欧几里德《几何原本》与公里化思想
班级：314数教3班 姓名：余燕红 学号：49
【摘要】欧几里得《几何原本》产生的历史背景、主要内容以及所包含的公理化思想促进了几何学的发展, 对数学的发展也有着重大的影响.
【关键词】欧几里得; 《几何原本》; 公理化思想
一、欧几里得
“几何无王者之道”, 说出这句话的人正是古希腊数学家欧几里得(公元前 330 ～公元前 275), 他是论证几何的集大成者, 关于他的生平我们了解的甚少, 根据有限的记载推断, 欧几里得早年就学于雅典, 在公元前 300年左右, 应托勒密王的邀请到亚历山大城教学. 他写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作, 现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分 》(OnDivisions)、《现象》 (Phaenomena)、《光 学》(Optic)和《镜面反射》(Catoptrica)等, 在这些著作当中, 最著名的莫过于《原本》了, 根据早期的翻译, 我们也称之为《几何原本》.
二、《几何原本》
1. 历史起源:最早的几何学兴起于公元前 7世纪的古埃及, 由古希腊数学家泰勒斯迈出了论证数学的第一步, 之后毕达哥拉斯又进行了发展. 在欧几里得之前, 已经积累了许多的几何知识, 但是这些知识缺乏系统性, 大多数都是片断的、零散的知识, 公理与公理之间、证明与证明之间没有很强的联系性, 更没有对公式和定理进行严格的和逻辑的证明. 随着对几何知识的使用越来越多, 就迫切将这些知识条理化和系统化, 使其成为一套可以自圆其说、前后贯通的知识体系. 欧几里得通过早期对柏拉图数学思想, 尤其是几何理论系统周详的研究, 敏锐地观察到了几何学理论的发展趋势, 所以, 他背负着这一重任来到文化丰富的亚历山大
城, 在这里, 他一边收集以往的数学专著和手稿, 并不断地向有关学者请教, 一边试着著书立说, 阐述自己对几何学的理解, 哪怕是尚肤浅的理解, 经过他的努力, 终于在公元前300年, 几经易稿最终写成《几何原本》一书.
2. 内容框架:“《几何原本》共分 13卷, 包括 5条公理 、5条公设、119个定义和 465条命题. ”第Ⅰ卷给出了一些最基本的定义, 如点、线、面、圆等等, 并给出了 5条公理和 5条公设. 欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点, 第Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ和Ⅵ 卷包含了平面几何的一些基本内容, 如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等; 第Ⅱ, Ⅵ 卷中涉及“几何代数”的内容; 第Ⅴ卷讲比例论; 第Ⅶ , Ⅷ , Ⅸ 卷是关于数论的内容, 其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法, 即著名的欧几里得算法; 第Ⅹ卷讨论不可公度量; 而最后三卷主要是立体几何的内容. 这是一本集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作, 几何学正是因为有了它, 不仅第一次实现了系统化、条理化, 而且又孕育出一个全新的研究领域———欧几里得几何学, 简称“欧式几何学”.
三、公理化思想及其发展
“欧几里得《几何原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑, 它最大的功绩就是它确立了数学中的演绎范式. 这种范式要求一门学科中的每一个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论, 而所有这样的推理链的共同出
发点, 是一些 基本定义 和被认 为是不 证自明 的基 本原理———公设或公理, 这就是后来所谓的公理化思想. ”它的目的就是把数学表达成为一个演绎系统, 其出发点就是一组基本概念和公理. 很显然, 欧几里得在前人研究的基础上, 以 5条公设和 5条公理, 运用
逻辑定义推理和证明的原则和方法, 将零散的几何知识进行整理, 编写了具有公理化结构、严密逻辑体系的经典著作《几何原本》. 从此, 几何才真正成为一个有比较严密理论系统和科学方法的学科. 但是, 《几何原本》中还是存在缺陷的, 如某些定义仍然是借助直观或含糊不清, 虽然欧几里得对公设和公理作了精心的选择, 但是他的公理系统是不完备的. “在欧几里得提出的 5条公设中, 尽管前 4条是在总结前人成果的基础上提出来的, 但是第 5条, 即”平行公设“被认为是他自己的创造. ”这一公设的陈述和内容上都显得复杂, 因此引起人们对这一公设本身必要性的怀疑. 在此后的两千多年里, 人们试图给出这一公设的证明, 但是所有的尝试都失败了 .19世纪, 俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训, 从反面提出问题, 给出了一个新的公理体系, 创立了非欧几何学. 这是公理化方法的进一步发展.1899年, 德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上, 写成《几何基础》一书, 解决了欧氏几何的欠缺, 完善了几何公理化方法. 未列入数学中出现悖论, 希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性, 致使他从事 “证明论的研究”, 这样, 他将公理化方法推向了一个新的阶段, 即纯形式发展阶段, 产生了纯形式公理化方法. 《几何原本》是古希腊数学的杰出成就, 它的影响远远超出了数学本身, 它的公理化方法为几何学的研究开辟了一片新领域, 拓宽了几何学研究的领域, 并渗透到其他数学分支. 它不仅仅产生了一些有用的、美妙的定理, 它还孕育了一种理性的精神.
【参考文献】
[ 1]李文林. 数学史概论(第二版)[ M] .北京:高等教育出版社, 2002.
[ 2] StevenG.Krantz.AnEpisodicHistoryofMathematics[ M] .2006.
[ 3]宋庆. 欧几里得的《原本》[ J] .中学数学, 2006(5).
欧几里德《几何原本》与公里化思想
班级：314数教3班 姓名：余燕红 学号：49
【摘要】欧几里得《几何原本》产生的历史背景、主要内容以及所包含的公理化思想促进了几何学的发展, 对数学的发展也有着重大的影响.
【关键词】欧几里得; 《几何原本》; 公理化思想
一、欧几里得
“几何无王者之道”, 说出这句话的人正是古希腊数学家欧几里得(公元前 330 ～公元前 275), 他是论证几何的集大成者, 关于他的生平我们了解的甚少, 根据有限的记载推断, 欧几里得早年就学于雅典, 在公元前 300年左右, 应托勒密王的邀请到亚历山大城教学. 他写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作, 现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分 》(OnDivisions)、《现象》 (Phaenomena)、《光 学》(Optic)和《镜面反射》(Catoptrica)等, 在这些著作当中, 最著名的莫过于《原本》了, 根据早期的翻译, 我们也称之为《几何原本》.
二、《几何原本》
1. 历史起源:最早的几何学兴起于公元前 7世纪的古埃及, 由古希腊数学家泰勒斯迈出了论证数学的第一步, 之后毕达哥拉斯又进行了发展. 在欧几里得之前, 已经积累了许多的几何知识, 但是这些知识缺乏系统性, 大多数都是片断的、零散的知识, 公理与公理之间、证明与证明之间没有很强的联系性, 更没有对公式和定理进行严格的和逻辑的证明. 随着对几何知识的使用越来越多, 就迫切将这些知识条理化和系统化, 使其成为一套可以自圆其说、前后贯通的知识体系. 欧几里得通过早期对柏拉图数学思想, 尤其是几何理论系统周详的研究, 敏锐地观察到了几何学理论的发展趋势, 所以, 他背负着这一重任来到文化丰富的亚历山大
城, 在这里, 他一边收集以往的数学专著和手稿, 并不断地向有关学者请教, 一边试着著书立说, 阐述自己对几何学的理解, 哪怕是尚肤浅的理解, 经过他的努力, 终于在公元前300年, 几经易稿最终写成《几何原本》一书.
2. 内容框架:“《几何原本》共分 13卷, 包括 5条公理 、5条公设、119个定义和 465条命题. ”第Ⅰ卷给出了一些最基本的定义, 如点、线、面、圆等等, 并给出了 5条公理和 5条公设. 欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点, 第Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ和Ⅵ 卷包含了平面几何的一些基本内容, 如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等; 第Ⅱ, Ⅵ 卷中涉及“几何代数”的内容; 第Ⅴ卷讲比例论; 第Ⅶ , Ⅷ , Ⅸ 卷是关于数论的内容, 其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法, 即著名的欧几里得算法; 第Ⅹ卷讨论不可公度量; 而最后三卷主要是立体几何的内容. 这是一本集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作, 几何学正是因为有了它, 不仅第一次实现了系统化、条理化, 而且又孕育出一个全新的研究领域———欧几里得几何学, 简称“欧式几何学”.
三、公理化思想及其发展
“欧几里得《几何原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑, 它最大的功绩就是它确立了数学中的演绎范式. 这种范式要求一门学科中的每一个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论, 而所有这样的推理链的共同出
发点, 是一些 基本定义 和被认 为是不 证自明 的基 本原理———公设或公理, 这就是后来所谓的公理化思想. ”它的目的就是把数学表达成为一个演绎系统, 其出发点就是一组基本概念和公理. 很显然, 欧几里得在前人研究的基础上, 以 5条公设和 5条公理, 运用
逻辑定义推理和证明的原则和方法, 将零散的几何知识进行整理, 编写了具有公理化结构、严密逻辑体系的经典著作《几何原本》. 从此, 几何才真正成为一个有比较严密理论系统和科学方法的学科. 但是, 《几何原本》中还是存在缺陷的, 如某些定义仍然是借助直观或含糊不清, 虽然欧几里得对公设和公理作了精心的选择, 但是他的公理系统是不完备的. “在欧几里得提出的 5条公设中, 尽管前 4条是在总结前人成果的基础上提出来的, 但是第 5条, 即”平行公设“被认为是他自己的创造. ”这一公设的陈述和内容上都显得复杂, 因此引起人们对这一公设本身必要性的怀疑. 在此后的两千多年里, 人们试图给出这一公设的证明, 但是所有的尝试都失败了 .19世纪, 俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训, 从反面提出问题, 给出了一个新的公理体系, 创立了非欧几何学. 这是公理化方法的进一步发展.1899年, 德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上, 写成《几何基础》一书, 解决了欧氏几何的欠缺, 完善了几何公理化方法. 未列入数学中出现悖论, 希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性, 致使他从事 “证明论的研究”, 这样, 他将公理化方法推向了一个新的阶段, 即纯形式发展阶段, 产生了纯形式公理化方法. 《几何原本》是古希腊数学的杰出成就, 它的影响远远超出了数学本身, 它的公理化方法为几何学的研究开辟了一片新领域, 拓宽了几何学研究的领域, 并渗透到其他数学分支. 它不仅仅产生了一些有用的、美妙的定理, 它还孕育了一种理性的精神.
【参考文献】
[ 1]李文林. 数学史概论(第二版)[ M] .北京:高等教育出版社, 2002.
[ 2] StevenG.Krantz.AnEpisodicHistoryofMathematics[ M] .2006.
[ 3]宋庆. 欧几里得的《原本》[ J] .中学数学, 2006(5).