专题五 最值问题
试试看：与最值有关的知识与题目能想起多少？
说明： 最值问题是指最大最小、最多最少、最长最短问题，让我们翻开记忆，按最值问题在课本出现的顺序搜索一下：
（1）两点之间线段最短； （2）垂线段最短； （3）不等式的最大（小）解； （4）二次整式最值； （5）线段和最小差最大； （6）勾股对称最短路径； （7）一次函数最优方案； （8）二次函数的最值；
（9）圆中最长弦是直径； （10）圆的最近（远）距离－－－
以上所列，有的是同一问题、有的是具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”）、有的很少出现，为了简捷实用，提升能力、直面中考，通过整理，就以下几个问题展开研究：
（1）两点之间线段最短； （2）垂线段最短
（3）圆中最长弦是直径； （4）两正数和的最小值 （5）不等式一次函数最优方案； （6）二次函数最值； （7）几何最值探究 一、两点之间线段最短
（一）线段和（PA ＋PB ）最小：“两点之间线段最短”与轴对称结合.
【通法】求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”；作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与另一点的线段长即为该最小距离，该线段与这条直线的交点即为所求点. 例6－1－1 几何模型
（1）如图6－1－1①，点A 、B 位于直线m 异侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小. 你的根据是 .
B
m
图6－1－1
B
图6－1－1
m
（2）如图6－1－1②，点A 、B 位于直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小. 你的根据是：
A ：.
B ： . 模型应用：
（3）如图6－1－1③，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一点，则PE ＋PB 的最小值为 . 图6－1－1
图6－1－1
C
B
（4）如图6－1－1④，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是BC 、CD
的
中点，P 是对角线BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值＝ .
（5）如图6－1－1⑤，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝3，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 .
【规律】题目背景不对，但解决问题方法一样，都是作对称点、连线段、求最值.
体验与感悟6－1－1
1. （1）如图6－1－2①，在等边△ABC 中，AB ＝6，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使PB ＋PE 的值最小，最小值为 .
（2）如图6－1－2②，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，则PA ＋PC 的最小值是 ；
图6－1－2
C
图6－1－2B
图6－1－2
（3）如图6－1－2③，点D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边的中点，BC ＝6，BC 边上的高为4，P 在BC 边上，则△PDE 周长的最小值为2. （1）如图6－1－3①，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（1，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为 .
（2）如图6－1－3② ，菱形ABCD 中AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK ＋QK 的最小值为.
图6－1－3
图6－1－
3
B
（3）如图6－1－3③，锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，AD 平分∠BAC ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 .
3. （1）如图6－1－4①，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值是 .
（2）如图6－1－4②，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝-
3(x
x
是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.
A . y ＝x B . y ＝x ＋1 C . y ＝x ＋2 D . y ＝x ＋
3
R
P
图6－1－4
A
a b
图6－1－5
4. 如图6－1－5已知，直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB ＝
a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a
且AM ＋MN ＋NB 的长度和最短，则此时AM ＋NB ＝（ ）
A .6 B .8 C .10 D .12 （二）“小虫爬行问题”
【通法】见“小虫爬行问题”作展开图构造Rt △，再用勾股定理求之.
例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC ＝2cm ，宽BC ＝1cm ，高AA ′＝4cm ，一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到B ′点的最短路径是多少？
【规律】“小小相加凑一边时路径最短. ”
B ′ A ′
′
蚂蚁 A
C 蜜蜂
A
图6－1－6
B
图6－1－
6
（2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm ?
【规律】“一点内一点外要用轴对称. ”
体验与感悟6－1－2
1. （1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，最短距离是（ ）
A
B .25 C
5 D .35
（2）6－1－7②，底面半径为3cm 的圆锥的主视图是个正三角形，C 是母线OB 的中点，则从圆锥表面从A 到C 的最短距离等于 cm .
（3）6－1－7③, 圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，爬行的最短路程（π取3）是（ ）cm .
A .20 B .10 C .14 D . 无法确定
（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH 是个无上底长方体容器，M 在容器内侧，位于侧棱BF 上，已知AB ＝5，BF ＝9，FM ＝3，则从外部的点A 到内部的点M 的最短距离等于 .
2. 如图6－1－8，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？
（三）两二次根式和的最小值
【通法】形如“求
（其中a ，b ，m 为正常数）的最小值”的
题目，在平面内画出线段AB ＝m ，使C 、D 在AB 两侧，并且CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，CA ＝a ，BD ＝b ，则CD 长即为所求.
例6－1－3
（0≤x ≤4）的最小值.
【规律】先把代数问题转化为直角三角形问题，再根据两点之间线段最短，借助勾股定理求最小值.
体验与感悟6－1－3
求函数y
（四）折叠最值
【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合情推理能力. 方法是：（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值. 例6－1－4 （1）如图6－1－9，折叠矩形纸片ABCD ，使B 点落在AD 上一点E 处，折痕的两端点M 、N 分别在AB 、BC 上（含端点），且AB ＝6，BC ＝10，设AE ＝x ，则x 的取值范围是 .
A
D
0≤x ≤12）的最小值.
B
图6－1－9
C
A
图6－1－10
（2）如图6－1－10，直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥AB ，AB ＝8，AD ＝CD ＝4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ，则P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于【规律】（1）A 、E 重合时k 最小为0， 的两端点在AB 、CD 上，不合题意，向下移动N 到C 时，得x 的最小值，继续沿BC 向B 移动N ，使M 上移至A 时，得到满足条件的x 最大值；（2）观察发现P 在线段DE 上时，PD 比P 在其它位置时小，并且DE 长等于DB 长时的PD 最小.
体验与感悟6－1－4
1. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，如图6－1－11，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动. 若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC .
B P
C
F
Q
图
6－
1－11
A
D
A
E
图6－1－12
2. 如图6－1－12，直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AD ＝CD ＝3，AB ＝6. 点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ，当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值为 .
（五）旋转最值（见第九单元旋转探究） （六）线段差（PA －PB ）最大
例6－1－6几何模型：
（1）如图6－1－13①，点A 、B 位于直线m 的同侧，在直线m 上一点P ，使∣AP －BP ∣的值最大.
.
B
m
图6－1－13
图6－1－
13
m
⑵如图6－1－13②，点A 、B 位于直线m 异侧，在直线m 上找一点P ，使︱AP －BP ︱的值最大．你作图的根据是：
A ：______________________________________________B ：_______________________________________模型应用
⑶如图6－1－13③，一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 、y 轴分别交于点A ，B ，D 为AB 的中点，C 、A 关于原点对称．P 为OB 上一动点，请直接写出︱PC －PD ︱的范围：___________________． 体验与感悟6－1－6
1．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对
图6-1-13③
值最大时，点P 的坐标是____________________．
2．在⊙O 所在的平面上有一点A ，它到⊙O 的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O 的半径为________________．
3．在A 、B 均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6－1－15，若P 是x 轴上使得︱P A －PB ︱的值最大的点，OP ＝__________________.
图6-1-14
图6-1-15
x
4．如图6－1－16，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1,0) 、C (0,4)两点，与x 轴交于另一B ． ⑴抛物线及对称轴分别为________________________________; ⑵点D 所在抛物线的对称轴上，求︱DB －DC ︱的最大值．
提醒：请回顾怎么解决求差的绝对值最大的题目．
二、垂线段最短[9] 说明：“垂线段最短”用的多，但人们意识到用它的少．只要涉及点到线、线到线距离用的都是“垂线段最短”，如高，与圆有关的位置关系等．
例6－2－1 ⑴如图6－2－1，⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的取值范围是_______________，写出它的一个可能值是______________________．
⑵如图6－2－2，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 最小值是（ ）
A ．2
B .3
C ．4
D .5
图6-2-1
图6-2-2
图6-2-3
C
⑶如图6－2－3，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ACB ＝30°，点E 在线段AB 上，且BE ＝1，点P 是线段AC 上的动点．将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，如果点E 不动，则线段EP 的最小值为_________________________．
例6－2－2 如图6－2－4，二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，tan ∠CBO ＝2．
⑴此二次函数的解析式为：_________________________________________; ⑵动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针方向旋转，到与直线AB 重合时终止运动，直线l 与线段BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点．
①直接写出点P 所经过的路线长_________________________________________.
②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．
6-2-4
体验与感悟6－2
1．如图6－2－5，等边△ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2＝y ，则y 与x 的函数图象大致是（
）
A
B 图6-2-5
C
D
2．如图6－2－6，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A 、B 是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OA ＝OB
⑴则A 、B 两点的坐标分别为__________、______________；
⑵画出线段AB 绕点O 旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．
3．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC ＝探究：
5
13
如图6－2－7①，AH ⊥BC 于点H ，AH ＝____________,AC ＝___________，△ABC 的面积S △ABC ＝___________________．
拓展
如图6－2－7②，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，CF ＝n （当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）
⑴用x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；
⑵求（m ＋n ）与x 的函数关系式，并求（m ＋n ）的最大值及最小值； ⑶对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现
请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出最小值．
图6-2-7①
图6-2-7②
C
三、圆中最长弦是直径
[9]
解法归一：求对
角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它． 例是6－3 如图6－3－1，等腰直角△ABC 斜边长为4，D 为是斜边AB 的中点，直角∠FDE 分别交AC 、BC 于F 、E ，则线段EF 的最小值是_________________．
图6-3-1
交流分享：EF 是△FDE 与△FCE 公共斜边，所以E 、C 、F 、D 四点在以EF 为直径的圆上，在这个圆中，总有EF ≥CD ，所以它的最小值等于CD 的长．
体验与感悟6－3
1．如图6－3－2，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交点G 、H 两点，若⊙O 的半径为6，则GE ＋FH 的最大值为_______________________． 提醒：请回顾一下这两题怎么用圆是最长弦的．
四、求两正数和的最小值[9]
解法归一：①由（a －b ）2≥0得a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时成立；
②对任意正数m , n 可设m ＝a 2、n ＝b 2(a 、b 为正数) ，则有m ＋n ＝a 2＋b 2≥2ab ＝
m ＋n ≥
m ＝n 时等号成立．
这是高中两个最重要的不等式．
③求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值． 例6-4-1
阅读理解：对任意实数a ，b ，
图6-3-2
2≥0，∴a －
b ≥0， ∴a ＋b ≥
a ＝b 时，等号成立． 根据上述内容，回答下列问题： ⑴若m ＞0，只有m ＝____时m ＋
1
有最小值______________；．． m
2
有最小值_____________；
n
⑵若n ＞0，只有n ＝_____时n ＋
⑶若x ＞0，只有x ＝______时，8x 2＋例6－4－2
2
有最小值___________________; 2x
如图6－4－1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上与点A 、B 不重合的任意一
点，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．请用本题图验证a ＋b ≥
, 并指出等号成立时的条件．
图6-4-1
B
交流分享：用相似证CD 2＝AD ×BD ．
例6-4-2 如图6－4－2，已知A （－3，0），B （0，－4），P 为双曲线y ＝
12
(x ＞0) 上任意一点，x
过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，求四边形ABCD 的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．
交流分享：利用P 点的坐标表示OD 、OC 的长．
体验与感悟6－4
1．公式：对于任意正数a 、b ，总有a
＋b ≥a ＝b 时，等号成立．
直接应用与变形应用
⑴已经y 1＝x （x ＞0），y 2＝x ＞0），则当x ＝____________时，y 1 ＋y 2取得最小值___________.
1
x
⑵已知函数y ＝x ＋
a
(a ＞0，x ＞0) ，当x ＝______________时，该函数有最小值_____________． x
y 2
的最小值，并指出相应的x y 1
⑶已知函数y 1＝x ＋1与函数y 2＝(x ＋1) 2＋4，当x ＞－1时，求的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次运输的路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
提醒：想一下求a ＋b 的最小值实际在考查什么？ 五、不等式、一次函数最优方案[8] 见第18单元，一次函数综合应用
六、二次函数最值[9]
22
解法归一：“二次整数ax ＋bx ＋c 最值”完全可以借助二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：a , b , c 为常数，且a ≠0） 例6-6-1 ⑴x 2－2x ＋6的最小值是_______________________; ⑵二次函数y ＝－x 2＋6x 的最大值是______________________．
例6－6－2 如图6－6－1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是BC 上任意一点（P 不与B 、C 重合），过点P 作AP ⊥PE 交CD 于点Ｅ．设BP 为x ，CE 为y ，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
D
E
图6-6-1
C
交流分享：线段最值可由相似建立二次函数模型求．
例6－6－3 如图6－6－2，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过点B （1，0），C （5，0），交纵轴于点A ，对称轴l 与x 轴相交于点M ．
⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A 的坐标_________________________;
⑵连接AC ，探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
图
6-6-2
体验与感悟6－
6
1．如图6－6－3，把一张边长为4的正方形ABCD 折叠，使B 点落在AD 上的E 处，折痕为MN ，设AE ＝x ，问x 为何值时，折起的四边形MNFE 面积最小，并求出这个最小面积的值．
E
图6-6-3
2．问题情境：已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0）, 当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型：设该矩形的长为x , 周长为y ，则y 与x 的函数关系式为：y ＝2(x ＋
a
)(x ＞0) ． x
探索研究：⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y ＝x ＋① 在图6－6－4中填写下表，并画出函数的图象．
② 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质;
1
(x ＞0) 的图象性质． x
③ 在求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 的最值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请
你用配方法求函数y ＝x ＋解决问题：
⑵用上述方法解决“问题情境“中的问题，直接写出答案． 交流分享：对任意非负数m ，可设m ＝t 2，其中t ＝
2 七、几何探究最值类[8] 例6－7－1 请阅读下列材料：
问题：如图6－7－1①，圆柱的高AB 和它的底面半径均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．
小明设计了两条路线：
路线1：走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC ）．
1
(x ＞0) 的最小值． x
路线2：走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB ＋BC 的长）
图6-7-1①
设路线1的长度为l 1，设路线2的长度为l 2，则
l 12＝AC 2＝AB 2＋
C
沿AB 剪开
摊平
图6-7-1②
D
¼BDC
2
l 22＝(AB ＋BC ) 2，将
¼长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）AB ＝5，BC ＝10，半圆弧BDC ：
l 12＝AC 2＝ ；
l 22＝(AB ＋BC ) 2＝ ；
l 12－l 22＝ . ∴l 12>l 22 ∴l 1>l 2 ∴选择路线2较短.
（1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm , 高AB 为5dm ”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）： 路线1：l 1＝AC ＝ ；
路线2：l 22＝(AB ＋BC ) 2＝ ；
22
∵l 1l 2，∴l 12（填>或
2
2
体验与感悟6－7－1
1. 在河岸l 同侧有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB ＝akm (a >1)现计划在河岸上建一抽水站P 向两个村庄供水.
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：
图6－7－2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d ，且d 1＝PB ＋BA (km )(其中PB ⊥l 于P 点) ；
图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2, 且d 2＝PA ＋PB (km )(其中点A ′与点A 关于l 对称，A ′B 与l 交于点P ).
图6－7－2
图6－7－2
图6－7－2
观察与计算：
（1）在方案一中，d 1＝ km (用含a 的式子表示) ；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2＝ km (用含a 的式子表示).
探索归纳：
（1）①当a ＝4时，比较大小：d 1d 2（填“>”或“＝”或“”或“＝”或“
请你就a （当a >1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
【总结】以上两题是打破学生的思维定势、训练学生思考全面性的经典好题.
例6－7－2动手操作
（1）如图6－7－3①，把矩形AA ′ B ′ B 卷成以AB 为高的圆柱形，则点A 与 重合，点B 与
.
B
′
A
图6－7－3
探究与发现
′
图6－7－3
图6－7－3
（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠
绕一圈丝线到顶部B 处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm ；（丝线的粗细忽略不计）
（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A 处沿侧面缠绕4圈直到顶部B 处（如图6－7－3③所示），则至少需要多长丝线？
创新与应用：
（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE 、CF 方向进行裁剪，如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sin α＝ .
图6－7－3
图6－7－3
C
【规律】（1）（2）略；（3）可看作把圆柱切成四段，求出一段的长再乘以4；（4）动手操作试试，看看AE 、BE 哪个等于底面周长. 本题融绕线、绕带问题于一题，是一道考查学生空间想象能力、分析能力的好题.
体验与感悟6－7－2
1. 如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形. 现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图6－7－4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
N
图6－7－
4
图6－7－
4
C
（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD ；
（2）计算按图6－7－4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.
图6－7－4
2. 如图6－7－5，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .
（1）求证：△AMB ≌△ENB ；
（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长.
B
图6－7－5
B 备用图
3. 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km . 现要求：在一边长为30km 的正方形区域内选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个区域. 问： （1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设地要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字说明你的理由. （下面给出的图6－7－6①至图6－7－6③是边长为30km 的正方形区域示意图，供解题时选用）
A
D
A
D
A
D
B
图6－7－6
C
B
图6－7－6
C
B
图6－7－6
C
专题五 最值问题
试试看：与最值有关的知识与题目能想起多少？
说明： 最值问题是指最大最小、最多最少、最长最短问题，让我们翻开记忆，按最值问题在课本出现的顺序搜索一下：
（1）两点之间线段最短； （2）垂线段最短； （3）不等式的最大（小）解； （4）二次整式最值； （5）线段和最小差最大； （6）勾股对称最短路径； （7）一次函数最优方案； （8）二次函数的最值；
（9）圆中最长弦是直径； （10）圆的最近（远）距离－－－
以上所列，有的是同一问题、有的是具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”）、有的很少出现，为了简捷实用，提升能力、直面中考，通过整理，就以下几个问题展开研究：
（1）两点之间线段最短； （2）垂线段最短
（3）圆中最长弦是直径； （4）两正数和的最小值 （5）不等式一次函数最优方案； （6）二次函数最值； （7）几何最值探究 一、两点之间线段最短
（一）线段和（PA ＋PB ）最小：“两点之间线段最短”与轴对称结合.
【通法】求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”；作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与另一点的线段长即为该最小距离，该线段与这条直线的交点即为所求点. 例6－1－1 几何模型
（1）如图6－1－1①，点A 、B 位于直线m 异侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小. 你的根据是 .
B
m
图6－1－1
B
图6－1－1
m
（2）如图6－1－1②，点A 、B 位于直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小. 你的根据是：
A ：.
B ： . 模型应用：
（3）如图6－1－1③，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一点，则PE ＋PB 的最小值为 . 图6－1－1
图6－1－1
C
B
（4）如图6－1－1④，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是BC 、CD
的
中点，P 是对角线BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值＝ .
（5）如图6－1－1⑤，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝3，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 .
【规律】题目背景不对，但解决问题方法一样，都是作对称点、连线段、求最值.
体验与感悟6－1－1
1. （1）如图6－1－2①，在等边△ABC 中，AB ＝6，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使PB ＋PE 的值最小，最小值为 .
（2）如图6－1－2②，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，则PA ＋PC 的最小值是 ；
图6－1－2
C
图6－1－2B
图6－1－2
（3）如图6－1－2③，点D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边的中点，BC ＝6，BC 边上的高为4，P 在BC 边上，则△PDE 周长的最小值为2. （1）如图6－1－3①，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（1，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为 .
（2）如图6－1－3② ，菱形ABCD 中AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK ＋QK 的最小值为.
图6－1－3
图6－1－
3
B
（3）如图6－1－3③，锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，AD 平分∠BAC ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 .
3. （1）如图6－1－4①，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值是 .
（2）如图6－1－4②，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝-
3(x
x
是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.
A . y ＝x B . y ＝x ＋1 C . y ＝x ＋2 D . y ＝x ＋
3
R
P
图6－1－4
A
a b
图6－1－5
4. 如图6－1－5已知，直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB ＝
a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a
且AM ＋MN ＋NB 的长度和最短，则此时AM ＋NB ＝（ ）
A .6 B .8 C .10 D .12 （二）“小虫爬行问题”
【通法】见“小虫爬行问题”作展开图构造Rt △，再用勾股定理求之.
例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC ＝2cm ，宽BC ＝1cm ，高AA ′＝4cm ，一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到B ′点的最短路径是多少？
【规律】“小小相加凑一边时路径最短. ”
B ′ A ′
′
蚂蚁 A
C 蜜蜂
A
图6－1－6
B
图6－1－
6
（2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm ?
【规律】“一点内一点外要用轴对称. ”
体验与感悟6－1－2
1. （1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，最短距离是（ ）
A
B .25 C
5 D .35
（2）6－1－7②，底面半径为3cm 的圆锥的主视图是个正三角形，C 是母线OB 的中点，则从圆锥表面从A 到C 的最短距离等于 cm .
（3）6－1－7③, 圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，爬行的最短路程（π取3）是（ ）cm .
A .20 B .10 C .14 D . 无法确定
（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH 是个无上底长方体容器，M 在容器内侧，位于侧棱BF 上，已知AB ＝5，BF ＝9，FM ＝3，则从外部的点A 到内部的点M 的最短距离等于 .
2. 如图6－1－8，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？
（三）两二次根式和的最小值
【通法】形如“求
（其中a ，b ，m 为正常数）的最小值”的
题目，在平面内画出线段AB ＝m ，使C 、D 在AB 两侧，并且CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，CA ＝a ，BD ＝b ，则CD 长即为所求.
例6－1－3
（0≤x ≤4）的最小值.
【规律】先把代数问题转化为直角三角形问题，再根据两点之间线段最短，借助勾股定理求最小值.
体验与感悟6－1－3
求函数y
（四）折叠最值
【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合情推理能力. 方法是：（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值. 例6－1－4 （1）如图6－1－9，折叠矩形纸片ABCD ，使B 点落在AD 上一点E 处，折痕的两端点M 、N 分别在AB 、BC 上（含端点），且AB ＝6，BC ＝10，设AE ＝x ，则x 的取值范围是 .
A
D
0≤x ≤12）的最小值.
B
图6－1－9
C
A
图6－1－10
（2）如图6－1－10，直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥AB ，AB ＝8，AD ＝CD ＝4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ，则P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于【规律】（1）A 、E 重合时k 最小为0， 的两端点在AB 、CD 上，不合题意，向下移动N 到C 时，得x 的最小值，继续沿BC 向B 移动N ，使M 上移至A 时，得到满足条件的x 最大值；（2）观察发现P 在线段DE 上时，PD 比P 在其它位置时小，并且DE 长等于DB 长时的PD 最小.
体验与感悟6－1－4
1. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，如图6－1－11，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动. 若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC .
B P
C
F
Q
图
6－
1－11
A
D
A
E
图6－1－12
2. 如图6－1－12，直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AD ＝CD ＝3，AB ＝6. 点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ，当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值为 .
（五）旋转最值（见第九单元旋转探究） （六）线段差（PA －PB ）最大
例6－1－6几何模型：
（1）如图6－1－13①，点A 、B 位于直线m 的同侧，在直线m 上一点P ，使∣AP －BP ∣的值最大.
.
B
m
图6－1－13
图6－1－
13
m
⑵如图6－1－13②，点A 、B 位于直线m 异侧，在直线m 上找一点P ，使︱AP －BP ︱的值最大．你作图的根据是：
A ：______________________________________________B ：_______________________________________模型应用
⑶如图6－1－13③，一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 、y 轴分别交于点A ，B ，D 为AB 的中点，C 、A 关于原点对称．P 为OB 上一动点，请直接写出︱PC －PD ︱的范围：___________________． 体验与感悟6－1－6
1．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对
图6-1-13③
值最大时，点P 的坐标是____________________．
2．在⊙O 所在的平面上有一点A ，它到⊙O 的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O 的半径为________________．
3．在A 、B 均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6－1－15，若P 是x 轴上使得︱P A －PB ︱的值最大的点，OP ＝__________________.
图6-1-14
图6-1-15
x
4．如图6－1－16，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1,0) 、C (0,4)两点，与x 轴交于另一B ． ⑴抛物线及对称轴分别为________________________________; ⑵点D 所在抛物线的对称轴上，求︱DB －DC ︱的最大值．
提醒：请回顾怎么解决求差的绝对值最大的题目．
二、垂线段最短[9] 说明：“垂线段最短”用的多，但人们意识到用它的少．只要涉及点到线、线到线距离用的都是“垂线段最短”，如高，与圆有关的位置关系等．
例6－2－1 ⑴如图6－2－1，⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的取值范围是_______________，写出它的一个可能值是______________________．
⑵如图6－2－2，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 最小值是（ ）
A ．2
B .3
C ．4
D .5
图6-2-1
图6-2-2
图6-2-3
C
⑶如图6－2－3，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ACB ＝30°，点E 在线段AB 上，且BE ＝1，点P 是线段AC 上的动点．将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，如果点E 不动，则线段EP 的最小值为_________________________．
例6－2－2 如图6－2－4，二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，tan ∠CBO ＝2．
⑴此二次函数的解析式为：_________________________________________; ⑵动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针方向旋转，到与直线AB 重合时终止运动，直线l 与线段BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点．
①直接写出点P 所经过的路线长_________________________________________.
②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．
6-2-4
体验与感悟6－2
1．如图6－2－5，等边△ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2＝y ，则y 与x 的函数图象大致是（
）
A
B 图6-2-5
C
D
2．如图6－2－6，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A 、B 是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OA ＝OB
⑴则A 、B 两点的坐标分别为__________、______________；
⑵画出线段AB 绕点O 旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．
3．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC ＝探究：
5
13
如图6－2－7①，AH ⊥BC 于点H ，AH ＝____________,AC ＝___________，△ABC 的面积S △ABC ＝___________________．
拓展
如图6－2－7②，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，CF ＝n （当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）
⑴用x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；
⑵求（m ＋n ）与x 的函数关系式，并求（m ＋n ）的最大值及最小值； ⑶对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现
请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出最小值．
图6-2-7①
图6-2-7②
C
三、圆中最长弦是直径
[9]
解法归一：求对
角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它． 例是6－3 如图6－3－1，等腰直角△ABC 斜边长为4，D 为是斜边AB 的中点，直角∠FDE 分别交AC 、BC 于F 、E ，则线段EF 的最小值是_________________．
图6-3-1
交流分享：EF 是△FDE 与△FCE 公共斜边，所以E 、C 、F 、D 四点在以EF 为直径的圆上，在这个圆中，总有EF ≥CD ，所以它的最小值等于CD 的长．
体验与感悟6－3
1．如图6－3－2，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交点G 、H 两点，若⊙O 的半径为6，则GE ＋FH 的最大值为_______________________． 提醒：请回顾一下这两题怎么用圆是最长弦的．
四、求两正数和的最小值[9]
解法归一：①由（a －b ）2≥0得a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时成立；
②对任意正数m , n 可设m ＝a 2、n ＝b 2(a 、b 为正数) ，则有m ＋n ＝a 2＋b 2≥2ab ＝
m ＋n ≥
m ＝n 时等号成立．
这是高中两个最重要的不等式．
③求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值． 例6-4-1
阅读理解：对任意实数a ，b ，
图6-3-2
2≥0，∴a －
b ≥0， ∴a ＋b ≥
a ＝b 时，等号成立． 根据上述内容，回答下列问题： ⑴若m ＞0，只有m ＝____时m ＋
1
有最小值______________；．． m
2
有最小值_____________；
n
⑵若n ＞0，只有n ＝_____时n ＋
⑶若x ＞0，只有x ＝______时，8x 2＋例6－4－2
2
有最小值___________________; 2x
如图6－4－1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上与点A 、B 不重合的任意一
点，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．请用本题图验证a ＋b ≥
, 并指出等号成立时的条件．
图6-4-1
B
交流分享：用相似证CD 2＝AD ×BD ．
例6-4-2 如图6－4－2，已知A （－3，0），B （0，－4），P 为双曲线y ＝
12
(x ＞0) 上任意一点，x
过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，求四边形ABCD 的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．
交流分享：利用P 点的坐标表示OD 、OC 的长．
体验与感悟6－4
1．公式：对于任意正数a 、b ，总有a
＋b ≥a ＝b 时，等号成立．
直接应用与变形应用
⑴已经y 1＝x （x ＞0），y 2＝x ＞0），则当x ＝____________时，y 1 ＋y 2取得最小值___________.
1
x
⑵已知函数y ＝x ＋
a
(a ＞0，x ＞0) ，当x ＝______________时，该函数有最小值_____________． x
y 2
的最小值，并指出相应的x y 1
⑶已知函数y 1＝x ＋1与函数y 2＝(x ＋1) 2＋4，当x ＞－1时，求的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次运输的路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
提醒：想一下求a ＋b 的最小值实际在考查什么？ 五、不等式、一次函数最优方案[8] 见第18单元，一次函数综合应用
六、二次函数最值[9]
22
解法归一：“二次整数ax ＋bx ＋c 最值”完全可以借助二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：a , b , c 为常数，且a ≠0） 例6-6-1 ⑴x 2－2x ＋6的最小值是_______________________; ⑵二次函数y ＝－x 2＋6x 的最大值是______________________．
例6－6－2 如图6－6－1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是BC 上任意一点（P 不与B 、C 重合），过点P 作AP ⊥PE 交CD 于点Ｅ．设BP 为x ，CE 为y ，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
D
E
图6-6-1
C
交流分享：线段最值可由相似建立二次函数模型求．
例6－6－3 如图6－6－2，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过点B （1，0），C （5，0），交纵轴于点A ，对称轴l 与x 轴相交于点M ．
⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A 的坐标_________________________;
⑵连接AC ，探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
图
6-6-2
体验与感悟6－
6
1．如图6－6－3，把一张边长为4的正方形ABCD 折叠，使B 点落在AD 上的E 处，折痕为MN ，设AE ＝x ，问x 为何值时，折起的四边形MNFE 面积最小，并求出这个最小面积的值．
E
图6-6-3
2．问题情境：已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0）, 当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型：设该矩形的长为x , 周长为y ，则y 与x 的函数关系式为：y ＝2(x ＋
a
)(x ＞0) ． x
探索研究：⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y ＝x ＋① 在图6－6－4中填写下表，并画出函数的图象．
② 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质;
1
(x ＞0) 的图象性质． x
③ 在求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 的最值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请
你用配方法求函数y ＝x ＋解决问题：
⑵用上述方法解决“问题情境“中的问题，直接写出答案． 交流分享：对任意非负数m ，可设m ＝t 2，其中t ＝
2 七、几何探究最值类[8] 例6－7－1 请阅读下列材料：
问题：如图6－7－1①，圆柱的高AB 和它的底面半径均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．
小明设计了两条路线：
路线1：走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC ）．
1
(x ＞0) 的最小值． x
路线2：走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB ＋BC 的长）
图6-7-1①
设路线1的长度为l 1，设路线2的长度为l 2，则
l 12＝AC 2＝AB 2＋
C
沿AB 剪开
摊平
图6-7-1②
D
¼BDC
2
l 22＝(AB ＋BC ) 2，将
¼长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）AB ＝5，BC ＝10，半圆弧BDC ：
l 12＝AC 2＝ ；
l 22＝(AB ＋BC ) 2＝ ；
l 12－l 22＝ . ∴l 12>l 22 ∴l 1>l 2 ∴选择路线2较短.
（1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm , 高AB 为5dm ”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）： 路线1：l 1＝AC ＝ ；
路线2：l 22＝(AB ＋BC ) 2＝ ；
22
∵l 1l 2，∴l 12（填>或
2
2
体验与感悟6－7－1
1. 在河岸l 同侧有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB ＝akm (a >1)现计划在河岸上建一抽水站P 向两个村庄供水.
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：
图6－7－2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d ，且d 1＝PB ＋BA (km )(其中PB ⊥l 于P 点) ；
图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2, 且d 2＝PA ＋PB (km )(其中点A ′与点A 关于l 对称，A ′B 与l 交于点P ).
图6－7－2
图6－7－2
图6－7－2
观察与计算：
（1）在方案一中，d 1＝ km (用含a 的式子表示) ；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2＝ km (用含a 的式子表示).
探索归纳：
（1）①当a ＝4时，比较大小：d 1d 2（填“>”或“＝”或“”或“＝”或“
请你就a （当a >1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
【总结】以上两题是打破学生的思维定势、训练学生思考全面性的经典好题.
例6－7－2动手操作
（1）如图6－7－3①，把矩形AA ′ B ′ B 卷成以AB 为高的圆柱形，则点A 与 重合，点B 与
.
B
′
A
图6－7－3
探究与发现
′
图6－7－3
图6－7－3
（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠
绕一圈丝线到顶部B 处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm ；（丝线的粗细忽略不计）
（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A 处沿侧面缠绕4圈直到顶部B 处（如图6－7－3③所示），则至少需要多长丝线？
创新与应用：
（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE 、CF 方向进行裁剪，如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sin α＝ .
图6－7－3
图6－7－3
C
【规律】（1）（2）略；（3）可看作把圆柱切成四段，求出一段的长再乘以4；（4）动手操作试试，看看AE 、BE 哪个等于底面周长. 本题融绕线、绕带问题于一题，是一道考查学生空间想象能力、分析能力的好题.
体验与感悟6－7－2
1. 如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形. 现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图6－7－4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
N
图6－7－
4
图6－7－
4
C
（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD ；
（2）计算按图6－7－4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.
图6－7－4
2. 如图6－7－5，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .
（1）求证：△AMB ≌△ENB ；
（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长.
B
图6－7－5
B 备用图
3. 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km . 现要求：在一边长为30km 的正方形区域内选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个区域. 问： （1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设地要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字说明你的理由. （下面给出的图6－7－6①至图6－7－6③是边长为30km 的正方形区域示意图，供解题时选用）
A
D
A
D
A
D
B
图6－7－6
C
B
图6－7－6
C
B
图6－7－6
C