["基本不等式"省优质课比赛教学设计及反思]

“

一． 教材分析



ab

”教学设计 2

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A版）第三章第4节第一课时，主要

ab

的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从

2abab





的应用，而且在基本不等式

22

ab的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时

2



在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．

二．学情分析

学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．

三．目标分析

教学目标：

1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．

2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用．

3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦．

教学重难点：

的证明过程．



ab2

ab

等号成立条件． 2

四．教学策略

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．

教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合

学法: 自主学习与合作讨论相结合

教学手段: 黑板板书为主结合多媒体辅助教学

五．教学过程

Ⅰ．创设情境 引入课题

填写下表，

【问题1

的大小关系，从中你发现了什么结论？ 2

猜想得到结论：一般的，如果

ab

(当且仅当a

b时取""号

) 2

【问题2】你能给出它的证明吗？ a,bR+,

证法1 用比较法证明：

ab

ab 作差 2

221

=a2ab 变形

2

21

ab0 判断符号 =2



当且仅当a，即ab时取"" 取等条件 证法2 用分析法证明：

要证

ab

2

只要证 ab要证（2），只要证 ab0 （3） 要证（3），只要证 20 （4） 显然，（4）是成立的．当且仅当ab时，（4）中的等号成立．

设计意图:

通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法．

师归纳： （1）如果把

ab

看作是正数a,b的等差中项，ab看作是正数a,b的等比中项，那么该定理可以2

ab

为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数.本节定理还可叙述2

叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

（2）在数学中，我们称

为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. Ⅱ．自主探究 深化认识

1.认识基本不等式的几何背景

【问题3】能否给基本不等式一个几何解释呢？ 探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，

ACa,BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD

．你能利用这个图形得出基本不等式



ab

的几何解释吗？ 2

2

易证RtACD∽RtDCB，那么CDCA

CB，即CD这个圆的半径为

abab

ab， ，显然，它大于或等于CD，即

22

ab

几何意义是“半径不小于半弦” 2

其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.



设计意图:

通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解．

2.拓广探究

（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图．它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的．早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一．弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机．

（展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标．这个会标设计源于古代弦图．它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献．今天咱们也来研究一下弦图．

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 1． 探究图形中的不等关系

【问题4】请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不 等关系?

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中四个全等的直角三角形．设直角三角形 的两条直角边长为a,b

4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：

2

2

a2b22ab．(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正

方形的面积．)

【问题5】大家看，这个图形里还真有点奥妙．我们从图中找到了一个不等式．这里a、b的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？

22

当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有ab2ab．

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号) 3．思考证明：你能给出它的证明吗？

22

证明：因为 a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20, 所以，(ab)20，即(a2b2)2ab. 师归纳：

（1）从上述两个不等式中，可以发现，如果a0,b0, 对于不等式(a2b2)2ab，

a,b

，可得ab



ab

(a>0,b>0) 2

（2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数与形是一个事物的两个方面．

设计意图:

通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化． Ⅲ．实际运用 强化新知

【例题】（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大 解：（1）设矩形菜园的长为x由

m ,宽为ym,则xy100, 篱笆的长为2（xy）m

xy

 2

可得

xy2（x

y）40

等号当且仅当xy时成立，此时xy10，因此，这个矩形的长、宽为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m．

(2)设矩形菜园的长为x由



m,宽为ym,则2（xy）=36，xy=18，矩形菜园的面积为xy

m2，

xy18

9,可得 xy81, 22

可得等号当且仅当xy时成立，此时xy9

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2．

设计意图:

证明：因为 a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

师归纳：

（1）从上述两个不等式中，可以发现，如果a0,b0, 对于不等式(a2b2)2ab，

a,b

，可得ab

ab(a>0,b>0) 2

（2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数与形是一个事物的两个方面． 设计意图:

通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化．

Ⅲ．实际运用 强化新知

【例题】（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为x

由

m ,宽为ym,则xy100, 篱笆的长为2（xy）m xy 2

可得

xy2（xy）40

等号当且仅当xy时成立，此时xy10，因此，这个矩形的长、宽为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m．

(2)设矩形菜园的长为x

由

m,宽为ym,则2（xy）=36，xy=18，矩形菜园的面积为xy m2，xy189,可得 xy81, 22

可得等号当且仅当xy时成立，此时xy9

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2．

设计意图:

让学生初步运用基本不等式解决实际问题, 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活．

Ⅳ．回顾反思 拓展延伸

1.课堂小结

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实

现对基本不等式认识的再次深化．

①体会从特殊到一般的研究方法；

②体会数形结合的数学思想；

③体会归纳、猜想、证明的思维方法；

④掌握基本不等式，理解它的几何背景，并能运用它解决实际问题．

设计意图:

小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一方面，更是对

探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训．

2.作业布置

必做题:P.113—1、2、3、4

选做题：

1.已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P，那么和x

y有最小值xy；

S2

（2）如果和xy是定值S，那么积xy有最大值，此时xy． 4

2.当a>0,b>0



—————————————ab成立，若ai0(i1,2,3,,n)，则有不等式———————————————2成立．

研究性作业：

（1）设a＞0，b＞0，称2ab为a,b的调和平均数．如图，Cab为线段

作半AB上的点，且ACa,CBb，O为AB中点，以AB为直径

圆．过点C作OD的垂线，垂足为E，连结AD,BD,则图中线段 的长度是a,b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数．

ab（2）已知a,b

都是正数，证明：．

112ab2

设计意图:

分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，发挥自己的潜能．

六．教学反思

新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途．教师应该尽力做好学生探究活动的引路人．在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念．

“

一． 教材分析



ab

”教学设计 2

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A版）第三章第4节第一课时，主要

ab

的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从

2abab





的应用，而且在基本不等式

22

ab的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时

2



在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．

二．学情分析

学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．

三．目标分析

教学目标：

1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．

2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用．

3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦．

教学重难点：

的证明过程．



ab2

ab

等号成立条件． 2

四．教学策略

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．

教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合

学法: 自主学习与合作讨论相结合

教学手段: 黑板板书为主结合多媒体辅助教学

五．教学过程

Ⅰ．创设情境 引入课题

填写下表，

【问题1

的大小关系，从中你发现了什么结论？ 2

猜想得到结论：一般的，如果

ab

(当且仅当a

b时取""号

) 2

【问题2】你能给出它的证明吗？ a,bR+,

证法1 用比较法证明：

ab

ab 作差 2

221

=a2ab 变形

2

21

ab0 判断符号 =2



当且仅当a，即ab时取"" 取等条件 证法2 用分析法证明：

要证

ab

2

只要证 ab要证（2），只要证 ab0 （3） 要证（3），只要证 20 （4） 显然，（4）是成立的．当且仅当ab时，（4）中的等号成立．

设计意图:

通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法．

师归纳： （1）如果把

ab

看作是正数a,b的等差中项，ab看作是正数a,b的等比中项，那么该定理可以2

ab

为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数.本节定理还可叙述2

叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

（2）在数学中，我们称

为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. Ⅱ．自主探究 深化认识

1.认识基本不等式的几何背景

【问题3】能否给基本不等式一个几何解释呢？ 探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，

ACa,BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD

．你能利用这个图形得出基本不等式



ab

的几何解释吗？ 2

2

易证RtACD∽RtDCB，那么CDCA

CB，即CD这个圆的半径为

abab

ab， ，显然，它大于或等于CD，即

22

ab

几何意义是“半径不小于半弦” 2

其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.



设计意图:

通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解．

2.拓广探究

（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图．它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的．早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一．弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机．

（展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标．这个会标设计源于古代弦图．它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献．今天咱们也来研究一下弦图．

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 1． 探究图形中的不等关系

【问题4】请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不 等关系?

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中四个全等的直角三角形．设直角三角形 的两条直角边长为a,b

4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：

2

2

a2b22ab．(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正

方形的面积．)

【问题5】大家看，这个图形里还真有点奥妙．我们从图中找到了一个不等式．这里a、b的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？

22

当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有ab2ab．

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号) 3．思考证明：你能给出它的证明吗？

22

证明：因为 a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20, 所以，(ab)20，即(a2b2)2ab. 师归纳：

（1）从上述两个不等式中，可以发现，如果a0,b0, 对于不等式(a2b2)2ab，

a,b

，可得ab



ab

(a>0,b>0) 2

（2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数与形是一个事物的两个方面．

设计意图:

通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化． Ⅲ．实际运用 强化新知

【例题】（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大 解：（1）设矩形菜园的长为x由

m ,宽为ym,则xy100, 篱笆的长为2（xy）m

xy

 2

可得

xy2（x

y）40

等号当且仅当xy时成立，此时xy10，因此，这个矩形的长、宽为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m．

(2)设矩形菜园的长为x由



m,宽为ym,则2（xy）=36，xy=18，矩形菜园的面积为xy

m2，

xy18

9,可得 xy81, 22

可得等号当且仅当xy时成立，此时xy9

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2．

设计意图:

证明：因为 a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

师归纳：

（1）从上述两个不等式中，可以发现，如果a0,b0, 对于不等式(a2b2)2ab，

a,b

，可得ab

ab(a>0,b>0) 2

（2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数与形是一个事物的两个方面． 设计意图:

通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化．

Ⅲ．实际运用 强化新知

【例题】（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为x

由

m ,宽为ym,则xy100, 篱笆的长为2（xy）m xy 2

可得

xy2（xy）40

等号当且仅当xy时成立，此时xy10，因此，这个矩形的长、宽为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m．

(2)设矩形菜园的长为x

由

m,宽为ym,则2（xy）=36，xy=18，矩形菜园的面积为xy m2，xy189,可得 xy81, 22

可得等号当且仅当xy时成立，此时xy9

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2．

设计意图:

让学生初步运用基本不等式解决实际问题, 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活．

Ⅳ．回顾反思 拓展延伸

1.课堂小结

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实

现对基本不等式认识的再次深化．

①体会从特殊到一般的研究方法；

②体会数形结合的数学思想；

③体会归纳、猜想、证明的思维方法；

④掌握基本不等式，理解它的几何背景，并能运用它解决实际问题．

设计意图:

小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一方面，更是对

探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训．

2.作业布置

必做题:P.113—1、2、3、4

选做题：

1.已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P，那么和x

y有最小值xy；

S2

（2）如果和xy是定值S，那么积xy有最大值，此时xy． 4

2.当a>0,b>0



—————————————ab成立，若ai0(i1,2,3,,n)，则有不等式———————————————2成立．

研究性作业：

（1）设a＞0，b＞0，称2ab为a,b的调和平均数．如图，Cab为线段

作半AB上的点，且ACa,CBb，O为AB中点，以AB为直径

圆．过点C作OD的垂线，垂足为E，连结AD,BD,则图中线段 的长度是a,b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数．

ab（2）已知a,b

都是正数，证明：．

112ab2

设计意图:

分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，发挥自己的潜能．

六．教学反思

新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途．教师应该尽力做好学生探究活动的引路人．在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念．