第9讲 多边形的边角和对角线
知识要点1 多边形的有关概念
（1）多边形：在平面内，由一些首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）内角：多边形相邻两边组成的角叫作它的内角。如图所示，∠A，∠B，∠C，
∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角。
（3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角，如图
所示，∠1是五边形的一个外角。
（4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。如
图所示，AC是五边形ABCDE的一条对角线。
（5）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这
条直线的同一侧，那么这个多边形叫做凸多边形，否则叫凹多边
形，我们初中阶段主要学习凸多边形。
（6）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形。
A C A
C C A
例1、判断下列说法是否正确。
（1）所有的角都相等的多边形是正多边形； （ ）
（2）所有的边都相等的多边形是正多边形。 （ ）
（3）所有的多边形都有对角线。 （ ）
例2、从十边形的一个顶点作对角线,把十边形分成 个三角形.
知识要点2 多边形对角线的条数
在n边形中选定一个顶点，与它不相邻的顶点有(n-3)个，即可连成(n-3)条对角线。依此类推，从n个顶点出发可连n(n-3)条线。但每条线都被算了两次，帮还要除以2，故凸n边形一共可引出
第 1 页 n(n3)对角线。 2
例3、过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则(m−k)n=______________
[巩固练习]
1、若从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则它是______边形；
2、有一个十八边形，它共有______条对角线，若有一个多边形有35条对角线，
则它为_________边形；
3、记凸多边形对角线的条数为an(n≥4)。如：a4=2，则a6=_______，an=_____ a2015−a2012=________________
知识要点3 多边形的内角和
多边形的内角和：(n－2)×180°
例4、从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线有m条，若m等于这个凸n边形1对角线条数的，那么此n边形的内角和为 . 3
例5、如图，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（ ）
A、360° B、540° C、720° D、630°
[巩固练习]1、一个凸多边形中除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则
这个多边形的内角和为 .
2、凸n边形中，有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是 .
3、在凸多边形的所有内角中，锐角的个数最多是
第 2 页 c
例6、小林从点P向西走12m后，向左转，转动的角度为α，再走12m，如此重复，小林共走了108m回到点P，则α=____________
[巩固练习]（1）一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边形的边数为_____
（2）在凸多边形的所有外角中，钝角的个数最多是 ;
知识要点5 星形角度和
例7、如图延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，
（1）求B1,B2,B3,B4,B5的和？
（2）若延长凸n边形（n5）的各边相交，这时n个角的度数是多少？
90，求n. [巩固练习]如图，A+B+C+D+E+F+Gn
第 3 页
例8、在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形。一幅美丽的图案，在某处由四个边长相同的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ）
A．正三边形
[巩固练习]利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab0)，则ab的值为 .
探究与提升
例9、如图所示，CD||AF,∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝124∘，∠E=100∘， 求∠F的度数。
D C
B E
F A
第 4 页 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
第9讲 多边形的边角和对角线
知识要点1 多边形的有关概念
（1）多边形：在平面内，由一些首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）内角：多边形相邻两边组成的角叫作它的内角。如图所示，∠A，∠B，∠C，
∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角。
（3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角，如图
所示，∠1是五边形的一个外角。
（4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。如
图所示，AC是五边形ABCDE的一条对角线。
（5）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这
条直线的同一侧，那么这个多边形叫做凸多边形，否则叫凹多边
形，我们初中阶段主要学习凸多边形。
（6）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形。
A C A
C C A
例1、判断下列说法是否正确。
（1）所有的角都相等的多边形是正多边形； （ ）
（2）所有的边都相等的多边形是正多边形。 （ ）
（3）所有的多边形都有对角线。 （ ）
例2、从十边形的一个顶点作对角线,把十边形分成 个三角形.
知识要点2 多边形对角线的条数
在n边形中选定一个顶点，与它不相邻的顶点有(n-3)个，即可连成(n-3)条对角线。依此类推，从n个顶点出发可连n(n-3)条线。但每条线都被算了两次，帮还要除以2，故凸n边形一共可引出
第 1 页 n(n3)对角线。 2
例3、过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则(m−k)n=______________
[巩固练习]
1、若从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则它是______边形；
2、有一个十八边形，它共有______条对角线，若有一个多边形有35条对角线，
则它为_________边形；
3、记凸多边形对角线的条数为an(n≥4)。如：a4=2，则a6=_______，an=_____ a2015−a2012=________________
知识要点3 多边形的内角和
多边形的内角和：(n－2)×180°
例4、从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线有m条，若m等于这个凸n边形1对角线条数的，那么此n边形的内角和为 . 3
例5、如图，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（ ）
A、360° B、540° C、720° D、630°
[巩固练习]1、一个凸多边形中除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则
这个多边形的内角和为 .
2、凸n边形中，有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是 .
3、在凸多边形的所有内角中，锐角的个数最多是
第 2 页 c
例6、小林从点P向西走12m后，向左转，转动的角度为α，再走12m，如此重复，小林共走了108m回到点P，则α=____________
[巩固练习]（1）一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边形的边数为_____
（2）在凸多边形的所有外角中，钝角的个数最多是 ;
知识要点5 星形角度和
例7、如图延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，
（1）求B1,B2,B3,B4,B5的和？
（2）若延长凸n边形（n5）的各边相交，这时n个角的度数是多少？
90，求n. [巩固练习]如图，A+B+C+D+E+F+Gn
第 3 页
例8、在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形。一幅美丽的图案，在某处由四个边长相同的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ）
A．正三边形
[巩固练习]利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab0)，则ab的值为 .
探究与提升
例9、如图所示，CD||AF,∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝124∘，∠E=100∘， 求∠F的度数。
D C
B E
F A
第 4 页 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形