高考导数题型分析及解题方法
本知识单元考查题型与方法：
※※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=
y 2-y 1
，三代切点入切线、曲线联立方程求解）；
x 2-x 1
※※其它问题（一求导数，二解f ' (x ) =0的根—若含字母分类讨论，三列3行n 列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。）
特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。 关注几点：
恒成立：（1）定义域任意x 有f (x ) >k,则f (x ) min >常数k ； （2）定义域任意x 有f (x )
恰成立：（1）对定义域内任意x 有f (x ) >g (x ) 恒成立，则【f (x )-g (x ) 】min >0, （2）若对定义域内任意x 有f (x )
能成立：（1）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数f (x ) 和g (x ) ，对任意的x 1∈[a , b ],存在x 2∈[c , d ],使得
f (x 1)
（2）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数f (x ) 和g (x ) ，对任意的x 1∈[a , b ],存在x 2∈[c , d ],使得f (x 1) >g (x 2) ，则f (x ) min >g (x ) min
一、考纲解读
考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等
二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32
f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 2 1．
2
2．已知函数y =f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值，则常数c ＝ 6 ；
3．函数y =1+3x -x 有极小值 －1 , 极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
3
(-1, -3)处的切线方程是 y =x -2 y =4x -x 1．曲线在点
4
2．若曲线f (x ) =x -x 在P 点处的切线平行于直线3x -y =0，则P 点的坐标为 （1，0）
3
4
y =x 3．若曲线的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为 4x -y -3=0
4．求下列直线的方程：
322
（1）曲线y =x +x +1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y =x 过点P(3,5)的切线；
解：（1）
点P (-1, 1) 在曲线y =x 3+x 2+1上， ∴y /=3x 2+2x ∴k =y /|x =－1=3－2=1
即x -y +2=0 所以切线方程为y -1=x +1 ，
2/
（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为A (x 0, y 0) ，则y 0=x 0①又函数的导数为y =2x ，
所以过A (x 0, y 0) 点的切线的斜率为
k =y |x =x 0=2x 0
/
，又切线过A (x 0, y 0) 、P(3,5)点，所以有
2x 0=
y 0-5x 0-3
②，由①②联
⎧x 0=1⎧x 0=5⎨y =1 或 ⎨y =25
⎩0
立方程组得，⎩0，即切点为（1，1）时，切线斜率为k 1=2x 0=2; ；当切点为（5，25）时，切线斜 即y =2x -1 或y =10x -25 率为k 2=2x 0=10；所以所求的切线有两条，方程分别为y -1=2(x -1) 或y -25=10(x -5) ，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32
f (x ) =x +ax +bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为y=3x+1 1．已知函数
（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y =f (x ) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y =f (x ) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
322
解：（1）由f (x ) =x +ax +bx +c , 求导数得f '(x ) =3x +2ax +b .
'过y =f (x ) 上点P (1, f (1)) 的切线方程为： y -f (1) =f (1)(x -1), 即y -(a +b +c +1) =(3+2a +b )(x -1).
的切线方程为y =3x +1. 而过y =f (x ) 上P [1, f (1)]
⎧3+2a +b =3⎨
故⎩a -c =-3
⎧2a +b =0即⎨
⎩a -c =-3
① ②
'∵y =f (x ) 在x =-2时有极值, 故f (-2) =0, ∴-4a +b =-12 ③
232
'f (x ) =3x +4x -4=(3x -2)(x +2). f (x ) =x +2x -4x +5. 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ （2）
2
-3≤x 0; 当-2≤x
3当
2
当0. ∴f (x ) 极大=f (-2) =133 又f (1) =4, ∴f (x ) 在[－3，1]上最大值是13。
2
'f (x )=3x +2ax +b , 由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2''f (x ) f (x ) 3x -bx +b ≥0. 依题意在[－2，1]上恒有≥0，即
x =
①当
b
≥1时, f '(x ) min =f '(1) =3-b +b >0, ∴b ≥66； b
≤-2时, f '(x ) min =f '(-2) =12+2b +b ≥0, ∴b ∈φ6；
x =
②当
612b -b 2-2≤≤1时, f '(x ) min =≥0, 则0≤b ≤6.
b 12③当
综上所述，参数b 的取值范围是[0, +∞)
32
f (x ) =x +ax +bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4． 2．已知三次函数
(1) 求函数y =f (x ) 的表达式； (2) 求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；
(3) 若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、n 应满足的条件． '(x ) =3x 2+2ax +b f 解：(1) ，
2
由题意得，1, -1是3x +2ax +b =0的两个根，解得，a =0, b =-3．
3
f (-2) =-4f (x ) =x -3x -2． c =-2再由可得．∴'(x ) =3x 2-3=3(x +1)(x -1) f (2) ，
''''
当x 0；当x =-1时，f (x ) =0；当-1
当x >1时，f (x ) >0．∴函数f (x ) 在区间(-∞, -1]上是增函数；
]上是减函数；在区间[1,+∞) 上是增函数。函数f (x ) 的极大值是f (-1) =0，极小值是f (1)=-4． 在区间[-1, １
(3) 函数g (x ) 的图象是由f (x ) 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数f (x ) 在区间[-3, n -m ]上的值域为[-4-4m ,16-4m ]（m >0）． 而f (-3) =-20，∴-4-4m =-20，即m =4．
于是，函数f (x ) 在区间[-3, n -4]上的值域为[-20, 0]．
2，即3剟n
6．
令f (x ) =0得x =-1或x =2．由f (x ) 的单调性知，-1剟n -4综上所述，m 、n 应满足的条件是：m =4，且3剟n 3．设函数f (x ) =x (x -a )(x -b ) ．
6．
（1）若f (x ) 的图象与直线5x -y -8=0相切，切点横坐标为２，且f (x ) 在x =1处取极值，求实数a , b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数f (x ) 总有两个不同的极值点．
2'f (x )=3x -2(a +b ) x +ab . 由题意f '(2)=5, f '(1)=0，代入上式，解之得：a=1，b=1． 解：（1）22
'令f (x ) =0得方程3x -2(a +1) x +a =0. ∆=4(a -a +1) >0, 故方程有两个不（2）当b=1时， 因
' '
x , x x
f (x ) ＞０；当x 1x 2时，f (x ) ＞０ 当x
因此x 1是极大值点，x 2是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数f (x ) 总有两个不同的极值点。 题型四：利用导数研究函数的图象
/
f (x ) 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ） 1．如右图：是f （x ）的导函数，
' ' '
（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数
y =
13
x -4x +1的图像为3( A )
322x -6x +7=0在(0, 2) 内根的个数为 ( B ) 3．方程
A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1
f (x ) =-x 3+2ax 2-3a 2x +b , 0
31．设函数
' （1）求函数f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当x ∈[a +1, a +2]时，恒有|f (x ) |≤a ，试确定a 的取值范围.
22
x =a , x 2=3a ''f (x ) =-x +4ax -3a 解：（1）=-(x -3a )(x -a ) ，令f (x ) =0得1
列表如下：
x （-∞，a ） a
（a ，3a ） 3a +
0 极大
（3a ，+∞） -
f '(x ) f (x )
- 0 极小
∴f (x ) 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减
4
f 极小(x ) =b -a 3
3，x =3a 时，f 极小(x ) =b x =a 时，
22
''f (x ) =-x +4ax -3a （2）∵0
'=-(a +1) 2+4a (a +1) -3a 2=2a -1f min '=-(a +2) 2+4a (a +2) -3a 2=4a -4f Max ∴，
'|≤a |f '|≤a ，|f min '依题|f (x ) |≤a ⇔Max 即|2a -1|≤a ,|4a -4|≤a
44
≤a ≤1[,1) 解得5，又0
2
2．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区
间（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）
－
由f '（
21241
－a ＋b ＝0－
3）＝93，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝2，b ＝－2
f '（x
22
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－3）与（1，＋∞），递减区间是（－3，1） 1222（2）f （x ）＝x3－2x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－3时，f （x ）＝27＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ）f （2）＝2＋c ，解得c 2 题型六：利用导数研究方程的根
13
1．已知平面向量a =(3, －1). b =(2, 2).
（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3) b ，y =-ka +tb ，x ⊥y ，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况.
y x ⋅y 解：(1)∵x ⊥，∴=0 即[a +(t2-3) b ]·(-ka +tb )=0.
2 2
b =0 整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ⋅b + (t2-3)·
高考导数题型分析及解题方法
本知识单元考查题型与方法：
※※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=
y 2-y 1
，三代切点入切线、曲线联立方程求解）；
x 2-x 1
※※其它问题（一求导数，二解f ' (x ) =0的根—若含字母分类讨论，三列3行n 列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。）
特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。 关注几点：
恒成立：（1）定义域任意x 有f (x ) >k,则f (x ) min >常数k ； （2）定义域任意x 有f (x )
恰成立：（1）对定义域内任意x 有f (x ) >g (x ) 恒成立，则【f (x )-g (x ) 】min >0, （2）若对定义域内任意x 有f (x )
能成立：（1）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数f (x ) 和g (x ) ，对任意的x 1∈[a , b ],存在x 2∈[c , d ],使得
f (x 1)
（2）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数f (x ) 和g (x ) ，对任意的x 1∈[a , b ],存在x 2∈[c , d ],使得f (x 1) >g (x 2) ，则f (x ) min >g (x ) min
一、考纲解读
考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等
二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32
f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 2 1．
2
2．已知函数y =f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值，则常数c ＝ 6 ；
3．函数y =1+3x -x 有极小值 －1 , 极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
3
(-1, -3)处的切线方程是 y =x -2 y =4x -x 1．曲线在点
4
2．若曲线f (x ) =x -x 在P 点处的切线平行于直线3x -y =0，则P 点的坐标为 （1，0）
3
4
y =x 3．若曲线的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为 4x -y -3=0
4．求下列直线的方程：
322
（1）曲线y =x +x +1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y =x 过点P(3,5)的切线；
解：（1）
点P (-1, 1) 在曲线y =x 3+x 2+1上， ∴y /=3x 2+2x ∴k =y /|x =－1=3－2=1
即x -y +2=0 所以切线方程为y -1=x +1 ，
2/
（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为A (x 0, y 0) ，则y 0=x 0①又函数的导数为y =2x ，
所以过A (x 0, y 0) 点的切线的斜率为
k =y |x =x 0=2x 0
/
，又切线过A (x 0, y 0) 、P(3,5)点，所以有
2x 0=
y 0-5x 0-3
②，由①②联
⎧x 0=1⎧x 0=5⎨y =1 或 ⎨y =25
⎩0
立方程组得，⎩0，即切点为（1，1）时，切线斜率为k 1=2x 0=2; ；当切点为（5，25）时，切线斜 即y =2x -1 或y =10x -25 率为k 2=2x 0=10；所以所求的切线有两条，方程分别为y -1=2(x -1) 或y -25=10(x -5) ，
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32
f (x ) =x +ax +bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为y=3x+1 1．已知函数
（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y =f (x ) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y =f (x ) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
322
解：（1）由f (x ) =x +ax +bx +c , 求导数得f '(x ) =3x +2ax +b .
'过y =f (x ) 上点P (1, f (1)) 的切线方程为： y -f (1) =f (1)(x -1), 即y -(a +b +c +1) =(3+2a +b )(x -1).
的切线方程为y =3x +1. 而过y =f (x ) 上P [1, f (1)]
⎧3+2a +b =3⎨
故⎩a -c =-3
⎧2a +b =0即⎨
⎩a -c =-3
① ②
'∵y =f (x ) 在x =-2时有极值, 故f (-2) =0, ∴-4a +b =-12 ③
232
'f (x ) =3x +4x -4=(3x -2)(x +2). f (x ) =x +2x -4x +5. 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ （2）
2
-3≤x 0; 当-2≤x
3当
2
当0. ∴f (x ) 极大=f (-2) =133 又f (1) =4, ∴f (x ) 在[－3，1]上最大值是13。
2
'f (x )=3x +2ax +b , 由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2''f (x ) f (x ) 3x -bx +b ≥0. 依题意在[－2，1]上恒有≥0，即
x =
①当
b
≥1时, f '(x ) min =f '(1) =3-b +b >0, ∴b ≥66； b
≤-2时, f '(x ) min =f '(-2) =12+2b +b ≥0, ∴b ∈φ6；
x =
②当
612b -b 2-2≤≤1时, f '(x ) min =≥0, 则0≤b ≤6.
b 12③当
综上所述，参数b 的取值范围是[0, +∞)
32
f (x ) =x +ax +bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4． 2．已知三次函数
(1) 求函数y =f (x ) 的表达式； (2) 求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；
(3) 若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、n 应满足的条件． '(x ) =3x 2+2ax +b f 解：(1) ，
2
由题意得，1, -1是3x +2ax +b =0的两个根，解得，a =0, b =-3．
3
f (-2) =-4f (x ) =x -3x -2． c =-2再由可得．∴'(x ) =3x 2-3=3(x +1)(x -1) f (2) ，
''''
当x 0；当x =-1时，f (x ) =0；当-1
当x >1时，f (x ) >0．∴函数f (x ) 在区间(-∞, -1]上是增函数；
]上是减函数；在区间[1,+∞) 上是增函数。函数f (x ) 的极大值是f (-1) =0，极小值是f (1)=-4． 在区间[-1, １
(3) 函数g (x ) 的图象是由f (x ) 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数f (x ) 在区间[-3, n -m ]上的值域为[-4-4m ,16-4m ]（m >0）． 而f (-3) =-20，∴-4-4m =-20，即m =4．
于是，函数f (x ) 在区间[-3, n -4]上的值域为[-20, 0]．
2，即3剟n
6．
令f (x ) =0得x =-1或x =2．由f (x ) 的单调性知，-1剟n -4综上所述，m 、n 应满足的条件是：m =4，且3剟n 3．设函数f (x ) =x (x -a )(x -b ) ．
6．
（1）若f (x ) 的图象与直线5x -y -8=0相切，切点横坐标为２，且f (x ) 在x =1处取极值，求实数a , b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数f (x ) 总有两个不同的极值点．
2'f (x )=3x -2(a +b ) x +ab . 由题意f '(2)=5, f '(1)=0，代入上式，解之得：a=1，b=1． 解：（1）22
'令f (x ) =0得方程3x -2(a +1) x +a =0. ∆=4(a -a +1) >0, 故方程有两个不（2）当b=1时， 因
' '
x , x x
f (x ) ＞０；当x 1x 2时，f (x ) ＞０ 当x
因此x 1是极大值点，x 2是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数f (x ) 总有两个不同的极值点。 题型四：利用导数研究函数的图象
/
f (x ) 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ） 1．如右图：是f （x ）的导函数，
' ' '
（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数
y =
13
x -4x +1的图像为3( A )
322x -6x +7=0在(0, 2) 内根的个数为 ( B ) 3．方程
A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1
f (x ) =-x 3+2ax 2-3a 2x +b , 0
31．设函数
' （1）求函数f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当x ∈[a +1, a +2]时，恒有|f (x ) |≤a ，试确定a 的取值范围.
22
x =a , x 2=3a ''f (x ) =-x +4ax -3a 解：（1）=-(x -3a )(x -a ) ，令f (x ) =0得1
列表如下：
x （-∞，a ） a
（a ，3a ） 3a +
0 极大
（3a ，+∞） -
f '(x ) f (x )
- 0 极小
∴f (x ) 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减
4
f 极小(x ) =b -a 3
3，x =3a 时，f 极小(x ) =b x =a 时，
22
''f (x ) =-x +4ax -3a （2）∵0
'=-(a +1) 2+4a (a +1) -3a 2=2a -1f min '=-(a +2) 2+4a (a +2) -3a 2=4a -4f Max ∴，
'|≤a |f '|≤a ，|f min '依题|f (x ) |≤a ⇔Max 即|2a -1|≤a ,|4a -4|≤a
44
≤a ≤1[,1) 解得5，又0
2
2．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区
间（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）
－
由f '（
21241
－a ＋b ＝0－
3）＝93，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝2，b ＝－2
f '（x
22
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－3）与（1，＋∞），递减区间是（－3，1） 1222（2）f （x ）＝x3－2x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－3时，f （x ）＝27＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ）f （2）＝2＋c ，解得c 2 题型六：利用导数研究方程的根
13
1．已知平面向量a =(3, －1). b =(2, 2).
（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3) b ，y =-ka +tb ，x ⊥y ，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况.
y x ⋅y 解：(1)∵x ⊥，∴=0 即[a +(t2-3) b ]·(-ka +tb )=0.
2 2
b =0 整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ⋅b + (t2-3)·