作者：熊丹
中小学数学：中学版 2008年09期
【教学设计】
立体几何是高中新课程改革变化较大的章节之一。高中课标强调用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法认识和探索几何图形及其性质，所以本节课的设计也是围绕着这条主线展开的。
本节课是在学习直线与平面平行、平面与平面平行后，开始研究垂直关系的第一节课。垂直关系的研究与平行关系的研究具有相似性，所以本节课借助在“直线与平面平行”的学习过程中形成的经验，首先让学生明确：按照定义——判定——性质的研究主线，借助处理空间位置关系的一种常用方法——将线面的位置关系转化为线线的位置关系，对直线与平面垂直的位置关系进行研究。
在定义生成的过程中，先给出一组图片，让学生借助具体实例先直观感知线面垂直的关系，再通过分析实例（校内操场上篮球架和地面的垂直），谈一谈如何描述线面垂直的关系，最后让学生参与到概念的抽象概括中来，培养学生抽象概括的能力。
与大纲教材比较，判定定理的教学要求发生了较大的变化，不要求在必修课程中对判定定理进行证明，要求能通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理。其实大纲教材在教学的过程中，证明判定定理会花去相当长的时间，而复杂的证明过程学生是记不住的，也很难体会和应用其中的数学方法。新课程教材里设计了折纸试验，是一个非常好的素材，所以在设计本部分内容的教学时，我充分挖掘课本素材，分层次体现折纸试验所反映的数学本质，设计了一系列的问题引导学生观察，发现并确认判定定理，也体现了操作确认过程中的逻辑推理成分。同时，我选择了“追问”的教学方式，对学生提出的每一个想法“追问”其理由，“追问”不在问题多，而是要围绕数学本质内容发问，要问在学生对概念理解可能不到位的地方，通过“追问”的方式，让学生对问题进行深度的思考，同时训练学生逻辑思维能力和口头表达的能力。本节课要求学生能回归数学定义对他们所得到的结论进行解释。通过从感性层面的猜想到理性层面的确认，让学生体会研究问题的一般思路。
判定定理的应用分三个层次进行。第一层次是让学生理解、记忆判定定理并进行简单的应用；第二层次是通过对空间简单位置关系的证明，培养学生逻辑推理能力，重视对学生思考策略的引导和启发，同时规范证明题的书写；第三层次是训练学生灵活应用判定定理和定义，能适当地进行线线和线面位置关系之间的转化。
【教学实录】
第一阶段：复习知识，引出课题
师：前面我们研究了直线和平面的位置关系，先请同学们回忆，空间直线与平面有几种位置关系？
生：3种。直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交。
师：直线在平面内、直线和平面平行前面我们已经系统研究过了，（教师用教具演示配合）今天我们主要研究直线与平面相交。提到这种位置关系，大家并不陌生。你能举出实际生活中直线与平面相交的例子吗？（旨在通过学生的生活经验，提高学生学习的自觉性）
生：旗杆和地面，墙角。
师：刚才同学们的举例有点特殊。（教师用教具示例）同学们不约而同的先想到这种特殊的位置关系，也正说明这种特殊的相交关系是最常见的，那我们就先研究这种特殊的直线与平面相交的位置关系——直线和平面垂直的位置关系。
（幻灯片打出课题，同时教师板书课题）
第二阶段：通过实例形成概念
师：直线与平面垂直的关系在我们身边随处可见，（教师幻灯片打出一张图片），它是咱们非常熟悉的操场一角，这里面有很多的直线和平面垂直，比如，主席台上旗杆与主席台面，篮球架与地面。直线与平面的位置关系，我们不是第一次研究了，应该有一些研究的经验，对于直线和平面的垂直关系，你准备研究点什么？
生：定义，判定和性质。
师：那你准备用什么方法去研究？
生：降维，用线线关系去研究线面关系。
师：那如果我们要研究篮球架和地面的垂直关系，你准备选择什么样的线线关系进行？
生：篮球架和它的影子。
师：它们是什么关系？
生：垂直。
师：只和图片中给的这些时刻的影子是垂直的？
生：不，和所有时刻的影子都垂直。
师：如果把篮球架抽象为一条直线AB，地面抽象为一个平面α，我们知道篮球架与地面上过B点的直线都垂直。那么它和平面内其他的直线呢？（幻灯片辅助教学）
生：也垂直！
师：为什么？（追问依据）
生：因为直线可以平移，平移不改变两直线所成的角。
师：那也就是说，如果篮球架和地面上任意一条直线都垂直，那么就说篮球架和地面是垂直的。类似的，你能给直线和平面垂直下个定义吗？（此过程通过引导学生观察篮球架和影子的关系去分析篮球架和地面的关系，由具体的篮球架和所有时刻的影子都垂直，抽象概括出直线和平面垂直的定义）
生：如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和平面垂直。
（幻灯片打出定义，同。时教师板书“一、直线与平面垂直的定义”）
师：如果想画出直线与平面垂直，可以先画出一个水平放置的平面，再画一根竖直的直线。
（教师板书并画图示范，在图中解释相关的概念——垂线、垂面和垂足，并交代垂直符号）
师：其实，很久以前，人们就发现了直线和平面的垂直关系，并加以利用。同学们听说过“日晷”吗？（幻灯片打出图片）它是古代用来计时的一种仪器。在一个石制的圆盘上插有一根与圆盘垂直的铜针，当太阳从不同角度照射的时候，铜针的影子指向圆盘上的刻度就是当天的时刻。（通过日晷的例子，让学生认识到数学是有用的，同时引出判定定理）
第三阶段：通过折纸试验，探究直线与平面垂直的判定定理
师：根据日晷计时的原理，铜针和圆盘必须垂直才能保证在不同时刻测得的日影是有效的。而我们如果要检验铜针是否和圆盘垂直，目前只有一个办法，（学生答定义）那就是要验证铜针和圆盘内所有的直线都垂直。这个任务交给你，你能完成吗？（学生笑着摇头）因为我们无法验证“任意性”，那就需要找到别的办法，可操作的办法去验证直线和平面垂直。你有什么办法？
（学生积极回应，有的提出用两条直线，有的说要相交的，有的说要确定的）
师：还用线？用线线的垂直去刻画线面的垂直，两条行不行？够不够？多不多？带着你们的猜想，我们来进行一个试验：
师：请大家拿出课前发的三角形纸片，为了咱们交流方便，统一按照老师的三角形给三个顶点命名。在试验之前，先明确试验的目的，我们是为了探究判定直线与平面垂直的方法，所以在试验过程中，请同学们认真操作，仔细观察，并修正和验证你们的想法。
（幻灯片打出试验要求）如图1，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（使BD、CD与桌面接触）。
师：(1)折痕与桌面一定垂直吗？
（学生在进行折纸试验，老师巡视，有学生反应：不一定）
师：请你对结论进行解释说明。（教师追问学生原因，要求学生回归定义进行解释：折痕不满足线面垂直的定义，只需要折痕和面内一条直线不垂直就行了，对定义进行不同角度的理解）
师：如果想验证直线和平面垂直，需要验证此直线和平面内的任意一条直线垂直；但如果要验证直线和平面不垂直，只需要找到一条直线不垂直于该平面就够了。
师：(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？
生：当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
（教师追问：如何保证此时折痕和桌面是垂直的？此问旨在要求学生回归定义验证）
生：以AD边为轴将纸片绕轴旋转，这样AD与BD，AD与DC的垂直关系没有发生改变，而BD与DC边旋转扫过一个平面，从而保证AD与桌面上过D点的直线都垂直，其他的直线可以平移过来。
（学生在回答的过程中，教师用三角形纸片演示配合并修正学生的表达，然后用课件进行动画演示）
师：通过以上的折纸试验，你找到判断直线和平面垂直的方法了吗？
（学生基本都明白了需要在平面内找两条直线验证和此直线垂直，有学生补充需要两条相交的直线，教师追问：一定需要相交的两条直线，不相交不行吗？为什么？要求学生能举出反例说明“相交”的必要性）
师：问题经过我们的探索研究，已经将定义中需要验证每一条直线简化到验证某两条就可以了，而且是某两条相交的直线，还能再进一步简化吗？一条行不行？如果一条直线与平面内的一条直线垂直，那么可以断定此直线和平面垂直吗？
生：不能。（教师要求用模型举出反例）
师：既然一条不足，两条才够，说明最简单的操作应该是验证直线和平面内两条直线的垂直关系！而且是两条相交的直线！这样我们就得到了直线和平面垂直的判定定理。
（幻灯片打出标题，教师板书“二、直线和平面垂直的判定定理”）（教师请学生叙述定理内容及相应符号语言）
师：总结探究判定定理的过程，试验过程中首先从感性的层面进行判断猜想，然后再从理性的层面找到依据，刚才的验证过程并不是定理的严格证明，后续的学习还要对结论进行严格的理论论证，而从感性到理性的过程也是我们认识客观事物发展规律的一个过程。（教师板书：感性——猜想；理性——确认——证明）
第四阶段：对判定定理简单应用的阶段
师：有了线面垂直的判定定理，我们来判断以下两个命题。
（幻灯片打出命题）判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)正方体ABCD-A′B′C′D′中（如图2），棱BB′和底面ABCD垂直。
(2)正三棱锥P-ABC中（如图3），M为棱BC的中点，棱BC和平面PAM垂直。
（学生回答以上两个简单的命题并没有困难，此题旨在让学生熟练并记忆定理内容，在第二问后老师加问BC和PA的关系。旨在提醒学生线面垂直需要找两条线线垂直，得到新的线面垂直后，还可以根据定义出现新的线线垂直）
例 如果两条平行线中的一条和一个平面垂直，则另一条也和此平面垂直。
师：拿到这个命题，你需要先做什么工作？
生：画图，写出已知求证。
（幻灯片打出图形，教师请同学说出已知，求证，教师板书示范，教师再请一个同学分析思路，并追问怎么想到要在平面内做两条相交的直线，学生回答比较到位，教师作简单的小结）
师：同学×××说得非常好，因为“需要”！欲证线面垂直，需要线线垂直，而已知线面垂直，可得线线垂直，于是需要构造两条相交直线。（教师幻灯片辅助，再请一个同学口述证明过程，教师给予指导）由线线垂直可以得到线面垂直，由线面垂直又可以得到线线垂直，两者在一定的条件下是可以相互转化的，解决问题时注意这种转化关系及其转化需要的相应条件。同时注意证明题书写的规范性。
师：最后我们再看一个练习。（幻灯片打出练习题）
练习：如图4，AC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面的垂线PA，连接PB，PC，问：图中有多少个直角三角形？
（学生回答的过程中，教师追问学生指出的三角形中哪个角为直角，为什么是直角？学生对△PBC为直角三角形的证明旨在训练学生灵活应用判定定理和定义，能适当进行线面、线线间垂直关系的转化。学生回答后，教师通过幻灯片，打出证明△PBC为直角三角形的过程）
第五阶段：小结与作业阶段
师：说了这么多，你能针对本节课谈谈自己的收获和感想吗？
（学生1从知识、方法的角度进行了总结，学生2从收获学习研究方法方面进行了总结，教师在此过程中给予学生充分的肯定，最后布置作业）
（幻灯片打出作业内容，主要从三个层次布置作业：首先，阅读课本复习当天所学内容；其次，对当天内容进行练习；最后，针对五中学生特点布置课后探究题）
【自我反思】
本节课的实施从整体上说是非常顺利的，学生的思维活动在教师的精心设计下层开的比较充分，与课前教师的预想基本上相同。
本节课设计时最大的困难是对定义的教学。如果直观感知后，直接将问题“你觉得可以怎样定义直线和平面垂直？”抛给学生，希望学生能在教师的引导下抽象概括出直线和平面垂直的定义，难度非常大，因为要学生用“任意一条”这样的词语表达是非常困难的，而且引导如果不是恰到好处的话，很可能学生会说出判定定理作为定义，那就需要花时间去解释为什么用“任意一条”，而不用“两条”进行定义。这样就偏离了本节课的重点如果问题问得太碎太细，就会形成老师牵着学生走的局面，最后其实还是老师直接给出了定义，有不自然的感觉，考虑到定义的教学应该是让学生觉得自然、合理、准确，最后确定了先从学生熟悉的图片入手，研究具体的直线和平面垂直的实例，再让学生抽象概括出定义，这样，既体现了教师的主导作用，又有学生的参与，学生和教师都觉得比较自然和舒服，有了实例的直观感知，学生接受定义是没有困难的。
对折纸试验的教学也达到了课前预想的效果，通过一系列的问题，学生能顺利地完成判定定理的探究，在探究过程中对定义进行了多角度和深入的理解。课堂最后的小结阶段学生的表现也能说明在探究判定定理的过程中，学生收获到了研究问题的一般方法。但是，在这个过程中存在一丝的遗憾，那就是在折纸试验过程中，对于问题(1)“是不是折痕与桌面一定垂直？”的处理上，课堂上是请了一个折出多个折痕的同学进行分析，但有部分学生只折出一条垂直折痕，可以让这部分学生出一个代表说说想法，以防止学生思维的不完整。
在应用判定定理证明命题的时候，教师对例题中学生的表达缺乏对证明过程表述的细致指导，指导的方式可以是用幻灯片将标准的表述打出来，或点评学生叙述中的用词或书写顺序是否恰当等，这就要求教师首先要对数学知识有深刻的认识，这样才能做到对学生的点评恰到好处。
在本节课的尾声，学生谈感受与体会的阶段，学生对本节课的学习从三个不同的层次（知识——数学方法——学习方法）进行了总结，表达得非常清楚。本节课以后的教学过程中，学生能自觉研究面面垂直的关系，能自觉运用“降维”转化的方法思考问题，所以我认为对数学思想方法的渗透和对研究问题的方法的指导能在教学中达到事半功倍的效果。
作者介绍：熊丹 北京市第五中学，100007
作者：熊丹
中小学数学：中学版 2008年09期
【教学设计】
立体几何是高中新课程改革变化较大的章节之一。高中课标强调用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法认识和探索几何图形及其性质，所以本节课的设计也是围绕着这条主线展开的。
本节课是在学习直线与平面平行、平面与平面平行后，开始研究垂直关系的第一节课。垂直关系的研究与平行关系的研究具有相似性，所以本节课借助在“直线与平面平行”的学习过程中形成的经验，首先让学生明确：按照定义——判定——性质的研究主线，借助处理空间位置关系的一种常用方法——将线面的位置关系转化为线线的位置关系，对直线与平面垂直的位置关系进行研究。
在定义生成的过程中，先给出一组图片，让学生借助具体实例先直观感知线面垂直的关系，再通过分析实例（校内操场上篮球架和地面的垂直），谈一谈如何描述线面垂直的关系，最后让学生参与到概念的抽象概括中来，培养学生抽象概括的能力。
与大纲教材比较，判定定理的教学要求发生了较大的变化，不要求在必修课程中对判定定理进行证明，要求能通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理。其实大纲教材在教学的过程中，证明判定定理会花去相当长的时间，而复杂的证明过程学生是记不住的，也很难体会和应用其中的数学方法。新课程教材里设计了折纸试验，是一个非常好的素材，所以在设计本部分内容的教学时，我充分挖掘课本素材，分层次体现折纸试验所反映的数学本质，设计了一系列的问题引导学生观察，发现并确认判定定理，也体现了操作确认过程中的逻辑推理成分。同时，我选择了“追问”的教学方式，对学生提出的每一个想法“追问”其理由，“追问”不在问题多，而是要围绕数学本质内容发问，要问在学生对概念理解可能不到位的地方，通过“追问”的方式，让学生对问题进行深度的思考，同时训练学生逻辑思维能力和口头表达的能力。本节课要求学生能回归数学定义对他们所得到的结论进行解释。通过从感性层面的猜想到理性层面的确认，让学生体会研究问题的一般思路。
判定定理的应用分三个层次进行。第一层次是让学生理解、记忆判定定理并进行简单的应用；第二层次是通过对空间简单位置关系的证明，培养学生逻辑推理能力，重视对学生思考策略的引导和启发，同时规范证明题的书写；第三层次是训练学生灵活应用判定定理和定义，能适当地进行线线和线面位置关系之间的转化。
【教学实录】
第一阶段：复习知识，引出课题
师：前面我们研究了直线和平面的位置关系，先请同学们回忆，空间直线与平面有几种位置关系？
生：3种。直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交。
师：直线在平面内、直线和平面平行前面我们已经系统研究过了，（教师用教具演示配合）今天我们主要研究直线与平面相交。提到这种位置关系，大家并不陌生。你能举出实际生活中直线与平面相交的例子吗？（旨在通过学生的生活经验，提高学生学习的自觉性）
生：旗杆和地面，墙角。
师：刚才同学们的举例有点特殊。（教师用教具示例）同学们不约而同的先想到这种特殊的位置关系，也正说明这种特殊的相交关系是最常见的，那我们就先研究这种特殊的直线与平面相交的位置关系——直线和平面垂直的位置关系。
（幻灯片打出课题，同时教师板书课题）
第二阶段：通过实例形成概念
师：直线与平面垂直的关系在我们身边随处可见，（教师幻灯片打出一张图片），它是咱们非常熟悉的操场一角，这里面有很多的直线和平面垂直，比如，主席台上旗杆与主席台面，篮球架与地面。直线与平面的位置关系，我们不是第一次研究了，应该有一些研究的经验，对于直线和平面的垂直关系，你准备研究点什么？
生：定义，判定和性质。
师：那你准备用什么方法去研究？
生：降维，用线线关系去研究线面关系。
师：那如果我们要研究篮球架和地面的垂直关系，你准备选择什么样的线线关系进行？
生：篮球架和它的影子。
师：它们是什么关系？
生：垂直。
师：只和图片中给的这些时刻的影子是垂直的？
生：不，和所有时刻的影子都垂直。
师：如果把篮球架抽象为一条直线AB，地面抽象为一个平面α，我们知道篮球架与地面上过B点的直线都垂直。那么它和平面内其他的直线呢？（幻灯片辅助教学）
生：也垂直！
师：为什么？（追问依据）
生：因为直线可以平移，平移不改变两直线所成的角。
师：那也就是说，如果篮球架和地面上任意一条直线都垂直，那么就说篮球架和地面是垂直的。类似的，你能给直线和平面垂直下个定义吗？（此过程通过引导学生观察篮球架和影子的关系去分析篮球架和地面的关系，由具体的篮球架和所有时刻的影子都垂直，抽象概括出直线和平面垂直的定义）
生：如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和平面垂直。
（幻灯片打出定义，同。时教师板书“一、直线与平面垂直的定义”）
师：如果想画出直线与平面垂直，可以先画出一个水平放置的平面，再画一根竖直的直线。
（教师板书并画图示范，在图中解释相关的概念——垂线、垂面和垂足，并交代垂直符号）
师：其实，很久以前，人们就发现了直线和平面的垂直关系，并加以利用。同学们听说过“日晷”吗？（幻灯片打出图片）它是古代用来计时的一种仪器。在一个石制的圆盘上插有一根与圆盘垂直的铜针，当太阳从不同角度照射的时候，铜针的影子指向圆盘上的刻度就是当天的时刻。（通过日晷的例子，让学生认识到数学是有用的，同时引出判定定理）
第三阶段：通过折纸试验，探究直线与平面垂直的判定定理
师：根据日晷计时的原理，铜针和圆盘必须垂直才能保证在不同时刻测得的日影是有效的。而我们如果要检验铜针是否和圆盘垂直，目前只有一个办法，（学生答定义）那就是要验证铜针和圆盘内所有的直线都垂直。这个任务交给你，你能完成吗？（学生笑着摇头）因为我们无法验证“任意性”，那就需要找到别的办法，可操作的办法去验证直线和平面垂直。你有什么办法？
（学生积极回应，有的提出用两条直线，有的说要相交的，有的说要确定的）
师：还用线？用线线的垂直去刻画线面的垂直，两条行不行？够不够？多不多？带着你们的猜想，我们来进行一个试验：
师：请大家拿出课前发的三角形纸片，为了咱们交流方便，统一按照老师的三角形给三个顶点命名。在试验之前，先明确试验的目的，我们是为了探究判定直线与平面垂直的方法，所以在试验过程中，请同学们认真操作，仔细观察，并修正和验证你们的想法。
（幻灯片打出试验要求）如图1，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（使BD、CD与桌面接触）。
师：(1)折痕与桌面一定垂直吗？
（学生在进行折纸试验，老师巡视，有学生反应：不一定）
师：请你对结论进行解释说明。（教师追问学生原因，要求学生回归定义进行解释：折痕不满足线面垂直的定义，只需要折痕和面内一条直线不垂直就行了，对定义进行不同角度的理解）
师：如果想验证直线和平面垂直，需要验证此直线和平面内的任意一条直线垂直；但如果要验证直线和平面不垂直，只需要找到一条直线不垂直于该平面就够了。
师：(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？
生：当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
（教师追问：如何保证此时折痕和桌面是垂直的？此问旨在要求学生回归定义验证）
生：以AD边为轴将纸片绕轴旋转，这样AD与BD，AD与DC的垂直关系没有发生改变，而BD与DC边旋转扫过一个平面，从而保证AD与桌面上过D点的直线都垂直，其他的直线可以平移过来。
（学生在回答的过程中，教师用三角形纸片演示配合并修正学生的表达，然后用课件进行动画演示）
师：通过以上的折纸试验，你找到判断直线和平面垂直的方法了吗？
（学生基本都明白了需要在平面内找两条直线验证和此直线垂直，有学生补充需要两条相交的直线，教师追问：一定需要相交的两条直线，不相交不行吗？为什么？要求学生能举出反例说明“相交”的必要性）
师：问题经过我们的探索研究，已经将定义中需要验证每一条直线简化到验证某两条就可以了，而且是某两条相交的直线，还能再进一步简化吗？一条行不行？如果一条直线与平面内的一条直线垂直，那么可以断定此直线和平面垂直吗？
生：不能。（教师要求用模型举出反例）
师：既然一条不足，两条才够，说明最简单的操作应该是验证直线和平面内两条直线的垂直关系！而且是两条相交的直线！这样我们就得到了直线和平面垂直的判定定理。
（幻灯片打出标题，教师板书“二、直线和平面垂直的判定定理”）（教师请学生叙述定理内容及相应符号语言）
师：总结探究判定定理的过程，试验过程中首先从感性的层面进行判断猜想，然后再从理性的层面找到依据，刚才的验证过程并不是定理的严格证明，后续的学习还要对结论进行严格的理论论证，而从感性到理性的过程也是我们认识客观事物发展规律的一个过程。（教师板书：感性——猜想；理性——确认——证明）
第四阶段：对判定定理简单应用的阶段
师：有了线面垂直的判定定理，我们来判断以下两个命题。
（幻灯片打出命题）判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)正方体ABCD-A′B′C′D′中（如图2），棱BB′和底面ABCD垂直。
(2)正三棱锥P-ABC中（如图3），M为棱BC的中点，棱BC和平面PAM垂直。
（学生回答以上两个简单的命题并没有困难，此题旨在让学生熟练并记忆定理内容，在第二问后老师加问BC和PA的关系。旨在提醒学生线面垂直需要找两条线线垂直，得到新的线面垂直后，还可以根据定义出现新的线线垂直）
例 如果两条平行线中的一条和一个平面垂直，则另一条也和此平面垂直。
师：拿到这个命题，你需要先做什么工作？
生：画图，写出已知求证。
（幻灯片打出图形，教师请同学说出已知，求证，教师板书示范，教师再请一个同学分析思路，并追问怎么想到要在平面内做两条相交的直线，学生回答比较到位，教师作简单的小结）
师：同学×××说得非常好，因为“需要”！欲证线面垂直，需要线线垂直，而已知线面垂直，可得线线垂直，于是需要构造两条相交直线。（教师幻灯片辅助，再请一个同学口述证明过程，教师给予指导）由线线垂直可以得到线面垂直，由线面垂直又可以得到线线垂直，两者在一定的条件下是可以相互转化的，解决问题时注意这种转化关系及其转化需要的相应条件。同时注意证明题书写的规范性。
师：最后我们再看一个练习。（幻灯片打出练习题）
练习：如图4，AC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面的垂线PA，连接PB，PC，问：图中有多少个直角三角形？
（学生回答的过程中，教师追问学生指出的三角形中哪个角为直角，为什么是直角？学生对△PBC为直角三角形的证明旨在训练学生灵活应用判定定理和定义，能适当进行线面、线线间垂直关系的转化。学生回答后，教师通过幻灯片，打出证明△PBC为直角三角形的过程）
第五阶段：小结与作业阶段
师：说了这么多，你能针对本节课谈谈自己的收获和感想吗？
（学生1从知识、方法的角度进行了总结，学生2从收获学习研究方法方面进行了总结，教师在此过程中给予学生充分的肯定，最后布置作业）
（幻灯片打出作业内容，主要从三个层次布置作业：首先，阅读课本复习当天所学内容；其次，对当天内容进行练习；最后，针对五中学生特点布置课后探究题）
【自我反思】
本节课的实施从整体上说是非常顺利的，学生的思维活动在教师的精心设计下层开的比较充分，与课前教师的预想基本上相同。
本节课设计时最大的困难是对定义的教学。如果直观感知后，直接将问题“你觉得可以怎样定义直线和平面垂直？”抛给学生，希望学生能在教师的引导下抽象概括出直线和平面垂直的定义，难度非常大，因为要学生用“任意一条”这样的词语表达是非常困难的，而且引导如果不是恰到好处的话，很可能学生会说出判定定理作为定义，那就需要花时间去解释为什么用“任意一条”，而不用“两条”进行定义。这样就偏离了本节课的重点如果问题问得太碎太细，就会形成老师牵着学生走的局面，最后其实还是老师直接给出了定义，有不自然的感觉，考虑到定义的教学应该是让学生觉得自然、合理、准确，最后确定了先从学生熟悉的图片入手，研究具体的直线和平面垂直的实例，再让学生抽象概括出定义，这样，既体现了教师的主导作用，又有学生的参与，学生和教师都觉得比较自然和舒服，有了实例的直观感知，学生接受定义是没有困难的。
对折纸试验的教学也达到了课前预想的效果，通过一系列的问题，学生能顺利地完成判定定理的探究，在探究过程中对定义进行了多角度和深入的理解。课堂最后的小结阶段学生的表现也能说明在探究判定定理的过程中，学生收获到了研究问题的一般方法。但是，在这个过程中存在一丝的遗憾，那就是在折纸试验过程中，对于问题(1)“是不是折痕与桌面一定垂直？”的处理上，课堂上是请了一个折出多个折痕的同学进行分析，但有部分学生只折出一条垂直折痕，可以让这部分学生出一个代表说说想法，以防止学生思维的不完整。
在应用判定定理证明命题的时候，教师对例题中学生的表达缺乏对证明过程表述的细致指导，指导的方式可以是用幻灯片将标准的表述打出来，或点评学生叙述中的用词或书写顺序是否恰当等，这就要求教师首先要对数学知识有深刻的认识，这样才能做到对学生的点评恰到好处。
在本节课的尾声，学生谈感受与体会的阶段，学生对本节课的学习从三个不同的层次（知识——数学方法——学习方法）进行了总结，表达得非常清楚。本节课以后的教学过程中，学生能自觉研究面面垂直的关系，能自觉运用“降维”转化的方法思考问题，所以我认为对数学思想方法的渗透和对研究问题的方法的指导能在教学中达到事半功倍的效果。
作者介绍：熊丹 北京市第五中学，100007