嘉应学院 本科毕业论文（设计）
（2015届）
题 目： 幂零矩阵的性质及应用 姓 名： 李丹 学 院： 数学学院
专 业： 数学与应用数学 指导老师： 刘光明老师 申请学位： 学士学位
嘉应学院教务处制
摘 要
在高等代数中矩阵是研究问题的重要工具，在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论其性质。幂零矩阵作为特殊的矩阵，无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有着很重要的意义。幂零矩阵具有很多良好的性质，文章从矩阵的定义出发得到其一些简单的性质，然后从各个角度更深入挖掘其性质。由给出的论点进行论证，讨论了幂零矩阵的若干性质，还通过例子说明其应用性，这对于解决若干矩阵问题大有益处。
关键词：幂零矩阵；特征值；若尔当形
Abstract
Matrix in important tool to research problem,
When discussing matrix multiplication of the definition of nilpotent matrix is given. In the study of matrix and learning about mathematics knowledge, often to discuss its properties. As a special matrix, nilpotent matrix in terms of matrix theory, or in the actual application of matrix to get some simple properties, And then from different angles to dig deeper into its nature more. By the given arguments, Discussed some properties of nilpotent matrix, but also through the example is given to show its application, this is a great benefit to solve the problem of several matrix.
Key words：Nilpotent matrix;eigenvalue;Jordan form
1． 引言
随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需
要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域，矩阵理论也有着十分重要的作用，获得了许多重要的研究成果。近年来幂零矩阵得到了进一步发展，在1964年Give 证明了阶矩阵是幂零矩阵的充要条件是，当然还有其他衍生出来的几个充要条件在下文中给出。在我们学到矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义，但对它的介绍甚少，因此我们将加强这方面的研究与总结。目前，国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究，本文我将从在给出的有关幂零矩阵的知识上，得出些其简单性质。然后再通过教材知识和文摘的借鉴，进一步归纳总结幂零矩阵的一些性质，有其自身所特有的特征，同时与若当儿标准形，对角形等方面的联系，还有其性质的多方面具体应用，更加的体现 了幂零矩阵的优越性。
2. 幂零矩阵的相关概念及简单性质
为了叙述的需要, 我们首先引入幂零矩阵的相关概念.
2.1 幂零矩阵的相关概念
定义2.1.1令为阶矩阵，若存在正整数，使，则称幂零矩阵。也称为阶幂零矩阵。如为2阶幂零阵，则。
定义2.1.2若为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数。显然，阶零矩阵是特殊的幂零矩阵且其幂零指数为1。 定义2.1.3设，称为的转置；
称为的伴随矩阵 其中为中元素的代数余子式。
定义2.1.4 设为一个n 阶方阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记为。显然的全体特征值的和等于. 其中称为矩阵的特征多项式，满足的的值称为矩阵的特征值。 定义2.1.5 形为
阶数为
的矩阵称为若尔当块, 其中为复数。
当时（若尔当矩阵的特例）称为幂零若尔当矩阵。 定义2.1.6 形为
，
其中，
由阶数为的若干个若尔当块组成的准对角称为若尔当形矩
阵.
定义2.1.7 设为阶方阵，的首项系数为1的最低次的化零多项式称为的最小多项式。
2.2 关于幂零矩阵的一些简单性质
由上述所描述的有关幂零矩阵的定义，可以得出一些幂零矩阵的几条简单性质。
性质2.2.1 幂零矩阵都不可逆。
证明：设是任一阶幂零矩阵，则，使，假设可逆，则，于是，故也可逆，这与矛盾。
性质2.2.2 幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵之积仍是幂零矩阵。 证明：设,
于是(AB )=(AB )(AB ) (AB )=A m B m =0*B m =0，
m
所以是幂零矩阵
性质2.2.3 设是阶幂零矩阵，则，均为幂零矩阵。 证明：因为为幂零矩阵，, 使得，因为 mA 所以，均为幂零矩阵。
性质2.2.4 幂零矩阵的行列式值为零。
证明：设是阶幂零矩阵，则存在一个自然数k ，使，由行列式性质得 所以
性质2.2.5 与幂零矩阵相似的矩阵是幂零矩阵
证明：设是阶幂零矩阵，则存在一个自然数k ，使，另设与相似，则存在可
()=(m )
k
k
A k =(m )*0=0
k
逆矩阵，使，因此B k =T -1AT
()
k
=T -1A k T =0，得证。
3. 幂零矩阵的性质
我们在给出有关幂零矩阵的定义和基本性质的基础上以及根据以下引理, 同时参考多篇文献，进一步探讨幂零矩阵, 并进行归纳和推理，得到一些更深一层的性质。
3.1 幂零矩阵的充分必要条件
引理3.1.1 (哈密顿-凯莱定理) 设是阶方阵, 的特征多项式设为，则 引理3.1.2设为阶矩阵的特征值, 则有， 引理3.1.3 设，为阶方阵，则
性质3.1.1为幂零矩阵的充分必要是的特征值全为0。 证明：设是阶幂零矩阵，，则，于是，，
因此。由此得0E -A =-A =(-1)A =0，这说明0是阶幂零矩阵的特征值。
n
若为的任一特征值，为相应的特征向量，则，，则有，故 ：由于的特征值全是0，所以的特征多项式 由哈密顿-凯莱定理得
由幂零矩阵的定义，是幂零矩阵。
借助这个结论，要证明幂零矩阵的伴随矩阵还是幂零矩阵就很方便了，证明如下：
由这个充要条件，可以得出以下的几个推论：
推论3.1.1 设是阶幂零矩阵，则为幂零矩阵。 证明：由于为幂零矩阵，故，则得秩只能为0或1 当时，也是幂零矩阵，成立。
当时，有当时，又的特征值全为0，存在可逆矩阵， 使得
同样也由这个充要条件，可以得出以下的几个推论： 推论3.1.2为幂零矩阵的充分必要条件为 。 证明：为幂零矩阵，由性质1，知：
的特征值全为0 即 则的特征值为
从而有 trA k =λ1+λ2+ +λn =0 由已知， trA k =λ1+λ2+ +λn =0（1） 令为的不为0的特征值 且互不相同重数为 由（1）式得方程组
k
k
k
k
k
k
⎧n 1λ1+n 2λ2+ +n t λt =0⎪222n λ+n λ+ +n λ22t t =0⎪11⎪333
⎨n 1λ1+n 2λ2+ +n t λt =0 （2） ⎪ ⎪
⎪n 1λ1t +n 2λ2t + +n t λt t =0⎩
由于方程组（1.2）的系数行列式为
B =
λ1λ12
λ2 λt λ22 λt 2
1
=λ1λ1 λt
1
λ1
λ2
λ1t λ2t
=λ1λ1 λt
1≤j
∏(λ
t
λt
i
-λj )
λ1t λ2t
1 λt
t
λt
又互不相同且不为0，
从而知，方程（2）只有0解，即 即没有非零的特征值
的特征值全为0， 由性质1，得为幂零矩阵，得证。
推论3.1.3 若为幂零矩阵, 则一定有成立 证明： 由性质1得的特征值, 所以 的特征值分别是 且有
, ,
' λn '=1n =1, E -A =λ1'''' λn ''=1n =1,. A +E =λ1'λ2λ2
即
.
推论3.1.4 若为幂零矩阵，则非退化 证明：令为的特征值.
若退化, 则有, 所以至少存在为的特征值, 从而有为的一特征值, 这与为幂零矩阵相矛盾, 得证为非 退化.
性质3.1.2 一个阶幂零矩阵的特征多项式，从而它只有一个特 征值零。
证明： 设的一个特征值（一般为复数），则存在中非零列向量，使 AX 0=λ0X 0, A k X 0=λ0X 0，因，故必，于是的 特征多项式的根全为零，因而。
k
3.2 幂零矩阵的相似矩阵
引理3.2.1设阶数为，则，而。 引理3.2.2 设，为阶方阵，则
性质3.2.1 所有指数为的幂零矩阵彼此相似 证明：因为阶幂零矩阵，其指数为，则 当时，
所以的最小多项式
又为幂零矩阵，由性质1，的特征值全为0 因此的特征多项式
f (λ)=λE -A =λn =D n (λ)
所以 又因为
f (λ)=λE -A =λn =D n (λ)=d 1(λ)d 2(λ) d n (λ)
从而有，d n -2(λ)= =d 2(λ)=d 1(λ)=1 故所有阶次幂零矩阵具有相同的不变因子为 ，得证。
性质3.2.2 相似于对角形的幂零矩阵是零矩阵
证明：设为幂零矩阵，则, 使得，又设与对角形 相似，且令 易知，
则存在可逆矩阵, 使，又与相似，则有，则，因此，所以。
推论3.2.1 若为阶严格上三角矩阵，则是幂零矩阵。 证明：因为为阶严格上三角矩阵，故令
, 则显然有
⎡0⎢0⎢
2
A =AA =⎢
⎢⎢0⎢⎣0⎡0⎢0⎢
32
A =A A =⎢
⎢⎢0⎢⎣0
0* **⎤00 **⎥⎥
⎥, 进而有
⎥
00 00⎥00 00⎥⎦00 **⎤00 **⎥⎥
⎥, ,
⎥
00 00⎥00 00⎥⎦
所以存在，使。
注：显然对于严格的下三角矩阵也是幂零矩阵。证明类似如上
3.3 幂零矩阵的运算性质
（在矩阵中存在一些运算性质，幂零矩阵也不例外，而且这些运算性质在应用中也起到很重要的结论，其运算性质如下）
性质3.3.1 若为幂零矩阵且，则有 （1）(E -A )=E +A +A 2+ +A k -1
-1
（2）(mE +A )=
-1
111k -11k -1
(m ≠0) E -2A +3A 2+ +(-1)A k
m m m m
证明：（1）
=(E -A )E +A +A 2+ +A k -1 即(E -A )=E +A +A 2+ +A k -1
-1
()
()
（2）由（1）类似可得 (E +A )=E -A +A 2+ +(-1)
-1
(
k -1
A k -1
)
任意，则
-1
(mE +A ) =[m (E +
1
A )]-1 m
=
111
[E -A + +(-1) k -1k -1A k -1] m m m 111
E -2A + +(-1) k -1k A k -1 m m m
=
3.4 幂零矩阵与对角矩阵
引理3.4.1 设是阶幂零矩阵，则必存在可逆矩阵，使得
T -1AT =J =diag [J (λ1, n 1), , J (λn , n n )]，其中阶数为且，为的特征值（可能有相同），称这样的为的若尔当标准形式。每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似。
引理3.4.2 设为的最小多项式，则整除的任何化零多项式。
引理3.4.3阶复矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式无重根。
引理3.4.4阶若尔当块的最小多项式为，且 有。显然当时即为所定义的幂零矩阵。
性质3.4.1 非零的幂零矩阵不能对角化但对于任意的方阵，存在幂零矩阵 ，使得可以对角化
证明：因为为幂零矩阵，则存在正整数，使得且的特征值全
为0，为的特征多项式且，令为的最小多项式，由引理则有，从而有，由于所以，则此时，由引理，显然的最小多项式有重根，那么不可对角化。 因为为阶方阵，由引理可知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得 其中阶数为 令阶数为 则有阶数为
那么有，由定义得为幂零矩阵 现令
⎡J 1⎢
T -1BT =⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎤⎡J 1'+D 1⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎢J S ⎦⎣
'+D 2J 2
⎤
⎥
⎥=J '+D ⎥⎥'+D s ⎦J s
即B =T (J '+D )T -1=T J 'T -1+TDT -1 又为对角阵， 则上式可对角化 令，取，则有
⎡J 1'k
⎢J 'k =⎢
⎢⎢⎢⎣
'J 2
k
⎤
⎥
⎥=0 ⎥
k ⎥'⎥J S ⎦
⎡J 1'k
⎢k ⎢=(-1)T
⎢⎢⎢⎣
'J 2
k
N k =-T J 'T
(
-1k
)=(-1)T (J ')T
k
k
-1
⎤
⎥
⎥T -1=(-1)k T 0T -1=0⎥
⎥'k ⎦J 2⎥
即有可对角化且为幂零矩阵，得证。
推论3.4.1 设为幂零矩阵，且，那么与对角矩阵不相似。
证明：用反证法，设与对角矩阵相似，那么一定存在可逆矩阵, 使得 , 这样的对角线上的元素就是的特征值，又的特征值全为0，从而 因此, 与题设矛盾。 与对角矩阵不相似。
3.5 幂零矩阵与若尔当块
引理3.5.1 每一个阶幂零矩阵都与一个形如的矩阵相似，每一个是一个阶幂零若尔当块
引理3.5.2阶若尔当块的最小多项式为，且有。显然当时即为所定义的幂零矩阵。
性质3.5.1 若为幂零矩阵, 则的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块, 且的主对角线上的元素为0.
证明：为幂零矩阵, 可知的特征值全为0。
在复数域上, 存在可逆矩阵, 使得
⎡J 1⎢
-1
T AT =⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎤⎥⎥=J ⎥
⎥J S ⎦
其中
阶数为,
则为的特征值；又与相似, 所以与有相同的特 征值, 所以, 即的主对角线上的元素全为0; 所以有
,
则为幂零矩阵, 其幂零指数为,, 所以为幂零矩阵. 所以的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块, 且的主对角线上的元素为0.
通过以上幂零矩阵与若尔当块的密切联系，可以用它们的关系来推得以下这个 推论。
推论3.5.1阶幂零矩阵的幂零指数小于等于，且幂零指数等于其若尔 当形
矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.
证明：令为幂零矩阵，存在可逆矩阵, 使得
，
其中
阶数为, 且， 取，则 且有
⎡J 1⎢k
A =(T ⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎡J 1k ⎤
⎢⎥
⎥T -1) k ==T ⎢
⎢⎥
⎢⎥
J S ⎦⎢⎣
J 2
k
⎤
⎥
⎥T -1=T ⋅0⋅T -1=0 （1） ⎥
k ⎥J S ⎥⎦
即
若为的幂零指数，则， 若，则，且 由（1）式可得
⎡J 1
⎢
A k 0=(T ⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎡J 1k 0⎤
⎢⎥
⎥T -1) k 0==T ⎢
⎢⎥
⎢⎥
J S ⎦⎢⎣
J 2
k 0
⎤
⎥
⎥T -1≠0 ⎥
k ⎥J S 0⎦⎥
这与矛盾，故，得证。
4. 应用
4.1 幂零矩阵在矩阵运算性质中的应用----求矩阵的逆
对于求矩阵的逆，我们也学习过有几种方法，通过幂零矩阵来求得一个 矩阵的逆是学习幂零矩阵运算性质上的应用。
引理4.1.1：在复数域上每一个阶矩阵都可以表示成一个可对角化的矩阵与一个幂零矩阵的和。 例1. 设, 求。
⎡46-15⎤⎡36-15⎤⎡100⎤
⎥=⎢12-5⎥+⎢010⎥=B +E 13-5解：由引理，A =⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎣12-4⎥⎦⎢⎣12-5⎥⎦⎢⎣001⎥⎦
其中且有
⎡36-15⎤⎡36-15⎤
⎥⎢12-5⎥=0 12-5 B 2=BB =⎢⎢⎥⎢⎥
⎢⎣12-5⎥⎦⎢⎣12-5⎥⎦
由性质知，
⎡100⎤⎡36-15⎤⎡-2-615⎤
⎥-⎢12-5⎥=⎢-1-15⎥ 010 =⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎣001⎥⎦⎢⎣12-5⎥⎦⎢⎣-1-26⎥⎦
例2. 设，求 解：令，其中
，且，由性质知
⎡⎢100
0⎤⎢a ⎥1A -1=(aE +B )
-1
=1⎢0
a 00⎥⎥
a E -1
a
2B =⎢
⎢⎢-1a 201⎥⎢1a 0⎥ ⎥⎢⎣-a
20
01⎥a ⎥⎦例4. ，求 解：
⎡⎢x 00 00⎤⎡100 00⎤
00 y x 0 00⎥⎢0 00⎥⎡00 A =⎢⎢⎥⎢
01⎥⎢0
⎢ ⎥ ⎥+
y ⎢1⎢⎢00y x 0⎥=x ⎢
⎥⎢⎢000 10⎥
⎢ ⎢⎥⎢001 ⎣000 y x ⎥⎦⎢⎣00
0 01⎥⎦
⎢⎣0
00 其中
，且
由性质知
2n -1
A -1
=1y -1E B B n n B n
x (E +x B n ) =x -x 2+x 3+ +(-1) x
n ⎡
⎢100 0⎤⎢x ⎥
⎢-y 1
=⎢
x 2
x 0 0⎥⎥
⎢⎢y 3
-y 1⎥⎢x 32
x 0⎥⎥⎢
x ⎢n -1
n -2
-3 ⎥
⎢⎣
(-1)
n -1y x n -1(-1)
n -2y x n -1
(-1)
n -3
y n x n -2
1⎥x ⎥⎥⎦
00⎤
00⎥⎥ ⎥00⎥
⎥10⎥⎦
4.2幂零矩阵的判断
学习了上面给出的有关幂零矩阵的性质等，我们要判断一个矩阵是否为幂零矩阵也是十分的方便。简单的给出如下几个矩阵： 例5.
解：由，易知, 从而，由性质知为幂零矩阵。事实上 例6.
解：由，易知，从而，故为幂零矩阵。事实上
4.3幂零矩阵的综合应用
例7. ，为阶方阵，为幂零矩阵且，则有
证明：由引理，在复数域上，存在可逆矩阵，使得
又为幂零矩阵 所以的特征值全为0，即
⎡λ1⎢
-1-1-1-1⎢T (A +B )T =T AT +T BT =T
⎢⎢⎣
λ2
⎤⎥⎥T ⎥
⎥λn ⎦
λ1
T
-1
(A +B )T
=T
-1
A +B T =-1
λ2
T
λN
λ1
又可逆，则，A +B =
λ2
=λ1λ2 λn
λN
由知为的特征值 则 故
例8. ，，为阶方阵，且AC =CA , BC =CB , C =AB -BA , 证明：存在自然数，使得
证明：由于AC =CA , BC =CB , C =AB -BA
C k =C k -1(AB -BA ) =C k -1AB -C k -1BA =A (C k -1B ) -(BC k -1) A
故trC k =trA (C k -1B ) -tr (C k -1B ) A =0 故为幂零矩阵
由性质知，使得，得证。
参考文献
[1] 张禾瑞、郝鈵新．高等代数（第五版）[M]．北京：高等教育出版社，2007． [2] 蓝以中．高等代数教程 [M]．北京：北京大学出版社，1988． [3] 北大数力系．高等代数 [M]．北京：人民教育出版社，1977．
[4] 杨子胥. 高等代数习题解（下册）[M]. 济南:山东科技出版 [5] 韩道兰、罗雁、黄宗文．幂零矩阵的性质及其应用[J ]．玉林师范学院学报宝鸡文理学院 [6] 姜海勤. 幂零矩阵性质的一个应用[J ]. 泰州职业技术学院学报,2004, 4(1) :54-57.
[7] 谷国梁. 关于幂零矩阵性质的探讨[J ]. 铜陵财经专科学校学报,2001,(4)： 49-63.
[8] 杨子胥. 高等代数习题解（下册）[M]. 济南:山东科技出版
嘉应学院 本科毕业论文（设计）
（2015届）
题 目： 幂零矩阵的性质及应用 姓 名： 李丹 学 院： 数学学院
专 业： 数学与应用数学 指导老师： 刘光明老师 申请学位： 学士学位
嘉应学院教务处制
摘 要
在高等代数中矩阵是研究问题的重要工具，在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论其性质。幂零矩阵作为特殊的矩阵，无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有着很重要的意义。幂零矩阵具有很多良好的性质，文章从矩阵的定义出发得到其一些简单的性质，然后从各个角度更深入挖掘其性质。由给出的论点进行论证，讨论了幂零矩阵的若干性质，还通过例子说明其应用性，这对于解决若干矩阵问题大有益处。
关键词：幂零矩阵；特征值；若尔当形
Abstract
Matrix in important tool to research problem,
When discussing matrix multiplication of the definition of nilpotent matrix is given. In the study of matrix and learning about mathematics knowledge, often to discuss its properties. As a special matrix, nilpotent matrix in terms of matrix theory, or in the actual application of matrix to get some simple properties, And then from different angles to dig deeper into its nature more. By the given arguments, Discussed some properties of nilpotent matrix, but also through the example is given to show its application, this is a great benefit to solve the problem of several matrix.
Key words：Nilpotent matrix;eigenvalue;Jordan form
1． 引言
随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需
要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域，矩阵理论也有着十分重要的作用，获得了许多重要的研究成果。近年来幂零矩阵得到了进一步发展，在1964年Give 证明了阶矩阵是幂零矩阵的充要条件是，当然还有其他衍生出来的几个充要条件在下文中给出。在我们学到矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义，但对它的介绍甚少，因此我们将加强这方面的研究与总结。目前，国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究，本文我将从在给出的有关幂零矩阵的知识上，得出些其简单性质。然后再通过教材知识和文摘的借鉴，进一步归纳总结幂零矩阵的一些性质，有其自身所特有的特征，同时与若当儿标准形，对角形等方面的联系，还有其性质的多方面具体应用，更加的体现 了幂零矩阵的优越性。
2. 幂零矩阵的相关概念及简单性质
为了叙述的需要, 我们首先引入幂零矩阵的相关概念.
2.1 幂零矩阵的相关概念
定义2.1.1令为阶矩阵，若存在正整数，使，则称幂零矩阵。也称为阶幂零矩阵。如为2阶幂零阵，则。
定义2.1.2若为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数。显然，阶零矩阵是特殊的幂零矩阵且其幂零指数为1。 定义2.1.3设，称为的转置；
称为的伴随矩阵 其中为中元素的代数余子式。
定义2.1.4 设为一个n 阶方阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记为。显然的全体特征值的和等于. 其中称为矩阵的特征多项式，满足的的值称为矩阵的特征值。 定义2.1.5 形为
阶数为
的矩阵称为若尔当块, 其中为复数。
当时（若尔当矩阵的特例）称为幂零若尔当矩阵。 定义2.1.6 形为
，
其中，
由阶数为的若干个若尔当块组成的准对角称为若尔当形矩
阵.
定义2.1.7 设为阶方阵，的首项系数为1的最低次的化零多项式称为的最小多项式。
2.2 关于幂零矩阵的一些简单性质
由上述所描述的有关幂零矩阵的定义，可以得出一些幂零矩阵的几条简单性质。
性质2.2.1 幂零矩阵都不可逆。
证明：设是任一阶幂零矩阵，则，使，假设可逆，则，于是，故也可逆，这与矛盾。
性质2.2.2 幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵之积仍是幂零矩阵。 证明：设,
于是(AB )=(AB )(AB ) (AB )=A m B m =0*B m =0，
m
所以是幂零矩阵
性质2.2.3 设是阶幂零矩阵，则，均为幂零矩阵。 证明：因为为幂零矩阵，, 使得，因为 mA 所以，均为幂零矩阵。
性质2.2.4 幂零矩阵的行列式值为零。
证明：设是阶幂零矩阵，则存在一个自然数k ，使，由行列式性质得 所以
性质2.2.5 与幂零矩阵相似的矩阵是幂零矩阵
证明：设是阶幂零矩阵，则存在一个自然数k ，使，另设与相似，则存在可
()=(m )
k
k
A k =(m )*0=0
k
逆矩阵，使，因此B k =T -1AT
()
k
=T -1A k T =0，得证。
3. 幂零矩阵的性质
我们在给出有关幂零矩阵的定义和基本性质的基础上以及根据以下引理, 同时参考多篇文献，进一步探讨幂零矩阵, 并进行归纳和推理，得到一些更深一层的性质。
3.1 幂零矩阵的充分必要条件
引理3.1.1 (哈密顿-凯莱定理) 设是阶方阵, 的特征多项式设为，则 引理3.1.2设为阶矩阵的特征值, 则有， 引理3.1.3 设，为阶方阵，则
性质3.1.1为幂零矩阵的充分必要是的特征值全为0。 证明：设是阶幂零矩阵，，则，于是，，
因此。由此得0E -A =-A =(-1)A =0，这说明0是阶幂零矩阵的特征值。
n
若为的任一特征值，为相应的特征向量，则，，则有，故 ：由于的特征值全是0，所以的特征多项式 由哈密顿-凯莱定理得
由幂零矩阵的定义，是幂零矩阵。
借助这个结论，要证明幂零矩阵的伴随矩阵还是幂零矩阵就很方便了，证明如下：
由这个充要条件，可以得出以下的几个推论：
推论3.1.1 设是阶幂零矩阵，则为幂零矩阵。 证明：由于为幂零矩阵，故，则得秩只能为0或1 当时，也是幂零矩阵，成立。
当时，有当时，又的特征值全为0，存在可逆矩阵， 使得
同样也由这个充要条件，可以得出以下的几个推论： 推论3.1.2为幂零矩阵的充分必要条件为 。 证明：为幂零矩阵，由性质1，知：
的特征值全为0 即 则的特征值为
从而有 trA k =λ1+λ2+ +λn =0 由已知， trA k =λ1+λ2+ +λn =0（1） 令为的不为0的特征值 且互不相同重数为 由（1）式得方程组
k
k
k
k
k
k
⎧n 1λ1+n 2λ2+ +n t λt =0⎪222n λ+n λ+ +n λ22t t =0⎪11⎪333
⎨n 1λ1+n 2λ2+ +n t λt =0 （2） ⎪ ⎪
⎪n 1λ1t +n 2λ2t + +n t λt t =0⎩
由于方程组（1.2）的系数行列式为
B =
λ1λ12
λ2 λt λ22 λt 2
1
=λ1λ1 λt
1
λ1
λ2
λ1t λ2t
=λ1λ1 λt
1≤j
∏(λ
t
λt
i
-λj )
λ1t λ2t
1 λt
t
λt
又互不相同且不为0，
从而知，方程（2）只有0解，即 即没有非零的特征值
的特征值全为0， 由性质1，得为幂零矩阵，得证。
推论3.1.3 若为幂零矩阵, 则一定有成立 证明： 由性质1得的特征值, 所以 的特征值分别是 且有
, ,
' λn '=1n =1, E -A =λ1'''' λn ''=1n =1,. A +E =λ1'λ2λ2
即
.
推论3.1.4 若为幂零矩阵，则非退化 证明：令为的特征值.
若退化, 则有, 所以至少存在为的特征值, 从而有为的一特征值, 这与为幂零矩阵相矛盾, 得证为非 退化.
性质3.1.2 一个阶幂零矩阵的特征多项式，从而它只有一个特 征值零。
证明： 设的一个特征值（一般为复数），则存在中非零列向量，使 AX 0=λ0X 0, A k X 0=λ0X 0，因，故必，于是的 特征多项式的根全为零，因而。
k
3.2 幂零矩阵的相似矩阵
引理3.2.1设阶数为，则，而。 引理3.2.2 设，为阶方阵，则
性质3.2.1 所有指数为的幂零矩阵彼此相似 证明：因为阶幂零矩阵，其指数为，则 当时，
所以的最小多项式
又为幂零矩阵，由性质1，的特征值全为0 因此的特征多项式
f (λ)=λE -A =λn =D n (λ)
所以 又因为
f (λ)=λE -A =λn =D n (λ)=d 1(λ)d 2(λ) d n (λ)
从而有，d n -2(λ)= =d 2(λ)=d 1(λ)=1 故所有阶次幂零矩阵具有相同的不变因子为 ，得证。
性质3.2.2 相似于对角形的幂零矩阵是零矩阵
证明：设为幂零矩阵，则, 使得，又设与对角形 相似，且令 易知，
则存在可逆矩阵, 使，又与相似，则有，则，因此，所以。
推论3.2.1 若为阶严格上三角矩阵，则是幂零矩阵。 证明：因为为阶严格上三角矩阵，故令
, 则显然有
⎡0⎢0⎢
2
A =AA =⎢
⎢⎢0⎢⎣0⎡0⎢0⎢
32
A =A A =⎢
⎢⎢0⎢⎣0
0* **⎤00 **⎥⎥
⎥, 进而有
⎥
00 00⎥00 00⎥⎦00 **⎤00 **⎥⎥
⎥, ,
⎥
00 00⎥00 00⎥⎦
所以存在，使。
注：显然对于严格的下三角矩阵也是幂零矩阵。证明类似如上
3.3 幂零矩阵的运算性质
（在矩阵中存在一些运算性质，幂零矩阵也不例外，而且这些运算性质在应用中也起到很重要的结论，其运算性质如下）
性质3.3.1 若为幂零矩阵且，则有 （1）(E -A )=E +A +A 2+ +A k -1
-1
（2）(mE +A )=
-1
111k -11k -1
(m ≠0) E -2A +3A 2+ +(-1)A k
m m m m
证明：（1）
=(E -A )E +A +A 2+ +A k -1 即(E -A )=E +A +A 2+ +A k -1
-1
()
()
（2）由（1）类似可得 (E +A )=E -A +A 2+ +(-1)
-1
(
k -1
A k -1
)
任意，则
-1
(mE +A ) =[m (E +
1
A )]-1 m
=
111
[E -A + +(-1) k -1k -1A k -1] m m m 111
E -2A + +(-1) k -1k A k -1 m m m
=
3.4 幂零矩阵与对角矩阵
引理3.4.1 设是阶幂零矩阵，则必存在可逆矩阵，使得
T -1AT =J =diag [J (λ1, n 1), , J (λn , n n )]，其中阶数为且，为的特征值（可能有相同），称这样的为的若尔当标准形式。每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似。
引理3.4.2 设为的最小多项式，则整除的任何化零多项式。
引理3.4.3阶复矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式无重根。
引理3.4.4阶若尔当块的最小多项式为，且 有。显然当时即为所定义的幂零矩阵。
性质3.4.1 非零的幂零矩阵不能对角化但对于任意的方阵，存在幂零矩阵 ，使得可以对角化
证明：因为为幂零矩阵，则存在正整数，使得且的特征值全
为0，为的特征多项式且，令为的最小多项式，由引理则有，从而有，由于所以，则此时，由引理，显然的最小多项式有重根，那么不可对角化。 因为为阶方阵，由引理可知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得 其中阶数为 令阶数为 则有阶数为
那么有，由定义得为幂零矩阵 现令
⎡J 1⎢
T -1BT =⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎤⎡J 1'+D 1⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎢J S ⎦⎣
'+D 2J 2
⎤
⎥
⎥=J '+D ⎥⎥'+D s ⎦J s
即B =T (J '+D )T -1=T J 'T -1+TDT -1 又为对角阵， 则上式可对角化 令，取，则有
⎡J 1'k
⎢J 'k =⎢
⎢⎢⎢⎣
'J 2
k
⎤
⎥
⎥=0 ⎥
k ⎥'⎥J S ⎦
⎡J 1'k
⎢k ⎢=(-1)T
⎢⎢⎢⎣
'J 2
k
N k =-T J 'T
(
-1k
)=(-1)T (J ')T
k
k
-1
⎤
⎥
⎥T -1=(-1)k T 0T -1=0⎥
⎥'k ⎦J 2⎥
即有可对角化且为幂零矩阵，得证。
推论3.4.1 设为幂零矩阵，且，那么与对角矩阵不相似。
证明：用反证法，设与对角矩阵相似，那么一定存在可逆矩阵, 使得 , 这样的对角线上的元素就是的特征值，又的特征值全为0，从而 因此, 与题设矛盾。 与对角矩阵不相似。
3.5 幂零矩阵与若尔当块
引理3.5.1 每一个阶幂零矩阵都与一个形如的矩阵相似，每一个是一个阶幂零若尔当块
引理3.5.2阶若尔当块的最小多项式为，且有。显然当时即为所定义的幂零矩阵。
性质3.5.1 若为幂零矩阵, 则的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块, 且的主对角线上的元素为0.
证明：为幂零矩阵, 可知的特征值全为0。
在复数域上, 存在可逆矩阵, 使得
⎡J 1⎢
-1
T AT =⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎤⎥⎥=J ⎥
⎥J S ⎦
其中
阶数为,
则为的特征值；又与相似, 所以与有相同的特 征值, 所以, 即的主对角线上的元素全为0; 所以有
,
则为幂零矩阵, 其幂零指数为,, 所以为幂零矩阵. 所以的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块, 且的主对角线上的元素为0.
通过以上幂零矩阵与若尔当块的密切联系，可以用它们的关系来推得以下这个 推论。
推论3.5.1阶幂零矩阵的幂零指数小于等于，且幂零指数等于其若尔 当形
矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.
证明：令为幂零矩阵，存在可逆矩阵, 使得
，
其中
阶数为, 且， 取，则 且有
⎡J 1⎢k
A =(T ⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎡J 1k ⎤
⎢⎥
⎥T -1) k ==T ⎢
⎢⎥
⎢⎥
J S ⎦⎢⎣
J 2
k
⎤
⎥
⎥T -1=T ⋅0⋅T -1=0 （1） ⎥
k ⎥J S ⎥⎦
即
若为的幂零指数，则， 若，则，且 由（1）式可得
⎡J 1
⎢
A k 0=(T ⎢
⎢⎢⎣
J 2
⎡J 1k 0⎤
⎢⎥
⎥T -1) k 0==T ⎢
⎢⎥
⎢⎥
J S ⎦⎢⎣
J 2
k 0
⎤
⎥
⎥T -1≠0 ⎥
k ⎥J S 0⎦⎥
这与矛盾，故，得证。
4. 应用
4.1 幂零矩阵在矩阵运算性质中的应用----求矩阵的逆
对于求矩阵的逆，我们也学习过有几种方法，通过幂零矩阵来求得一个 矩阵的逆是学习幂零矩阵运算性质上的应用。
引理4.1.1：在复数域上每一个阶矩阵都可以表示成一个可对角化的矩阵与一个幂零矩阵的和。 例1. 设, 求。
⎡46-15⎤⎡36-15⎤⎡100⎤
⎥=⎢12-5⎥+⎢010⎥=B +E 13-5解：由引理，A =⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎣12-4⎥⎦⎢⎣12-5⎥⎦⎢⎣001⎥⎦
其中且有
⎡36-15⎤⎡36-15⎤
⎥⎢12-5⎥=0 12-5 B 2=BB =⎢⎢⎥⎢⎥
⎢⎣12-5⎥⎦⎢⎣12-5⎥⎦
由性质知，
⎡100⎤⎡36-15⎤⎡-2-615⎤
⎥-⎢12-5⎥=⎢-1-15⎥ 010 =⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎣001⎥⎦⎢⎣12-5⎥⎦⎢⎣-1-26⎥⎦
例2. 设，求 解：令，其中
，且，由性质知
⎡⎢100
0⎤⎢a ⎥1A -1=(aE +B )
-1
=1⎢0
a 00⎥⎥
a E -1
a
2B =⎢
⎢⎢-1a 201⎥⎢1a 0⎥ ⎥⎢⎣-a
20
01⎥a ⎥⎦例4. ，求 解：
⎡⎢x 00 00⎤⎡100 00⎤
00 y x 0 00⎥⎢0 00⎥⎡00 A =⎢⎢⎥⎢
01⎥⎢0
⎢ ⎥ ⎥+
y ⎢1⎢⎢00y x 0⎥=x ⎢
⎥⎢⎢000 10⎥
⎢ ⎢⎥⎢001 ⎣000 y x ⎥⎦⎢⎣00
0 01⎥⎦
⎢⎣0
00 其中
，且
由性质知
2n -1
A -1
=1y -1E B B n n B n
x (E +x B n ) =x -x 2+x 3+ +(-1) x
n ⎡
⎢100 0⎤⎢x ⎥
⎢-y 1
=⎢
x 2
x 0 0⎥⎥
⎢⎢y 3
-y 1⎥⎢x 32
x 0⎥⎥⎢
x ⎢n -1
n -2
-3 ⎥
⎢⎣
(-1)
n -1y x n -1(-1)
n -2y x n -1
(-1)
n -3
y n x n -2
1⎥x ⎥⎥⎦
00⎤
00⎥⎥ ⎥00⎥
⎥10⎥⎦
4.2幂零矩阵的判断
学习了上面给出的有关幂零矩阵的性质等，我们要判断一个矩阵是否为幂零矩阵也是十分的方便。简单的给出如下几个矩阵： 例5.
解：由，易知, 从而，由性质知为幂零矩阵。事实上 例6.
解：由，易知，从而，故为幂零矩阵。事实上
4.3幂零矩阵的综合应用
例7. ，为阶方阵，为幂零矩阵且，则有
证明：由引理，在复数域上，存在可逆矩阵，使得
又为幂零矩阵 所以的特征值全为0，即
⎡λ1⎢
-1-1-1-1⎢T (A +B )T =T AT +T BT =T
⎢⎢⎣
λ2
⎤⎥⎥T ⎥
⎥λn ⎦
λ1
T
-1
(A +B )T
=T
-1
A +B T =-1
λ2
T
λN
λ1
又可逆，则，A +B =
λ2
=λ1λ2 λn
λN
由知为的特征值 则 故
例8. ，，为阶方阵，且AC =CA , BC =CB , C =AB -BA , 证明：存在自然数，使得
证明：由于AC =CA , BC =CB , C =AB -BA
C k =C k -1(AB -BA ) =C k -1AB -C k -1BA =A (C k -1B ) -(BC k -1) A
故trC k =trA (C k -1B ) -tr (C k -1B ) A =0 故为幂零矩阵
由性质知，使得，得证。
参考文献
[1] 张禾瑞、郝鈵新．高等代数（第五版）[M]．北京：高等教育出版社，2007． [2] 蓝以中．高等代数教程 [M]．北京：北京大学出版社，1988． [3] 北大数力系．高等代数 [M]．北京：人民教育出版社，1977．
[4] 杨子胥. 高等代数习题解（下册）[M]. 济南:山东科技出版 [5] 韩道兰、罗雁、黄宗文．幂零矩阵的性质及其应用[J ]．玉林师范学院学报宝鸡文理学院 [6] 姜海勤. 幂零矩阵性质的一个应用[J ]. 泰州职业技术学院学报,2004, 4(1) :54-57.
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[8] 杨子胥. 高等代数习题解（下册）[M]. 济南:山东科技出版