3＜x ＜4，
2
即方程ax +bx +c=﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，所以④正确． 故答案为①③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（﹣
2
，
），对称轴直线x=﹣．熟练掌握二次函数的性质和抛物线的对称性是解决此题
的关键．
20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶
2
点C 的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x +6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 15 ．
【考点】二次函数的性质；菱形的性质．
【分析】设D （x ，﹣x +6x ），根据勾股定理求得OC ，根据菱形的性质得出BC ，然后根据三角形面积公式得出∴S △BCD =×5×（﹣x +6x ﹣3）=﹣（x ﹣3）+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
2
【解答】解：∵D 是抛物线y=﹣x +6x 上一点，
2
∴设D （x ，﹣x +6x ）， ∵顶点C 的坐标为（4，3）， ∴OC=
=5，
2
2
2
∵四边形OABC 是菱形， ∴BC=OC=5，BC ∥x 轴，
∴S △BCD =×5×（﹣x +6x ﹣3）=﹣（x ﹣3）+15， ∵﹣＜0，
∴S △BCD 有最大值，最大值为15， 故答案为15．
【点评】本题库存了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．
三．解答题（共8小题）
2
21．（2016•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx +c 经过点（﹣1，8）并与x 轴交于点A ，B 两点，且点B 坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y 轴交于点C ，顶点为点P ，求△CPB 的面积． 注：抛物线y=ax+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（﹣
2
2
2
，）
【考点】抛物线与x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】压轴题． 【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式，解关于b 、c 的二元一次方程组即可； （2）过点P 作PH ⊥Y 轴于点H ，过点B 作BM ∥y 轴交直线PH 于点M ，过点C 作CN ⊥y
轴叫直线BM 于点N ，则S △CPB =S矩形CHMN ﹣S △CHP ﹣S △PMB ﹣S △CNB
2
【解答】i 解：（1）∵抛物线y=x+bx +c 经过点（﹣1，8）与点B （3，0）， ∴
解得：
2
∴抛物线的解析式为：y=x﹣4x +3
22
（2）∵y=x﹣4x +3=（x ﹣2）﹣1， ∴P （2，﹣1）
过点P 作PH ⊥Y 轴于点H ，过点B 作BM ∥y 轴交直线PH 于点M ，过点C 作CN ⊥y 轴叫直线BM 于点N ，如下图所示：
S △CPB =S矩形CHMN ﹣S △CHP ﹣S △PMB ﹣S △CNB =3×4﹣×2×4﹣
﹣
=3
即：△CPB 的面积为3
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x 轴的交点，解题的关键是理解函数的图象与图象上点的坐标之间的关系，难点是如何构造规则图形利用已知点的坐标求△CPB 的面积．
22．（2016•龙东地区）如图，二次函数y=（x +2）+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B ．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x +2）+m ≥kx +b 的x 的取值范围．
2
2
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）先利用待定系数法先求出m ，再求出点B 坐标，利用方程组求出一次函数解析式．
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x 的取值范围．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=（x +2）+m 经过点A （﹣1，0），
∴0=1+m ， ∴m=﹣1，
22
∴抛物线解析式为y=（x +2）﹣1=x+4x +3， ∴点C 坐标（0，3），
∵对称轴x=﹣2，B 、C 关于对称轴对称， ∴点B 坐标（﹣4，3）， ∵y=kx+b 经过点A 、B ， ∴
，解得
，
∴一次函数解析式为y=﹣x ﹣1，
（2）由图象可知，写出满足（x +2）+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．
2
【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型． 23．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）； （2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ （3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y 关于x 的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W ，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W 关于x 的函数关系式，代入W=840求出x 的值，由此即可得出结论；
2
（3）利用配方法将W 关于x 的函数关系式变形为W=﹣10（x ﹣20）+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个， 根据题意可知：y=180﹣10（x ﹣12）=﹣10x +300（12≤x ≤30）．
2
（2）设王大伯获得的利润为W ，则W=（x ﹣10）y=﹣10x +400x ﹣3000，
2
令W=840，则﹣10x +400x ﹣3000=840， 解得：x 1=16，x 2=24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W=﹣10x +400x ﹣3000=﹣10（x ﹣20）+1000， ∵a=﹣10＜0，
22
∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y 关于x 的函数关系式；（2）根据数量关系找出W 关于x 的函数关系式；（3）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系式是关键．
24．（2016•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x +bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0）． （1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标； （2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ． ①求S 的最大值；
②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．
2
【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题．
【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y=﹣x +bx +c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C 点坐标
（2）①连结OF ，如图，设F （t ，﹣t +t +8），利用S 四边形OCFD =S△CDF +S △OCD =S△ODF +S △OCF ，利用三角形面积公式得到S △CDF =﹣t +6t +16，再利用二次函数的性质得到△CDF 的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S 的最大值；
②由于四边形CDEF 为平行四边形，则CD ∥EF ，CD=EF，利用C 点和D 的坐标特征可判断点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，则点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E （t ﹣8，﹣t +t +12），然后把E （t ﹣8，﹣t +t +12）代入抛物线解析式得到关于t 的方程，再解方程求出t 后计算△CDF 的面积，从而得到S 的值． 【解答】解：（1）把A （0，8），B （﹣4，0）代入y=﹣x +bx +c 得得
，
2
2
2
22
2
，解
所以抛物线的解析式为y=﹣x +x +8； 当y=0时，﹣x +x +8=0，解得x 1=﹣4，x 2=8， 所以C 点坐标为（8，0）；
（2）①连结OF ，如图，设F （t ，﹣t +t +8）， ∵S 四边形OCFD =S△CDF +S △OCD =S△ODF +S △OCF ，
∴S △CDF =S△ODF +S △OCF ﹣S △OCD =•4•t +•8•（﹣t +t +8）﹣•4•8 =﹣t +6t +16
2
=﹣（t ﹣3）+25，
当t=3时，△CDF 的面积有最大值，最大值为25， ∵四边形CDEF 为平行四边形， ∴S 的最大值为50；
②∵四边形CDEF 为平行四边形， ∴CD ∥EF ，CD=EF，
∵点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，
∴点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E （t ﹣8，﹣t +t +12）， ∵E （t ﹣8，﹣t +t +12）在抛物线上，
∴﹣（t ﹣8）+t ﹣8+8=﹣t +t +12，解得t=7， 当t=7时，S △CDF =﹣（7﹣3）+25=9， ∴此时S=2S△CDF =18．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．
25．（2016•六盘水）如图，抛物线y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴．
2
（3）探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】函数及其图象．
2
【分析】（1）根据抛物线y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D 的坐标和对称轴；
（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P 的坐标即可．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），
∴，
解得，，
2
即此抛物线的解析式是y=x﹣2x ﹣3；
22
（2）∵y=x﹣2x ﹣3=（x ﹣1）﹣4， ∴此抛物线顶点D 的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形， 设点P 的坐标为（1，y ）， 当PA=PD时，
=
解得，y=﹣，
即点P 的坐标为（1，﹣）； 当DA=DP时，
=
，
，
解得，y=﹣4±，
即点P 的坐标为（1，﹣4﹣2当AD=AP时，
=
）或（1，﹣4+）；
，
解得，y=±4，
即点P 的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P 为（1，﹣4）时与点D 重合，故不符合题意，
由上可得，以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形时，点P 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）或（1，4）．
【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
26．（2016•新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A （6，0）和B （0，﹣4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据对称轴、A 、B 点的坐标，可得方程，根据解方程，可得答案； （2）根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；
（3）根据函数值，可得E 点坐标，根据菱形的判定，可得答案．
2
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx +c ， 将A 、B 点的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=﹣x +配方，得
y=
﹣（x ﹣）+顶点坐标为（
，
2
2
x ﹣4，
， ）；
2
（2）E 点坐标为（x ，﹣x +S=2×OA •y E =6（﹣x +
2
2
x ﹣4）， x ﹣4）
即S=﹣4x +28x ﹣24；
（3）平行四边形OEAF 的面积为24时，平行四边形OEAF 不能为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF 的面积为24时，即
2
﹣4x +28x ﹣24=24， 化简，得 2
x ﹣7x +12=0，解得x=3或4，
当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF 为菱形． 当x=4时，EO ≠EA ，平行四边形OEAF 不为菱形．
∴平行四边形OEAF 的面积为24时，平行四边形OEAF 可能为菱形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，配方法求函数的顶点坐标；利用平行四边形性质是解题关键；利用方程的判别式是解题关键．
27．（2016•甘孜州）如图，顶点为M 的抛物线y=a（x +1）﹣4分别与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由． （3）抛物线上是否存在点N （点N 与点M 不重合），使得以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x 轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；
（3）根据题意判断出点N 只能在x 轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S △ABN =S△BCM ，然后求出三角形BCM 的面积，再建立关于点N 的坐标的方程求解即可．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x +1）﹣4与y 轴相交于点C （0，﹣3）． ∴﹣3=a﹣4， ∴a=1，
22
∴抛物线解析式为y=（x +1）﹣4=x+2x ﹣3， （2）△BCM 是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x +1）﹣4，
2
∵顶点为M 的抛物线y=a（x +1）﹣4， ∴M （﹣1，﹣4），
2
由（1）抛物线解析式为y=x+2x ﹣3， 令y=0，
∴x +2x ﹣3=0， ∴x 1=﹣3，x 2=1， ∴A （1，0），B （﹣3，0），
222
∴BC =9+9=18，CM =1+1=2，BM =4+14=20，
222
∴BC +CM =BM，
∴△BCM 是直角三角形， （3）存在，N （﹣1+
，）或N （﹣1﹣
，），
2
2
∵以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等，且点M 是抛物
线的顶点，
∴①点N 在x 轴上方的抛物线上， 如图，
由（2）有△BCM 是直角三角形，BC =18，CM =2， ∴BC=3，CM=， ∴S △BCM =BC ×CM=×3
×
=3，
2
2
设N （m ，n ），
∵以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等， ∴S △ABN +S △ABC =S△BCM +S △ABC ， ∴S △ABN =S△BCM =3， ∵A （1，0），B （﹣3，0）， ∴AB=4，
∴S △ABN =×AB ×n=×4×n=2n=3， ∴n=，
∵N 在抛物线解析式为y=x+2x ﹣3的图象上， ∴m +2m ﹣3=， ∴m 1=﹣1+∴N （﹣1+②如图2，
，m 2=﹣1﹣
，
，）．
2
2
，）或N （﹣1﹣
②点N 在x 轴下方的抛物线上， ∵点C 在对称轴的右侧，
∴点N 在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧， 过点M 作MN ∥BC ，交抛物线于点N ， ∵B （﹣3，0），C （0，﹣3）， ∴直线BC 解析式为y=﹣x ﹣3， 设MN 的解析式为y=﹣x +b
2
∵抛物线解析式为y=（x +1）﹣4①， ∴M （﹣1，﹣4），
∴直线MN 解析式为y=﹣x ﹣5②， 联立①②得∴N （﹣2，﹣3）， 即：N （﹣1+
，）或N （﹣1﹣
，）或N （﹣2，﹣3）．
（舍），
，
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM 是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N 分在x 轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决（3）的关键，也是初中阶段常用的方法．
28．（2016•青海）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x +bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2中探索）．
2
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A ，B 点坐标代入函数y=x +bx +c 中，求得b 、c ，进而可求解析式； （2）由解析式先求得点D 、C 坐标，再根据S △ACD =S梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC ，列式计算即可；
（3）注意到P ，Q 运动速度相同，则△APQ 运动时都为等腰三角形，又由A 、E 对称，则AP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t 表示E 点坐标，又E 在E 函数上，所以代入即可求t ，进而E 可表示．
【解答】解：（1）∵二次函数y=x +bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），
2
2
∴，
解得：
2
，
∴
y=x ﹣x ﹣4；
（2）过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，
∵
y=x ﹣x ﹣4=（x ﹣1）﹣∴点D （1，﹣
2
2
，
）、点C （0，﹣4），
则S △ACD =S梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC =×（1+3）×=4；
（3）四边形APEQ 为菱形，E 点坐标为（﹣，﹣
）．理由如下
﹣×（
﹣4）×1﹣×3×4
如图2，E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作，QF ⊥AP 于F ，
∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ ∴AP=AQ=QE=EP，
∴四边形AQEP 为菱形， ∵FQ ∥OC ， ∴∴
==
==
，
∴
AF=t ，FQ=t • ∴Q （3﹣t ，﹣t ），
∵EQ=AP=t，
∴E （3﹣t ﹣t ，﹣t ），
∵E 在二次函数
y=x ﹣x ﹣4上， ∴﹣
t=（3﹣t ）﹣（3﹣t ）﹣4，
∴t=，或t=0（与A 重合，舍去），
）． 22∴E （﹣，﹣
【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，熟练地运用数形结合是解决问题的关键．
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