14.3空间直线和平面的位置关系（两课时）
一、教学内容分析
空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言基础，也是进行空间几何研究的起点.
课本通过观察旗杆是否直立在地面上的问题, 要求学生能理解空间直线和平面垂直的含义及其表示法，归纳出空间直线和平面垂直的定理. 要求学生能理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，会在简单图形中进行有关距离的确定与计算.
空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.
前面我们已研究了两异面直线所成的角，本节研究直线与平面所成的角
课本通过一个标枪的实例说明了直线与平面所成的角有它的实际背景. 接着借助图14—22引出了一系列概念.
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
求直线和平面所成的角的方法是：
射影转化法. 具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算.
注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θ≤α.
空间直线与平面平行是直线和平面位置关系中的一种特殊情况，它也是研究空间中平面与平面平行的基础，判定定理用来判断直线和平面平行，性质定理用来证明空间两条直线平行，判定定理和性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去，我们可称此为平行链. ，见如下示意图：
在平面内作
线线平行或找一直线 线面平行平面与平面相交得交线
经过直线作或找
线线平行
二、教学目标设计
在通过观察和实验，探索直线和平面垂直的位置关系的过程中，理解空间直线和平面垂直的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，理解空间直线和平面垂直的定义及定理，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，发展空间想象力和逻辑思维能力，理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，体会化归和转化的数学思想方法.
理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角，培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等. 培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣.
在通过观察和实验，探索直线和平面平行的位置关系的过程中，理解空间直线和平面平行的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，掌握空间直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握空间平面和平面平行的性质定理，并会简单的应用，体会化归和转化的数学思想方法. 三、教学重点及难点
空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法，几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，空间距离的确定与计算.
斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，求直线与平面 所成角的基本方法，难点是确定直线在平面上的射影
空间直线和平面平行的判定定理、性质定理；空间平面和平面平行的性质定理 四、教学流程设计
五、教学过程设计
1. 复习
直线与平面的位置关系
⎧直线l 在平面α上（平面α经过直线l ）l ⊂α
≠
⎪
（注意集合语言的表示） ⎨直线l 与平面α相交（于点A ）l I α=A
⎪
l //α或l I α=∅⎩直线l 与平面α平行
2. 学习新课
① 直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直, 我们说这条直线和这个平面互相垂直. 表示为：l ⊥ α
其中，这条直线称为垂线，垂线和平面的交点叫做垂足
举例子：正方体的侧棱垂直于地面的任何一条直线 注意：任何一条改成无数条直线可以吗？不可以
直线与平面垂直的判定定理：
定理2:如果直线l 与平面α上的的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直这个平面. 已知：m 苘α, n α, m ⋂n =M , l ⊥m , l ⊥n ，则l ⊥α
直线与平面垂直的性质：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线.
②. 空间距离概念
空间中由于点，线，面的概念，引出彼此之间的概念 （1）空间点到直线距离 设M 是直线l 外一点，过点M 作直线l 的垂线相交于N （或垂足为N ），则垂线段MN 的长称为点M 到直线l 的距离.
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求点A 1分别到直线CD 1, D 1B 1，CD 和BD 1的距离.
（立体几何计算的顺序：①作图②证明③计算）只详讲第三，四题 解：
（3）连接A 1D ， CD ⊥面ADD 1A 1
∴CD ⊥A 1D
故点A 1到直线CD 的距离等于线段A 1D
的长
，
A 1D =，
所以A 1到直线CD
（4）连接A 1B , 作A 1H ⊥BD 1, 垂足为H
故点A 1到直线BD 1的距离等于线段A 1H 的长 在Rt A 1BD 1中，A 1H =
A 1B ⋅A 1D 1
BD 1
（注意：垂线段所在平面和面积法）
（2） 点到平面距离
设M 是平面外一点，过点M 作平面α 的垂线，垂足为N ，则垂线段MN 的长称为点M 到平面α的距离.
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求：
(1)点A 1分别到平面B 1BCC 1和平面D 1DBB 1的距离 (2)点A 到平面A 1BCD 1的距离.
解：(1)连接A 1C D 1B 1=O 1
A 1O 1⊥D 1B 1⎫⎪ ⎬⇒A 1O 1⊥面D 1DBB 1，
D 1D ⊥A 1O 1⎪⎭
∴故点A 1到面D 1DBB 1的距离，等于线段A 1O
1的长
A 1O 1=
a a
所以点A 1到面D 1D B B 1
22
(2)连接AB 1 A 1B =H ，在正方形ABB 1A 1中
A 1D 1⊥面ABB 1A 1⎫⎪
⎬⇒A 1D 1⊥A H
AH ⊂面A B B 1A 1⎪
≠⎭
AH ⊥A 1B
∴AH ⊥面D 1A 1BC
故点A 到面D 1A 1BC 的距离等于线段AH 的长
, AH =
a 2
所以点A 到面D 1A 1BC （3） 直线与平面平行的距离
直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相等. 直线与平面平行，则直线上任取一点到平面的距离称为直线和平面的距离.
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求：
(1)直线A 1A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)直线A 1A 到平面D 1DBB 1的距离.
解：(1)A 1A //面B 1BCC 1
A 1B 1⊥面B 1BCC 1
故直线A 1A 到面B 1BCC 1的距离等于线段A 1B 1的长
A 1B 1=a
所以直线A 1A 到面B 1BCC 1的距离等于a
(2)
A 1A //面D 1DBB 1
A 1O 1⊥面D 1DBB 1
故直线A 1A 到平面D 1DBB 1的距离等于线段A 1O 1的长
A 1O 1=
a a 所以直线A 1A 到平面D 1DBB 122
（4） 两平行平面之间的距离
两平面平行，则一个平面上的任意一点到另一个平面的距离都相
等.
两平面平行，则一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面的距离.
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求：平面A 1B 1C 1D 1到平面ABCD 的距离.
解：平面A 1B 1C 1D 1//平面ABCD
A 1A ⊥面ABCD
故平面A 1B 1C 1D 1到平面ABCD 的距离等于线段A 1A 的长
A 1A =a
所以平面A 1B 1C 1D 1到平面ABCD 的距离等于a
（5）异面直线距离
设直线a 与直线b 是异面直线，若直线MN 分别与直线a ，b 垂直且相交于M ，N ，那么直线MN 叫做异面直线a ，的b 公垂线；垂足M ，N 之间的距离 叫做异面直线a ，b 的距离
注意：异面直线a , b 的公垂线存在且唯一
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求:
(1)异面直线A 1A 和B 1C 1的距离；(2)异面直线A 1A 和B 1D 1的距离.
、
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，E 为棱AB 中点，求异面直线A 1E 和CC 1的距离.
3. 直线与平面所成的角
（1）直线与平面斜交的定义
当直线l 与平面α 相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α 斜交. l 叫做平面α 的斜线，l 与平面α 的交点M 叫做斜足. （2）直线与平面所成的角
设直线l 与平面α 斜交于点M . 过l 上任意点A 作平面 α 的垂线，垂足为O ，称点O 为点A 在平面α 上的射影；而直线OM 称为直线l 在平面α 上的射影.
将直线l 与其在平面α 上的射影 OM 所成的锐角叫做直线 l 与平面 α 所成的角. 规定： 当直线l ⊥平面α 时，直线l 与平面α 所成的角为90º. 当直线l //α 或直线l 在α上 时，直线l 与平面α 所成的角为0º. 结论： 所以，若设直线l 与平面α 所成的角为θ , 则其取值范围是 0º≤ θ ≤ 90º.
例1如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，求下列直线与平面所成角
(1)A 1B 和平面ABCD 所成角；(2)B 1D 和平面ABCD 所成角；(3)BC 1和平面D 1B 1BD 所成角；(4)D 1B 和平面ACB 1所成角；
例2如图，已知V ABC ，∠A =90︒，AB =2，AC =4，
PA ⊥平面ABC ，PA =2，E 为PC 中点，连接BE ，
(1)求BE 与平面ABC 所成角；(2)求BE 与平面PAB 所成角.
例3如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长AB =1，求
(1)求B 1到平面A 1BCD 1距离；(2)求C 1到平面A 1BC 距离；
(3)求D 1到平面B 1AC 距离.
例4如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB =8, AD =6, AA 1=10，E 为AB 中点，求下列异面直线距离
(1)AB 与B 1C 1(2)AC 与B 1C 1(3)A 1E 与B 1C 1
14.3空间直线和平面的位置关系（两课时）
一、教学内容分析
空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言基础，也是进行空间几何研究的起点.
课本通过观察旗杆是否直立在地面上的问题, 要求学生能理解空间直线和平面垂直的含义及其表示法，归纳出空间直线和平面垂直的定理. 要求学生能理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，会在简单图形中进行有关距离的确定与计算.
空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.
前面我们已研究了两异面直线所成的角，本节研究直线与平面所成的角
课本通过一个标枪的实例说明了直线与平面所成的角有它的实际背景. 接着借助图14—22引出了一系列概念.
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
求直线和平面所成的角的方法是：
射影转化法. 具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算.
注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θ≤α.
空间直线与平面平行是直线和平面位置关系中的一种特殊情况，它也是研究空间中平面与平面平行的基础，判定定理用来判断直线和平面平行，性质定理用来证明空间两条直线平行，判定定理和性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去，我们可称此为平行链. ，见如下示意图：
在平面内作
线线平行或找一直线 线面平行平面与平面相交得交线
经过直线作或找
线线平行
二、教学目标设计
在通过观察和实验，探索直线和平面垂直的位置关系的过程中，理解空间直线和平面垂直的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，理解空间直线和平面垂直的定义及定理，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，发展空间想象力和逻辑思维能力，理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，体会化归和转化的数学思想方法.
理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角，培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等. 培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣.
在通过观察和实验，探索直线和平面平行的位置关系的过程中，理解空间直线和平面平行的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，掌握空间直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握空间平面和平面平行的性质定理，并会简单的应用，体会化归和转化的数学思想方法. 三、教学重点及难点
空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法，几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，空间距离的确定与计算.
斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，求直线与平面 所成角的基本方法，难点是确定直线在平面上的射影
空间直线和平面平行的判定定理、性质定理；空间平面和平面平行的性质定理 四、教学流程设计
五、教学过程设计
1. 复习
直线与平面的位置关系
⎧直线l 在平面α上（平面α经过直线l ）l ⊂α
≠
⎪
（注意集合语言的表示） ⎨直线l 与平面α相交（于点A ）l I α=A
⎪
l //α或l I α=∅⎩直线l 与平面α平行
2. 学习新课
① 直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直, 我们说这条直线和这个平面互相垂直. 表示为：l ⊥ α
其中，这条直线称为垂线，垂线和平面的交点叫做垂足
举例子：正方体的侧棱垂直于地面的任何一条直线 注意：任何一条改成无数条直线可以吗？不可以
直线与平面垂直的判定定理：
定理2:如果直线l 与平面α上的的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直这个平面. 已知：m 苘α, n α, m ⋂n =M , l ⊥m , l ⊥n ，则l ⊥α
直线与平面垂直的性质：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线.
②. 空间距离概念
空间中由于点，线，面的概念，引出彼此之间的概念 （1）空间点到直线距离 设M 是直线l 外一点，过点M 作直线l 的垂线相交于N （或垂足为N ），则垂线段MN 的长称为点M 到直线l 的距离.
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求点A 1分别到直线CD 1, D 1B 1，CD 和BD 1的距离.
（立体几何计算的顺序：①作图②证明③计算）只详讲第三，四题 解：
（3）连接A 1D ， CD ⊥面ADD 1A 1
∴CD ⊥A 1D
故点A 1到直线CD 的距离等于线段A 1D
的长
，
A 1D =，
所以A 1到直线CD
（4）连接A 1B , 作A 1H ⊥BD 1, 垂足为H
故点A 1到直线BD 1的距离等于线段A 1H 的长 在Rt A 1BD 1中，A 1H =
A 1B ⋅A 1D 1
BD 1
（注意：垂线段所在平面和面积法）
（2） 点到平面距离
设M 是平面外一点，过点M 作平面α 的垂线，垂足为N ，则垂线段MN 的长称为点M 到平面α的距离.
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求：
(1)点A 1分别到平面B 1BCC 1和平面D 1DBB 1的距离 (2)点A 到平面A 1BCD 1的距离.
解：(1)连接A 1C D 1B 1=O 1
A 1O 1⊥D 1B 1⎫⎪ ⎬⇒A 1O 1⊥面D 1DBB 1，
D 1D ⊥A 1O 1⎪⎭
∴故点A 1到面D 1DBB 1的距离，等于线段A 1O
1的长
A 1O 1=
a a
所以点A 1到面D 1D B B 1
22
(2)连接AB 1 A 1B =H ，在正方形ABB 1A 1中
A 1D 1⊥面ABB 1A 1⎫⎪
⎬⇒A 1D 1⊥A H
AH ⊂面A B B 1A 1⎪
≠⎭
AH ⊥A 1B
∴AH ⊥面D 1A 1BC
故点A 到面D 1A 1BC 的距离等于线段AH 的长
, AH =
a 2
所以点A 到面D 1A 1BC （3） 直线与平面平行的距离
直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相等. 直线与平面平行，则直线上任取一点到平面的距离称为直线和平面的距离.
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求：
(1)直线A 1A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)直线A 1A 到平面D 1DBB 1的距离.
解：(1)A 1A //面B 1BCC 1
A 1B 1⊥面B 1BCC 1
故直线A 1A 到面B 1BCC 1的距离等于线段A 1B 1的长
A 1B 1=a
所以直线A 1A 到面B 1BCC 1的距离等于a
(2)
A 1A //面D 1DBB 1
A 1O 1⊥面D 1DBB 1
故直线A 1A 到平面D 1DBB 1的距离等于线段A 1O 1的长
A 1O 1=
a a 所以直线A 1A 到平面D 1DBB 122
（4） 两平行平面之间的距离
两平面平行，则一个平面上的任意一点到另一个平面的距离都相
等.
两平面平行，则一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面的距离.
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求：平面A 1B 1C 1D 1到平面ABCD 的距离.
解：平面A 1B 1C 1D 1//平面ABCD
A 1A ⊥面ABCD
故平面A 1B 1C 1D 1到平面ABCD 的距离等于线段A 1A 的长
A 1A =a
所以平面A 1B 1C 1D 1到平面ABCD 的距离等于a
（5）异面直线距离
设直线a 与直线b 是异面直线，若直线MN 分别与直线a ，b 垂直且相交于M ，N ，那么直线MN 叫做异面直线a ，的b 公垂线；垂足M ，N 之间的距离 叫做异面直线a ，b 的距离
注意：异面直线a , b 的公垂线存在且唯一
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，求:
(1)异面直线A 1A 和B 1C 1的距离；(2)异面直线A 1A 和B 1D 1的距离.
、
例 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，E 为棱AB 中点，求异面直线A 1E 和CC 1的距离.
3. 直线与平面所成的角
（1）直线与平面斜交的定义
当直线l 与平面α 相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α 斜交. l 叫做平面α 的斜线，l 与平面α 的交点M 叫做斜足. （2）直线与平面所成的角
设直线l 与平面α 斜交于点M . 过l 上任意点A 作平面 α 的垂线，垂足为O ，称点O 为点A 在平面α 上的射影；而直线OM 称为直线l 在平面α 上的射影.
将直线l 与其在平面α 上的射影 OM 所成的锐角叫做直线 l 与平面 α 所成的角. 规定： 当直线l ⊥平面α 时，直线l 与平面α 所成的角为90º. 当直线l //α 或直线l 在α上 时，直线l 与平面α 所成的角为0º. 结论： 所以，若设直线l 与平面α 所成的角为θ , 则其取值范围是 0º≤ θ ≤ 90º.
例1如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，求下列直线与平面所成角
(1)A 1B 和平面ABCD 所成角；(2)B 1D 和平面ABCD 所成角；(3)BC 1和平面D 1B 1BD 所成角；(4)D 1B 和平面ACB 1所成角；
例2如图，已知V ABC ，∠A =90︒，AB =2，AC =4，
PA ⊥平面ABC ，PA =2，E 为PC 中点，连接BE ，
(1)求BE 与平面ABC 所成角；(2)求BE 与平面PAB 所成角.
例3如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，棱长AB =1，求
(1)求B 1到平面A 1BCD 1距离；(2)求C 1到平面A 1BC 距离；
(3)求D 1到平面B 1AC 距离.
例4如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB =8, AD =6, AA 1=10，E 为AB 中点，求下列异面直线距离
(1)AB 与B 1C 1(2)AC 与B 1C 1(3)A 1E 与B 1C 1